精品解析：江苏盐城市两校联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

初三数学学习诊断 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每题3分共24分） 1. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外， ∴OP＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 2. “光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意∶已知O的半径为r，如果圆心O到直线的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交． 【详解】解：把餐盘看成圆形的半径，餐盘的圆心到筷子看成直线l的距离为d． ∴， ∴直线和圆相交， 故选∶B． 3. 为践行绿色低碳理念，选择电瓶车出行的市民越来越多．为加强市民安全意识，交警同志在某个路口对是否佩戴安全头盔进行一周连续检查，每天未佩戴安全头盔人数分别是、、、、、、，这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】统计各数据出现的次数，找出出现次数最多的数． 【详解】解：统计这组数据中各数出现次数：出现次，出现次，出现次，出现次， 可得出现次数最多，故众数为． 4. 如图，A，B，C，D是上的四点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补，进行计算即可． 【详解】解：∵A，B，C，D是上的四点， ∴， ∵， ∴． 5. 如图，是的直径，点、在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的直径，，再由三角形内角和定理求出的度数，结合即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用切线的性质可得，得到直角，在中，求出的度数，利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：连接， ∵射线与相切于， ∴， ∵， 在中，， ∴． 7. 《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（ ）步（注：“步”为古代长度单位）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径、切线的性质、勾股定理．首先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长为，根据切线的性质可知，利用三角形的面积公式求出内切圆的半径，再根据直径与半径的关系求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、、、、、， 则有、、， ， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， 答：该直角三角形内切圆的直径是. 8. 如图，中，弦直径，若的度数是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将弧的度数问题转化为圆心角的度数问题是解题关键，先由的度数得到圆心角的度数，再利用平行线性质和等腰三角形性质求出圆心角的度数，从而得到的度数． 【详解】解：连接、， 的度数是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分） 9. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 10. “正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】设正六边形的中心为点，连接、，求出中心角，证明是等边三角形，得出，再求出周长即可． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、， 则， ∴中心角， ∴是等边三角形， ∴， ∴它的周长是． 11. 据统计，我校初三某七个班了解并使用过Deepseek（人工智能软件）的同学人数分别为：，，，，，，．那么这组数据的中位数是______． 【答案】 【解析】 【分析】将数据从小到大排序后，根据中位数定义找奇数个数据的中间位置的数即可求解． 【详解】解：先将原数据按从小到大的顺序重新排列，得到，，，，，，， 这组数据总个数为，是奇数， 中位数为排序后最中间位置的数， 最中间的是第个数，值为， 这组数据的中位数是． 12. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处对读数分别为，，则的度数是______°． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．先根据A、B的度数得到，再根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接， ∵点A，B的读数分别为，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 为进一步发展绿色新能源、推动能源结构优化升级，某地将风力发电项目作为绿色新能源推广试点．如图①，是“大风车”风力发电场的外景．如图②，是“大风车”的示意图，当“大风车”静止时，叶片与塔架垂直，当有风吹过，叶片顺时针缓缓转动．已知叶片的长度为米，当叶片第一次旋转到与塔架重合时，点所经过的路径长为________米（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式计算路径长度即可． 【详解】解：米，， 则点所经过的路径长为米． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过点，，，则该圆弧所在圆的圆心坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线必过圆心，分别确定弦的垂直平分线，再根据圆心到圆上任一点的距离相等即可确定圆心坐标． 【详解】解： ， 线段平行于轴，且中点横坐标为， 线段的垂直平分线为直线， 设圆心坐标为， 圆心到圆上任意一点的距离相等， 圆心到点的距离等于到点的距离， ， 整理得， 解得， 该圆弧所在圆的圆心坐标为． 15. 在中，，，．的半径为r，若边与有公共点，则半径r的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】要使线段与有公共点，半径的取值范围为：点到的最短距离上的点到点的最长距离，结合，即可推导范围． 【详解】解：∵，，上的点到点的最长距离为的长度， ∴； ∵点到线段的距离的最小值等于的长度，要使与有公共点，至少需要等于， ∴； 综上可得的取值范围是． 16. 是的内接三角形，，弦交于点D，，连接，若，，则为______． 【答案】 6 【解析】 【分析】利用及公共角证明，得出；通过角度计算证明，推导出，得到，最后结合勾股定理建立关于的方程求解即可.  【详解】解：， ， 又， ， ， ， 是的外角， ，即， 又， ，即， 又∵， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 过点作于点， 在中，， ， ， 由勾股定理得； 在中，， ， ， ， ， ， ，即. 三、解答题（本大题共有11小题，共102分） 17. 如图，在中，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由得到弧所对的圆周角，再根据三角形内角和，用求出两个底角之和，平分得到的度数． 【详解】解：， ， ， ， ． 18. 已知：如图，分别为的切线，切点分别为，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线长定理得到，根据得到为等边三角形，继而得到． 【详解】解：分别为的切线， ， ， 为等边三角形， ． 19. 如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：． 【答案】 证明：∵对角线是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，由直径所对的圆周角是直角得到，再证明，则可证明． 【详解】略 20. 2026年10月1日是中华人民共和国成立77周年，为开展爱国主义教育，我校举办“礼赞祖国”国庆诗朗诵比赛，评分主要从作品选材、朗诵表达、情感感染力三个维度打分，最终成绩中作品选材占，朗诵表达占，情感感染力占．九年级（1）班和（2）班的成绩如下表．（本题满分8分） 参赛班级 作品选材 朗诵表达 情感感染力 九年级（1）班 70 80 88 九年级（2）班 80 75 x （1）计算九年级（1）班的最终成绩； （2）如果九年级（2）班要在最终成绩上超过九年级（1）班，那么他们的情感感染力得分x应该超过多少分？ 【答案】（1）分 （2）分 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数的公式解答即可； （2）根据加权平均数以及2班要在最终成绩上超过1班列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：九年级（1）班的最终成绩为分； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 即它们的情感感染力得分x应该超过90分． 21. 已知：如图，在中， 、为互相垂直的两条弦，且，，，D、E为垂足． 求证：四边形为正方形． 【答案】 证明：，，， ， ∴四边形为矩形， 且， 又， ， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】先证明四边形为矩形，再根据垂径定理可得，由此可得四边形为正方形． 本题主要考查了垂径定理和正方形的判定．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】略 22. 如图，点在以为直径的上，平分，交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）若半径为，，求的长． 【答案】（1）证明：为的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是得到，再根据角平分线的定义证明，再根据等量代换得到，进而根据三角形内角和定理得到，即可得证结论； （2）根据勾股定理得到，根据三角形等面积法得到，继而根据圆周角定理得到． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵的半径为， ， ，， 根据勾股定理可得：， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如图，某转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点A行驶至终点B，过点A、B的两条切线交于点C，机动车在从点A到点B行驶过程中的转角为． （1）若，求的度数． （2）在（1）的条件下，若这段圆弧的半径，求图中危险区（阴影部分）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线性质得到，根据邻补角互补得到，最后根据四边形内角和得到，从而得到的度数； （2）根据所对直角边是斜边的一半和勾股定理得到，进而求出，再利用扇形面积公式和图形面积和差关系，求出图中危险区（阴影部分）的面积． 【小问1详解】 解：∵、分别是圆的两条切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得，， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小军受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： （1）若，求的度数． （2）若线段与交于点C，，，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，标记点，由切线的性质可得，由题意可得，从而得出，再由圆周角定理计算即可得出结果； （2）设的半径为，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，连接，标记点， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由圆周角定理可得， ∴； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 25. 如图，是的直径，点D在半径上． （1）求作射线，使得点C在半圆上，射线是的平分线；要求：①用无刻度直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹； （2）在（1）的条件下，连接，若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）数量关系：． 理由：设的半径为r，连接，过C作于点F． 则． ∵是直径， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）过点O作的垂线交于点E，作直线交于点C，就是的平分线． （2）设的半径为r，连接，过C作于点F．根据直径性质和角平分线性质得．由等腰三角形性质得．，由三角形内角和性质得．可得是等腰直角三角形，得．由勾股定理得，求出，得，．即得． 【小问1详解】 解：以A、B为圆心，大于的长为半径分别画弧，两弧交下面于点P， 作直线，交于点C， 连接， 则即为的平分线． 理由：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【小问2详解】 略． 26. 我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． （1）【问题初探】若线段，则线段AB的最小覆盖圆的直径是___________． （2）【问题再探】如图1，在中，，，，则的最小覆盖圆的直径是多少？ 小鹿：能覆盖最长边斜边的最小覆盖圆是以为直径的，恰好点C在上，所以的最小覆盖圆的直径是10． 受小鹿思路启发，小鸣对钝角三角形和锐角三角形最小覆盖圆进行了探究， 如图2，在钝角中，，，，，则的最小覆盖圆的直径是__________；如图3，在锐角中，是最长边，操作发现：以为直径的圆不能覆盖，探究后发现：锐角的最小覆盖圆是它的外接圆． （3）【问题解决】利用上述结论，解决下面问题 如图4，四边形，，连接，，，，，则过点A，B且能覆盖四边形的最小圆的直径是__________． （4）如图 在锐角中，，，，如图6，五边形纸片是由直角梯形剪去直角得到的，，，，，，请利用图6的五边形纸片剪出一个半圆和一个整圆去完全覆盖．（半圆的半径比整圆半径大） （Ⅰ）在图6中画出裁剪方案，标注必要的数据； （Ⅱ）简要说明裁剪的理由． 【答案】（1）9 （2）10 （3） （4）（Ⅰ） （Ⅱ）裁剪理由： 作于Q，则， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 延长交于点S，过点G，S作于R，于T， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 设的半径为r， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的直径为， ∴， ∴是的最小覆盖圆． 过点作，垂足为U，H， 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点U在上． 连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴点H在上， ∴是的最小覆盖圆． 【解析】 【分析】（1）根据最小覆盖圆的定义，覆盖线段的最小圆，直径等于线段长度，直接对应求解． （2）对于钝角三角形，若最长边为，验证以为直径的圆可覆盖所有顶点，所以最小覆盖圆直径为最长边长度；锐角三角形最小覆盖圆是外接圆，结合对应边长即可求解． （3）先根据角度条件判断四边形四个顶点与的位置关系，确定所有顶点都在以为直径的圆内或圆上，因此直径为长度． （4）（Ⅰ）裁剪方案：在上取点，使，以的长为半径画半圆交于点J，过点M作，交于点P，和的平分线交于点，过作于点I，以的长为半径画，作的垂直平分线交于点，L，以的长为半径画半圆交于点K，连接，作的垂直平分线，在其上取点，以为圆心，的长为半径画圆，使在内．（Ⅱ）裁剪理由：根据等腰直角三角形性质，用勾股定理计算，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，判定是的最小覆盖圆．半是的最小覆盖圆． 【小问1详解】 解：要覆盖线段，最小的圆就是以本身为直径的圆， 若直径小于9，线段的两个端点就无法同时落在圆内/圆上， ∴线段的最小覆盖圆直径等于的长度9． 【小问2详解】 解：根据题中提示的规律：钝角三角形的最长边所对的角是钝角， 以最长边为直径作圆时，钝角顶点C会落在圆内部， 此时这个圆就能完全覆盖整个钝角三角形，且不存在直径更小的覆盖圆． ∵钝角的最长边， ∴最小覆盖圆直径是10． 【小问3详解】 解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 过点B作，使，连接，设的中点为O，连接，则， ∴，， ∴的外接圆的直径为． ∵， ∴点C在的外接圆上． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在的外接圆内， ∴过点A，B且能覆盖四边形的最小圆的直径是． 【小问4详解】 解：（Ⅰ）裁剪方案： 以点E为圆心，的长为半径画弧交于点， 以为圆心，的长为半径画半圆交于点J， 过点M作，交于点P， 作和的平分线，交于点， 过作于点I， 以为圆心，的长为半径画， 作的垂直平分线交于点，L， 以为圆心，的长为半径画半圆交于点K， 连接，作的垂直平分线，在其上取点， 以为圆心，的长为半径画， 调节点位置，使在内． （Ⅱ）略． 27. 在学习完《圆》这一章后，小明对圆进行了折叠研究，以下是小明的探究笔记． 探究一：如图1，已知是的直径，点在上方的半圆上，将沿弦折叠，交于点，连接． （1）小明发现，此时为等腰三角形，并给出了如下证明过程． 证明：作点关于的对称点，连接，． 由对称的性质可知：， 又∵ ∴ ∴ ∴…… 请你帮助小明完善证明过程； （2）如图2，若，点是靠近点的直径的三等分点，求的长； （3）探究二：小明同学在翻折过程中联想到直线与圆的位置关系，如图，是的直径，弦，点在上方的半圆上，把沿着弦折叠，使得折叠后的与相切，尺规作图作出折叠后的．（保留作图痕迹） （4）探究三：如图4，已知是的直径；，点在上方的半圆上，将沿弦折叠，交于点，若是翻折后的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】（1）证明：作点关于的对称点，连接，． 由对称的性质可知：， 又∵ ∴ ∴ ∴． 又， ∴， 即为等腰三角形． （2）． （3） （4）的最小值为（或）． 【解析】 【分析】（1）将“折叠”视为关于弦所在直线的轴对称：作点关于的对称点，由对称得、，结合折叠知，再由同圆等圆周角对等弧得，从而，证出为等腰三角形； （2）由（1）得，故为等腰三角形，过作则为的中点；又为直径知，利用直角与其斜边上的高相似，由求得，进而由勾股定理得； （3）把“折叠后的弧与相切”转化为“对称圆与相切”；因折痕过已知点，其对称轴使圆心的对称点满足，故在以为圆心、为半径的圆上，又到的距离为，据此先定再作的中垂线得到折痕； （4）设折叠后圆弧所在对称圆为，因直线过点，故，点在以为圆心、为半径的圆上；又点为折叠后弧的中点，因弦在直径上，故且；作为关于的对称点，由对称得、，故四边形为菱形，从而，而，故是过且垂直的直线上距为的定点，且，即恒在以为圆心、为半径的圆上，利用“圆外一点到圆的最小距离等于圆心距减半径”求得的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，故为等腰三角形，底边为． 过点作于点． ∵，， ∴为的中点，． ∵点是靠近点的直径的三等分点，， ∴，． ∵是的直径，点在上， ∴（直径所对的圆周角是直角），即为直角三角形． 在与中，为公共角， ∴， ∴，即． 由勾股定理得 ． 【小问3详解】 解：图略 设的半径为． 理由：将弦沿自身所在直线折叠后，弧落在与关于直线对称的圆上；要使折叠后的弧与相切，只需与相切．因为折痕经过已知点，对称变换保持不动，且，所以点在以为圆心、为半径的圆上；又与相切且半径为，故点到的距离等于，即在平行于、与相距且位于与圆心同侧的直线上． 作法： ①连接并延长作直径，作射线，在上截取，过点作平行于的直线； ②以为圆心、为半径作圆，交直线于点； ③以为圆心、为半径作圆，交于点，连接. 由知点在的垂直平分线上，该线过点且与交于另一点，则弦即为所求折痕． 【小问4详解】 解：设折叠后圆弧所在的圆为，即关于直线的对称圆，其圆心为点关于直线的对称点． ∵直线经过点，对称变换保持点不动，且， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上． 由题意，点是折叠后弧的中点．因为点、都在直径上，所以弦落在直线上；一段弧的中点必在过圆心且垂直于这条弦的直线上，故且． 作点，使为点关于直线的对称点．因为点、都在对称轴上，所以，． ∴． ∴四边形是菱形，． ∵， ∴． 又，故点是过点且垂直于的直线上、与点相距的定点，与点的位置无关． ∴对点的任意位置，都有，即点始终在以为圆心、为半径的圆上． 在直角中，，，， ∴． 点到圆上点的距离的最小值为（圆外一点到圆的最小距离等于圆心距减去半径，当点在线段上时取得）． 当时，的最小值为． 【点睛】本题考查圆的折叠（轴对称）、圆周角定理、直角三角形的相似与勾股定理、尺规作图以及动点最值；解题关键是把“折叠”转化为“关于弦所在直线的轴对称”，由对称与等圆周角证得从而为等腰三角形，并由此得到（2）中到的垂足恰好是的中点，结合直角与的相似求出；第（3）问将“折叠后的弧与相切”转化为“对称圆与相切”，从而由与到的距离为两步定位对称圆心来作图；第（4）问抓住对称圆心始终在以为圆心、为半径的圆上，又由弦在上得、，作关于的对称点，由四边形为菱形证得是过垂直的定点、，故恒在以为圆心、为半径的圆上，利用“圆外一点到圆的最小距离等于圆心距减半径”求得的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学学习诊断 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每题3分共24分） 1. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. “光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 3. 为践行绿色低碳理念，选择电瓶车出行的市民越来越多．为加强市民安全意识，交警同志在某个路口对是否佩戴安全头盔进行一周连续检查，每天未佩戴安全头盔人数分别是、、、、、、，这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，A，B，C，D是上的四点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点、在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（ ）步（注：“步”为古代长度单位）． A. B. C. D. 8. 如图，中，弦直径，若的度数是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分） 9. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 10. “正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是______． 11. 据统计，我校初三某七个班了解并使用过Deepseek（人工智能软件）的同学人数分别为：，，，，，，．那么这组数据的中位数是______． 12. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处对读数分别为，，则的度数是______°． 13. 为进一步发展绿色新能源、推动能源结构优化升级，某地将风力发电项目作为绿色新能源推广试点．如图①，是“大风车”风力发电场的外景．如图②，是“大风车”的示意图，当“大风车”静止时，叶片与塔架垂直，当有风吹过，叶片顺时针缓缓转动．已知叶片的长度为米，当叶片第一次旋转到与塔架重合时，点所经过的路径长为________米（结果保留）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过点，，，则该圆弧所在圆的圆心坐标为______． 15. 在中，，，．的半径为r，若边与有公共点，则半径r的取值范围为______． 16. 是的内接三角形，，弦交于点D，，连接，若，，则为______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分） 17. 如图，在中，，，求的度数． 18. 已知：如图，分别为的切线，切点分别为，，，求的长． 19. 如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：． 20. 2026年10月1日是中华人民共和国成立77周年，为开展爱国主义教育，我校举办“礼赞祖国”国庆诗朗诵比赛，评分主要从作品选材、朗诵表达、情感感染力三个维度打分，最终成绩中作品选材占，朗诵表达占，情感感染力占．九年级（1）班和（2）班的成绩如下表．（本题满分8分） 参赛班级 作品选材 朗诵表达 情感感染力 九年级（1）班 70 80 88 九年级（2）班 80 75 x （1）计算九年级（1）班的最终成绩； （2）如果九年级（2）班要在最终成绩上超过九年级（1）班，那么他们的情感感染力得分x应该超过多少分？ 21. 已知：如图，在中， 、为互相垂直的两条弦，且，，，D、E为垂足． 求证：四边形为正方形． 22. 如图，点在以为直径的上，平分，交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）若半径为，，求的长． 23. 如图，某转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点A行驶至终点B，过点A、B的两条切线交于点C，机动车在从点A到点B行驶过程中的转角为． （1）若，求的度数． （2）在（1）的条件下，若这段圆弧的半径，求图中危险区（阴影部分）的面积． 24. 如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小军受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： （1）若，求的度数． （2）若线段与交于点C，，，求的半径． 25. 如图，是的直径，点D在半径上． （1）求作射线，使得点C在半圆上，射线是的平分线；要求：①用无刻度直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹； （2）在（1）的条件下，连接，若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 26. 我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． （1）【问题初探】若线段，则线段AB的最小覆盖圆的直径是___________． （2）【问题再探】如图1，在中，，，，则的最小覆盖圆的直径是多少？ 小鹿：能覆盖最长边斜边的最小覆盖圆是以为直径的，恰好点C在上，所以的最小覆盖圆的直径是10． 受小鹿思路启发，小鸣对钝角三角形和锐角三角形最小覆盖圆进行了探究， 如图2，在钝角中，，，，，则的最小覆盖圆的直径是__________；如图3，在锐角中，是最长边，操作发现：以为直径的圆不能覆盖，探究后发现：锐角的最小覆盖圆是它的外接圆． （3）【问题解决】利用上述结论，解决下面问题 如图4，四边形，，连接，，，，，则过点A，B且能覆盖四边形的最小圆的直径是__________． （4）如图 在锐角中，，，，如图6，五边形纸片是由直角梯形剪去直角得到的，，，，，，请利用图6的五边形纸片剪出一个半圆和一个整圆去完全覆盖．（半圆的半径比整圆半径大） （Ⅰ）在图6中画出裁剪方案，标注必要的数据； （Ⅱ）简要说明裁剪的理由． 27. 在学习完《圆》这一章后，小明对圆进行了折叠研究，以下是小明的探究笔记． 探究一：如图1，已知是的直径，点在上方的半圆上，将沿弦折叠，交于点，连接． （1）小明发现，此时为等腰三角形，并给出了如下证明过程． 证明：作点关于的对称点，连接，． 由对称的性质可知：， 又∵ ∴ ∴ ∴…… 请你帮助小明完善证明过程； （2）如图2，若，点是靠近点的直径的三等分点，求的长； （3）探究二：小明同学在翻折过程中联想到直线与圆的位置关系，如图，是的直径，弦，点在上方的半圆上，把沿着弦折叠，使得折叠后的与相切，尺规作图作出折叠后的．（保留作图痕迹） （4）探究三：如图4，已知是的直径；，点在上方的半圆上，将沿弦折叠，交于点，若是翻折后的中点，连接，则的最小值为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $