专题27 圆锥曲线的综合应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习
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内容正文：
专题27 圆锥曲线综合 2027届高考数学辅导一轮复习讲义
专题27 圆锥曲线的综合应用
一、核心知识
1．三类圆锥曲线的基本量：椭圆 、；双曲线 、；抛物线焦点到准线的距离为 。
2．求标准方程的通法：先由焦点位置（或对称轴与开口方向）确定方程形式，再用待定系数法代入已知条件解出参数。
3．直线与圆锥曲线联立后消元，写出的两根之和与两根之积（韦达定理）是处理弦长、弦中点、面积、定值等问题的共同起点。
4．弦长公式：；过焦点的抛物线弦还可用 。
5．弦中点问题用点差法：把两端点代入曲线方程作差，可直接得到弦所在直线的斜率与中点坐标的关系。
6．抛物线焦点弦的两个常用结论：、；且 为定值。
7．圆锥曲线上的点到两焦点距离的规律：椭圆上为定值 2a，双曲线上之差的绝对值为定值 2a，由此可把距离问题转化为坐标问题。
8．焦点三角形面积：椭圆中 ；双曲线中 （ 为两焦半径的夹角）。
9．最值与范围问题的三条主线：参数法（设参数化为函数）、几何法（用定义与几何性质转化）、判别式法（由方程有解反推范围）。
10．定点与定值问题的通法：设出动直线（或动点）的参数，求出相关量含参数的表达式，化简后消去参数即可得到与参数无关的点或值。
11．存在性问题先假设存在，设出待定量列方程（组），有解后再检验是否满足隐含条件（交点个数、分母不为 0 等）。
12．解综合题的一般顺序：先把几何条件翻译成代数等式，再整体代入韦达定理，最后化简求值；运算量大时要先化简再代入。
二、题型精练
题型一 圆锥曲线的基本量与方程求解
【方法与技巧】
求标准方程常用待定系数法：先由焦点位置确定方程形式，再代入已知条件（过定点、离心率、渐近线等）解出参数。
抓住基本量之间的关系：椭圆 、双曲线 、抛物线的 是焦点到准线的距离。
离心率与渐近线是双曲线的两个“指纹”，常与 、、 的齐次关系式结合，化为关于 的方程求解。
【例题精讲】
1．中心在原点、焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
2．与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．顶点在原点、对称轴为 轴，且经过点 的抛物线标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线 （）的焦点为 ，则 （ ）
A．6 B．3 C．12 D．
4．椭圆 的焦距为 2，则 （ ）
A．3 或 5 B．3 C．5 D．4
5．双曲线 的一条渐近线为 ，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线 的焦点到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【巩固练习】
1．椭圆 的焦距为（ ）
A．6 B．3 C．8 D．10
2．双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．椭圆 的离心率为 ，则 （ ）
A．4 或 B．4 C． D．5
5．双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
6．抛物线 上一点到焦点的距离为 3，则该点到准线的距离为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．4
7．中心在原点、焦点在 轴上，且 、 的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
8．若双曲线 的离心率为 ，且实轴长为 6，则其焦距为（ ）
A．10 B．5 C．8 D．6
题型二 直线与圆锥曲线的综合（弦长与面积）
【方法与技巧】
联立直线与曲线方程消元，写出两根之和与两根之积，是处理弦长、弦中点、面积问题的通用起点。
弦长公式 ；若直线过抛物线焦点，还可用 直接求。
面积问题常用分割法：（ 为第三个顶点到直线 AB 的距离），或沿坐标轴把三角形分割求和。
【例题精讲】
1．直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，则 （ ）
A．8 B．4 C．6 D．
2．直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
3．抛物线 与过焦点的直线交于 A、B 两点，若 ，O 为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．8
【变式训练】
1．直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，则 （ ）
A． B． C．5 D．
2．直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，则弦 AB 中点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，则弦 AB 中点的纵坐标为（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
4．抛物线 上两点 A、B 的横坐标之和为 4，若 AB 过焦点，则 （ ）
A．6 B．4 C．8 D．5
5．直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
6．直线 与双曲线 的位置关系是（ ）
A．没有公共点 B．有一个公共点 C．有两个公共点 D．有无数个公共点
【巩固练习】
1．直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
2．直线 与抛物线 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．过焦点
3．直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，则 （ ）
A． B． C．8 D．
4．直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．4
5．椭圆 的弦被点 平分，则该弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．2
6．抛物线 的焦点弦长为 16，则该弦所在直线的倾斜角为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．
7．直线 与椭圆 相切，则 （ ）
A． B． C．0 D．
8．过椭圆 的左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆交于 A、B 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
题型三 定点与定值问题
【方法与技巧】
定点问题：设出动直线（或动点）的参数，求出交点坐标（或相关量）含参数的表达式，再消去参数找出与参数无关的点。
定值问题：把目标量化为参数的函数，化简后若参数被约掉即为定值；运算中常用韦达定理整体代入。
常用技巧：先用特殊位置猜出定点或定值，明确方向后再对一般情形作推导，可大幅减少盲目运算。
【例题精讲】
1．抛物线 的焦点弦 AB 的两个端点的横坐标之积为（ ）
A．1 B．4 C．2 D．
2．过抛物线 （）焦点的弦 AB，则 （ ）
A． B． C． D．
3．椭圆 （）上一点 P 与两焦点 、 构成的三角形满足 ，则其面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．抛物线 的焦点弦 AB 的两个端点的纵坐标之积为（ ）
A． B．4 C． D．16
2．过抛物线 焦点的弦 AB，若点 A 的横坐标为 1，则点 B 的横坐标为（ ）
A．1 B．4 C．2 D．
3．椭圆 上一点 P 与两焦点构成直角三角形（），则 的面积为（ ）
A．16 B．9 C．25 D．20
4．双曲线 （，）的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．以抛物线 （）的焦点弦 AB 为直径的圆与准线的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
6．椭圆 上一点到两焦点的距离之和为（ ）
A．4 B．2 C． D．6
【巩固练习】
1．抛物线 的焦点弦 AB 满足 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．4 D．
2．过抛物线 焦点的弦 AB，若 ，则该弦与对称轴的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．成 角 D．成 角
3．椭圆 上一点与两焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．6
4．双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．
5．以抛物线 的焦点弦 AB 为直径的圆与准线（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．过原点
6．椭圆 上一点 P 与两焦点 、， 取最大值时，P 在（ ）
A．短轴端点 B．长轴端点 C．椭圆上任意位置 D．不存在这样的点
7．抛物线 （）的焦点弦 AB 中， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．椭圆 上一点 P 与两焦点构成的三角形的周长为（ ）
A．6 B．4 C．5 D．8
题型四 最值与范围问题
【方法与技巧】
参数法：用一个参数表示动点坐标（如椭圆上的点设为 ），把目标量化为三角函数求最值。
函数法：把目标量表示为某个变量的二次函数（或有理函数），结合变量的取值范围（常由曲线范围或判别式给出）求最值。
几何法：利用定义把距离和或距离差转化为折线段，再用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等几何结论求解。
【例题精讲】
1．椭圆 上一点到点 的距离的最大值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．
2．抛物线 上一点到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
3．双曲线 上一点到两条渐近线的距离之积为（ ）
A． B． C． D．1
【变式训练】
1．椭圆 上一点到点 的距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
2．抛物线 上一点到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
3．椭圆 上一点到两焦点距离之积的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．1 D．2
4．抛物线 上一点 P 到焦点与到点 的距离之和的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
5．双曲线 的右支上一点到右焦点的最小距离为（ ）
A．2 B．1 C．5 D．3
6．抛物线 上一点到其准线与到直线 的距离之和的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
【巩固练习】
1．椭圆 上一点到右焦点的距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
2．抛物线 上一点到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆 上一点到两焦点距离之积的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．1 D．2
4．抛物线 上一点 P 到焦点与到点 的距离之和的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
5．双曲线 上一点到两条渐近线的距离之积为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线 （）上一点到焦点距离的最小值为（ ）
A． B． C．2p D．0
7．椭圆 上一点与两焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）
A．12 B．6 C．20 D．24
8．抛物线 上一点到点 的距离的最小值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
题型五 存在性与探究性问题
【方法与技巧】
存在性问题先“假设存在”，设出待定的点或直线参数，由题设条件列出方程（组），再看是否有解。
求出解后必须检验是否满足隐含条件：点在曲线上、直线与曲线确有两个交点、分母不为 0 等。
探究“是否存在定值”时，可先计算几个特殊情形，若结果相同再作一般性推导，方向明确后可少走弯路。
【例题精讲】
1．椭圆 上是否存在点 P，使得 （、 为焦点）？（ ）
A．存在，且有四个 B．不存在 C．存在且只有两个 D．存在且只有一个
2．是否存在实数 ，使直线 与双曲线 只有一个公共点？（ ）
A．存在， 或 B．不存在 C．存在， D．存在，
3．抛物线 上是否存在点 P，使 P 到焦点 F 与到点 的距离之和取到最小值 4？（ ）
A．存在，此时 P 的纵坐标为 2 B．不存在 C．存在，此时 P 的横坐标为 3 D．存在，此时 P 为顶点
【变式训练】
1．是否存在直线与抛物线 只有一个公共点且不与对称轴平行？（ ）
A．存在，即抛物线的切线 B．不存在 C．存在，有无数条 D．无法确定
2．椭圆 上是否存在点到两焦点的距离相等？（ ）
A．存在，为短轴端点 B．不存在 C．存在，为长轴端点 D．存在，且有四个
3．双曲线 上是否存在点到两焦点的距离相等？（ ）
A．不存在 B．存在，为顶点 C．存在，且有两个 D．存在，且有四个
4．是否存在实数 ，使直线 与椭圆 相切？（ ）
A．存在， B．不存在 C．存在， D．存在，
5．抛物线 上是否存在三点共线？（ ）
A．不存在 B．存在 C．只有两个点 D．无法确定
6．椭圆 上是否存在点 P，使 ？（ ）
A．存在 B．不存在 C．只有长轴端点 D．只有短轴端点
【巩固练习】
1．是否存在实数 ，使直线 与双曲线 有两个公共点？（ ）
A．存在， B．不存在 C．存在， D．存在，
2．椭圆 上是否存在点 P，使 为等腰三角形？（ ）
A．存在 B．不存在 C．只有长轴端点 D．只有短轴端点
3．抛物线 上是否存在点 P，使 P 到焦点与到点 的距离相等？（ ）
A．存在 B．不存在 C．只有顶点 D．只有焦点
4．是否存在实数 ，使直线 与抛物线 相切？（ ）
A．存在， B．不存在 C．存在， D．存在，
5．椭圆 上是否存在点，使该点到两焦点距离之差为 1？（ ）
A．存在 B．不存在 C．只有长轴端点 D．只有短轴端点
6．是否存在实数 ，使方程 表示焦点在 轴上的椭圆？（ ）
A．存在， B．不存在 C．存在， D．存在，
7．抛物线 上是否存在两点 A、B，使 AB 过焦点且 ？（ ）
A．不存在，焦点弦最短为 4 B．存在 C．有无数对 D．只有一对
8．是否存在实数 ，使直线 与椭圆 没有公共点？（ ）
A．存在， B．不存在 C．存在， D．存在，
题型六 圆锥曲线与向量的交汇
【方法与技巧】
综合题常把圆锥曲线与向量、三角结合，关键是先把几何条件（垂直、共线、数量积）翻译成坐标等式。
向量条件用坐标运算展开后，往往可与韦达定理整体代入，避免分别求出两个交点坐标。
涉及焦点时优先使用定义： 或 ，可大幅化简运算。
【例题精讲】
1．已知椭圆 的两焦点为 、，点 P 在椭圆上且 ，则 P 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆 上一点 P 与两焦点 、，若 ，则 的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
3．椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 P 在椭圆上，若 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．2
【变式训练】
1．椭圆 上一点 P 与两焦点 、，若 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
2．抛物线 上一点 P 的横坐标为 4，焦点为 F，O 为原点，则 （ ）
A．4 B．8 C．2 D．16
3．双曲线 的右支上一点 P 到左焦点的距离的最小值为（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
4．椭圆 上一点 P 与两焦点构成的三角形面积为 ，则 P 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线 的焦点弦 AB 满足 、，O 为原点，则 （ ）
A． B．1 C．3 D．
6．椭圆 上一点 P 与两焦点 、，则 的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【巩固练习】
1．椭圆 上一点 P 与两焦点，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．抛物线 上一点 ，焦点为 F，O 为原点，则 （ ）
A．1 B．2 C．0 D．
3．双曲线 的两焦点为 、，点 P 在右支上且 ，则 （ ）
A．2 B．10 C．4 D．8
4．椭圆 上一点与两焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．6
5．抛物线 上一点 P 的横坐标为 2，焦点为 F，O 为原点，则 （ ）
A．4 B．8 C．2 D．16
6．椭圆 上一点 P 与两焦点 、，若 ，则 P 到 轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线 上一点 P 到焦点的距离为 5，则直线 PF 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．椭圆 上一点 P 的横坐标为 1，则 （ ）
A． B． C． D．
三、达标检测（共14题，建议限时40分钟）
【单项选择题】
1．双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，则 （ ）
A．8 B． C．4 D．6
4．椭圆 上一点到点 的距离的最大值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．
5．双曲线 上一点到两条渐近线的距离之积为（ ）
A． B． C． D．1
6．抛物线 的焦点弦 AB 的两个端点的横坐标之积为（ ）
A．1 B．4 C．2 D．
7．椭圆 上一点与两焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．是否存在实数 ，使直线 与双曲线 有两个公共点？（ ）
A．存在， B．不存在 C．存在， D．存在，
【多项选择题】
9．关于抛物线 （）的焦点弦 AB，下列说法正确的有（ ）
A． B． C．弦长的最小值为 2p D．
10．关于圆锥曲线的基本量，下列说法正确的有（ ）
A．椭圆中 B．双曲线中 C．椭圆的离心率小于 1 D．双曲线的离心率大于 1
11．关于直线与圆锥曲线的位置关系，下列说法正确的有（ ）
A．与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点
B．与抛物线对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点
C．相切时消元所得方程的判别式为 0
D．判别式大于 0 时一定有两个公共点
【填空题】
12．椭圆 的离心率为 。
13．抛物线 的焦点到准线的距离为 。
14．双曲线 的焦点到渐近线的距离为 。
（答案与逐题详解见《解析版》）
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$专题27 圆锥曲线综合 2027届高考数学辅导一轮复习讲义
专题27 圆锥曲线的综合应用
一、核心知识
1．三类圆锥曲线的基本量：椭圆 、；双曲线 、；抛物线焦点到准线的距离为 。
2．求标准方程的通法：先由焦点位置（或对称轴与开口方向）确定方程形式，再用待定系数法代入已知条件解出参数。
3．直线与圆锥曲线联立后消元，写出的两根之和与两根之积（韦达定理）是处理弦长、弦中点、面积、定值等问题的共同起点。
4．弦长公式：；过焦点的抛物线弦还可用 。
5．弦中点问题用点差法：把两端点代入曲线方程作差，可直接得到弦所在直线的斜率与中点坐标的关系。
6．抛物线焦点弦的两个常用结论：、；且 为定值。
7．圆锥曲线上的点到两焦点距离的规律：椭圆上为定值 2a，双曲线上之差的绝对值为定值 2a，由此可把距离问题转化为坐标问题。
8．焦点三角形面积：椭圆中 ；双曲线中 （ 为两焦半径的夹角）。
9．最值与范围问题的三条主线：参数法（设参数化为函数）、几何法（用定义与几何性质转化）、判别式法（由方程有解反推范围）。
10．定点与定值问题的通法：设出动直线（或动点）的参数，求出相关量含参数的表达式，化简后消去参数即可得到与参数无关的点或值。
11．存在性问题先假设存在，设出待定量列方程（组），有解后再检验是否满足隐含条件（交点个数、分母不为 0 等）。
12．解综合题的一般顺序：先把几何条件翻译成代数等式，再整体代入韦达定理，最后化简求值；运算量大时要先化简再代入。
二、题型精练
题型一 圆锥曲线的基本量与方程求解
【方法与技巧】
求标准方程常用待定系数法：先由焦点位置确定方程形式，再代入已知条件（过定点、离心率、渐近线等）解出参数。
抓住基本量之间的关系：椭圆 、双曲线 、抛物线的 是焦点到准线的距离。
离心率与渐近线是双曲线的两个“指纹”，常与 、、 的齐次关系式结合，化为关于 的方程求解。
【例题精讲】
1．中心在原点、焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 得 ，。代入点 ：，得 、，故方程为 。选 A。
2．与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设所求方程为 ，代入 得 ，故 ，即 。选 A。
3．顶点在原点、对称轴为 轴，且经过点 的抛物线标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对称轴为 轴，设为 ；代入 得 ，，故方程为 。选 A。
【变式训练】
1．椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，。选 A。
2．双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】、，，故渐近线为 。选 A。
3．抛物线 （）的焦点为 ，则 （ ）
A．6 B．3 C．12 D．
【答案】A
【详解】 得 。选 A。
4．椭圆 的焦距为 2，则 （ ）
A．3 或 5 B．3 C．5 D．4
【答案】A
【详解】焦距为 2 即 、。若 ，则 得 ；若 ，则 得 。故 或 5。选 A。
5．双曲线 的一条渐近线为 ，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】， 得 ，，。选 A。
6．抛物线 的焦点到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】抛物线焦点为 ，双曲线渐近线为 即 ∓，距离为 。选 A。
【巩固练习】
1．椭圆 的焦距为（ ）
A．6 B．3 C．8 D．10
【答案】A
【详解】，，焦距为 6。选 A。
2．双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】、、，。选 A。
3．抛物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 得 ，开口向下时准线为 。选 A。
4．椭圆 的离心率为 ，则 （ ）
A．4 或 B．4 C． D．5
【答案】A
【详解】若 ，则 得 ；若 ，则 得 ，。选 A。
5．双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【详解】渐近线为 3x∓，焦点 到它的距离为 （即虚半轴长 ）。选 A。
6．抛物线 上一点到焦点的距离为 3，则该点到准线的距离为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【详解】由抛物线的定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，即为 3。选 A。
7．中心在原点、焦点在 轴上，且 、 的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，焦点在 轴上，故为 。选 A。
8．若双曲线 的离心率为 ，且实轴长为 6，则其焦距为（ ）
A．10 B．5 C．8 D．6
【答案】A
【详解】 得 ，，焦距为 。选 A。
题型二 直线与圆锥曲线的综合（弦长与面积）
【方法与技巧】
联立直线与曲线方程消元，写出两根之和与两根之积，是处理弦长、弦中点、面积问题的通用起点。
弦长公式 ；若直线过抛物线焦点，还可用 直接求。
面积问题常用分割法：（ 为第三个顶点到直线 AB 的距离），或沿坐标轴把三角形分割求和。
【例题精讲】
1．直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，则 （ ）
A．8 B．4 C．6 D．
【答案】A
【详解】联立得 ，即 ，故 、，。选 A。
2．直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】联立得 ，、，故 ，。选 A。
3．抛物线 与过焦点的直线交于 A、B 两点，若 ，O 为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】A
【详解】由 得 ，直线为 （或 ）。原点 O 到直线 的距离为 ，故 。选 A。
【变式训练】
1．直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，则 （ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【详解】联立得 ，、，，。选 A。
2．直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，则弦 AB 中点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 得中点横坐标为 。选 A。
3．直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，则弦 AB 中点的纵坐标为（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
【答案】A
【详解】由 得 ，中点纵坐标为 2。选 A。
4．抛物线 上两点 A、B 的横坐标之和为 4，若 AB 过焦点，则 （ ）
A．6 B．4 C．8 D．5
【答案】A
【详解】焦点弦长 。选 A。
5．直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】联立得 ，，，故 。选 A。
6．直线 与双曲线 的位置关系是（ ）
A．没有公共点 B．有一个公共点 C．有两个公共点 D．有无数个公共点
【答案】A
【详解】该直线与双曲线的渐近线 重合，故没有公共点。选 A。
【巩固练习】
1．直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】联立得 ，两根为 0 与 ，，故 。选 A。
2．直线 与抛物线 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．过焦点
【答案】C
【详解】联立得 ，即 ，无实根，故相离。选 C。
3．直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，则 （ ）
A． B． C．8 D．
【答案】A
【详解】联立得 ，、，，故 。选 A。
4．直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【详解】，O 到直线 的距离为 ，故 。选 A。
5．椭圆 的弦被点 平分，则该弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】由点差法 。选 A。
6．抛物线 的焦点弦长为 16，则该弦所在直线的倾斜角为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【详解】由 得 ，故倾斜角为 或 。选 B。
7．直线 与椭圆 相切，则 （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【详解】联立得 ，相切要求判别式 ，故 （此时切点为 ）。选 C。
8．过椭圆 的左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆交于 A、B 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】左焦点为 ，直线为 ；联立得 ，，，故 。选 C。
题型三 定点与定值问题
【方法与技巧】
定点问题：设出动直线（或动点）的参数，求出交点坐标（或相关量）含参数的表达式，再消去参数找出与参数无关的点。
定值问题：把目标量化为参数的函数，化简后若参数被约掉即为定值；运算中常用韦达定理整体代入。
常用技巧：先用特殊位置猜出定点或定值，明确方向后再对一般情形作推导，可大幅减少盲目运算。
【例题精讲】
1．抛物线 的焦点弦 AB 的两个端点的横坐标之积为（ ）
A．1 B．4 C．2 D．
【答案】A
【详解】设过焦点的直线为 ，代入 得 ，故 ，。选 A。
2．过抛物线 （）焦点的弦 AB，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由焦半径公式 、，且 ，故 。选 A。
3．椭圆 （）上一点 P 与两焦点 、 构成的三角形满足 ，则其面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由焦点三角形面积公式 ，代入 得 。选 A。
【变式训练】
1．抛物线 的焦点弦 AB 的两个端点的纵坐标之积为（ ）
A． B．4 C． D．16
【答案】A
【详解】由焦点弦结论 ，，故为 。选 A。
2．过抛物线 焦点的弦 AB，若点 A 的横坐标为 1，则点 B 的横坐标为（ ）
A．1 B．4 C．2 D．
【答案】A
【详解】由 且 得 ，此时弦为通径。选 A。
3．椭圆 上一点 P 与两焦点构成直角三角形（），则 的面积为（ ）
A．16 B．9 C．25 D．20
【答案】A
【详解】。选 A。
4．双曲线 （，）的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】渐近线为 ∓，焦点 到它的距离为 。选 A。
5．以抛物线 （）的焦点弦 AB 为直径的圆与准线的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【详解】弦 AB 的中点到准线的距离为 ，恰等于圆的半径，故圆与准线相切。选 A。
6．椭圆 上一点到两焦点的距离之和为（ ）
A．4 B．2 C． D．6
【答案】A
【详解】由椭圆的定义，该和为 。选 A。
【巩固练习】
1．抛物线 的焦点弦 AB 满足 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．4 D．
【答案】A
【详解】由 ，即 ，得 。选 A。
2．过抛物线 焦点的弦 AB，若 ，则该弦与对称轴的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．成 角 D．成 角
【答案】A
【详解】通径是最短的焦点弦，长为 ，故该弦为通径，垂直于对称轴。选 A。
3．椭圆 上一点与两焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【详解】，其中 、，故最大值为 。选 A。
4．双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．
【答案】A
【详解】焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 。选 A。
5．以抛物线 的焦点弦 AB 为直径的圆与准线（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．过原点
【答案】A
【详解】由定点结论，以焦点弦为直径的圆恒与准线相切。选 A。
6．椭圆 上一点 P 与两焦点 、， 取最大值时，P 在（ ）
A．短轴端点 B．长轴端点 C．椭圆上任意位置 D．不存在这样的点
【答案】A
【详解】 为定值，和一定时积在两数相等时最大，此时 P 在短轴端点。选 A。
7．抛物线 （）的焦点弦 AB 中， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，等号在通径时取到。选 A。
8．椭圆 上一点 P 与两焦点构成的三角形的周长为（ ）
A．6 B．4 C．5 D．8
【答案】A
【详解】周长为 。选 A。
题型四 最值与范围问题
【方法与技巧】
参数法：用一个参数表示动点坐标（如椭圆上的点设为 ），把目标量化为三角函数求最值。
函数法：把目标量表示为某个变量的二次函数（或有理函数），结合变量的取值范围（常由曲线范围或判别式给出）求最值。
几何法：利用定义把距离和或距离差转化为折线段，再用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等几何结论求解。
【例题精讲】
1．椭圆 上一点到点 的距离的最大值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．
【答案】A
【详解】设 ，，当 时取最大值 25，故最大距离为 5。选 A。
2．抛物线 上一点到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】设 ，则 。选 A。
3．双曲线 上一点到两条渐近线的距离之积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】渐近线为 ∓，距离之积为 ；由曲线方程 ，故积为 ，是一个与点的位置无关的定值。选 A。
【变式训练】
1．椭圆 上一点到点 的距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
【详解】由 ，当 时取最小值 1，故最小距离为 1。选 A。
2．抛物线 上一点到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【详解】直线 与抛物线交于 与 ，故最小距离为 0。选 C。
3．椭圆 上一点到两焦点距离之积的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．1 D．2
【答案】A
【详解】两距离之和为 ，和一定时积在两者相等（均为 2）时最大，最大值为 4。选 A。
4．抛物线 上一点 P 到焦点与到点 的距离之和的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
【答案】A
【详解】 等于 P 到准线 的距离，故 的最小值为 到准线的距离 。选 A。
5．双曲线 的右支上一点到右焦点的最小距离为（ ）
A．2 B．1 C．5 D．3
【答案】A
【详解】右支上点到右焦点的最小距离为 （在右顶点处取到）。选 A。
6．抛物线 上一点到其准线与到直线 的距离之和的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
【答案】A
【详解】到准线 的距离为 ；当 时到 的距离为 ，和为 4；当 时和为 。故最小值为 4。选 A。
【巩固练习】
1．椭圆 上一点到右焦点的距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【详解】最小距离为 （在右顶点处取到）。选 A。
2．抛物线 上一点到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 ，。选 C。
3．椭圆 上一点到两焦点距离之积的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．1 D．2
【答案】A
【详解】两距离之和为 4，和一定时积的最大值为 。选 A。
4．抛物线 上一点 P 到焦点与到点 的距离之和的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【详解】转化为点 到准线 的距离，即 。选 A。
5．双曲线 上一点到两条渐近线的距离之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】渐近线为 ∓，距离之积为 ；由曲线方程 ，故积为 。选 A。
6．抛物线 （）上一点到焦点距离的最小值为（ ）
A． B． C．2p D．0
【答案】A
【详解】顶点到焦点的距离最小，为 。选 A。
7．椭圆 上一点与两焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）
A．12 B．6 C．20 D．24
【答案】A
【详解】，其中 、，故最大值为 12。选 A。
8．抛物线 上一点到点 的距离的最小值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
【答案】A
【详解】点 即焦点，最小距离为顶点到焦点的距离 。选 A。
题型五 存在性与探究性问题
【方法与技巧】
存在性问题先“假设存在”，设出待定的点或直线参数，由题设条件列出方程（组），再看是否有解。
求出解后必须检验是否满足隐含条件：点在曲线上、直线与曲线确有两个交点、分母不为 0 等。
探究“是否存在定值”时，可先计算几个特殊情形，若结果相同再作一般性推导，方向明确后可少走弯路。
【例题精讲】
1．椭圆 上是否存在点 P，使得 （、 为焦点）？（ ）
A．存在，且有四个 B．不存在 C．存在且只有两个 D．存在且只有一个
【答案】A
【详解】 说明 P 在以 为直径的圆 上；与椭圆联立得 ，即 ，，对应四个点。选 A。
2．是否存在实数 ，使直线 与双曲线 只有一个公共点？（ ）
A．存在， 或 B．不存在 C．存在， D．存在，
【答案】A
【详解】联立得 。当 即 时化为一次方程，只有一个解；当 时令 得 。故选 A。
3．抛物线 上是否存在点 P，使 P 到焦点 F 与到点 的距离之和取到最小值 4？（ ）
A．存在，此时 P 的纵坐标为 2 B．不存在 C．存在，此时 P 的横坐标为 3 D．存在，此时 P 为顶点
【答案】A
【详解】 等于 P 到准线 的距离，故和的最小值为 A 到准线的距离 ；取到时 AP 垂直于准线，即 P 的纵坐标为 2（横坐标为 1）。选 A。
【变式训练】
1．是否存在直线与抛物线 只有一个公共点且不与对称轴平行？（ ）
A．存在，即抛物线的切线 B．不存在 C．存在，有无数条 D．无法确定
【答案】A
【详解】抛物线的每条切线都只有一个公共点且不平行于对称轴，故存在（事实上切线有无数条，但选项中 A 的描述正确）。选 A。
2．椭圆 上是否存在点到两焦点的距离相等？（ ）
A．存在，为短轴端点 B．不存在 C．存在，为长轴端点 D．存在，且有四个
【答案】A
【详解】到两焦点距离相等的点在中垂线（即 轴）上，与椭圆交于短轴端点 。选 A。
3．双曲线 上是否存在点到两焦点的距离相等？（ ）
A．不存在 B．存在，为顶点 C．存在，且有两个 D．存在，且有四个
【答案】A
【详解】到两焦点距离相等的点在 轴上，即 ；但双曲线 上没有横坐标为 0 的点，故不存在。选 A。
4．是否存在实数 ，使直线 与椭圆 相切？（ ）
A．存在， B．不存在 C．存在， D．存在，
【答案】A
【详解】联立得 ，令 ，得 。选 A。
5．抛物线 上是否存在三点共线？（ ）
A．不存在 B．存在 C．只有两个点 D．无法确定
【答案】A
【详解】任意直线与抛物线最多有两个公共点，故抛物线上不存在三点共线。选 A。
6．椭圆 上是否存在点 P，使 ？（ ）
A．存在 B．不存在 C．只有长轴端点 D．只有短轴端点
【答案】A
【详解】在短轴端点处 ，在长轴端点处该角趋于 ，由连续性知 一定可以取到。选 A。
【巩固练习】
1．是否存在实数 ，使直线 与双曲线 有两个公共点？（ ）
A．存在， B．不存在 C．存在， D．存在，
【答案】A
【详解】联立得 ，要有两个解需 ，即 。选 A。
2．椭圆 上是否存在点 P，使 为等腰三角形？（ ）
A．存在 B．不存在 C．只有长轴端点 D．只有短轴端点
【答案】A
【详解】短轴端点处 ，构成等腰三角形，故存在。选 A。
3．抛物线 上是否存在点 P，使 P 到焦点与到点 的距离相等？（ ）
A．存在 B．不存在 C．只有顶点 D．只有焦点
【答案】A
【详解】设 ，由 与 联立得 ，即 ，；代入得 或 ，均有对应的点，故存在。选 A。
4．是否存在实数 ，使直线 与抛物线 相切？（ ）
A．存在， B．不存在 C．存在， D．存在，
【答案】A
【详解】联立得 ，令 ，得 。选 A。
5．椭圆 上是否存在点，使该点到两焦点距离之差为 1？（ ）
A．存在 B．不存在 C．只有长轴端点 D．只有短轴端点
【答案】A
【详解】长轴端点处差为 ，短轴端点处差为 0，由连续性知差值 1 可以取到。选 A。
6．是否存在实数 ，使方程 表示焦点在 轴上的椭圆？（ ）
A．存在， B．不存在 C．存在， D．存在，
【答案】A
【详解】焦点在 轴上要求 ，故存在，且 。选 A。
7．抛物线 上是否存在两点 A、B，使 AB 过焦点且 ？（ ）
A．不存在，焦点弦最短为 4 B．存在 C．有无数对 D．只有一对
【答案】A
【详解】抛物线的焦点弦最短为通径 ，故不存在长为 3 的焦点弦。选 A。
8．是否存在实数 ，使直线 与椭圆 没有公共点？（ ）
A．存在， B．不存在 C．存在， D．存在，
【答案】A
【详解】联立得 ，令 ，得 。选 A。
题型六 圆锥曲线与向量的交汇
【方法与技巧】
综合题常把圆锥曲线与向量、三角结合，关键是先把几何条件（垂直、共线、数量积）翻译成坐标等式。
向量条件用坐标运算展开后，往往可与韦达定理整体代入，避免分别求出两个交点坐标。
涉及焦点时优先使用定义： 或 ，可大幅化简运算。
【例题精讲】
1．已知椭圆 的两焦点为 、，点 P 在椭圆上且 ，则 P 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 知 P 在圆 上，与椭圆联立得 ，故 。选 A。
2．椭圆 上一点 P 与两焦点 、，若 ，则 的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】。选 A。
3．椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 P 在椭圆上，若 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【详解】由定义 ，又 ，两式相加得 ，故 。选 A。
【变式训练】
1．椭圆 上一点 P 与两焦点 、，若 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】A
【详解】此时三角形为直角三角形，；又 ，故积为 2。选 A。
2．抛物线 上一点 P 的横坐标为 4，焦点为 F，O 为原点，则 （ ）
A．4 B．8 C．2 D．16
【答案】A
【详解】、，故 。选 A。
3．双曲线 的右支上一点 P 到左焦点的距离的最小值为（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【详解】右支上点到左焦点的距离随横坐标增大而增大，故在右顶点 处取最小值 。选 A。
4．椭圆 上一点 P 与两焦点构成的三角形面积为 ，则 P 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，得 。选 A。
5．抛物线 的焦点弦 AB 满足 、，O 为原点，则 （ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【详解】。选 A。
6．椭圆 上一点 P 与两焦点 、，则 的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【详解】设 ，则 ；当 时取最小值 。选 A。
【巩固练习】
1．椭圆 上一点 P 与两焦点，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】由 得 。选 A。
2．抛物线 上一点 ，焦点为 F，O 为原点，则 （ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】A
【详解】，故 。选 A。
3．双曲线 的两焦点为 、，点 P 在右支上且 ，则 （ ）
A．2 B．10 C．4 D．8
【答案】A
【详解】由 且 ，得 。选 A。
4．椭圆 上一点与两焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【详解】，而 ，故最大值为 。选 A。
5．抛物线 上一点 P 的横坐标为 2，焦点为 F，O 为原点，则 （ ）
A．4 B．8 C．2 D．16
【答案】A
【详解】、，故 。选 A。
6．椭圆 上一点 P 与两焦点 、，若 ，则 P 到 轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由前面的结论，此时 ，即为 P 到 轴的距离。选 A。
7．抛物线 上一点 P 到焦点的距离为 5，则直线 PF 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 得 、；又 ，故斜率为 。选 A。
8．椭圆 上一点 P 的横坐标为 1，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，代入 得 。选 A。
三、达标检测（共14题，建议限时40分钟）
【单项选择题】
1．双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】、、，。选 A。
2．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 得 ，焦点为 。选 A。
3．直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，则 （ ）
A．8 B． C．4 D．6
【答案】A
【详解】联立得 ，、，故 。选 A。
4．椭圆 上一点到点 的距离的最大值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．
【答案】A
【详解】设 ，，当 时取最大值 25，故最大距离为 5。选 A。
5．双曲线 上一点到两条渐近线的距离之积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】该积为 ，是与点的位置无关的定值。选 A。
6．抛物线 的焦点弦 AB 的两个端点的横坐标之积为（ ）
A．1 B．4 C．2 D．
【答案】A
【详解】由焦点弦结论 ，，故为 1。选 A。
7．椭圆 上一点与两焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，故最大值为 。选 A。
8．是否存在实数 ，使直线 与双曲线 有两个公共点？（ ）
A．存在， B．不存在 C．存在， D．存在，
【答案】A
【详解】联立得 ，需 ，即 。选 A。
【多项选择题】
9．关于抛物线 （）的焦点弦 AB，下列说法正确的有（ ）
A． B． C．弦长的最小值为 2p D．
【答案】ABCD
【详解】A、B 是焦点弦的两个基本结论，C 中最小值即通径长 2p，D 是由焦半径公式推出的定值结论，四项都正确。故选 ABCD。
10．关于圆锥曲线的基本量，下列说法正确的有（ ）
A．椭圆中 B．双曲线中 C．椭圆的离心率小于 1 D．双曲线的离心率大于 1
【答案】ABCD
【详解】A、B 分别是椭圆与双曲线的参数关系，C、D 是离心率的取值范围，四项都正确。故选 ABCD。
11．关于直线与圆锥曲线的位置关系，下列说法正确的有（ ）
A．与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点
B．与抛物线对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点
C．相切时消元所得方程的判别式为 0
D．判别式大于 0 时一定有两个公共点
【答案】ABC
【详解】D 错误：若消元后二次项系数为 0，方程退化为一次方程，此时只有一个公共点；A、B、C 均正确。故选 ABC。
【填空题】
12．椭圆 的离心率为 。
【答案】
【详解】、、，。
13．抛物线 的焦点到准线的距离为 。
【答案】2
【详解】焦点到准线的距离就是 ，由 得 。
14．双曲线 的焦点到渐近线的距离为 。
【答案】4
【详解】双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 。
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