高中数学微专题11 公切线问题导学案-2027届高三数学一轮复习

高中数学微专题11 公切线问题 一、知识点总结： 1.公切线问题一般思路 两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 2. 求公切线方程 已知其中一个切点时，先求斜率写出切线，再联立求第二条曲线的切点；两个切点均未知时，设两个切点 x₁、x₂，利用上述三条关系列方程组，消元得到单变量方程，方程实根的个数就是公切线的条数。具体方法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则f′(x1)＝g′(x2)＝. 3. 由公切线求参数的值或范围问题 设切点，利用斜率相等、切线截距相等建立等式；消去一个切点变量，得到关于剩余变量与参数的方程；再转化为方程有解或有 n 个不同解的问题，构造新函数，用导数研究函数值域与零点个数，求解参数。 4. 公切线概念与三大关系 公切线：同一条直线同时和两条不同曲线相切，会有两个切点，分别在两条曲线上，切点不一定重合。 设公切线与曲线 y = f(x) 切于 P₁(x₁, f(x₁))，与曲线 y = g(x) 切于 P₂(x₂, g(x₂))，解题的根本依据是以下三个关系： （1）切点处导数等于切线斜率：f′(x₁) = g′(x₂) = k，两条曲线在各自切点的导数相等，都等于公切线斜率； （2）切点在切线上：两个切点都满足切线直线方程； （3）切点在曲线上：P₁ 满足 y = f(x)，P₂ 满足 y = g(x)。 5.易错点总结： 序号 易错点 正确做法 1 误以为公切线的两个切点是同一个点 公切线允许x₁≠ x₂，两个切点分属两条曲线；只有题目明确说“公共点处切线相同”时，切点才重合。做题默认设两个不同切点 x₁、x₂。 2 只写斜率相等，漏掉截距相等 f′(x₁) = g′(x₂) 仅保证斜率一样，斜率相同不代表是同一条直线；必须再利用切线方程保证纵截距相等，两个条件缺一不可。 3 公切线条数直接看导数方程解的个数 仅由 f′(x₁) = g′(x₂) 得到的解不能直接算作公切线条数；要联立截距条件消元，最终方程实根的数量才是公切线数量。 4 方程有解与恰好 n 个解概念混淆 存在至少一条公切线：方程有解，参数落在函数值域内；恰好两条公切线：方程要有两个不同实根，要看函数图像与水平线 y = a 的交点个数。 5 消元计算时随意约掉含变量因式 不要两边直接约掉含未知数的式子，避免丢失根；全部移项整理为方程后再构造函数。 6 分不清“在某点切线”和“过某点切线” “在点 P 处切线”：P 就是切点；“过点 P 切线”：P 不一定是切点，需要另外设切点。公切线题型同样适用这一区分。 7 构造函数之后忽略定义域 切点受原函数定义域约束；构造新函数时自变量要带上定义域，求值域不能算上定义域以外的部分。 8 参变分离之后忽略等号取舍 确定参数范围时，要检验极值点对应的切点是否在定义域内，判断等号能不能取到。 必考题型全归纳： 题型一 求公切线方程、判断公切线的条数 1.设两个切点横坐标 x₁、x₂； 2.分别求导，写出两条切线的点斜式； 3.因为是同一条直线，斜率相等、纵截距相等，建立方程组； 4.消元，得到只含一个变量的方程； 5.解方程：实根个数即公切线的条数；求出切点后代回得到切线方程。 1．已知函数，，若与在公共点处的切线相同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设曲线与的公共点为，根据题意可得出关于、的方程组，进而可求得实数的值. 【详解】设函数，的公共点设为， 则，即，解得， 故选：B. 【点睛】本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能力，属于中等题. 2．函数在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】先求直线为函数的图象上一点，处的切线方程，再设直线与曲线相切于点，，进而可得，根据函数图象的交点即可得出结论． 【详解】解：，，，， 切线的方程为，即，① 设直线与曲线相切于点，，，，． 直线也为，即，② 由①②得， 如图所示，在同一直角坐标系中画出的图象，即可得方程有两解，故切点有2个. 故选：C 3．曲线与曲线的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图象，从而确定正确选项. 【解】画出以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A选项符合. 故选：A 4．对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，然后求得，由求得，设，由得及，再由得，解得后可得． 【详解】设， ， 设，则，即……① 又，即 ……② 由①②可得，.故选：B. 题型二 公切线背景下求参数、参数取值范围 1.设两个切点 x₁、x₂，写出两条切线； 2.根据斜率相等、截距相等建立方程组，消掉其中一个切点变量； 3.得到形如 F(t) = a 的等式：存在公切线等价于方程有解，即 a 在函数 F(t) 的值域内；恰好 n 条公切线等价于方程恰好有 n 个不同实根，即函数图像与水平线 y = a 有 n 个交点； 4.构造函数，求导分析单调性、极值，画出简图，求解参数的值或取值范围。 5．已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①，令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为，所以.故选：D 6．若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解. 【详解】因为直线与曲线相切，切点为， 可知直线的方程为， 又直线与曲线也相切，切点为， 可知直线的方程为， 所以，两式相除，可得，所以.故选：B 7．已知曲线在点处的切线也与曲线相切，则所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切线l与曲线的切点为，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果. 【详解】设该切线为l，对求导得， 所以l的方程为，即．设l与曲线相切的切点为， 则l的方程又可以写为，即．所以，． 消去m，可得，， 令，则．设， 当时，，所以在上单调递增，又，， 所以，所以．故选：C. 8．若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可 【详解】，，设公切线与的图像切于点， 与曲线切于点，所以， 故，所以，所以， 因为，故，设， 则，令 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减，所以，所以实数a的最大值为e，故选：A. 巩固提升： 1．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求得 在 处的切线方程，然后与联立，由 求解 【详解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲线在处的切线方程为，由得，由，解得． 故选：B 2．已知函数，则和的公切线的条数为 A．三条 B．二条 C．一条 D．0条 【答案】A 【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程，构造函数，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数. 【详解】设公切线与和分别相切于点，，解得，代入化简得，构造函数，原函数在，极大值 故函数和x轴有交3个点，方程有三解，故切线有3条. 故选A. 【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x轴的交点问题. 3．与曲线和都相切的直线方程为__________. 【答案】 【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，所以该直线的方程为，即， 设直线与曲线相切于点， 因为，所以该直线的方程为，即， 所以，解得， 所以该直线的方程为，故答案为：. 4．已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程______． 【答案】或 【分析】假设切点分别为，，根据导数几何意义可求得公切线方程，由此可构造方程求得，代入公切线方程即可得到结果. 【详解】设公切线与相切于点，与相切于点， ，，公切线斜率； 公切线方程为：或， 整理可得：或， ，即， ，解得：或， 公切线方程为：或.故答案为：或. 5．已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为______． 【答案】或 【分析】分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，，即得解. 【详解】解：由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：； 由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：．所以，，消去得， 故或，所以直线l的方程为：或．故答案为：或 6．已知直线是曲线与的公切线，则__________. 【答案】 【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算. 【详解】设曲线上切点，， 切线斜率，切线方程，即 同理，设曲线上切点，， 切线斜率，切线方程，即，所以，解得， 所以，，.故答案为：. 7.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______． 【解析】设与和，分别切于点，， 由导数的几何意义可得：，即，① 则切线方程为，即， 或，即，② 将①代入②得， 又直线是曲线的切线，也是曲线的切线， 则，即，则或， 即或，故答案为1或． 8.已知直线与函数的图像相切于点，与函数的图像相切于点，若，且，，则______． 【解析】依题意，可得，整理得 令，则在单调递增 且，∴存在唯一实数，使 ，，， ，，∴，故． 9．定义：若直线l与函数，的图象都相切，则称直线l为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（    ） A．e B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线与的切点为，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为，.两条切线重合，即可得出有唯一实根.构造，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案. 【详解】设直线与的切点为， 因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为， 即该直线的方程为，即.设直线与的切点为， 因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为， 即该直线的方程为，即. 因为函数和有且只有一条公切线， 所以有，即有唯一实根. 令，则. 解，可得. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以在处取得最大值. 当时，，，函数图象如图所示， 因为，有唯一实根，所以只有.故选：C 10．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，，即该方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围. 【详解】解：设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且，又，则公切线的斜率，则，所以，则公切线方程为，即， 代入得：，则，整理得， 若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，设，则，令得， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如下： 所以，解得，故实数a的取值范围为.故选：B. 【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为，且，，且，可得，即有，得公切线方程为，代入切点将双变量方程转化为单变量方程，根据含参方程进行“参变分离”得，转化为一曲一直问题，即可得实数a的取值范围. 11．若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a关于切点x的解析式，根据解析式的值域确定a的范围. 【详解】设是曲线的切点，设是曲线的切点， 对于曲线 ，其导数为 ，对于曲线 ，其导数为 ， 所以切线方程分别为：，，两切线重合， 对照斜率和纵截距可得：，解得（），令 （）， ，得：， 当 时， ，是减函数，当 时， ，是增函数， ∴且当x趋于 时，， 趋于 ；当 趋于 时， 趋于； ∴，∴；故选：D． 12．若曲线与曲线存在公切线，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，设公切线与切于点，与曲线切于点，，即可得到，则或，从而得到，在令，，利用导数求出函数的最小值，即可得解； 【详解】因为，，所以，， 设公切线与切于点，与曲线切于点，， 所以， 所以，所以，所以或， 因为，所以，所以，所以， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以实数的最小值为.故选：A 【点睛】涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值. 13（多选）．若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设该直线与相切于点，求出切线方程为，设该直线与相切于点，求出切线方程为，联立方程组，得到，令，讨论的单调性，从而得到最值，则可得到，解出的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内. 【详解】设该直线与相切于点，因为，所以， 所以该切线方程为，即. 设该直线与相切于点，因为，所以， 所以该切线方程为，即，所以， 所以， 令， 所以当时，0；当时，； 在和上单调递减；在和上单调递增； 又，所以， 所以，解得，所以的取值范围为，所以A正确； 对于B，，所以，所以B正确； 对于C， 因为，所以C正确； 对于D， 因为，所以D不正确.故选：ABC 14．函数，，下列说法正确的是（    ）．（参考数据：，，，） A．存在实数m，使得直线与相切也与相切 B．存在实数k，使得直线与相切也与相切 C．函数在区间上不单调 D．函数在区间上有极大值，无极小值 【答案】AB 【分析】对AB，设直线与、分别切于点，利用点在线上及斜率列方程组，解得切点即可判断； 对CD，令，由二阶导数法研究函数单调性及极值. 【详解】对AB，设直线l与、分别切于点，，， 则有，解得或. 当，则，，，公切线为，此时存在实数满足题意； 当，则，，，公切线为，此时存在实数满足题意，AB对； 对CD，令，，则， 由得在单调递增， 由得，时，，单调递增，CD错.故选：AB. 15．（2023·全国·高三专题练习）若曲线与有一条斜率为2的公切线，则___________. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解. 【详解】设公切线在曲线与上的切点分别为， 由可得，所以，解得， 所以,则，所以切线方程为， 又由，可得，所以，即， 所以， 又因为切点，也即在切线上， 所以，解得，所以.故答案为: . 16．已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围. 【详解】设公切线与曲线和的切点分别为，，其中， 对于有，则上的切线方程为，即， 对于有，则上的切线方程为，即， 所以，有，即， 令，， 令，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，故，即.∴正实数的取值范围是. 故答案为：. 17．若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的最大值为___________. 【答案】 【分析】设切线与两曲线的切点分别为，，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得，由题意可知有解，故令，利用导数求得其最值，即可求得答案. 【详解】由题意知两曲线与存在公切线， 时，两曲线与，不合题意； 则的导数，的导数为， 设公切线与相切的切点为，与曲线相切的切点为， 则切线方程为，即， 切线方程也可写为，即， 故，即，即，即有解，令 ，则， 令可得，当时，，当时，， 故在是增函数，在是减函数，故的最大值为， 故，所以，即实数的最大值为，故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学微专题11 公切线问题 一、知识点总结： 1.公切线问题一般思路 两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 2. 求公切线方程 已知其中一个切点时，先求斜率写出切线，再联立求第二条曲线的切点；两个切点均未知时，设两个切点 x₁、x₂，利用上述三条关系列方程组，消元得到单变量方程，方程实根的个数就是公切线的条数。具体方法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则f′(x1)＝g′(x2)＝. 3. 由公切线求参数的值或范围问题 设切点，利用斜率相等、切线截距相等建立等式；消去一个切点变量，得到关于剩余变量与参数的方程；再转化为方程有解或有 n 个不同解的问题，构造新函数，用导数研究函数值域与零点个数，求解参数。 4. 公切线概念与三大关系 公切线：同一条直线同时和两条不同曲线相切，会有两个切点，分别在两条曲线上，切点不一定重合。 设公切线与曲线 y = f(x) 切于 P₁(x₁, f(x₁))，与曲线 y = g(x) 切于 P₂(x₂, g(x₂))，解题的根本依据是以下三个关系： （1）切点处导数等于切线斜率：f′(x₁) = g′(x₂) = k，两条曲线在各自切点的导数相等，都等于公切线斜率； （2）切点在切线上：两个切点都满足切线直线方程； （3）切点在曲线上：P₁ 满足 y = f(x)，P₂ 满足 y = g(x)。 5.易错点总结： 序号 易错点 正确做法 1 误以为公切线的两个切点是同一个点 公切线允许x₁≠ x₂，两个切点分属两条曲线；只有题目明确说“公共点处切线相同”时，切点才重合。做题默认设两个不同切点 x₁、x₂。 2 只写斜率相等，漏掉截距相等 f′(x₁) = g′(x₂) 仅保证斜率一样，斜率相同不代表是同一条直线；必须再利用切线方程保证纵截距相等，两个条件缺一不可。 3 公切线条数直接看导数方程解的个数 仅由 f′(x₁) = g′(x₂) 得到的解不能直接算作公切线条数；要联立截距条件消元，最终方程实根的数量才是公切线数量。 4 方程有解与恰好 n 个解概念混淆 存在至少一条公切线：方程有解，参数落在函数值域内；恰好两条公切线：方程要有两个不同实根，要看函数图像与水平线 y = a 的交点个数。 5 消元计算时随意约掉含变量因式 不要两边直接约掉含未知数的式子，避免丢失根；全部移项整理为方程后再构造函数。 6 分不清“在某点切线”和“过某点切线” “在点 P 处切线”：P 就是切点；“过点 P 切线”：P 不一定是切点，需要另外设切点。公切线题型同样适用这一区分。 7 构造函数之后忽略定义域 切点受原函数定义域约束；构造新函数时自变量要带上定义域，求值域不能算上定义域以外的部分。 8 参变分离之后忽略等号取舍 确定参数范围时，要检验极值点对应的切点是否在定义域内，判断等号能不能取到。 必考题型全归纳： 题型一 求公切线方程、判断公切线的条数 1．已知函数，，若与在公共点处的切线相同，则（） A． B． C． D． 2．函数在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．曲线与曲线的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（    ） A． B． C． D． 题型二 公切线背景下求参数、参数取值范围 5．已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（  ） A． B．3 C． D．2 6．若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（  ） A． B． C．0 D．1 7．已知曲线在点处的切线也与曲线相切，则所在的区间是（    ） A． B． C． D． 8．若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 巩固提升： 1．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．3 2．已知函数，则和的公切线的条数为 A．三条 B．二条 C．一条 D．0条 3．与曲线和都相切的直线方程为__________. 4．已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程______． 5．已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为______． 6．已知直线是曲线与的公切线，则__________. 7.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______． 8.已知直线与函数的图像相切于点，与函数的图像相切于点，若，且，，则______． 9．定义：若直线l与函数，的图象都相切，则称直线l为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（    ） A．e B． C． D． 10．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 12．若曲线与曲线存在公切线，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 13（多选）．若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 14．函数，，下列说法正确的是（    ）．（参考数据：，，，） A．存在实数m，使得直线与相切也与相切 B．存在实数k，使得直线与相切也与相切 C．函数在区间上不单调 D．函数在区间上有极大值，无极小值 15．（2023·全国·高三专题练习）若曲线与有一条斜率为2的公切线，则___________. 16．已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为__________. 17．若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的最大值为___________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $