精品解析：重庆市永川中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

重庆市永川中学校高2026届高二（上）12月月考 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟 第I卷（选择题共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 2. 已知圆与圆外切，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 4. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 异面垂直 D. 异面不垂直 5. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 5 C. 5或－5 D. 或 7. 已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为（ ） A. 12 B. 24 C. 16 D. 8 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，，，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知，，点P满足．则（ ） A. 点P的轨迹为双曲线 B. 直线上存在满足题意的点P C. 满足的点P共有0个 D. 的周长的取值范围是 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值4 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在直线上，若的最小值为4，则_______． 13. 若数列满足，，则__________． 14. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为3，则的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，. （1）若，求证：为等差数列. （2）求数列的前项和. 16. 在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点. （1）求圆M的方程； （2）过坐标原点O的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程. 17. 已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角. 18. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程，并求的值； （2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 19. 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点． （1）求双曲线的方程； （2）延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； （3）若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市永川中学校高2026届高二（上）12月月考 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟 第I卷（选择题共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】确定点关于平面以及关于x轴对称的点的坐标，即可求得答案. 【详解】由题意得点关于平面对称的点为，关于x轴对称的点为， 则，，所以． 故选：C 2. 已知圆与圆外切，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值. 【详解】对于圆，其圆心坐标，半径. 对于圆，即， 其圆心坐标，半径， 因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距， 根据两圆外切性质，即，解得. 故选：B. 3. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据要求列出方程和不等式，然后求解出的值即可. 【详解】因为表示焦点在轴上且焦距为的椭圆， 所以，解得， 故选：C. 4. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 异面垂直 D. 异面不垂直 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【详解】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 5. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线定义以及为直角三角形，可得，再结合，即可联立得到，进而求出离心率. 【详解】由题知，， 因为点为在第一象限上的一点，所以，则， 又为直角三角形，所以不可能为， 若，则， 即，可得，无解，此时不存在， 所以，即， 所以，即， 所以，. 故选：C. 6. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 5 C. 5或－5 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据式子的结构特征可进行组合与提取公因式，再利用等差数列性质和等差中项公式不断简化式子即可得解. 【详解】由题，解得， 故选：C. 7. 已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点差法结合已知可得，进而求出，根据椭圆上一点到焦点的距离的最小值为求得结果. 【详解】设，则， 两式作差得，即，即①， 因为点恰好是的中点，所以， 又因为直线的斜率为， 将它们代入①式得，解得， 又，则， 所以椭圆上一点到焦点的距离的最小值为． 故选：B． 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为（ ） A. 12 B. 24 C. 16 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】已知条件双曲线 【详解】由题意知解得，故双曲线C的标准方程为． 由题意及双曲线的对称性，平行四边形与双曲线如图． 四边形为平行四边形，所以． 由题知，直线的斜率不为零，且，故设直线的方程为． 由，消去并整理得，，， 设，由根与系数的关系可得． 因为点均在双曲线的右支上，且双曲线渐近线的斜率为：，所以，解得， 所以．， 令，则，所以． 因为在上单调递减， 当时，，所以面积的最小值为12 故选：A 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由题意可得，计算可得判断A；可求判断B；，可判断C；计算可得判断D. 【详解】设等差数列的公差为， 又等差数列的前项和为，，， ∴，解得，，故A正确； ，故B错误； ，∴，故C正确； ，，∴，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知，，点P满足．则（ ） A. 点P的轨迹为双曲线 B. 直线上存在满足题意的点P C. 满足的点P共有0个 D. 的周长的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，，则再根据双曲线的定义可得点的轨迹方程是双曲线的右支判断A,联立方程组计算判断B,根据点到渐近线的距离判断C，转化的周长为，再结合三点共线判断D. 【详解】因为，， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支， 所以，故， 所以的轨迹方程为，双曲线的右支，故A错误； 联立，解得（舍去）， 所以直线上存在满足题意的点，故B正确； 双曲线的渐近线方程为， 则点到渐近线的距离， 所以满足的点共有0个，故C正确； 因为即左焦点， 而， 因为，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的周长的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化的周长为，再结合当三点共线时取得最小值. 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值4 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：由的面积不变，点到平面的距离不变，求出体积即可；对B：以为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，结合向量的夹角公式，可判定B正确；对C：设，求得平面的一个法向量为，得到，可判定C错误；对D：由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹，可判定D正确. 【详解】解：对于A：的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长， 所以三棱锥的体积不变， 且，所以A错误； 对于B：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 可得， 设，则，， 设与所成角为， ＝＝， 因为， 当时， 可得，所以， 当时，＝， 由， 所以， 所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B正确； 对于C，由， 设， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得， 所以， 因为平面， 所以，可得， 所以＝＝， 当时，等号成立，所以C错误； 对于D：因为直线与平面所成的角为， 由平面，得直线与所成的角为， 若点在平面和平面内， 因为，，故不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，作平面，如图所示， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点的轨迹的长度为， 综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在直线上，若的最小值为4，则_______． 【答案】或9 【解析】 【分析】根据的几何意义，结合点线距离公式求参数即可. 【详解】因为点在直线上， 那么的最小值是定点到直线的距离的平方， 所以，解得或9． 故答案为：或9 13. 若数列满足，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系，结合累乘法求解即可. 【详解】因为①， 所以②， ②①得，， 所以有， 所以． 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为3，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，可得抛物线的方程和直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得中点的坐标和弦长，可得圆的半径，在中，由锐角三角函数的定义可得所求值. 【详解】 抛物线得焦点为，准线方程为， 由题意得，则抛物线方程为，， 直线方程为， 由得，， 设的横坐标为，则，， 所以，，圆的半径为4， 过点作轴于点，则， 在中，. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，. （1）若，求证：为等差数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明：因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，则， 所以， 所以 . 16. 在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点. （1）求圆M的方程； （2）过坐标原点O的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆的相切的关系得出圆心与切点连线方程，联立方程组计算可得圆心坐标，根据两点距离公式计算半径即可得圆M的标准方程； （2）根据弦长公式可得圆心M到直线的距离，分类讨论直线斜率是否存在，并点到直线的距离公式计算斜率即可. 【小问1详解】 易知过点且与直线垂直的直线斜率为， 故圆心M与切点连线方程为， 联立解得， 所以； 所以圆M的半径为， 所以圆M的方程为. 【小问2详解】 如图，由（1）可知圆M的方程为， 因为直线被圆M截得的弦长为， 所以M到直线的距离为， 若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意； 若直线的斜率存在，设方程为， 则，即，解得或， 所以直线的方程为或. 17. 已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角. 【答案】（1）证明：平面平面， 又， 又，平面，平面 又平面.又 ， 即.又平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明、来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 易得， 设平面的法向量，则， 取，则法向量. 由（1）可知平面的法向量. 平面与平面的夹角为. 18. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程，并求的值； （2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可求出抛物线方程； （2）设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可. 【小问1详解】 抛物线：的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 所以，解得， 所以抛物线方程为， 又因为点在抛物线上，所以，即. 【小问2详解】 由（1）可知抛物线的焦点， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 由，消去整理得， 所以，则，， 所以， ， 又，所以，， 因为，所以， 即， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 19. 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点． （1）求双曲线的方程； （2）延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； （3）若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或或 （3）当重合时，； 当不重合时，存在实数，使得. 【解析】 【分析】（1）根据“共轴”曲线定义，直接列式计算可得答案； （2）设，由，可得，代入方程与方程联立，即可求得点P的坐标； （3）讨论当重合时，；不重合时，设出直线的方程为，与双曲线方程联立，消元后利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值. 【小问1详解】 根据题意双曲线， 因为，解得， 双曲线的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，，， 设， 已知，又， 所以， 由点Q在椭圆上，则， 又点为双曲线上任意一点，则， 联立，解得，或， 所以点P的坐标为或或； 【小问3详解】 当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由如下， 当重合时，由题意，则，则， 当不重合时，，设直线的方程为，， 由得， 因为双曲线的渐近线方程为， 又直线交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以， 由韦达定理得，， 所以 ， 所以存在实数，使得. 【点睛】思路点睛：本题的解题思路是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断是否为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $