2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中自编模拟卷（广东省深圳市适用）

2026届广东省深圳市中考数学自编模拟卷 （本试卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是（    ） A． B． C． D． 3．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A． B．4 C． D．5 4．下列说法正确的是（    ） A．两个正五边形一定互为位似图形 B．物体在夜晚路灯照射下所形成的影子长度只与该物体的高度有关 C．取菱形四边的中点连成的中点四边形一定也是菱形 D．经过矩形对角线交点的任意直线，都能将这个矩形的面积平分 5．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ） A． B． C． D． 6．全球十大恐怖病毒之一——汉坦病毒，有非同寻常的多样性，可以通过各种动物传染给人，传染速度较快，人类感染后会出现高热、出血、肾脏损伤等症状．某地有1头猪得了汉坦病毒，经过两轮传染后共有144头猪得了这种病毒，每轮传染中平均1头猪传染了几头猪？设每轮传染中平均1头猪传染了x头猪，可列方程（   ） A． B． C． D． 7．如图①，在平行四边形中，，连接，，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．若，则的值为________． 10．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是_____． 11．如图．在中，，点D，E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长为________． 12．如果m，n是一元二次方程的两个根，则_______． 13．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD、AB上的两点，AE＝BF，连BE、CF交于点H，当时，＝________． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（本题满分5分）解方程： （1） （2） 15．（本题满分7分）如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，且，连接． (1)求证；四边形是矩形； (2)连接交于点F，若，，求的长． 16．（本题满分8分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹） (1)在图1中，以为边，画出，使，C为格点． (2)在图2中，以点O为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点D、E为格点． (3)在图3中，在边上找一个点F，且满足． 17．（本题满分8分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 18．（本题满分9分）如图，在中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．    (1)求证：． (2)若，，，求边的长度． 19．（本题满分12分）已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 20．（本题满分12分）如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，射线交射线于点． (1)【感知】如图1，当于点，时，求线段的长； (2)【探究】如图2，当时，交于点，交于点，求的值； (3)【拓展】如图3，当时，交于点，交于点，求的值．（用含的代数式表示）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广东省深圳市中考数学自编模拟卷 （本试卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故选：D． 2．如图，在菱形中，、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理，即可求得的长，进而求得菱形的周长． 【详解】解：、分别是、的中点， ， 菱形的周长是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及三角形的中位线定理，正确求得的长是解题的关键． 3．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A 4．下列说法正确的是（    ） A．两个正五边形一定互为位似图形 B．物体在夜晚路灯照射下所形成的影子长度只与该物体的高度有关 C．取菱形四边的中点连成的中点四边形一定也是菱形 D．经过矩形对角线交点的任意直线，都能将这个矩形的面积平分 【答案】D 【分析】本题考查位似图形、影子形成、中点四边形和矩形性质．选项A错误，因为位似图形需要特定位置关系；选项B错误，因为影子长度还受光源和物体距离影响；选项C错误，因为菱形的中点四边形是矩形，不一定是菱形；选项D正确，因为矩形是中心对称图形，经过对称中心的直线平分面积． 【详解】选项A：两个正五边形不一定位似，因为位似要求对应点连线交于一点，而正五边形可能旋转或平移； 选项B：影子长度还取决于物体与光源的距离和角度，不仅与高度有关； 选项C：连接菱形四边中点所得四边形，对边平行于对角线，由于菱形对角线垂直，中点四边形是矩形，但只有当对角线相等时才是菱形，故不一定． 选项D：∵ 矩形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，∴ 经过该点的任意直线将矩形分成两个全等图形，面积相等，故选项D正确． 故选D． 5．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．全球十大恐怖病毒之一——汉坦病毒，有非同寻常的多样性，可以通过各种动物传染给人，传染速度较快，人类感染后会出现高热、出血、肾脏损伤等症状．某地有1头猪得了汉坦病毒，经过两轮传染后共有144头猪得了这种病毒，每轮传染中平均1头猪传染了几头猪？设每轮传染中平均1头猪传染了x头猪，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每轮传染中平均1头猪传染了头猪，根据经过两轮传染后共有144头猪得了这种病毒，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设每轮传染中平均1头猪传染了头猪， 根据题意可得：， 故选：C． 7．如图①，在平行四边形中，，连接，，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据图②中点的纵坐标为，可得此时时的值为；根据点的纵坐标为可得时的值为，由平行线的性质知，由此可得的长，即为的长．结合图象得到动点在相应位置时的长度是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，分别是两段曲线的最低点，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴中边上的高为，中边上的高为， ∵， ∴， 解得：， ∴， 即的长为． 故选：D． 8．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，求出，然后通过，进一步求出即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 故选：B． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．若，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 10．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，熟练掌握一元二次根的判别式是解题关键． 11．如图．在中，，点D，E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长为________． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连接，．由三角形中位线定理推出，，，，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如解图，连接，取的中点，连接，． ，分别是，的中点， ，分别是和的中位线， ，，，． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理． 12．如果m，n是一元二次方程的两个根，则_______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义及根与系数的关系化简计算即可． 【详解】解：先将原方程整理为， ∵是方程的两个根， ∴，的， ∴ ∴ ． 13．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD、AB上的两点，AE＝BF，连BE、CF交于点H，当时，＝________． 【答案】/ 【分析】可以正方形的边长为1，AE=BF=a，将本题转化成求BF的长．利用SAS证明△ABE≌△BCF，从而得出，继而得出，等面积法求出，再结合△HBC∽△BFC求出，最后利用关系式列出关于a的方程，从而解出a也就是． 【详解】解：设正方形的边长为1，AE=BF=a， ∴FC=． 在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠ABC=90°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠ABE=∠BCF，． ∵∠ABE+∠EBC=90°， ∴∠BCF+∠EBC=90°，. ∴∠BHC=90°，即.BH⊥CF． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵∠HCB=∠BCF，∠CHB=∠CBF=90°， ∴△HBC∽△BFC， ∴， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∴， 解得a=或a=（舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等面积法，三角形的面积求法，解题技巧是设正方形的边长为1，从而将求比例问题转化成求线段长简化运算，灵活运用等面积法和三角形面积公式是解题关键． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（本题满分5分）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：（1）， ， 解得； （2）， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 15．（本题满分7分）如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，且，连接． (1)求证；四边形是矩形； (2)连接交于点F，若，，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是菱形， ，， ，即， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形； (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据菱形的性质得出相等的边和直角，证明四边形是平行四边形，然后再根据直角得出矩形； （2）根据菱形的性质得出直角和相关线段的长度，然后利用勾股定理求出的长度，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理，得， ， 由（1）知，四边形是矩形， ， ∵， ∴， ∴， ∴点F为的中点． ． 16．（本题满分8分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹） (1)在图1中，以为边，画出，使，C为格点． (2)在图2中，以点O为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点D、E为格点． (3)在图3中，在边上找一个点F，且满足． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 解：如图所示，即为所求； (3) 解：如图所示，则点F即为所求作的点． 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质画出，使； （2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出； （3）取格点P，Q，连接，交于点F，则点F即为所求作的点． 【详解】（1）略 （2） （3）解：如图所示，取格点P，Q，连接，交于点F，则点F即为所求作的点． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17．（本题满分8分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 18．（本题满分9分）如图，在中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．    (1)求证：． (2)若，，，求边的长度． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴； (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，得，且．然后根据相似三角形的判定可得结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例，即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定、平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质定理是解决此题关键． 19．（本题满分12分）已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当或时，与相似 (2)存在，当时， (3)存在，当或或时，为等腰三角形 【分析】（1）由勾股定理求出，再分为当时及当时，两种情况求解即可； （2）作于点，首先证明，可表示出，由，可得，代入面积公式即可列出方程，从而得出答案； （3）分，，三种情形，分别画出图形，进行计算即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得： ， 由题意得，， 当时， 有， 即， 解得：， 当时， 有， 即， 解得：， 当t为或时，与相似； （2）解：存在， 如图，作于点， ，， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ∵ ， 解得：， 当时，； （3）解：存在，当时， ， ， 当时，作于点， ，， ， ， 即， ， ∵， ， ， 解得：； 当时， 作于点， ， ， ， 即， ， ∵，， ， ， 解得：， 当或或时，为等腰三角形． 20．（本题满分12分）如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，射线交射线于点． (1)【感知】如图1，当于点，时，求线段的长； (2)【探究】如图2，当时，交于点，交于点，求的值； (3)【拓展】如图3，当时，交于点，交于点，求的值．（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，线段的和差关系求出的长即可； （2）根据菱形的性质，得到，结合，推出，设，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，折叠的性质得到，进而求出的长，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，线段的和差求出的长，即可得出结果； （3）设，则，进而得到，证明，得到，设，，得到，根据角平分线的性质以及同高（等高）三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，过点作，交的延长线于点，根据含30度的直角三角形的性质结合勾股定理求出，，进而得到，在中，利用勾股定理求出，进而得到，即可得到的长，进一步求出最终结果即可. 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵翻折， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∵， ∴平分， ∴点到的距离相等，设点到的距离为， 则， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴ ∴， 整理，得， ∴（舍）或， ∴， ∴， ∴. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $