专题：直线与圆的方程专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题：直线与圆的方程（分层作业）-2026-2027学年高三数学上学期一轮复习 一．选择题（共6小题） 1．（2026秋•北碚区校级月考）已知直线，则该直线的倾斜角是（　　） A．0° B．30° C．60° D．90° 2．（2026春•黄浦区校级期中）已知圆x2+y2﹣4y﹣1＝0与x2+y2+4x﹣1＝0相交于A、B两点，则公共弦AB的长为（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•河北区期末）若两平行直线x+my+2＝0与2x﹣4y+n＝0（n＞0）之间的距离是，则m+n＝（　　） A．﹣2 B．﹣12 C．12 D．14 4．（2026秋•十堰月考）已知平面直角坐标系中的三个点，过A点与线段BC有公共点的直线为l，则直线l的斜率可以是（　　） A．0 B． C． D．3 5．（2026秋•金凤区校级月考）已知O为坐标原点，过点（2，7）的直线l分别与x，y轴的正半轴交于M，N两点，则当△MON的面积取得最小值时，直线l的方程为（　　） A． B． C． D． 6．（2026•靖边县校级模拟）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0，直线l与圆C交于A，B两点，点P在圆C上，且CP∥AB，，则|AB|＝（　　） A． B． C． D．4 二．多选题（共3小题） （多选）7．（2025秋•西安期末）如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　　） A．k1＜k3＜k2 B．k1＜k2＜k3 C．α1＜α2＜α3 D．α3＜α2＜α1 （多选）8．（2026秋•青铜峡市校级月考）过点P（2，2）且与直线x+2y+1＝0平行的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论正确的是（　　） A．直线AB的方程为x+2y﹣6＝0 B．|PA|：|PB|＝2：1 C．原点到直线AB的距离为 D．线段AB的中点在直线y＝x上 （多选）9．（2026•温江区校级模拟）已知直线l：kx﹣y﹣2k+1＝0与圆M：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，则下列说法正确的是（　　） A．直线l恒过定点（2，1） B．圆M的半径为2 C．存在实数k，使得直线l与圆M相切 D．若k＝﹣1，则直线l被圆M截得的弦长为2 三．填空题（共3小题） 10．（2026秋•重庆校级月考）已知实数x，y满足x2+（y﹣2）2＝4，则的最大值为_______________ ． 11．（2025秋•兰州期末）若A（1，2），B（4，﹣2），若直线l：（m﹣1）x﹣y+1＝0与线段AB有公共点，则实数m的取值范围为____________________ ． 12．（2026秋•郴州月考）已知圆，点A（3，0），Ω是圆C及其内部的点构成的集合，定义集合M＝{P∈Ω||PA|≤3}，则M表示的区域的面积为____________________ ． 四．解答题（共6小题） 13．（2026•苏州模拟）已知点（x，y）满足（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，求： （1）3x+4y的最大值与最小值； （2）（x+1）2+y2的最小值． 14．（2026秋•重庆校级月考）已知直线l1：（m+2）x+y+3＝0与直线l2：3x+my+2m+1＝0． （1）当l1⊥l2时，求实数m的值； （2）当l1∥l2时，求实数m的值． 15．（2026秋•大名县校级月考）已知圆． （1）若直线l经过点（4，3）且与圆C1相切，求直线l的方程； （2）若圆C1与圆C2：（x﹣a）2+（y﹣2a﹣2）2＝1有且只有一条公切线，求实数a的值． 16．（2025秋•四川期末）已知圆心在直线x﹣2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为． （1）若点P（2，3），Q为圆C上一动点，求的最小值； （2）若直线y＝kx+2与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求实数k的值． 17．（2025秋•滁州期末）已知圆C1的圆心在直线：x﹣y+3＝0上，圆C1过点M（﹣3，2），且圆C1与x轴相切，圆C2：（x+1）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）与圆C1内切，切点为A． （1）求圆C1的标准方程； （2）求r的值以及点A的坐标； （3）过点A的直线l与圆C1，C2在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程． 18．（2026春•沙坪坝区校级期末）已知过点H（﹣2，1）且斜率为﹣1的直线被圆O：x2+y2＝r2截得的弦长为． （1）求过点H的圆O的切线方程； （2）已知两定点A（a，2）．B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，（n为常数）． （i）求常数n的值； （ⅱ）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼•闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若C（x1，y1），D（x2，y2），则C、D两点的“曼哈顿距离”为d（C，D）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．若过点E（a，﹣t）作直线l与圆交于M、N两点，且M点恰好是线段NE的中点，又已知点F（t2，1），求d（E，F）的取值范围． 专题：直线与圆的方程（分层作业）-2026-2027学年高三数学上学期一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2026秋•北碚区校级月考）已知直线，则该直线的倾斜角是（　　） A．0° B．30° C．60° D．90° 【解答】解：由题可得直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为α，且0°≤α＜180°， 则， 故α＝60°． 故选：C． 2．（2026春•黄浦区校级期中）已知圆x2+y2﹣4y﹣1＝0与x2+y2+4x﹣1＝0相交于A、B两点，则公共弦AB的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由圆x2+y2﹣4y﹣1＝0与x2+y2+4x﹣1＝0， 两圆方程相减即得x+y＝0， 此为公共弦AB所在的直线方程． 圆x2+y2﹣4y﹣1＝0的圆心C1（0，2），半径． C1到直线AB的距离为， 故公共弦长． 故选：B． 3．（2025秋•河北区期末）若两平行直线x+my+2＝0与2x﹣4y+n＝0（n＞0）之间的距离是，则m+n＝（　　） A．﹣2 B．﹣12 C．12 D．14 【解答】解：因为平行直线x+my+2＝0与2x﹣4y+n＝0（n＞0）之间的距离是， 所以，解得m＝﹣2， 即直线为：x﹣2y+2＝0，即2x﹣4y+4＝0， 故，解得n＝14（n＝﹣6舍）． 所以m+n＝12． 故选：C． 4．（2026秋•十堰月考）已知平面直角坐标系中的三个点，过A点与线段BC有公共点的直线为l，则直线l的斜率可以是（　　） A．0 B． C． D．3 【解答】解：如图所示， 要使过A点的直线l与线段BC有公共点，则直线l的斜率k满足：k≥kAB或k≤kAC， 由点， 可得， 所以k的取值范围为：， 结合选项可得：D符合，ABC不符合． 故选：D． 5．（2026秋•金凤区校级月考）已知O为坐标原点，过点（2，7）的直线l分别与x，y轴的正半轴交于M，N两点，则当△MON的面积取得最小值时，直线l的方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为直线l分别与x，y轴的正半轴交于M，N两点，则设直线l的方程为1，其中a＞0，b＞0， 则M（a，0），N（0，b）， 因为点（2，7）在直线l上，所以1， 因为1≥2，所以ab≥56，当且仅当，即a＝4，b＝14时等号成立， 故SONMab≥28，即△MON面积的最小值为28，此时直线l的方程为1，即yx+14． 故选：D． 6．（2026•靖边县校级模拟）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0，直线l与圆C交于A，B两点，点P在圆C上，且CP∥AB，，则|AB|＝（　　） A． B． C． D．4 【解答】解：圆C：（x﹣1）2+y2＝4，圆的圆心（1，0），圆的半径r＝2，取AB中点M，则CM⊥AB，如图， 记|CM|＝d，AB＝l， 所以， 在Rt△PCM中，由勾股定理，PM2＝4+d2， 可得， 代入消元得：． 故选：B． 二．多选题（共3小题） （多选）7．（2025秋•西安期末）如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　　） A．k1＜k3＜k2 B．k1＜k2＜k3 C．α1＜α2＜α3 D．α3＜α2＜α1 【解答】解：由图象，直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3， 可知3条直线的倾斜角的关系为：， 所以k1＝tanα1＜0，k2＝tanα2＞0，k3＝tanα3＞0， 函数y＝tanx在上单调递增，所以0＜k3＜k2， 综上所述，k1＜k3＜k2． 故选：AD． （多选）8．（2026秋•青铜峡市校级月考）过点P（2，2）且与直线x+2y+1＝0平行的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论正确的是（　　） A．直线AB的方程为x+2y﹣6＝0 B．|PA|：|PB|＝2：1 C．原点到直线AB的距离为 D．线段AB的中点在直线y＝x上 【解答】解：设直线l的方程为x+2y+m＝0，m≠1， 由直线l过点P（2，2），得2+2×2+m＝0，解得m＝﹣6，直线l：x+2y﹣6＝0， 由y＝0时，x＝6得点A（6，0），由x＝0时，y＝3得点B（0，3）， 对于A，直线AB的方程为x+2y﹣6＝0，故A正确； 对于B，因， 则|PA|：|PB|＝2：1，故B正确； 对于C，原点到直线ABx+2y﹣6＝0的距离为，故C正确； 对于D，线段AB的中点为，此时， 故线段AB的中点不在直线y＝x上，故D错误． 故选：ABC． （多选）9．（2026•温江区校级模拟）已知直线l：kx﹣y﹣2k+1＝0与圆M：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，则下列说法正确的是（　　） A．直线l恒过定点（2，1） B．圆M的半径为2 C．存在实数k，使得直线l与圆M相切 D．若k＝﹣1，则直线l被圆M截得的弦长为2 【解答】解：直线l方程可化为y﹣1＝k（x﹣2），可知直线l经过定点（2，1），且斜率为k，故A项正确； 将圆M化成标准方程，可得圆M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，半径r＝2，故B项正确； 将点（2，1）代入圆M的方程，可得22+12﹣2×2﹣4×1+1＝﹣2＜0， 所以（2，1）在圆M的内部，直线l与圆M相交，可知C项不正确； 若k＝﹣1，则直线l：x+y﹣3＝0，圆心（1，2）在直线l：x+y﹣3＝0上， 此时直线l被圆M截得的弦为直径，弦长等于4，故D项不正确． 故选：AB． 三．填空题（共3小题） 10．（2026秋•重庆校级月考）已知实数x，y满足x2+（y﹣2）2＝4，则的最大值为　　 ． 【解答】解：记，则k表示圆x2+（y﹣2）2＝4上的动点P（x，y）与定点连线PA的斜率， 当直线PA与圆相切时k取得最值． 直线PA的方程为，即． 圆心为C（0，2）、半径r＝2，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即，也就是． 两边平方得，化简得，解得k＝0或． 所以k的最大值为． 故答案为：． 11．（2025秋•兰州期末）若A（1，2），B（4，﹣2），若直线l：（m﹣1）x﹣y+1＝0与线段AB有公共点，则实数m的取值范围为　　 ． 【解答】解：将A（1，2）代入直线方程：（m﹣1）•1﹣2+1＝m﹣2， 将B（4，﹣2）代入直线方程：（m﹣1）•4﹣（﹣2）+1＝4m﹣4+2+1＝4m﹣1， 因为直线l：（m﹣1）x﹣y+1＝0与线段AB有公共点， 所以（m﹣2）（4m﹣1）≤0，所以解集为， 即实数m的取值范围为． 故答案为：． 12．（2026秋•郴州月考）已知圆，点A（3，0），Ω是圆C及其内部的点构成的集合，定义集合M＝{P∈Ω||PA|≤3}，则M表示的区域的面积为　　 ． 【解答】解：由题意，可得圆C的圆心为，半径R＝6， 若|PA|≤3，则P点在以A（3，0）为圆心，半径r＝3的圆及其内部， 根据集合M＝{P∈Ω||PA|≤3}，可得M为两圆的公共区域． 两圆的一个交点为原点O，设另一个交点为Q，则OQ为圆A的直径． 因为两圆心横坐标相同，所以AC⊥OQ，， 在Rt△OAC中，|OA|＝3，|OC|＝6＝2|OA|，可得，故， 在圆A中，扇形OAQ的面积， 在圆C中，扇形OCQ的面积， 结合． 可得公共区域的面积． 所以M表示的区域的面积为． 故答案为：． 四．解答题（共6小题） 13．（2026•苏州模拟）已知点（x，y）满足（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，求： （1）3x+4y的最大值与最小值； （2）（x+1）2+y2的最小值． 【解答】解：（1）（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9表示以（3，4）为圆心，3为半径的圆， 设3x+4y＝t，直线与圆有公共点， ∴． ∴tmin＝10，tmax＝40， 即3x+4y的最大值为40，最小值为10． （2）解法一：设x＝3+3cosθ，y＝4+3sinθ， 则（x+1）2+y2＝（4+3cosθ）2+（4+3sinθ）2＝41+24（sinθ+cosθ）， ∴其最小值为． 解法二：设M（x，y）是圆上的点，圆外一点M0（﹣1，0）， 则（x+1）2+y2的几何意义是，而|MM0|最小值是|M0C|﹣r，即． 14．（2026秋•重庆校级月考）已知直线l1：（m+2）x+y+3＝0与直线l2：3x+my+2m+1＝0． （1）当l1⊥l2时，求实数m的值； （2）当l1∥l2时，求实数m的值． 【解答】解：（1）直线 l1：（m+2）x+y+3＝0 与直线 l2：3x+my+2m+1＝0． 当 l1⊥l2 时，3（m+2）+m＝0， 所以． （2）直线 l1：（m+2）x+y+3＝0 与直线 l2：3x+my+2m+1＝0． 当 l1∥l2 时，（m+2）m﹣3＝0， 即m2+2m﹣3＝0，解得m＝﹣3或m＝1． 若m＝﹣3，l1：﹣x+y+3＝0，即x﹣y﹣3＝0； l2：3x﹣3y﹣5＝0，所以l1∥l2． 若m＝1，l1：3x+y+3＝0；l2：3x+y+3＝0． 所以l1与l2重合． 综上所述，m＝﹣3． 15．（2026秋•大名县校级月考）已知圆． （1）若直线l经过点（4，3）且与圆C1相切，求直线l的方程； （2）若圆C1与圆C2：（x﹣a）2+（y﹣2a﹣2）2＝1有且只有一条公切线，求实数a的值． 【解答】解：（1）若直线l斜率不存在，此时l方程为x＝4，满足与圆C1相切； 若直线l斜率存在，则直线l的方程可表示为：y﹣3＝k（x﹣4）， 即kx﹣y+（3﹣4k）＝0， 由直线l与圆相切， 设圆心到直线l的距离为d， 则有， 解得， 此时l的方程为：33x﹣56y+36＝0， 综上可知l方程为：x＝4或33x﹣56y+36＝0． （2）因为圆，可得圆心C1（0，﹣4），半径r1＝4． 又因为圆，可得圆心C2（a，2a+2），半径r2＝1． 所以圆心距，且r1﹣r2＝3， 因为圆C1与圆C2有且只有一条公切线， 所以圆C1与圆C2内切， 所以|C1C2|＝r1﹣r2，得， 解得a＝﹣3或． 16．（2025秋•四川期末）已知圆心在直线x﹣2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为． （1）若点P（2，3），Q为圆C上一动点，求的最小值； （2）若直线y＝kx+2与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求实数k的值． 【解答】解：（1）设圆心C（2b，b）（b＞0），那么半径r＝2b，圆心到x轴的距离为b，因此，所以b＝1， 因此圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4． 设Q（x，y），那么， 又因为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，因此， 又因为4﹣（y﹣1）2＝（x﹣2）2≥0， 所以﹣1≤y≤3，所以， 所以的最小值为0． （2）设N（x2，y2），M（x1，y1）， 联立直线和圆方程可得，化简得（1+k2）x2+（2k﹣4）x+1＝0， 根据Δ＝（2k﹣4）2﹣4（1+k2）＞0， 得，，． 根据OM⊥ON，知， 即， ， 所以k2+8k+5＝0，得，满足Δ＞0， 所以． 17．（2025秋•滁州期末）已知圆C1的圆心在直线：x﹣y+3＝0上，圆C1过点M（﹣3，2），且圆C1与x轴相切，圆C2：（x+1）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）与圆C1内切，切点为A． （1）求圆C1的标准方程； （2）求r的值以及点A的坐标； （3）过点A的直线l与圆C1，C2在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程． 【解答】解：（1）设圆， 由题意可知， 解得a＝﹣1，b＝2，R＝2，因此圆C1的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝4； （2）圆的圆心为（﹣1，2），半径为2， 圆的圆心为（﹣1，4），半径为r， 两圆的圆心距为2，因为两圆内切于点A，因此2＝|2﹣r|，解得r＝4或r＝0（舍去）， 因此圆C2的标准方程为（x+1）2+（y﹣4）2＝16， 联立C1，C2，解得，因此A点的坐标为（﹣1，0）； （3）由题意可知，直线l的斜率显然是存在的且大于0，设直线l的方程为y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0， 圆C1的圆心到直线l距离，根据弦长公式可得， 圆C2的圆心到直线l距离，根据弦长公式可得， 因此，解得k＝1或k＝﹣1（舍去）， 故直线l的方程为x﹣y+1＝0． 18．（2026春•沙坪坝区校级期末）已知过点H（﹣2，1）且斜率为﹣1的直线被圆O：x2+y2＝r2截得的弦长为． （1）求过点H的圆O的切线方程； （2）已知两定点A（a，2）．B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，（n为常数）． （i）求常数n的值； （ⅱ）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼•闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若C（x1，y1），D（x2，y2），则C、D两点的“曼哈顿距离”为d（C，D）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．若过点E（a，﹣t）作直线l与圆交于M、N两点，且M点恰好是线段NE的中点，又已知点F（t2，1），求d（E，F）的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，过点H（﹣2，1）且斜率为﹣1的直线方程为x+y+1＝0， 又圆O（0，0）到该直线的距离为， 所以该直线被圆O截得的弦长为，解得r2＝4， 所以圆O的方程为x2+y2＝4圆心坐标为O（0，0），半径为2， 当过点H（﹣2，1）的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为x＝﹣2； 当切线斜率存在时，设切线方程为y﹣1＝k（x+2），即kx﹣y+2k+1＝0， 由，解得，则切线方程为 3x﹣4y+10＝0， 所以过点H的圆O的切线方程为x＝﹣2或3x﹣4y+10＝0； （2）（i）设点P（x，y），则x2+y2＝4，，， 因为|，所以PA|2＝n2•|PB|2， 所以（x﹣a）2+（y﹣2）2＝n2[（x﹣m）2+（y﹣1）2]， 又x2+y2＝4，化简得2ax+4y﹣a2﹣8＝2mn2x+2n2y﹣m2n2﹣5n2， 因为P为圆O上任意一点， 所以， 又m＞0，n＞0，解得， 所以常数； （ii）由（i）知，a＝2，m＝1，所以点E（2，﹣t），圆， 设M（x0，y0），M是线段NE的中点，则N（2x0﹣2，2y0+t）， 又M，N在圆C1上，即关于x0，y0的方程组有解， 化简得有解， 即直线8x﹣4ty﹣t2﹣7＝0与圆有交点， 则圆心（0，0）到直线的距离， 化简得：t4﹣2t2﹣15＝（t2﹣5）（t2+3）≤0，t2﹣5≤0，解得， 又E（2，﹣t），F（t2，1），由“曼哈顿距离”的定义知E，F两点的“曼哈顿距离”为d（E，F）＝|t2﹣2|+|t+1|． 因为所以 解得，即d（E，F）的取值范围是[． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $