专题30 圆锥曲线综合专项训练-2027届高考数学一轮复习（新高考全国卷）

专题30　圆锥曲线综合 群哥高中数学辅导资料 专题30　圆锥曲线综合 一、核心知识 椭圆的定义 双曲线的定义 抛物线的定义 椭圆的 a,b,c 双曲线的 a,b,c 弦长公式 焦点三角形面积 焦点三角形周长 点差法（椭圆） 点差法（双曲线） 抛物线焦点弦定值 抛物线的参数表示 椭圆的参数表示 二、题型精练 题型一　轨迹方程的求法 【方法与技巧】 求轨迹方程先判断类型：到两定点距离之和为常数是椭圆，差的绝对值为常数是双曲线，到定点与定直线距离相等是抛物线。 用定义求轨迹要同时验证『常数小于两定点距离』（椭圆）或『大于 且小于两定点距离』（双曲线），否则轨迹不存在或退化。 相关点法（代入法）的关键：设出动点 与已知轨迹上的点 的关系，反解出 再代入。 求完轨迹方程一定要写范围：定义法得到的方程往往只对应曲线的一部分，多余的部分要舍去。 【例题精讲】 1．到两定点 、 的距离之和等于 的点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】轨迹是焦点在 轴的椭圆， 得 ，，故 ，方程为 。故选：A。 2．到点 与直线 的距离相等的点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线定义，焦点为 、准线为 ，故 即 ，方程为 。故选：B。 3．到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】轨迹是双曲线， 得 ，，故 ，方程为 。故选：D。 【变式训练】 1．到两定点 、 的距离之和等于 的点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ，，故 ，方程为 。故选：A。 2．焦点为 、准线为 的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 得 ，开口向上，方程为 。故选：B。 3．到点 与直线 的距离相等的点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 得 ，方程为 。故选：B。 4．到两定点 、 距离相等的点的轨迹是（　　） A．一个圆 B．一个椭圆 C．一条抛物线 D．一条直线 【答案】D 【详解】到两点距离相等的点是线段 的垂直平分线，为直线 。故选：D。 5．到定点 的距离等于 的点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】轨迹是以 为圆心、 为半径的圆。故选：C。 6．用定义法求轨迹方程时，最后一步是（　　） A．直接写出方程即可 B．把方程化成一般式 C．求出所有参数 D．检验并注明变量的取值范围 【答案】D 【详解】定义法得到的方程可能对应多余的部分，必须检验并注明范围。故选：D。 【巩固练习】 1．到两定点 、 的距离之和等于 的点 的轨迹方程为______．　　　　 【答案】 【详解】，，故 ，方程为 。故答案为：。 2．到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 得 ，，故 ，焦点在 轴，方程为 。故选：C。 3．到点 与直线 的距离相等的点的轨迹方程为______．　　　　 【答案】 【详解】焦点 、准线 ，开口向下， 得 ，方程为 。故答案为：。 4．到两定点 、 的距离之和等于 的点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 ，方程为 。故选：A。 5．到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹方程为______．　　　　 【答案】 【详解】，，故 ，方程为 。故答案为：。 6．到点 与直线 的距离相等的点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ，开口向上，方程为 。故选：A。 7．已知点 到点 的距离比到直线 的距离大 ，则 的轨迹方程为______．　　　　 【答案】 【详解】到 的距离等于到直线 的距离，故轨迹为 。故答案为：。 8．关于求轨迹方程，下列说法正确的是（　　） A．只需列等式不需要检验 B．轨迹一定是完整的圆锥曲线 C．要先判断曲线的类型再选方法 D．参数法不能用于圆锥曲线 【答案】C 【详解】先判断类型是选方法的前提；B、C、D 均错误。故选：C。 题型二　离心率问题 【方法与技巧】 离心率是 三者的综合指标：椭圆 ，双曲线 ，抛物线 。 椭圆离心率越大越扁，双曲线离心率越大开口越阔，把几何直观与公式对应起来记得更牢。 共焦点的椭圆与双曲线常一起考：设共同的 ，再用各自的 表达 ，条件就能串起来。 求离心率常要构造关于 的齐次方程，两边同除以 的最高次幂即可得到关于 的方程。 【例题精讲】 1．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，故 ，。故选：B。 2．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，故 。故选：B。 3．抛物线的离心率为（　　） A． B．大于 C．小于 D． 【答案】D 【详解】抛物线的离心率恒为 。故选：D。 【变式训练】 1．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，故 ，。故选：B。 2．若双曲线（焦点在 轴）的离心率为 ，则其渐近线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 ，。故选：B。 3．椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆中 ；双曲线中 ，故 得 。故选：C。 4．若椭圆的离心率为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 ，即 。故选：C。 5．椭圆 （）的离心率 满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆中 ，故 。故选：B。 6．若双曲线的实半轴长与虚半轴长相等，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 时 ，故 。故选：D。 【巩固练习】 1．椭圆 的离心率为______．　　　　 【答案】 【详解】，，故 。故答案为：。 2．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，故 。故选：D。 3．椭圆 的离心率为 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】，，故 。故答案为：。 4．若双曲线的离心率为 ，实半轴长为 ，则其虚半轴长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选：A。 5．椭圆 的离心率为______．　　　　 【答案】 【详解】，，故 。故答案为：。 6．若椭圆的离心率越大，则椭圆（　　） A．越扁 B．越圆 C．面积越大 D．焦距越小 【答案】A 【详解】 越大说明 越接近 、 越小，椭圆越扁。故选：A。 7．双曲线 的离心率为______．　　　　 【答案】 【详解】，，故 。故答案为：。 8．关于三种圆锥曲线的离心率，下列说法正确的是（　　） A．椭圆 ，双曲线 B．椭圆 ，抛物线 ，双曲线 C．三者离心率都可以等于 D．离心率与曲线形状无关 【答案】B 【详解】椭圆、抛物线、双曲线的离心率范围依次是 、、。故选：B。 题型三　弦长与面积问题 【方法与技巧】 弦长公式 ，配韦达定理使用，是解析几何里最常用的一条。 焦点三角形面积 ，当点在上（下）顶点时面积最大。 椭圆上一点与两焦点构成的三角形，周长为 ，这是一个很隐蔽的定值。 求面积优先考虑『底 高』，底常取弦长、高取点到直线的距离，别急着用坐标公式。 【例题精讲】 1．椭圆 的长轴长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，长轴长为 。故选：A。 2．椭圆 上一点 与两焦点构成的三角形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，，面积 ， 最大为 ，故最大面积为 。故选：B。 3．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】代入 得 ，即 ，，弦长为 。故选：C。 【变式训练】 1．椭圆 上一点 与两焦点构成的三角形周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】周长为 。故选：C。 2．椭圆 的短轴长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，短轴长为 。故选：A。 3．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】代入 得 ，即 ，弦长为 。故选：D。 4．抛物线 被直线 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】代入 得 ，只有一个交点，故弦长为 （该直线与对称轴平行）。故选：B。 5．椭圆 的两焦点之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 ，焦距为 。故选：A。 6．过抛物线 焦点的直线交抛物线于 ，若 ，则该直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】焦点弦长 ，即 ，故 。故选：C。 【巩固练习】 1．椭圆 的焦距为______．　　　　 【答案】 【详解】，焦距为 。故答案为：。 2．椭圆 上一点与两焦点构成三角形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，最大面积为 。故选：D。 3．直线 被椭圆 截得的弦长为______．　　　　 【答案】 【详解】代入得 ，即 ，弦长为 。故答案为：。 4．椭圆 的长轴长与短轴长之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】长轴长 、短轴长 ，和为 。故选：D。 5．抛物线 被直线 截得的弦长为______．　　　　 【答案】 【详解】代入得 ，即 ，弦长为 。故答案为：。 6．椭圆 上一点与两焦点构成三角形的面积最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，最大面积为 。故选：B。 7．双曲线 的实轴长为______．　　　　 【答案】 【详解】，实轴长为 。故答案为：。 8．求直线被圆锥曲线截得的弦长时，最常用的方法是（　　） A．直接量图 B．只需求出两个交点即可，与韦达定理无关 C．联立方程后用弦长公式与韦达定理 D．用两点间距离公式逐个代入 【答案】C 【详解】通法是联立后用弦长公式结合韦达定理，不必求出交点的具体坐标。故选：C。 题型四　中点弦与点差法 【方法与技巧】 点差法三步：设两端点代入方程、两式相减、用中点坐标替换和式，直接得到斜率与中点的关系。 椭圆 中，弦的斜率与中点满足 。 双曲线 中，弦的斜率与中点满足 （注意符号与椭圆相反）。 点差法得到的直线还要代回原曲线检验是否有交点（），否则中点可能落在曲线外。 【例题精讲】 1．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点差法 。故选：B。 2．抛物线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点差法 。故选：A。 3．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点差法 。故选：C。 【变式训练】 1．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 2．抛物线 的一条弦的中点纵坐标为 ，则该弦的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 3．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 4．用点差法求得弦所在直线后，还需要（　　） A．直接写出答案 B．再求一次中点 C．求弦长 D．检验该直线与曲线是否有两个交点 【答案】D 【详解】点差法只保证中点关系，必须代回检验 ，否则直线可能与曲线不相交。故选：D。 5．点差法适用于（　　） A．已知弦的中点求弦所在直线的斜率 B．已知弦长求斜率 C．求焦点坐标 D．求离心率 【答案】A 【详解】点差法解决的是中点与斜率的关系问题。故选：A。 6．抛物线 的一条弦的中点纵坐标为 ，则该弦的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 【巩固练习】 1．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 2．抛物线 的一条弦的中点纵坐标为 ，则该弦的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 3．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 4．点差法的第一步是（　　） A．求导数 B．写出弦长公式 C．设出弦的两个端点坐标并分别代入曲线方程 D．求判别式 【答案】C 【详解】点差法的起点是把两端点代入方程后两式相减。故选：C。 5．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 6．抛物线 的一条弦的中点横坐标为 ，则该弦的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点差法 。故选：B。 7．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 8．关于点差法，下列说法错误的是（　　） A．它可以由中点求斜率 B．它利用了两端点代入后相减 C．它需要检验直线与曲线是否相交 D．它可以用来求弦长 【答案】D 【详解】点差法求的是中点与斜率的关系，不能直接求弦长。故选：D。 题型五　定点与定值问题 【方法与技巧】 定点问题的通法：设参数写出直线（或点）的方程，整理成『关于参数的恒等式』，令各系数为零解出定点。 定值问题的通法：把目标量用参数表示，化简后若参数全部消去，即为定值。 焦点弦 是抛物线的经典定值，记住能省很多推导。 证明定值要写在『与参数无关』的结论上，不能只验证一个特殊位置就下结论。 【例题精讲】 1．过抛物线 焦点的直线交抛物线于 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设焦点弦的倾斜角为 ，则 ，，两式倒数和为 。故选：A。 2．抛物线 的焦点弦 满足 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故该值为 。故选：D。 3．椭圆 上一点 与两焦点连线的斜率之积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，结合椭圆方程化简得 ，为定值。故选：B。 【变式训练】 1．抛物线 的焦点弦 满足 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故该值为 。故选：B。 2．过抛物线 焦点的弦中，弦长最短时该弦的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最短的焦点弦是通径，垂直于对称轴，倾斜角为 。故选：A。 3．椭圆 上一点 与两焦点连线斜率之积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点 在椭圆上化简可得 ，为定值。故选：A。 4．证明定值问题的关键步骤是（　　） A．取特殊点代入验证 B．把目标量用参数表示后说明与参数无关 C．求导数 D．画图象观察 【答案】B 【详解】定值必须对所有情形成立，特殊值只能用于检验，不能作为证明。故选：B。 5．抛物线 的焦点弦长为 ，当 时弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故弦长为 。故选：A。 6．以抛物线 的焦点弦为直径的圆（　　） A．过顶点 B．与 轴相切 C．半径为 D．与准线相切 【答案】D 【详解】焦点弦两端点到准线的距离之和等于弦长，故圆心到准线的距离等于半径，圆与准线相切。故选：D。 【巩固练习】 1．抛物线 的焦点弦 中，若 ，则 的值为______．　　　　 【答案】 【详解】由 得 ，故 。故答案为：。 2．抛物线 的焦点弦倾斜角为 时，弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故弦长为 。故选：C。 3．椭圆 上一点与两焦点连线斜率之积为______．　　　　 【答案】 【详解】由定值结论，积为 。故答案为：。 4．关于定点问题，下列做法正确的是（　　） A．随意取两个参数值求交点 B．只需证明一次即可 C．定点一定在坐标轴上 D．把含参数的方程整理成关于参数的恒等式再令系数为零 【答案】D 【详解】定点问题必须写成关于参数的恒等式后解出，特殊值只能用于猜测。故选：D。 5．抛物线 上两点 满足 过焦点，则 的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】由 及基本不等式得 ，当 时取到。故答案为：。 6．椭圆 上一点与两焦点连线斜率之积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该积为 。故选：A。 7．抛物线 的焦点弦长最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】最短焦点弦为通径，长为 。故答案为：。 8．若一个量对直线斜率的所有取值都相同，则该量（　　） A．一定等于 B．是与斜率无关的定值 C．一定等于 D．一定随斜率变化 【答案】B 【详解】与参数无关正是定值的定义。故选：B。 题型六　最值、范围与存在性问题 【方法与技巧】 最值问题优先考虑几何意义：抛物线上的点到焦点的距离常可转化为到准线的距离，把折线和化成直线段。 范围问题常用判别式 、基本不等式或函数单调性，先列出约束条件再解。 存在性问题先假设存在并列方程，有解即存在、无解即不存在，结论必须明确写出来。 参数法处理圆锥曲线上的点很有效：椭圆可设 ，抛物线可设 。 【例题精讲】 1．抛物线 上的点 到焦点与到 轴的距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，到 轴距离为 ，和为 ，当 时最小为 。故选：C。 2．已知椭圆 上一点 到左焦点的距离为 ，则 到右焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由椭圆定义，到两焦点的距离之和为 ，故到右焦点的距离为 。故选：A。 3．椭圆 上点 到左焦点距离的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由焦半径公式，距离为 （），即 ，范围为 。故选：D。 【变式训练】 1．椭圆 上点 到右焦点距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】右焦点距离为 ，当 时最小为 。故选：D。 2．椭圆 的长轴端点与短轴端点之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】长轴端点 、短轴端点 ，距离为 。故选：C。 3．抛物线 上一点到点 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，当 时最小，得 。故选：C。 4．椭圆 上的点到右焦点距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】右顶点到右焦点的距离最小，为 。故选：B。 5．关于存在性问题，下列做法正确的是（　　） A．凭直觉判断 B．先假设存在并列方程，有解即存在 C．一定存在 D．一定不存在 【答案】B 【详解】存在性问题的标准解法是假设存在后列方程，由解的存在性下结论。故选：B。 6．椭圆 上横坐标为 的点到左焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由焦半径公式，距离为 。故选：C。 【巩固练习】 1．椭圆 上点到右焦点距离的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】右顶点到右焦点距离最小，为 。故答案为：。 2．抛物线 上一点到焦点的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】顶点到焦点的距离最小，为 。故选：C。 3．椭圆 上点到左焦点距离的最大值为______．　　　　 【答案】 【详解】距离为 ，当 时最大，为 。故答案为：。 4．椭圆 上点到右焦点距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】距离为 ，当 时最大，为 。故选：B。 5．抛物线 上一点到准线与到点 的距离之和的最小值为______．　　　　 【答案】 【详解】到准线的距离等于到焦点的距离，故和的最小值为 到焦点 的距离 。故答案为：。 6．关于圆锥曲线中的范围问题，下列做法正确的是（　　） A．先把目标量表示成参数的函数，再由约束条件解不等式 B．直接取端点值 C．范围一定是 D．范围与参数无关 【答案】A 【详解】通法是参数化后结合约束条件解不等式。故选：A。 7．椭圆 上点到左焦点距离的取值范围为______．　　　　 【答案】 【详解】距离为 ，范围为 。故答案为：。 8．若存在点 使某条件成立，则对应的方程为（　　） A．有实数解 B．无实数解 C．恒有解 D．解唯一 【答案】A 【详解】存在性等价于所列方程有实数解。故选：A。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．到两定点 、 的距离之和等于 的点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，故 ，焦点在 轴，方程为 。故选：D。 2．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，故 。故选：C。 3．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】距离为 。故选：A。 4．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 5．抛物线 的焦点弦 满足 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故该值为 。故选：A。 6．椭圆 上一点与两焦点构成三角形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，最大面积为 。故选：C。 7．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，故 。故选：D。 8．抛物线 上到焦点与到 轴距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】和为 ，当 时最小为 。故选：C。 【多项选择题】 9．关于求轨迹方程，下列说法正确的是（　　） A．定义法要先判断曲线类型 B．相关点法需要建立动点与已知点的坐标关系 C．求得方程后要注明取值范围 D．轨迹方程一定是整式方程 【答案】ABC 【详解】A、B、C 正确；轨迹方程可以是分式或根式等形式，D 错误。故选：ABC。 10．关于离心率，下列说法正确的是（　　） A．椭圆的离心率小于 B．双曲线的离心率大于 C．抛物线的离心率等于 D．离心率越大椭圆越圆 【答案】ABC 【详解】A、B、C 正确；椭圆离心率越大越扁，D 错误。故选：ABC。 11．关于中点弦与点差法，下列说法正确的是（　　） A．点差法可由弦的中点求斜率 B．椭圆与双曲线的点差法公式符号相反 C．求得直线后要检验是否与曲线相交 D．点差法可以求出弦长 【答案】ABC 【详解】A、B、C 正确；点差法不能求弦长，D 错误。故选：ABC。 【填空题】 12．到点 与直线 的距离相等的点的轨迹方程为______．　　　　 【答案】 【详解】开口向下， 得 ，方程为 。故答案为：。 13．椭圆 的离心率为______．　　　　 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 14．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为______．　　　　 【答案】 【详解】距离为 。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题30　圆锥曲线综合 群哥高中数学辅导资料 专题30　圆锥曲线综合 一、核心知识 椭圆的定义 双曲线的定义 抛物线的定义 椭圆的 a,b,c 双曲线的 a,b,c 弦长公式 焦点三角形面积 焦点三角形周长 点差法（椭圆） 点差法（双曲线） 抛物线焦点弦定值 抛物线的参数表示 椭圆的参数表示 二、题型精练 题型一　轨迹方程的求法 【方法与技巧】 求轨迹方程先判断类型：到两定点距离之和为常数是椭圆，差的绝对值为常数是双曲线，到定点与定直线距离相等是抛物线。 用定义求轨迹要同时验证『常数小于两定点距离』（椭圆）或『大于 且小于两定点距离』（双曲线），否则轨迹不存在或退化。 相关点法（代入法）的关键：设出动点 与已知轨迹上的点 的关系，反解出 再代入。 求完轨迹方程一定要写范围：定义法得到的方程往往只对应曲线的一部分，多余的部分要舍去。 【例题精讲】 1．到两定点 、 的距离之和等于 的点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．到点 与直线 的距离相等的点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 　 　 【变式训练】 1．到两定点 、 的距离之和等于 的点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 2．焦点为 、准线为 的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 3．到点 与直线 的距离相等的点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 4．到两定点 、 距离相等的点的轨迹是（　　） A．一个圆 B．一个椭圆 C．一条抛物线 D．一条直线 5．到定点 的距离等于 的点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 6．用定义法求轨迹方程时，最后一步是（　　） A．直接写出方程即可 B．把方程化成一般式 C．求出所有参数 D．检验并注明变量的取值范围 【巩固练习】 1．到两定点 、 的距离之和等于 的点 的轨迹方程为______．　　　　 2．到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 3．到点 与直线 的距离相等的点的轨迹方程为______．　　　　 4．到两定点 、 的距离之和等于 的点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 5．到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹方程为______．　　　　 6．到点 与直线 的距离相等的点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 7．已知点 到点 的距离比到直线 的距离大 ，则 的轨迹方程为______．　　　　 8．关于求轨迹方程，下列说法正确的是（　　） A．只需列等式不需要检验 B．轨迹一定是完整的圆锥曲线 C．要先判断曲线的类型再选方法 D．参数法不能用于圆锥曲线 题型二　离心率问题 【方法与技巧】 离心率是 三者的综合指标：椭圆 ，双曲线 ，抛物线 。 椭圆离心率越大越扁，双曲线离心率越大开口越阔，把几何直观与公式对应起来记得更牢。 共焦点的椭圆与双曲线常一起考：设共同的 ，再用各自的 表达 ，条件就能串起来。 求离心率常要构造关于 的齐次方程，两边同除以 的最高次幂即可得到关于 的方程。 【例题精讲】 1．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．抛物线的离心率为（　　） A． B．大于 C．小于 D． 　 　 　 【变式训练】 1．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 2．若双曲线（焦点在 轴）的离心率为 ，则其渐近线的斜率为（　　） A． B． C． D． 3．椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．若椭圆的离心率为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．椭圆 （）的离心率 满足（　　） A． B． C． D． 6．若双曲线的实半轴长与虚半轴长相等，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．椭圆 的离心率为______．　　　　 2．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 3．椭圆 的离心率为 ，则 的值为______．　　　　 4．若双曲线的离心率为 ，实半轴长为 ，则其虚半轴长为（　　） A． B． C． D． 5．椭圆 的离心率为______．　　　　 6．若椭圆的离心率越大，则椭圆（　　） A．越扁 B．越圆 C．面积越大 D．焦距越小 7．双曲线 的离心率为______．　　　　 8．关于三种圆锥曲线的离心率，下列说法正确的是（　　） A．椭圆 ，双曲线 B．椭圆 ，抛物线 ，双曲线 C．三者离心率都可以等于 D．离心率与曲线形状无关 题型三　弦长与面积问题 【方法与技巧】 弦长公式 ，配韦达定理使用，是解析几何里最常用的一条。 焦点三角形面积 ，当点在上（下）顶点时面积最大。 椭圆上一点与两焦点构成的三角形，周长为 ，这是一个很隐蔽的定值。 求面积优先考虑『底 高』，底常取弦长、高取点到直线的距离，别急着用坐标公式。 【例题精讲】 1．椭圆 的长轴长为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．椭圆 上一点 与两焦点构成的三角形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．椭圆 上一点 与两焦点构成的三角形周长为（　　） A． B． C． D． 2．椭圆 的短轴长为（　　） A． B． C． D． 3．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 4．抛物线 被直线 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 5．椭圆 的两焦点之间的距离为（　　） A． B． C． D． 6．过抛物线 焦点的直线交抛物线于 ，若 ，则该直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．椭圆 的焦距为______．　　　　 2．椭圆 上一点与两焦点构成三角形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．直线 被椭圆 截得的弦长为______．　　　　 4．椭圆 的长轴长与短轴长之和为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线 被直线 截得的弦长为______．　　　　 6．椭圆 上一点与两焦点构成三角形的面积最大值为（　　） A． B． C． D． 7．双曲线 的实轴长为______．　　　　 8．求直线被圆锥曲线截得的弦长时，最常用的方法是（　　） A．直接量图 B．只需求出两个交点即可，与韦达定理无关 C．联立方程后用弦长公式与韦达定理 D．用两点间距离公式逐个代入 题型四　中点弦与点差法 【方法与技巧】 点差法三步：设两端点代入方程、两式相减、用中点坐标替换和式，直接得到斜率与中点的关系。 椭圆 中，弦的斜率与中点满足 。 双曲线 中，弦的斜率与中点满足 （注意符号与椭圆相反）。 点差法得到的直线还要代回原曲线检验是否有交点（），否则中点可能落在曲线外。 【例题精讲】 1．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．抛物线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 2．抛物线 的一条弦的中点纵坐标为 ，则该弦的斜率为（　　） A． B． C． D． 3．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 4．用点差法求得弦所在直线后，还需要（　　） A．直接写出答案 B．再求一次中点 C．求弦长 D．检验该直线与曲线是否有两个交点 5．点差法适用于（　　） A．已知弦的中点求弦所在直线的斜率 B．已知弦长求斜率 C．求焦点坐标 D．求离心率 6．抛物线 的一条弦的中点纵坐标为 ，则该弦的斜率为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为______．　　　　 2．抛物线 的一条弦的中点纵坐标为 ，则该弦的斜率为（　　） A． B． C． D． 3．双曲线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为______．　　　　 4．点差法的第一步是（　　） A．求导数 B．写出弦长公式 C．设出弦的两个端点坐标并分别代入曲线方程 D．求判别式 5．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 6．抛物线 的一条弦的中点横坐标为 ，则该弦的斜率为（　　） A． B． C． D． 7．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为______．　　　　 8．关于点差法，下列说法错误的是（　　） A．它可以由中点求斜率 B．它利用了两端点代入后相减 C．它需要检验直线与曲线是否相交 D．它可以用来求弦长 题型五　定点与定值问题 【方法与技巧】 定点问题的通法：设参数写出直线（或点）的方程，整理成『关于参数的恒等式』，令各系数为零解出定点。 定值问题的通法：把目标量用参数表示，化简后若参数全部消去，即为定值。 焦点弦 是抛物线的经典定值，记住能省很多推导。 证明定值要写在『与参数无关』的结论上，不能只验证一个特殊位置就下结论。 【例题精讲】 1．过抛物线 焦点的直线交抛物线于 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．抛物线 的焦点弦 满足 的值为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．椭圆 上一点 与两焦点连线的斜率之积为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．抛物线 的焦点弦 满足 的值为（　　） A． B． C． D． 2．过抛物线 焦点的弦中，弦长最短时该弦的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 3．椭圆 上一点 与两焦点连线斜率之积为（　　） A． B． C． D． 4．证明定值问题的关键步骤是（　　） A．取特殊点代入验证 B．把目标量用参数表示后说明与参数无关 C．求导数 D．画图象观察 5．抛物线 的焦点弦长为 ，当 时弦长为（　　） A． B． C． D． 6．以抛物线 的焦点弦为直径的圆（　　） A．过顶点 B．与 轴相切 C．半径为 D．与准线相切 【巩固练习】 1．抛物线 的焦点弦 中，若 ，则 的值为______．　　　　 2．抛物线 的焦点弦倾斜角为 时，弦长为（　　） A． B． C． D． 3．椭圆 上一点与两焦点连线斜率之积为______．　　　　 4．关于定点问题，下列做法正确的是（　　） A．随意取两个参数值求交点 B．只需证明一次即可 C．定点一定在坐标轴上 D．把含参数的方程整理成关于参数的恒等式再令系数为零 5．抛物线 上两点 满足 过焦点，则 的最小值为______．　　　　 6．椭圆 上一点与两焦点连线斜率之积为（　　） A． B． C． D． 7．抛物线 的焦点弦长最小值为______．　　　　 8．若一个量对直线斜率的所有取值都相同，则该量（　　） A．一定等于 B．是与斜率无关的定值 C．一定等于 D．一定随斜率变化 题型六　最值、范围与存在性问题 【方法与技巧】 最值问题优先考虑几何意义：抛物线上的点到焦点的距离常可转化为到准线的距离，把折线和化成直线段。 范围问题常用判别式 、基本不等式或函数单调性，先列出约束条件再解。 存在性问题先假设存在并列方程，有解即存在、无解即不存在，结论必须明确写出来。 参数法处理圆锥曲线上的点很有效：椭圆可设 ，抛物线可设 。 【例题精讲】 1．抛物线 上的点 到焦点与到 轴的距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．已知椭圆 上一点 到左焦点的距离为 ，则 到右焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．椭圆 上点 到左焦点距离的取值范围为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．椭圆 上点 到右焦点距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．椭圆 的长轴端点与短轴端点之间的距离为（　　） A． B． C． D． 3．抛物线 上一点到点 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．椭圆 上的点到右焦点距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．关于存在性问题，下列做法正确的是（　　） A．凭直觉判断 B．先假设存在并列方程，有解即存在 C．一定存在 D．一定不存在 6．椭圆 上横坐标为 的点到左焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．椭圆 上点到右焦点距离的最小值为______．　　　　 2．抛物线 上一点到焦点的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．椭圆 上点到左焦点距离的最大值为______．　　　　 4．椭圆 上点到右焦点距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线 上一点到准线与到点 的距离之和的最小值为______．　　　　 6．关于圆锥曲线中的范围问题，下列做法正确的是（　　） A．先把目标量表示成参数的函数，再由约束条件解不等式 B．直接取端点值 C．范围一定是 D．范围与参数无关 7．椭圆 上点到左焦点距离的取值范围为______．　　　　 8．若存在点 使某条件成立，则对应的方程为（　　） A．有实数解 B．无实数解 C．恒有解 D．解唯一 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．到两定点 、 的距离之和等于 的点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 2．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 3．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 4．椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦的斜率为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线 的焦点弦 满足 等于（　　） A． B． C． D． 6．椭圆 上一点与两焦点构成三角形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．抛物线 上到焦点与到 轴距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．关于求轨迹方程，下列说法正确的是（　　） A．定义法要先判断曲线类型 B．相关点法需要建立动点与已知点的坐标关系 C．求得方程后要注明取值范围 D．轨迹方程一定是整式方程 10．关于离心率，下列说法正确的是（　　） A．椭圆的离心率小于 B．双曲线的离心率大于 C．抛物线的离心率等于 D．离心率越大椭圆越圆 11．关于中点弦与点差法，下列说法正确的是（　　） A．点差法可由弦的中点求斜率 B．椭圆与双曲线的点差法公式符号相反 C．求得直线后要检验是否与曲线相交 D．点差法可以求出弦长 【填空题】 12．到点 与直线 的距离相等的点的轨迹方程为______．　　　　 13．椭圆 的离心率为______．　　　　 14．抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为______．　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $