广东中山市中山纪念中学2026-2027学年高二上学期第一次段考数学试题

中山纪念中学2028届高二上学期数学科第一次段考试题 满分150分，考试时长120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50.从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ） A.37 B.20 C.05 D.09 2.从有3个男生和2个女生的小组中任选2人去参加活动，则至少有一个女生参加的概率为（ ） A. B. C. D. 3.一组数据如下：1，4，4，，7，8（其中），若该组数据的平均数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是（ ） A.4 B.7 C.8 D.12 4.如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量（单位：），其频率分布直方图如图（左图为旧养殖法，右图为新养殖法）：根据频率分布直方图，下列说法正确的是（ ） ①新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值； ②新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值； ③新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值； ④新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍. A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①④ 5.已知样本数据，，…，的平均数和方差分别为，，样本数据，，…，的平均数和方差分别是，，若，则为（ ） A.72 B.74 C.12 D.14 6.若随机事件，满足，，则（ ） A. B. C. D. 7.如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱.若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8.如图，水平放置的正方形边长为1，先将正方形绕直线向上旋转，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转得到正方形，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数.记事件为“第一次骰子出现的点数为3”，事件为“第二次骰子出现的点数为5”，事件为“两次点数之和为8”，事件为“两次点数之和为7”，则（ ） A.与相互独立 B.与相互独立 C.与为互斥事件 D.与为互斥事件 10.已知在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，则（ ） A. B.异面直线与所成角的大小为 C.直线与平面所成角的正弦值为 D.点到平面的距离是 11.如图，在三棱柱中，，分别是线段，上的点，且，.设，，，且均为单位向量若，，则（ ） A.与的夹角为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量，，若向量与所成角为锐角，则实数的取值范围为________. 13.已知三棱锥的体积为10，是空间中一点，，则三棱锥的体积是________. 14.如图，图中共有10个交汇点：，，，，，，，，，.已知质点甲在地，质点乙在地，若每经过一次移动，两质点都将等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交汇点，则同时经过两次移动后，两质点移动到同一个交汇点的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分）抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的骰子. （1）用适当的方法表示上述随机试验的样本空间，并求两枚骰子点数之积不等于12的概率； （2）记：“两枚骰子点数之和能被3整除”，“蓝色骰子点数大于黄色骰子点数”，求，. 16.（15分）某学校为促进学生对传统文化的了解程度，举办了“传统文化”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本.将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）请估计样本数据的第59百分位数； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 17.（15分）如图，在直三棱柱中，已知，，，.是线段的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求钝二面角.的余弦值. 18.（17分）在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局.现有8支球队随机编号到对阵位置（如下图示），已知甲、乙，丙三队参赛，甲队对战任何一队获胜的概率均为，除甲队外，其余所有球队在与对另一球队在对决中获胜的概率均为，比赛没有平局. （1）分别求甲队和乙队获得冠军的概率； （2）分别求甲、乙两队在第轮（其中）相遇的概率； （3）求甲队与乙、丙两队都对决过且甲队获得冠军的概率. 19.（17分）如图，在正三棱台中，，，分别为，中点. （1）求与平面所成角的余弦值； （2）设，分别为棱，上的点，且（，，，均在平面上，若面积是面积的8倍，①求；②求与平面夹角的余弦值. 中山纪念中学2028届高二上学期数学科第一次段考试题 数学科答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B C C B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABD BD BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. 14. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15解：（1）记第一枚骰子点数为，第二枚骰子点数为，一个样本点为样本空间如下：（也可以用列举法）. 共有36个样本点： 设“两枚骰子点数之积为12”，则“两枚骰子点数之积不为12”， ，包含了4个样本点， 根据古典概型，得：， 所以：. （2），共包含12个基本事件，共包含15个基本事件，共包含5个基本事件 根据古典概型，， . 16.解：（1）由，解得； （2）因为， ， 所以样本数据的第59百分位数在内， 可得， 所以样本数据的第59百分位数约为78分； （3）因为样本数据落在的个数为， 落在的个数为， 所以， 总方差. 17.解：（1）因为在直三棱柱中，，，， 所以分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为是的中点，所以， 因为，， 设平面的法向量， 则，即， 取，所以平面的法向量， 而， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2），， 设平面的法向量， 则，即， 取，平面的法向量， 由（1）知平面的法向量， 所以， 又因为二面角为钝二面角， 二面角的大小的余弦值为. 18解：（1）设“甲获得冠军”，“乙获得冠军”. ， 由于剩下的七支队伍获得冠军的概率相等， 所以， 所以. （2）不妨设甲队在编号1的位置，设“甲、乙两队在第轮（其中）相遇” 发生等价于乙队在编号2的位置，所以， 发生等价于乙队在编号3，4的位置，且甲和乙分别战胜第一轮的对手， 所以， 发生等价于乙队在编号5，6，7，8的位置，且甲和乙分别战胜第一轮和第二轮的对手， 所以. （3）由（1）可知，甲获得冠军的概率为， 设“甲与乙、丙两队都对决过且甲获得冠军”，设“甲获得冠军” 记甲等可能地遇到剩余的七支球队，为方便起见，设“甲遇到第支球队”. 其中表示甲队遇到乙队，甲队遇到丙队， 甲获得冠军且在三场对决中可能碰到的队伍情况构成的集合为： 共有35个事件，且这35个事件的概率相等，因此，； 因为 . 19.解：（1）延长，，交于点，四面体为正四面体，其棱长为4，高为， 以中点为坐标原点，以，分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则平面的法向量 则，，，，， ， 设与平面所成角为， 则 （2）①连接并延长，交的延长线于，则，，三点共线，依题意， 设，，因为面积是面积的8倍， 所以. 根据 得： 因为，，三点共线，所以. 联立消去，得， 解得或（舍去） 所以. ②由①知：为中点，平面即为平面. 设平面的法向量为， ， . 令，得：， . 平面的法向量. 设与平面的夹角为， 则 学科网（北京）股份有限公司 $