7.2 圆的方程、直线与圆专项训练-2027届高三数学一轮复习

第三编 · U7 解析几何 7.2圆的方程与直线与圆 高中数学一轮复习讲义 一、考情与考点定位 本节先回答三个问题：高考怎么考、必须记准什么、这一讲要练哪几类模型。 （一）高考怎么考 圆在高考里几乎只以小题出现，但它同时是解析几何解答题的“零件”：以线段为直径作圆、点在某圆上、直线与圆相切，都是压轴题里绕不开的一步。小题的落点集中在四件事——求圆的方程、判断位置关系、算弦长、写切线，而表 1 会告诉你哪几件才是现在的重心。 表 1: 高考圆的方程与直线与圆考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅰ卷 11 三个单位圆被同一直线所截，比较三条弦长、讨论直线条数（多选） 2025 全国Ⅰ卷 7 圆上到定直线距离为 1 的点恰有 2 个，求半径的取值范围 2024 全国甲卷（文） 10 含参直线恒过圆内定点，求弦长的最小值 2024 全国甲卷（理） 12 等差中项导出定点，同一模型换个包装再考一次 2024 新课标Ⅱ卷 10 抛物线准线与圆相切、切线长，切线性质的跨模块调用（多选） 2023 新课标Ⅱ卷 15 含参直线截圆，由三角形面积反求参数 表 1 的六道题可以归成两句话。第一，全是选填，而且全部落在“距离”上：2026 年那道考三条弦长的比较，2025 年那道考“到直线距离为 1 的点有几个”，2024 年甲卷文理两题都是“弦长最小值”，解法一律是先把弦长换成圆心到直线的距离。第二，求圆的方程已经不再单独命题，它退成了第 0 步——2026 年那道要先写出三个圆的圆心与半径，2024 年新课标Ⅱ卷那道要先认出准线与圆相切。所以这一讲仍把“定圆”放在模型一，但真正决定得分的是后面三个模型。 含参的两道题还给出同一个信号：参数题一定先找定点。2024 年甲卷那道把 整理成 ，定点 (1,−2) 一露出来，弦长最小值就变成“定点到圆心的距离”；这一类变形是本章最值得练熟的动作。 （二）必备知识清单 表 2 把本讲要用的七块知识压成三列：记什么、记到多准、练到什么程度。“必须记准”一栏里的式子都要能默写，“掌握要求”一栏里的动作都要能独立完成一遍。 表 2: 本讲必备知识清单 知识块 必须记准的内容 掌握要求 标准方程 ，圆心 ，半径 由方程立即读出圆心与半径 一般方程 表示圆 会配方，会判“是不是圆” 点与圆 距离 与 ：外 ，上 ，内 会代入比较 直线与圆 相离， 相切， 相交（等价于 ） 优先用几何法，少用判别式 弦长 ， 为弦心距 会画直角三角形 切线 过圆上一点：垂直半径；切线长 ；切点弦 = 两圆相减 三种情形分得清 圆与圆 与 、 比较；公共弦由两方程相减得到 会求公共弦及其长度 二、知识梳理：把“圆”变成三个可算的量 这一节只做一件事：把关于圆的所有问题，统统归结为圆心、半径、距离三个量之间的比较。圆的一切性质都写在定义里——到定点的距离等于定长，所以只要抓住圆心，题目就只剩算距离。 （一）圆的方程：两种形式，一个动作 标准式 直接给出圆心与半径；一般式 需要配方才能读出它们： 于是圆心为 ，半径 。右边必须为正，否则这个方程只表示一个点或什么都不表示，这一点命题人很喜欢挖坑。 选哪一种形式，由题面条件决定：条件里出现“圆心在某直线上”“半径为多少”“与某直线相切”，用标准式，未知量是 ；条件里出现“过三个点”，用一般式，未知量是 ，三个点正好给出三个方程。 求圆的方程：先问“圆心从哪来” 路线一（几何法）：圆心是两条弦的中垂线的交点，半径是圆心到任一点的距离。 路线二（待定系数）：三点 → 一般式；圆心在定直线上 → 标准式。 两条路线没有高下之分，但几何法常常一步看出圆心：两点横坐标相同，它们的中垂线就是一条水平线；两点纵坐标相同，中垂线就是一条竖直线。 （二）位置关系：全部化成 与 的比较 点与圆：圆心到该点的距离与 比较，得“圆外、圆上、圆内”三种。直线与圆：圆心到直线的距离 与 比较，得“相离、相切、相交”三种。圆与圆：连心距 与 、 比较，得“外离、外切、相交、内切、内含”五种。 用几何法（比 与 ）而不用判别式，理由有两条：一是 只需一次点线距，而 要先联立再化简；二是含参时 是一个干净的分式， 往往是一个四次式。 “有公共点”是三道不等式的合称 直线与圆有公共点 ；只有一个公共点 。 两圆有公共点 。 两圆相交 ，此时两方程相减即得公共弦所在直线。 端点取不取，是这类题唯一真正的失分点：相切算“有公共点”，不算“相交”。 （三）弦长：一个直角三角形 设圆的半径为 ，圆心到弦 的距离为 ，则弦心距、半弦、半径构成直角三角形： 这个式子的几何背景是垂径定理：圆心与弦中点的连线垂直于弦。反过来也成立——弦的中垂线一定过圆心，这是找圆心最常用的工具。弦长随 增大而减小，（直线过圆心）时弦最长，等于直径。 若题目给出的是圆内接三角形的面积，记住同一张图里的三个量就够了： 其中 是圆心 到弦 的距离，也就是三角形 在 边上的高。 （四）切线：三个等量关系 过圆上一点 。切线只有一条，且垂直于半径 。对 有现成写法 ；对一般的圆，就用“”或“”。 过圆外一点 。切线有两条。标准做法是设 ，令 解出 ——但点斜式天然漏掉竖直线，所以解出的 只有一个时，另一条就是 。 切线长与切点弦。从 引切线，切点为 、，则 又因为 ，所以 、、、 四点共圆，且该圆以 为直径。于是切点弦 就是“以 为直径的圆”与原圆的公共弦，两方程相减即得，完全不必求出 、 的坐标。 切线问题的三句话 切线 → （几何法，最省事）。 切线长 → （勾股定理）。 切点弦 → 以 为直径作圆，与已知圆相减。 （五）圆与圆：两个距离、一条公共弦 两圆的位置关系由连心距 决定： 外离， 外切， 相交， 内切， 内含。公切线的条数依次是 4,3,2,1,0。 两圆相交时，把两个方程相减， 与 项同时消去，剩下一条直线——这就是公共弦所在直线。注意前提是两圆确实相交：两圆相离时减出来的直线仍然存在（叫根轴），但它上面并没有公共点。 三、题型模型分类：先认情境，再选工具 圆的题面很短，但“该做什么”由两个特征决定：条件给的是圆心还是距离，问的是存在性还是长度。按这两点分成五个模型。 表 3: 圆的方程与直线与圆的五个模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 定圆 给三个点、给“圆心在某线上”、给半径 两弦中垂线定圆心 例 1 二 · 位置关系 圆是定的，直线含参，问“有公共点” 算 ，解 例 2 三 · 弦长 出现“弦长”“弦的中点”“面积” 例 3 四 · 切线 出现“作切线”“切点 、”“切线长” ；切点弦两圆相减 例 4 五 · 圆上动点 “点 在圆上”＋“最大、最小” 连心线，取 例 5 （一）模型一：定圆——圆心从哪里来 题面把圆说成“过三点的圆”“圆心在直线 上且过点 的圆”“与直线相切且半径为 2 的圆”，都是模型一。识别标志是圆的参数还没定，条件在描述圆心或半径。标准动作：先定圆心（中垂线交点、在定直线上、到定直线距离等于 ），再定半径（圆心到任一点的距离）。易错处是把“三点”直接代进标准式硬解三元二次组，其实先看有没有两点横坐标或纵坐标相同——那会立刻送出一条中垂线。 （二）模型二：位置关系——把“有公共点”翻译成不等式 圆的方程已知，直线里带参数，问“有两个公共点”“相切”“有公共点”，就是模型二。识别标志是圆定线动。标准动作只有一步：把圆心到直线的距离写成参数的函数，再与 比较。易错处有两个：把“有公共点”写成 （漏掉相切），以及解完不等式忘记检查端点是否取到。 （三）模型三：弦长——先算弦心距 题目给出弦长、三角形面积、弦的中点，或者反过来问这些量，都归模型三。识别标志是出现“截得”“弦”“面积”这类词。标准动作：算圆心到直线的距离 ，再套 。易错处是直接联立求交点——含参时根本解不出，不含参时也白白多算一遍。 （四）模型四：切线——三条路，别走最远的那条 “过点 作圆的切线”“切线长为……”“切点 、 的连线方程”，都是模型四。识别标志是出现“切”字。标准动作按情形分：过圆上一点用垂直半径（或 ）；过圆外一点设点斜式并令 ，同时补验竖直线；只问切点弦就用两圆相减。易错处是把切点坐标解出来再求直线——二次方程组通常带根号，算到一半就会放弃。 （五）模型五：圆上动点——答案在连心线上 “点 在圆上”加“求距离的最大值、最小值”“求角的最大值”，都是模型五。识别标志是一个点在圆上跑，另一个点或一条线是定的。标准动作：连圆心与定点，把动点拉到这条直线上，距离的最值就是 与 ；角的最值则出现在切线位置。易错处是只写 作最小值——直线与圆相交时最小值是 0，不是 。 四、例题精讲 五道例题一一对应上面五个模型。每题统一按四步展开：认模型 → 找圆心 → 列距离 → 校验。圆的一切结论都从“圆心到某点的距离”来，所以第二步永远是找圆心，第三步永远是写出那个距离；最后一步只管三件事——端点取不取、切线有没有漏掉竖直线、算出的距离是否满足位置关系的前提。 （一）模型一：定圆 例题 1（模型一·三点定圆） 过三点 、、 的圆交 轴于 、 两点，则 （） A.  B. 8 C.  D. 10 第 1 步 · 认模型：条件是“过三点”，问的是弦长——先按模型一求出圆的方程，再按模型三算 轴截得的弦。 第 2 步 · 找圆心：、 的横坐标都是 1，所以 是竖直线段，它的中垂线是水平线 故圆心为 。再由 ： 展开得 ，即 ，。圆心为 (1,−2)。 第 3 步 · 列距离：半径 圆的方程为 。令 ： 故 第 4 步 · 校验：用第三点回代：圆心 (1,−2) 到 的距离为 ，与半径一致。另有一条更快的路—— 与 垂直（，，数量积 =0），所以 是直径，圆心就是 的中点 (1,−2)，半径 5。两条路给出同一个圆。 故选 C。 图 1: 三点定圆后与 y 轴交于 M、N 两点 横坐标相同的两点，立刻就送一条中垂线 本例若一开始就设一般式解三元一次方程组，也能算对，但要多算三个未知数。凡三点的坐标里出现“两个点横坐标相同”或“两个点纵坐标相同”，先用它把圆心的一个坐标定下来，剩下的只解一个一元一次方程。这是求圆的方程最省时的入口。 （二）模型二：位置关系 例题 2（模型二·含参有公共点） 设点 、，若直线 关于直线 对称的直线与圆 有公共点，则 的取值范围是。 图 2: 直线 AB 与它关于 y=a 的对称直线 l 第 1 步 · 认模型：圆是定的，直线含参数，问“有公共点”——模型二，写出圆心到该直线的距离并令 。 第 2 步 · 找圆心：圆 的圆心为 (−3,−2)，半径 。 第 3 步 · 列距离：先写出那条对称直线。 本身在对称轴 上，所以它关于这条轴的对称点就是自己，对称直线也过 ；而 的对称点是 （ 是 3 与纵坐标的中点）。故所求直线就是直线 ，其斜率为 方程为 ，即 。 圆心到它的距离 “有公共点”即 ，去分母得 因式分解 ，得 第 4 步 · 校验：端点处 ，是相切，恰有一个公共点，题目只说“有公共点”，所以闭区间，端点要取。再查 ：此时 与对称轴重合，对称直线就是 ，圆心到它距离为 5>1，不在解集内，无须另论。故 的取值范围是 。 “有公共点”与“相切”不是一回事 题目问“有公共点”，对应 ，相切的那两个端点要保留；问“相切”，对应 ，得到的是两个孤立的值；问“有两个公共点”，对应 ，端点要舍去。三种问法只有一字之差，答案的开闭完全不同，读完题先在草稿上写下对应的不等号，再动笔算。 （三）模型三：弦长 例题 3（模型三·弦长与弦心距） 已知直线 ： 与 ： 交于 、 两点，写出满足“ 的面积为 ”的 的一个值。 第 1 步 · 认模型：给面积反求参数，面积由弦长与弦心距合成——模型三。 第 2 步 · 找圆心：，。顺便看出直线 恒过定点 (−1,0)，而 ，这个定点恰在圆上——所以无论 取何值，弦 的一个端点都是 (−1,0)，另一个端点完全由 决定。 第 3 步 · 列距离：圆心到 的距离 弦长 ，于是 记 ，两边平方得 ，即 ，解得 当 时，，得 ，； 当 时，，得 ，。 第 4 步 · 校验：两组解都满足 （即 ，直线确实与圆交于两点）：，。题目只要“一个值”，填 2、−2、、 中任意一个都对。 图 3: 弦 AB、弦心距 d 与半径构成直角三角形 面积题一律走“弦长 × 弦心距” 圆内接三角形的面积只有一条通路：，其中 。于是整个题目化为一个只含 的方程， 又是参数的函数。不要用 去算点到直线的距离——、 的坐标一出来就是带根号的分式，越算越乱。 （四）模型四：切线 例题 4（模型四·切点弦与最值） 已知 ：，直线 ：， 为 上的动点，过点 作 的切线 、，切点为 、。当 最小时，直线 的方程为（） A.  B.  C.  D.  第 1 步 · 认模型：过圆外一点作两条切线，问切点连线的方程——模型四里的“切点弦”；前面的“最值”只是用来确定 的位置。 第 2 步 · 找圆心：配方得 ，故 ，。圆心到 的距离 所以 与 相离， 上任意一点都能作两条切线。 第 3 步 · 列距离：先化目标式。由 得 ；又 垂直平分 ，四边形 的面积既等于两条对角线乘积的一半，也等于两个直角三角形之和： 故 它随 增大而增大，所以最小当且仅当 最小，此时 ，。 的斜率为 ，过 ：，即 。与 联立解得 。 再求切点弦。、 都满足 ，故 、、、 四点共圆，该圆以 为直径： 切点弦 是这个圆与 的公共弦，两式相减： 第 4 步 · 校验：圆心 到 的距离为 ，与圆相交，切点确实存在；再看方向， 与 的斜率都是 −2，而 时 ，与几何直观一致。故选 D。 图 4: 过 P 的两条切线与切点弦 AB 别去解切点坐标 求切点弦的直觉做法是“解出 、 再写直线方程”，但 、 一般带根号（本例 、 已是罕见的干净情形）。正确做法是把切点弦看成两圆的公共弦：以 为直径的圆与原圆一减，直线方程立刻出来，且不需要知道任何切点坐标。这一招在圆锥曲线里叫“极线”，此处不必提概念，会用就行。 （五）模型五：圆上动点 例题 5（模型五·圆上动点最值） （多选）已知点 在圆 上，点 、，则（） A. 点 到直线 的距离小于 10 B. 点 到直线 的距离大于 2 C. 当 最小时， D. 当 最大时， 第 1 步 · 认模型： 在圆上跑，问距离与角的最值——模型五。所有最值都要回到“圆心与定点（定直线）的连线”上。 第 2 步 · 找圆心：圆心 ，；直线 由 得 。 第 3 步 · 列距离：圆心到 的距离 故 与圆相离，点 到 的距离取值范围是 上界约 8.92<10，A 正确；下界约 0.92<2，B 错误。 再看角。 方向固定， 随射线 绕 转动而变化，其极值出现在 与圆相切时。因 在圆外，两条切线都能作，切线长 两个切点分别对应 的最小与最大，故 C、D 都正确。 第 4 步 · 校验：“”这个式子的前提是 为切线，而切线存在的条件是 ，已验 ；又因为 与圆相离，射线 不与圆相交， 才能取到极值而不会中途被穿过去。故选 A、C、D。 图 5: 过 B 的两条切线与圆上的切点 P1、P2 最小值不一定是 d−r 圆上点到直线距离的最小值是 的前提是直线与圆相离（）。若直线与圆相交（），最近的点到直线距离为 0；若相切，最小值也是 0。所以先用 与 判一次位置关系，再写下界，顺序不能颠倒——这正是本题 B 选项设下的陷阱。 五、易错点辨析 表 4: 本讲六个高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 见到 就写圆心半径 忘了检验 先配方，右边为正才是圆 求切线只设 点斜式漏掉了竖直线 解出一个 时，补上 弦长题联立求交点坐标 含参时解不出，不含参也白算 用 ，先算弦心距 求切点弦先求 、 二次方程组带根号，算不下去 以 为直径作圆，两式相减 “有公共点”写成 把相切的情形漏掉 有公共点 ，端点要取 最小值一律写 没先判断直线与圆是否相交 相交时最小值为 0 表中六条有一个共同点：公式都背对了，错在对前提的判断。圆这一章的题目几乎不考运算技巧，考的是“动手之前先看位置关系”。做题时把最后一列当检查清单，逐条过一遍即可。 六、当堂检测 A 组对应五个模型的基本动作，限时 15 分钟；B 组是公共弦、切点弦与定点型的弦长最值，限时 20 分钟；C 组是压轴小问。 （一）A 组：基础过关 A1 圆 的圆心坐标与半径分别是。 A2 过点 (1,2) 且与圆 相切的直线方程是。 A3 若直线 与圆 相交，则 的取值范围是（） A.  B.  C.  D.  A4 圆 ： 被直线 截得的弦长为。 （二）B 组：能力提升 B5 已知圆 与圆 相交，且公共弦长为 ，求 的值。 B6 已知点 与圆 ：，过 作圆 的两条切线，切点为 、。求切线长及直线 的方程。 B7 （多选）已知直线 ： 与圆 ：，点 ，则下列说法正确的是（） A. 若点 在圆 上，则 与 相切 B. 若点 在圆 内，则 与 相离 C. 若点 在圆 外，则 与 相离 D. 若点 在 上，则 与 相切 B8 已知直线 ： 与圆 ： 交于 、 两点，则 的最小值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 （三）C 组：压轴突破 C9 已知 ：，直线 ：， 为 上的动点，过 作 的切线 、，切点为 、。求四边形 面积的最小值，并求此时点 的坐标。 C10 已知圆 ： 与直线 ：。 （1）若 与 相切，求 的值； （2）若圆 上恰有三个点到 的距离为 1，求 的值。 七、参考答案与提示 （一）A 组 A1答案：圆心 (2,−3)，半径 。 提示：配方得 。注意由一般式读圆心时符号相反： 对应圆心横坐标 2， 对应圆心纵坐标 −3。 A2答案：。 提示：先判断点 (1,2) 在圆上（1+4=5），所以它是切点，切线就是过切点的切线：。只有当点在圆外时才需要设点斜式并令 。 A3答案：B。 提示：圆心到直线的距离 ，相交即 ，故 。端点 时相切，不属于“相交”。 A4答案：6。 提示：圆心 (1,2) 满足 1−2+1=0，即直线过圆心，，弦就是直径 。这是 的极端情形，套公式 结果一致，但要知道为什么。 （二）B 组 B5答案：。 提示：两圆方程相减，得公共弦 ，即 。圆心 (0,0) 到它的距离 由 得 ，即 ，故 ，（）。 B6答案：切线长为 1；切点弦 ：。 提示：，切线长 。切点弦用两圆相减：以 为直径的圆为 与 （即 ）相减得 。校验：圆心 (1,1) 到该直线距离 ，切点弦确实存在。 B7答案：A、B、D。 提示：圆心 (0,0) 到 的距离为 。 A： 在圆上 ，相切； B： 在圆内 ，相离； C： 在圆外 ，应相交，故 C 错； D： 在 上 ，相切。 B8答案：C。 提示：把 整理成 ，它恒过定点 ；圆配方得 ，圆心 ，。因为 ， 在圆内，所以任何过 的直线都与圆交于两点。设弦心距为 ，则 当 （即 为 ）时取等号，故最小值为 4。 （三）C 组 C9答案：面积最小值为 2，此时 。 提示：由 得 ，四边形面积 故 最小当且仅当 最小，即 。此时 ，。 的坐标： 过 且斜率为 ，即 ，与 ： 联立解得 。 C10答案：（1） 或 ；（2） 或 。 提示：圆心 (3,4)，，圆心到 的距离 。 （1）相切即 ，故 ， 或 35。 （2）与 平行且距离为 1 的两条直线，到圆心的距离分别为 与 。圆上到 距离恰为 1 的点共有三个，只能是其中一条与圆相切（1 个点）、另一条过圆心（2 个点），即 且 ，故 。于是 ， 或 30。 学科网（北京）股份有限公司 $