精品解析：四川省重庆市大足中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试题

大足中学高2028届高二上期第一次月考 数学试题 一．单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 从1，2，4，7中随机选取两个不同的数，则这两个数之和大于5的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的条数为（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 4. 已知圆台下底面的半径为上底面半径的2倍，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线：（为参数），，，若直线与线段（包括端点）恒有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体中，，，为正三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 四棱锥中，，，，，，内部一点满足四棱锥和三棱锥的体积相等，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 设，为空间中两条不同直线，，为空间中不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，则 C. ，，则或 D. ，，，则 10. 一个袋子中有大小和质地相同的个小球，其中有个红球和个白球．从袋中不放回地依次随机摸出个小球（每次取个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，事件“至多摸到一个红球”．则下列事件互为互斥且不对立事件的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11. 已知正方体的棱长为2，动点P满足，其中.经过三点的平面与正方体表面的交线构成多边形，则（ ） A. 当时，直线与平面垂直 B. ，使得多边形为五边形 C. ，使得 D. 平面截正方体内切球所得截面的面积最小值为 三．填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 设，，与垂直，则等于________ 13. 在棱长为的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为________ 14. 甲、乙两个转盘均标有数字，，，甲转盘指向的概率为，指向，的概率相等；乙转盘指向的概率为，指向，的概率相等，其中，，若“甲转盘指向”与“两个转盘指向不同的数字”相互独立，则________ 四．解答题（本大题共5个小题，共77分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有道题，这道题都解答正确才能进入面试环节．已知甲答对这道题的概率依次为，，，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进入面试环节也互不影响． （1）求甲进入面试环节的概率； （2）求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率． 16. 如图，正四棱柱中，，，点，分别是棱，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线到平面的距离． 17. 平面直角坐标系中，一直线过点 （1），，若与直线垂直，求直线的方程（结果化为一般式） （2）若与轴和轴的正半轴分别交于，两点，求的最大值及此时直线的方程（结果化为一般式） 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且． （1）证明：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）在线段上（不包括端点）是否存在点，使平面和平面夹角余弦值为？若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 19. 如图，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置． （1）如图，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面平面． （2）如图，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围． （3）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图所示，记四面体的内切球半径为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大足中学高2028届高二上期第一次月考 数学试题 一．单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程计算直线斜率，即可得到直线的倾斜角. 【详解】由题意得，直线的斜率，故直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 从1，2，4，7中随机选取两个不同的数，则这两个数之和大于5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举法求概率 【详解】1，2，4，7中随机选取两个不同的数， 有，共6种情况， 这两个数之和大于5的情况有，共4种情况， 故这两个数之和大于5的概率为. 3. 若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的条数为（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】C 【解析】 【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为零时，直线方程为，满足题意， 当直线在两坐标轴上的截距均不为零时，设直线方程为， 因为直线过点，则，解得，此时直线方程为， 综上，符合题意的直线有条. 4. 已知圆台下底面的半径为上底面半径的2倍，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设圆台上底半径为，下底半径为，母线长，高， 则，即，解得，则， 故圆台体积为：． 5. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底向量，再用向量法求线线角可得. 【详解】因为正三棱柱中，，所以平面， 又面，所以， 因此. 设，由勾股定理得，且 又因为， 所以 . . 因此异面直线与所成角的余弦值是. 6. 已知直线：（为参数），，，若直线与线段（包括端点）恒有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过直线的方程确定直线过定点，再结合图形判断斜率的范围，进而可得的取值范围. 【详解】将直线方程整理变形： ， 该式对任意参数恒成立当且仅当，解得， 因此直线恒过定点. 由，，得. 将直线整理为斜截式，可得直线的斜率. 结合图像可知：要让过的直线与线段相交，斜率需满足​， 将代入上式，得，解得. 因此的取值范围是. 7. 在四面体中，，，为正三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记AC的中点为，记的外接圆圆心为，分别过，作平面，平面的垂线，两垂线交于点，则为四面体的外接球球心，然后结合已知条件求出球的半径，从而可求出外接球的表面积. 【详解】如图， 记的中点为，因为，为等边三角形， 所以， 所以二面角的平面角为，则， 记的外接圆圆心为，又的外接圆圆心为， 分别过，作平面，平面的垂线，两垂线交于点， 则为四面体的外接球球心． 由，，得， 因为为等边三角形，所以，， 因为，， 所以，则， 所以，解得， 因此四面体的外接球的半径， 所以外接球的表面积为． 8. 四棱锥中，，，，，，内部一点满足四棱锥和三棱锥的体积相等，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长，交于点，设，，根据四棱锥和三棱锥的体积相等，明确的关系，再用余弦定理表示，进而表示，利用换元法，结合二次函数的性质可求的最小值. 【详解】如图，延长，交于点，连接，. 设，，. 由，可得为等腰直角三角形， 所以，，且. 又，所以为等腰三角形， 所以，， . . 所以， ， . 所以， . 由，，，得， 所以为直角三角形，. 设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 则.则, . 由，得. 又， 所以. 令，， 则， 当即，时，取得最小值， 为， 所以. 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 设，为空间中两条不同直线，，为空间中不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，则 C. ，，则或 D. ，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线线垂直、线面平行、线线平行、面面垂直的定理逐项推理即可. 【详解】对于A，若直线与相交，那么此时不平行，所以A错误； 对于B，同时垂直于同一平面的两条直线相互平行，所以B正确； 对于C，因为，所以不在平面内，因为，所以或，所以C正确； 对于D，因为，所以要么，要么， 又，所以. 10. 一个袋子中有大小和质地相同的个小球，其中有个红球和个白球．从袋中不放回地依次随机摸出个小球（每次取个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，事件“至多摸到一个红球”．则下列事件互为互斥且不对立事件的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【详解】对A，事件与不可能同时发生，但是事件发生时，事件与就都不会发生，故事件与互斥且不对立.故A正确； 对B，事件发生时，事件也同时发生，故事件与不互斥.故B错误； 对C，事件与不可能同时发生，但事件发生时，事件与都不会发生，故事件与互斥且不对立.故C正确； 对D，事件与互斥且对立.故D错误. 11. 已知正方体的棱长为2，动点P满足，其中.经过三点的平面与正方体表面的交线构成多边形，则（ ） A. 当时，直线与平面垂直 B. ，使得多边形为五边形 C. ，使得 D. 平面截正方体内切球所得截面的面积最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，得到点和重合，得截面为，结合线面垂直的判定定理，证得平面，可判定A正确；根据截面的性质，得到截面为四边形，可判定B错误；利用侧面展开图，求得的取值范围，可判定C正确；分别讨论，和时，截面圆的半径，得到截面圆的面积，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，可得点和重合，此时过点的平面，即为， 如图（1）所示，在正方体中，因为为正方形，可得， 又由平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，同理可证：， 因为，且平面，所以平面， 即直线与平面垂直，所以A正确； 对于B，如图（2）所示，若，且，可得点在线段上， 在正方体中，可得， 过点作，交于点，连接， 则经过点三点的平面与正方体表面的交线构成四边形，，所以B不正确； 对于C，将对角面绕着旋转，使其与面展在一个平面上， 如图（3）所示，分别连接，设与交于点， 在直角中，， 即最小值为， 当点与点重合时，可得， 因为， 所以存在，使得，所以C正确； 对于D，如图（4）所示正方体的棱长为， 设正方体的内切球的半径为，可得，且球心为正方体的中心， 当时，点与点重合时，此时截面为， 根据正方体的性质，可得点到平面的距离为， 则截面圆的半径为， 所以截面圆的面积为， 当时，点与点重合时，此时截面为， 根据正方体的性质，可得点到平面的距离为， 则截面圆的半径为，所以截面圆的面积为， 当时，截面为四边形，此时点到平面的距离为， 则截面圆的半径为， 所以截面圆的面积为， 综上可得，截面圆面积的最小值为，所以D正确. 三．填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 设，，与垂直，则等于________ 【答案】 【解析】 【详解】， 因为与垂直，所以， 解得 13. 在棱长为的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为________ 【答案】## 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，利用空间向量点到直线的距离公式即可得到答案. 【详解】以点为坐标原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 则点到直线的距离为. 14. 甲、乙两个转盘均标有数字，，，甲转盘指向的概率为，指向，的概率相等；乙转盘指向的概率为，指向，的概率相等，其中，，若“甲转盘指向”与“两个转盘指向不同的数字”相互独立，则________ 【答案】 【解析】 【分析】设事件为“甲转盘指向”，事件为“两个转盘指向不同数字”，先利用概率和为求出甲、乙转盘指向的概率，分别计算，，，再根据相互独立事件条件列方程，化简求解. 【详解】记事件表示“甲转盘指向”，则.依题意，甲转盘指向、指向的概率都是. 乙转盘指向的概率为，指向概率相等，所以指向、指向的概率都是. 记事件表示“两个转盘指向不同数字”，表示“两个转盘指向相同数字”. 则，. 表示“甲转盘指向，且两转盘数字不同”，等价于甲为、乙不为，所以. 因为相互独立，所以，即. 因为，，则得. 整理得：，则，解得. 四．解答题（本大题共5个小题，共77分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有道题，这道题都解答正确才能进入面试环节．已知甲答对这道题的概率依次为，，，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进入面试环节也互不影响． （1）求甲进入面试环节的概率； （2）求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）根据条件，先求出甲、乙各自进入面试环节的概率，再利用相互独立事件和对立事件的概率公式，即可求解. 【小问1详解】 设事件为“甲答对第道题”，，则，，， 设事件为“甲进入面试环节”，则， 所以． 【小问2详解】 设事件为“乙答对第道题”，，则， 设事件为“乙进入面试环节”，则， 则，， 由（1）知，所以． 由题意可知，事件，相互独立，事件，相互独立， 设事件为“甲、乙两人恰有一人进入面试环节”，则， 所以． 16. 如图，正四棱柱中，，，点，分别是棱，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线到平面的距离． 【答案】（1）证明：如图所示，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，，则平面的一个法向量为 则，得 平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】(1)以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由结合平面，可得平面. (2)转化为点到平面的距离，求得平面的一个法向量，利用公式可以求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离 即直线到平面的距离为. 17. 平面直角坐标系中，一直线过点 （1），，若与直线垂直，求直线的方程（结果化为一般式） （2）若与轴和轴的正半轴分别交于，两点，求的最大值及此时直线的方程（结果化为一般式） 【答案】（1） （2），此时的方程为： 【解析】 【分析】（1）先算出直线的斜率，利用垂直直线斜率乘积为求出直线的斜率，再结合点M用点斜式写出方程并化为一般式； （2）设直线截距式，代入定点得到约束条件，把向量数量积转化为关于的表达式，用乘1法结合基本不等式求最值，再写出对应直线方程． 【小问1详解】 ，设直线斜率为，由垂直关系得，解得， 直线过点，故直线的方程为：， 一般式方程为：． 【小问2详解】 设，则直线的方程为：（，）， 因为是直线上的点，， 则，， 由基本不等式可知 ，当且仅当，即等号成立， 故，此时的方程为：． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且． （1）证明：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）在线段上（不包括端点）是否存在点，使平面和平面夹角余弦值为？若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1），为的中点， ． 又∵平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面， ． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先由等腰三角形三线合一得，再结合面面垂直的性质定理证平面，进而由线面垂直的性质推出； （2）先由底面几何关系与棱锥体积求出高，建立空间直角坐标系，求出平面法向量与直线方向向量，利用线面角和向量夹角的关系计算正弦值； （3）设参数表示动点E的坐标，分别求出两个平面的法向量，利用面面夹角的余弦值列方程求解参数，进而得到线段长度的比值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取、的中点为、，连结、， 为的中点，是边长为的等边三角形，故， 是直角三角形，，，． 、的中点为、，，，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形， ，． 以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为，，轴， 如图建立空间直角坐标系 则，，，，，，， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于． 【小问3详解】 在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为， 设， 由（2）知，，， ，， ， 面的法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， 由平面和平面夹角余弦值， ， 即， 整理得，， 解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使平面和平面夹角的余弦值为，此时． 19. 如图，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置． （1）如图，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面平面． （2）如图，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围． （3）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图所示，记四面体的内切球半径为，证明：． 【答案】（1）证明：由题意知，， 而，是的中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面 （2） （3）证明：是四面体的表面积，， 令异面直线与所成角为， ， 因为是公垂线，上的点和上的点的最短距离是， ，（取不到等号） ， ， 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直的定义去证明； （2）建立空间直角坐标系，设，根据，求出的范围，将平面与平面所成锐二面角余弦值表示为的函数，再求范围； （3）证明关键，. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内作的垂线作为轴，所以轴， 如图以为坐标原点，分别以，为，轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为，，设， 所以，，，，， 则，， 所以，， ，， 设平面的法向量， 得， 取， ， 解得 设平面的法向量， 得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为，则 由于在上单调递增，故 故， 所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $