精品解析：天津市滨海新区紫云中学2026-2027学年第一学期高三年级第一次学情检测数学试题

天津市滨海新区紫云中学 2026-2027 学年第一学期高三年级第一次学情检测 数学学科试题 一、单项选择题 (每小题 5 分， 共 50 分. 每小题给出的四个选项中， 只有一 个选项是正确的.) 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集、补集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，， 所以，则. 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式，转化第一个不等式，进而根据充要条件的定义，可得答案. 【详解】解：“” “” “” 当“”时，“”不一定成立， 当“”时，“”一定成立， 故“”是“”的必要而不充分条件， 故选：． 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，结合特殊情况可排除，从而得到答案. 【详解】对A，令，定义域为， 因为， 所以函数为奇函数， 所以其图象关于原点对称，故A不满足； 对B，当时，，故B不满足； 对C，当，故C不满足； 而D均满足以上分析. 故选：D. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 5. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用角终边上点的坐标求出的值，再根据三角函数诱导公式化简待求表达式，最后代入化简后的式子计算即可求解. 【详解】已知角终边上一点， 则，， 因为，， 所以. 6. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的坐标计算，然后利用在上的投影向量公式求解即可. 【详解】由题， 根据投影向量公式可得. 7. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减，判断出函数的单调增区间. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为. 由于在上递减，函数的图象开口向上，且对称轴为. 则函数在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调增区间为. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查复合函数单调性的判断，属于基础题. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①若，则函数的值域为 ②是函数图象的一个对称轴 ③函数在区间上是增函数 ④函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象求得函数解析式，然后利用正弦函数性质确定单调性、对称中心、函数值域及三角函数图象变换判断即得． 【详解】由图象可得：，，则，可得， 由在处取到最小值，则， ∵，则， ∴，解得， 故. 若，则， ∴，且函数在区间上不是增函数，①正确，③错误； ∵为最小值， ∴是函数图象的一个对称轴，②正确； 函数的图象向右平移个单位长度得到，④正确； 故选：C. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 某校高一年级共有男女学生人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为人的样本，若样本中男生有人，则该校高一年级女生人数是 B. 已知关于的回归直线方程为，若，则 C. 数据的第百分位数为 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样计算判断A；根据回归方程经过样本中心判断B；求出第75百分位数判断C；利用独立性检验的思想判断D. 【详解】对于A，由抽样比为，样本中女生有人，可得该校高一年级女生人数是人，A正确； 对于B，线性回归方程中，根据回归方程经过样本中心，关于的回归直线方程为，若，则，B正确； 对于C，由，得第百分位数为，C错误； 对于D，由，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于，D正确. 故选：C. 10. 已知函数，有下列命题： ①为函数图象的一条对称轴； ②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为； ③在上恰有3个零点，则实数的取值范围是； ④函数在上单调递减，其中错误的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简，根据对称轴处取得最值判断①；先求出，再根据余弦函数的性质判断②；根据零点求值判断③；根据正弦函数的单调区间判断④. 【详解】由 . 对于①，， 则为函数图象的一条对称轴，故①正确； 对于②，， 当时，， 由于在上的最大值为，所以，则， 所以的最大值为，故②正确； 对于③，当时，， 因为在上恰有3个零点， 所以，解得，故③错误； 对于④，当时，， 因为在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故④正确. 故选：A. 二、填空题 (每小题 5 分， 共 40 分) 11. 在的二项展开式中，x的系数为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，即可求解x的系数． 【详解】的通项为， 令，则展开式中x的系数为， 故答案为：． 12. 已知复数（其中为虚数单位），则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简复数，再利用复数模的公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 若，其中，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，且， 故. 因，且，所以. 所以. 14. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率之和为1，求得，再利用正态曲线的对称性得，即可求得答案. 【详解】解：因为，所以， 因为随机变量服从正态分布， 所以， 所以. 故答案为：0.6. 15. 已知向量，，其中，，若，则的最小值是____． 【答案】 【解析】 【分析】先由向量平行得到方程，求出，再由基本不等式“1”的代换求出最小值 【详解】，故，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 16. 某射击小组共有10名射手，其中一级射手2人，二级射手3人，三级射手5人，现选出2人参赛，已知至少有一人是一级射手，则另一人是三级射手的概率为__________.若一､二､三级射手获胜概率分别是，则任选一名射手能够获胜的概率为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据条件概率及全概率公式求解. 【详解】至少有一人是一级射手的概率为，一人是一级射手且另一人是三级射手的概率为，至少有一人是一级射手，则另一人是三级射手的概率为. 一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是 ， 则任选一名射手能够获胜的概率为. 故答案为: ； 0.64 . 17. 中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 18. 已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法结合函数图象分析方程的根的情况即可. 【详解】作出函数的大致图象，如图所示， 令，则可化为， 则或， 则关于的方程恰有5个不同的实数解 等价于的图象与直线的交点个数之和为5个， 由图可得函数的图象与直线的交点个数为2， 所以的图象与直线的交点个数为3个， 即此时，解得. 故答案为：. 三、解答题 (本题共 4 小题， 共 60 分) 19. 已知函数 （1）求的对称中心坐标； （2）当时， ①求函数的单调递减区间； ②求函数的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的值． 【答案】（1） （2）① ②当时，取得最大值为，当时，取得最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式与辅助角公式化简可得，即可求解； （2）①由正弦函数单调性求得的取值范围解不等式即可求得结果；②根据①中的单调区间求解即可得出答案. 【小问1详解】 易知 ； 由可得， 所以的对称中心坐标为 【小问2详解】 ①时，可得， 而正弦函数在上单调递减， 由可得； 所以函数的单调递减区间为； ②由①知函数在上单调递增，在单调递减， 因此，而， 所以， 即当时，取得最大值为，当时，取得最小值为. 20. 已知函数. （1）判断函数的单调性; （2）求函数的极值； （3）方程在区间内有三个实数解，求的取值范围. 【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减 （2）极大值为，极小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的符号判断原函数的单调性； （2）根据（1）中的单调性分析极值即可； （3）分析可知与在区间内有三个实数解，结合函数的图象即可得结果. 【小问1详解】 因为的定义域为，则， 令，解得或；令，解得； 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）可知：函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为. 【小问3详解】 若方程在区间内有三个实数解， 等价于与在区间内有三个实数解， 因为，可知函数在，上单调递增，在上单调递减， 且，，，， 由图可知：，所以实数的取值范围为. 21. 在中，角、、的对边分别为、、，，. （1）求角； （2）若，，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角； （2）根据三角形面积公式得，，再结合勾股定理得，最后根据诱导公式求解即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【小问1详解】 由正弦定理可知，所以， 即， 又，，则， 因为、，所以，故，所以. 【小问2详解】 由（1）知，因为，， 所以，由三角形面积公式得， 整理得，解得：，所以，， 由勾股定理可得，故， 所以，. 【小问3详解】 由（1）得，则， 即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则，即， 则，故的周长的取值范围为. 22. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程; （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围; （3）若有三个零点，且，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 由等价于， 令.注意到，，依题意，除了1之外，还有两个零点， 又由，令（）， 当时，恒成立，故这时在单调递减，不合题意； 当时，由题意，首先在上有两个零点， 故，解得， 设两个零点为和，有，，故可知，均大于0， 由此可得在单调递增，单调递减，单调递增， 而，即，，， 又因为，， 故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点， 又1为的一个零点，所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点， 实数的取值范围是. ，由， 由此可得，要想证明， 只需证明，而， 因此只需要证明当时，， 令，， 可得，故在上单调递增， 因此当时，，即当时，， 因此， 由，有，即， 两边同时除以，由，有， 即. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程； （2）首先不等式转化为恒成立，并判断，并根据函数的导数，讨论得到取值，判断函数的单调性，即可求解； （3）首先方程等价于，并构造函数，注意到1是函数的一个零点，转化为在上有2个零点，并结合零点存在性定理求的取值范围，由，判断，将所证明不等式转化为，再利用，将不等式转化为，再构造函数，利用导数，判断函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 由函数，可得， 且，则， 曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，等价于， 设，则，， （ⅰ）当，时，， 故，在上单调递增，因此； （ⅱ）当时，令得，. 由和得， 故当时，，在单调递减，因此. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的难点是第三问，关键1是求出的取值，关键2是证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市滨海新区紫云中学 2026-2027 学年第一学期高三年级第一次学情检测 数学学科试题 一、单项选择题 (每小题 5 分， 共 50 分. 每小题给出的四个选项中， 只有一 个选项是正确的.) 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①若，则函数的值域为 ②是函数图象的一个对称轴 ③函数在区间上是增函数 ④函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 下列说法错误的是（ ） A. 某校高一年级共有男女学生人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为人的样本，若样本中男生有人，则该校高一年级女生人数是 B. 已知关于的回归直线方程为，若，则 C. 数据的第百分位数为 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于 10. 已知函数，有下列命题： ①为函数图象的一条对称轴； ②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为； ③在上恰有3个零点，则实数的取值范围是； ④函数在上单调递减，其中错误的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 (每小题 5 分， 共 40 分) 11. 在的二项展开式中，x的系数为_________． 12. 已知复数（其中为虚数单位），则_________． 13. 若，其中，则_________． 14. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 15. 已知向量，，其中，，若，则的最小值是____． 16. 某射击小组共有10名射手，其中一级射手2人，二级射手3人，三级射手5人，现选出2人参赛，已知至少有一人是一级射手，则另一人是三级射手的概率为__________.若一､二､三级射手获胜概率分别是，则任选一名射手能够获胜的概率为__________. 17. 中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 18. 已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围为__________． 三、解答题 (本题共 4 小题， 共 60 分) 19. 已知函数 （1）求的对称中心坐标； （2）当时， ①求函数的单调递减区间； ②求函数的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的值． 20. 已知函数. （1）判断函数的单调性; （2）求函数的极值； （3）方程在区间内有三个实数解，求的取值范围. 21. 在中，角、、的对边分别为、、，，. （1）求角； （2）若，，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 22. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程; （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围; （3）若有三个零点，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $