广东中山市桂山中学2026-2027学年高二上学期第一次学科练习数学试卷

第一次学科练习（2026.10） 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择期）．试卷满分150分．考试时间120分钟． [注意事项】 1．答卷前，考生务必将自已的班级、姓名、4位班座号、10位市统考号，用黑色签字笔或钢笔填写在答题卷密封銭内． 2．选择题涂在答题卡相应位置，非选择题答案写在指定答题区域．考试结束后，只交答题卡． 3．试卷共4页，答题卷共4页，作答时用黑色签字笔或钢笔直接答在指定答题处． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分． 1. 已知一组数据为：3，4，6，7，9，12，则下列说法正确的是（ ） A. 中位数为6，极差为8 B. 中位数为6，极差为9 C. 中位数为6.5，极差为8 D. 中位数为6.5，极差为9 2. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据 的平均数为 ，方差为 ．若将这组数据中的每一个数都乘以 再减去 ，得到一组新数据 ，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知随机事件，互斥，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.8 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知5个互不相等的整数，平均数为2026，极差为4，则这5个数的方差为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 4 D. 5 8. 在正方体中，E为棱BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，若，则所有满足条件的点P构成的图形的周长是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分 9. 同时抛掷两枚均匀硬币，记事件“出现两个反面”，事件“出现一正一反”，事件“出现两个相同的面”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与为互斥事件 D. 为必然事件 10. 若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12. 高一年级有男生600人，女生400人，小丽按男女生进行分层随机抽样的方法，得到男女生的平均身高分别为170cm和162cm，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为50人，那么在这种情况下高一年级全体学生的平均身高为________． 13. 甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为________. 14. 在长方体中，，点为侧面内的一点，且点到点的距离与到平面的距离相等，点满足，则的最小值为__________. 四、解答题 15. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 某高中对高三全年级3200名学生一模数学成绩进行调研，将学生分为四层：基础层1200人、巩固层800人、提升层600人、冲刺层600人.采用按比例分配的分层随机抽样方法，抽取样本容量为16的样本. （1）求四个层次分别抽取的样本容量； （2）从巩固层、提升层抽取的样本中随机抽取2人，请用列举法表示样本空间，并求至少有1人来自提升层的概率； （3）已知巩固层、冲刺层样本成绩方差分别为20、15，样本成绩平均数分别为95、116，求巩固层、冲刺层两层合并样本的总体方差. 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民年龄的第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 18. 在某比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首轮由四人抽签两两对阵，两场比赛胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；第二轮，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到最后的决赛，败者淘汰出局并获得第三名；最后一场比赛在剩下的两人间进行，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵结果相互独立． （1）若． ①求甲获得第四名的概率； ②设甲总共进行了3场比赛为事件，甲获得冠军为事件，证明：事件，相互独立； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人抽签两两对阵，两场比赛的胜者晋级到决赛（争夺冠军），败者参加三、四名排位赛，哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 19. 如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱的中点，G为棱上的动点． （1）是否存在一点G，使得平面？若存在，指出点G位置，并证明，若不存在，说明理由； （2）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积； （3）（ⅰ）若直线与平面所成角为，求的最大值； （ⅱ）求三棱锥的外接球半径的最小值． 第一次学科练习（2026.10） 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择期）．试卷满分150分．考试时间120分钟． [注意事项】 1．答卷前，考生务必将自已的班级、姓名、4位班座号、10位市统考号，用黑色签字笔或钢笔填写在答题卷密封銭内． 2．选择题涂在答题卡相应位置，非选择题答案写在指定答题区域．考试结束后，只交答题卡． 3．试卷共4页，答题卷共4页，作答时用黑色签字笔或钢笔直接答在指定答题处． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 【12题答案】 【答案】166.8cm 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）连接，交于点， 因为底面是正方形，所以 是的中点， 又因为E是侧棱的中点， 所以在中，是中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 【16题答案】 【答案】（1）基础层人、巩固层人、提升层人、冲刺层人. （2）， ，，. （3） 【17题答案】 【答案】（1）人， （2） （3）. 【18题答案】 【答案】（1）①； ②甲总共进行了3场比赛，有四种可能性分别为 第一轮胜进入“胜区”，第二轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军； 第一轮胜进入“胜区”，第二轮胜进入决赛，决赛败获得第二名； 第一轮胜进入“胜区”，第二轮败，第三轮败获得第三名； 第一轮败进入“败区”，第二轮胜，第三轮败获得第三名； 所以， 甲获得冠军，有三种可能性分别为 第一轮胜进入“胜区”，第二轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军； 第一轮胜进入“胜区”，第二轮败，第三轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军； 第一轮败进入“败区”，第二轮胜，第三轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军； 所以， 事件和事件同时发生，只有一种可能，即甲连续三场全胜获得冠军， 所以， 因为， 所以事件，相互独立. （2）在“双败淘汰制”下甲夺冠的概率， 在“单败淘汰制”下甲夺冠的概率， 因为， 所以当时，，即“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，，即两种赛制下甲夺冠的概率一样； 当时，，即“双败淘汰制”对甲夺冠有利. 【19题答案】 【答案】（1）存在一点G，当点G为的中点时，使得平面， 连接，如图所示：   ∵点分别是的中点，，同理， 又平面，平面，所以，则， 同理可证：， 又因为平面，∴平面. （2） （3）（ⅰ）（ⅱ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $