重庆市永川北山中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

重庆市永川北山中学校高2028届高二上期10月月考 数学试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分，试卷总页数：4页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品，产量之比为2∶3∶4．为检验该厂家产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则样本中乙类型饮品的数量为（ ） A．16 B．24 C．32 D．48 2．已知空间向量，，且，则（ ） A．2 B．-1 C．1 D．-2 3．现从700瓶水中抽取5瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将700瓶水编号，可以编为000，001，002，…，699，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第6列的数3．（下面摘取了附表1的第8行与第9行） 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 规定从选定的数3开始向右读，得到的第5个样本的编号为（ ） A．719 B．556 C．512 D．050 4．若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（ ） A．-3 B．-2 C．-1 D．0 5．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（ ） ①2张卡片都不是红色；②2张卡片恰有1张是红色；③2张卡片至少有1张是红色；④2张卡片都为绿色． A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，，不共面，若，，且，，三点共线，则（ ） A．-3 B．1 C．2 D．3 7．在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件=“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件=“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件=“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（ ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 8．如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是2026年1月1日到1月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则（ ） A．中央大街日旅游人数的极差是1.2 B．冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3 C．冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大 D．冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大 10．已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A． B．，夹角的余弦值为 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D．在上的投影向量为 11．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A．若是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 B．三棱锥的体积为定值 C．若是棱的中点，则过，，三点的平面截正方体所得的截面图形是三角形 D．若与平面所成的角为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．已知一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为________． 13．在空间直角坐标系中，已知，，，则的面积为________． 14．已知某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．则这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为________，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（本题满分13分）．已知向量，． （1）求； （2）若与垂直，求实数的值． 16（本题满分15分）．不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5，现从盒子里随机取出2个小球． （1）记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． （2）记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为5”，求事件发生的概率． 17（本题满分15分）．为推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识宣传活动，举办“网络防骗”知识竞赛．现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并根据频率分布直方图计算样本的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）若总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则．已知在的平均数是65，方差是6，在的平均数是75，方差是3，求这两组样本的总平均数和总方差． 18（本题满分17分）．如图，在四棱柱中，平面，，，，．，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19（本题满分17分）．如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值； （3）线段上是否存在点（不含端点），使平面与平面的夹角余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $