圆锥曲线的综合问题专项训练（二）-2027届高三数学一轮复习

专题8.9　 圆锥曲线的综合问题（二）【纠错档案】

1. （25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，且经过点，上、下焦点分别为，，直线：和交于，两点，轴，为上的动点．

（1）求的方程；

（2）若，求的面积；

（3）设上有两点，（，与都不重合）满足，且，垂足为，证明：存在定点，使得为定值．

2. 已知椭圆过点，且．

（1）求椭圆C的方程：

（2）过点的直线l交椭圆C于点，直线分别交直线于点．求的值．

3. 已知平面内一动点到点的距离与点到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程.

（2）在直线上有一点，过点的直线与曲线相交于两点.设，证明：只与有关.

4. （25-26高二下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，且到上任意一点的距离最小值为1．

（1）求的方程；

（2）过的直线与交于、两点，与轴交于点，且在线段之间，为的右顶点．

（i）若的面积是的面积的3倍，求的方程；

（ii）设，，证明：为定值．

序号

错误类型

错因诊断

1	忽略“特殊情况”的兼容性	设直线方程进行一般情况证明，求出了定值，但在最后验证时，忘了检验特殊直线或动点在特殊位置（如顶点）时，定值是否依然成立
2	证明定值时未充分转化	很多学生在求定值时，未认真分析问题，直接运算，计算繁杂，甚至无法求解
3	数量积转化距离之积未注意符号	当点共线时，可以用数量积转化距离之积，但未注意夹角，致使结果出现符号差异
4	共线转化不会消参	往往是“只会写关系，不会用于消参”，根据三点共线，求某个参数的范围或定值时，只是把共线条件写出来放着，要用它来完成“消元”

纠正一  忽略“特殊情况”的兼容性

【错因解读】设直线方程进行一般情况证明，求出了定值，但在最后验证时，忘了检验特殊直线或动点在特殊位置（如顶点）时，定值是否依然成立．

【典例1】（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，且经过点，上、下焦点分别为，，直线：和交于，两点，轴，为上的动点．

（1）求的方程；

（2）若，求的面积；

（3）设上有两点，（，与都不重合）满足，且，垂足为，证明：存在定点，使得为定值．

【解析导引】（1）令椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，且经过点，

（列方程求a，b，c）则，解得，

所以椭圆的方程为．

（2）由（1）知，椭圆，，

又在直线：上，且轴，则，

由对称性得关于原点对称，则，

（设点的坐标）设，则，，

（根据数量积求点的坐标）由，化简得，

又，解得，，即点，

又，

点到直线的距离，

（求三角形面积）所以的面积为．

  

（3）设，，

（设直线方程）当直线斜率存在时，设其方程为，

联立，消去，整理得，

则，

，，

结合（2）有，则，，

又，

（根据韦达定理求定点坐标）则

，