精品解析：广东深圳市东北师范大学附属中学深圳学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2026-2027上学期高二年级月考考试（数学）学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高二数学组 审题人：高二数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，则， 因为， 所以， 所以，解得， 故， 所以的虚部为． 2. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即， 所以这两条平行直线之间的距离为． 3. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ） A. 至多一个 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系性质，结合点到直线距离公式、椭圆内部点的性质进行求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为直线和圆没有交点， 所以． ， ∴点在椭圆的内部， ∴过点的直线与椭圆的交点有2个. 4. 甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出基本事件，将所求事件表示出来，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的积的概率公式求解即得. 【详解】设甲、乙、丙三人参加考试合格的事件分别为，则,而三人中恰有两人合格记为：, 因考试的结果相互独立，且，，两两互斥，故得三人中恰有两人合格的概率为： . 故选：B． 5. 已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】运用作差法、中点坐标公式及直线斜率求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于，， 由题意得，， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以，即，所以，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 6. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在单调递减 C. 在上单调递增 D. 的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断BC选项；利用余弦型函数的最值可判断D选项. 【详解】因为， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，当时，， 所以，函数在单调递减，B对； 对于C选项，当时，， 所以，函数在上不单调，C错； 对于D选项，，D错. 故选：B. 7. 已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设出点，利用两点距离公式将转化为圆的方程，则条件等价为两圆有交点，再根据两圆相交求解即可. 【详解】设，由，得，化简整理，得. 由题意得，圆（）与有公共点，故， ，，解得，所以实数的最小值是3. 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，利用椭圆的定义及勾股定理解得， 表示出，，再利用锐角三角函数表示出，由余弦定理表示出，即可得到方程，解得，即可求出离心率. 【详解】如图所示，设，，设，则， 在中，， 由椭圆定义可知，， ，解得， 所以，， 在中，可得， 在中，由余弦定理可得， ， ，即0， 解得，所以椭圆离心率. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ）． A. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 实数x，y满足方程，则的最大值是 D. 已知圆和圆的公共点为A，B，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别判断各选项：A注意两直线斜率不存在的特殊情形；B由直线斜率与倾斜角的关系求范围；C将所求式看作定点与圆上动点连线的斜率，利用相切求最值；D由两圆方程相减求公共弦所在直线，再求弦长． 【详解】A．当时，两直线分别为与，二者互相垂直，但，所以“互相垂直”不能推出，A错误． B．直线的斜率为，故． 设其倾斜角为，则且，所以 B正确． C．方程化为．设，则表示直线的斜率，其中为圆上的动点． 过作圆的上方切线，设其斜率为，则切线为．由圆心到切线的距离等于半径，得 解得，所以的最大值为，C正确． D．两圆方程相减得公共弦所在直线为．代入，得，所以，D正确． 10. 已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的定点、圆的相乘、向量数量积运算、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，直线，即， 由解得，所以定点坐标为，A正确， 对于B，圆的圆心为，半径为， 点与圆心的距离为， 所以的最小值为，此时直线垂直于轴，故此时无最小值， 故B错误， 对于C，设，则， 当，即直线方程为时， 取得最小值为，所以C正确， 对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 则圆心到直线的距离为， 所以， 整理得，所以D错误. 故选：AC 11. 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（ ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义，得到，结合基本不等式，可判定A正确；利用离心率的定义，可判定B错误；取椭圆的上顶点，利用向量的数量积的坐标计算公式，可判定C正确；设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于A，点是椭圆上一点，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由椭圆离心率的定义，可得，所以B不正确； 对于C，取椭圆的上顶点，且， 可得，则， 所以椭圆存在点，使得，所以C正确； 对于D中，由椭圆，可得，且， 设，其中，则， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知，设所求的圆的方程为，再根据圆心在直线上，求得，代入即可得到所求圆的方程. 【详解】因为所求的圆经过两圆和的交点， 所以设所求的圆的方程为， 即， 配方得，所以其圆心为， 又圆心在直线上，代入得， 解得，故所求圆的方程为. 故答案为： 13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆经过原点，且圆上的点与上的点间距离的最大值为8，则的长轴长为________. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意可得，进而得到圆的半径，结合椭圆上一点到焦点的最大距离问题求出，进而求解即可. 【详解】由题意可知，椭圆的半焦距，则圆的半径为， 由圆上的点与上的点间距离的最大值为8， 所以，解得，故的长轴长为. 故答案为：8. 14. 正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先画出图象，确定点的坐标，根据已知条件列出不等式，进而求出离心率的范围. 【详解】如图，根据椭圆的对称性知点在直线上，可得， 因为焦点在正方形的内部，所以， 即， 即，可得， 又，所以， 所以， 又，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的左焦点为，点为椭圆上一点，斜率为1的直线过点，且与椭圆的另一个交点为. （1）求椭圆的方程； （2）点为椭圆的上顶点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得的关系式，求解可得椭圆的方程； （2）设，求得直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求得，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，进而可求得的面积. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 直线的方程为，即． 设， 联立。化简得，所以. ． 又点到直线的距离， 所以的面积为，即的面积为． 16. 已知圆. （1）过点向圆作切线，求切线的方程； （2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先判断点在圆外，当直线斜率不存在时，结合图形易得切线，当直线斜率存在时，设点斜式方程，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即得圆的切线方程； （2）先判断直线与圆相离，结合图形推出，将求的最小值的问题转化为求的最小值问题，由点到直线的距离公式即可求得. 【小问1详解】 由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. 【小问2详解】 如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，． （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值． 【答案】（1） 如图所示，取的中点，连接， 因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以， 又为等边三角形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证平面，根据线面垂直的定义得证线线垂直. （2）先根据四棱锥的体积求四棱锥的高，进而求得，从而建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再利用空间向量法即可求两个平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设四棱锥的高为， 由题设，得，则， 由题设知，所以底面， 因为底面，所以， 故可以点为坐标原点，直线为轴、为轴、为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，所以； 设平面的法向量为， 则，则， 令，则，所以， 所以， 设平面与平面的夹角为，则，所以， 即平面与平面的夹角正弦值为． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足 （1）求； （2）若的面积为，内角的角平分线交边于，求的最大值； 【答案】（1） （2）最大值为2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合两角和的正弦公式进行化简，再利用辅助角公式得到，最后根据三角形中角的范围即可求解角；（2）借助角平分线分割三角形面积，得到关于的表达式，再借助均值不等式即可求出的最大值； 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，则， 又，因此，所以，即， 由，得，故，所以. 【小问2详解】 由得，， 又，所以， 则（当且仅当时取等）， 即的最大值为2. 19. 已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，根据条件可得，再利用椭圆的定义即可求解； （2）设直线，，联立直线与椭圆方程，根据条件，利用根与系数间的关系求出，即可求解. 【小问1详解】 设动圆圆心为，半径为，因为动圆过点，则， 圆的圆心为，半径为，又动圆与圆相内切， 则，所以， 则动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，得到， 所以，则的方程为. 【小问2详解】 设直线，，易知， 由，消得到，即， 则，且①，②， 又，且，所以③， 由①③得到，由②③得到，所以， 整理得到，解得，满足， 所以直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027上学期高二年级月考考试（数学）学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高二数学组 审题人：高二数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ） A. 至多一个 B. 2 C. 1 D. 0 4. 甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在单调递减 C. 在上单调递增 D. 的最大值为 7. 已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ）． A. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 实数x，y满足方程，则的最大值是 D. 已知圆和圆的公共点为A，B，则 10. 已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 11. 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（ ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆经过原点，且圆上的点与上的点间距离的最大值为8，则的长轴长为________. 14. 正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的左焦点为，点为椭圆上一点，斜率为1的直线过点，且与椭圆的另一个交点为. （1）求椭圆的方程； （2）点为椭圆的上顶点，求的面积. 16. 已知圆. （1）过点向圆作切线，求切线的方程； （2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，． （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足 （1）求； （2）若的面积为，内角的角平分线交边于，求的最大值； 19. 已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $