微专题一 三角形中的 “四心” 问题导学案-2027届高三数学一轮复习

高中数学微专题一 三角形中的 “四心” 问题 一、必掌握知识 1.奔驰定理 如图，已知O为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 2.奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 3.奔驰定理的推论及四心问题 推论是内的一点,且,则 有此定理可得三角形四心向量式 （1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. （2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. （3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. （4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等. 奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. （5）已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则；或 ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则，或 研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想. 4、三角形的四心定义 外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 5、三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心的重要结论： （1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 6、三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． ④外心的重要结论： 若点是△的外心，则 或 ；反之，若或 ，则点是△的外心。 7、三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． （3）重要结论：若点是△的内心，则有；反之，若，则点是△的内心． 8、垂心 三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心. 重要结论：若是△的垂心，则或 ，反之，若或 ，则是△的垂心 二 易错点归纳 易错点 1：混淆四心向量表达式 1.重心：无边长系数，； 2.内心：带边长系数（奔驰定理）； 易错：把内心奔驰定理直接套用到重心，忘记乘以边长 易错点 2：外心数量积运算出错 公式：，不要写成。 原理：外心在边上投影是边中点，利用投影简化数量积，很多同学直接展开余弦，计算量大容易算错。 易错点 3：欧拉线向量记错 ；，。易错：记成长短比例，搞反重心分割与的比例 易错点 4：奔驰定理适用条件 ，其中，边长是对边，不要对应错顶点。 易错点 5：空间几何体中四心混淆 三棱锥中，顶点在底面射影： 射影是底面外心侧棱全部相等； 射影是底面垂心侧棱两两垂直；易错：空间里直接套用平面三角形四心，忽略空间条件 易错点6：向量等式变形逻辑 如，移项得到，说明，不是。 易错：直接约掉向量，向量不能做除法 三 必考题型全归纳： 题型一、重心（三条中线交点） 1.几何性质 ①重心把中线分成：重心到顶点距离重心到对边中点距离； ②重心和三个顶点构成的三个三角形面积相等； ③坐标公式：若，重心。 2.向量核心结论 ①若是重心，则； ②对平面任意一点：； ③轨迹判断：，，轨迹过重心； ④过重心的直线交于，交于，，则。 1.若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___． 【答案】 【解析】在中，取中点，连接，由重心的性质可得为的三等分点，且， 又为的中点，所以，所以，所以.故答案为： 2．在平行四边形中，为的重心，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】设与相交于点，根据为的重心，化简得到，结合，求得和的值，即可求解. 【详解】如图所示，设与相交于点，由为的重心，可得为的中点，且，则， 因为，所以，故.故选：A. 3．已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【答案】B 【分析】设出的中点，利用向量的运算法则化简；据向量共线的充要条件得到在三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项 解：如图，取的中点，连接， 则．又，，即．又，点在射线上．故的轨迹过的重心．故选：B． 4．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由向量共线的推论知且，结合已知有，再由重心的性质有，根据平面向量基本定理列方程组即可求值. 【解】由题意且，而x＝，y＝，所以，又G是△ABC的重心，故， 所以，可得，即.故选：A 题型二、外心（三边垂直平分线交点，外接圆圆心） 1.几何性质 ①外心到三顶点距离相等：（外接圆半径）； ②位置：锐角三角形在内部；直角三角形在斜边中点；钝角三角形在外部。 2.向量核心结论 ①为外心； ②数量积重要公式（中点投影法）： 若为中点，则，； ③轨迹判断：在垂直平分线上，过外心； ④欧拉定理：（垂心，外心）。 5.已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】设中点为，所以， 所以， 即，所以， 又由为中点可得点在的垂直平分线上，所以点是的外心，故选：B 6.设为的外心，若，则是的（    ） A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点） C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点） 【答案】C 【解析】在中，为外心，可得， ∵，∴，设的中点为，则，， ∴，可得在边的高线上．同理可证，在边的高线上， 故是三角形两高线的交点，可得是三角形的垂心，故选：C 7．点是平面外一点，且，则点在平面上的射影一定是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】过点作平面，因为，得到，即可求解. 【详解】如图所示，过点作平面， 可得， 因为，可得，所以为的外心.故选：A. 8．已知O为锐角三角形的外心，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算运算性质，结合余弦的二倍角公式、三角形外心的性质进行求解即可. 【详解】设锐角三角形的外接圆的半径为，即， ， ，显然是锐角， 因为O为锐角三角形的外心，所以O在锐角三角形内部， 由圆的性质可知：，显然是锐角， ，或舍去，故选：A 9．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】由，利用数量积的定义得到，从而得到点O在边AB的中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断. 【详解】解：根据题意，，即， 所以，则向量在向量上的投影为的一半， 所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，所以点O为该三角形的外心．故选：B． 题型三、内心（三条角平分线交点，内切圆圆心） 1.几何性质 ①内心到三边距离相等，等于内切圆半径； ②内角被内心与顶点连线平分。 2.向量核心结论 ①单位向量模式：，，轨迹过内心； ②奔驰定理：若是内心，则（为对边边长）； ③为内心。是方向上单位向量；两个不同方向单位向量相加，结果沿角平分线方向。 10.已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向与的角平分线一致，由，可得，即， 所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C. 11．在中，，，，则直线通过的（    ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 【答案】D 【分析】根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定. 【详解】因为,∴， 设,则，又， ∴在的角平分线上，由于三角形中,     故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合， 故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，故选D. 12．在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（    ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据题意，可得四边形为菱形，即可得到平分，从而得到结果. 【详解】 因为，且D为中点，，则， 又因为，则可得四边形为菱形，即为菱形的对角线， 所以平分，即直线经过的内心故选:A 13．在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据三点共线可得，结合图像分析运算． 【详解】如图：圆O在边上的切点分别为，连接，延长交于点，设，则，则 设∵三点共线，则，即 即故选：D． 题型四、垂心（三条高线交点） 1.几何性质：高线 / 高线延长线交点；锐角三角形垂心在内部，直角三角形垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在外部。 2.向量核心结论 ①为垂心（两两垂直，数量积为 0）； ②欧拉公式：； ③轨迹模式：，轨迹过垂心。 14．已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【分析】结合向量数量积的运算求得正确答案. 【详解】由题意知，中，， 则，即，所以， 即，同理，，；所以是的垂心.故选：C 15．已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 . 【答案】 【分析】由题可得，，利用，得，，可得， 再利用平方关系结合条件即得. 【详解】因为， 所以，同理， 由H为△ABC的垂心，得，即， 可知，即， 同理有，即，可知，即， 所以， ，又，所以．故答案为：. 16．在三棱锥中、、两两垂直，是在平面内的射影，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】连接，利用线面垂直的判定定理和性质定理可以得到，，进而得点是垂心. 解：连接，点是在平面内的射影，面， 面，， ∵、、两两垂直，∴， ∵平面，平面， ∴平面，平面， ∵平面，平面，∴， 面，面， 面，面， 面，面，； ∴是△的高线的交点，记为垂心．故选：D     题型六 奔驰定理的应用 17．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案. 【详解】如图，因为， 所以，同理，，所以为的垂心。 因为四边形的对角互补，所以， ． 同理，，， ． ， ．又 ， ． 由奔驰定理得. 故选C． 【点睛】本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题. 18．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABC 【分析】对于A，根据已知条件及奔驰定理，结合三角形重心的性质即可求解； 对于B，根据三角形内心的性质及三角形的面积公式，结合奔驰定理即可求解； 对于C，利用三角形外心的定义及向量的线性运算即可求解； 对于D，利用三角形的垂心的定义及三角形的面积公式，结合奔驰定理及锐角三角函数即可求解. 【详解】对于A，取的中点，连接,如图所示    由，则，所以， 所以三点共线，且，设分别为得中点，同理可得，所以为的重心，故A正确； 对于B， 由为的内心，则可设内切圆半径为，如图所示    则，所以，即，故B正确；对于C ，如图所示    因为为的外心，所以, 所以，即，即,所以, 同理可得， 所以，故C正确； 对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点，如图所示，    由为的垂心，，则， 又，则，设，则， 所以，即， 所以，所以，故D错误.故选：ABC. 【点睛】根据奔驰定理及三角形的面积公式，结合三角形的四心的定义及性质即可. 19．奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得，再利用和可得，不妨设，利用可求出的值，从而可求出的值. 【详解】延长交于点P， 是的垂心，， ． 同理可得，． 又，． 又，． 不妨设，其中． ，，解得． 当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉． 故，则，故C为锐角，∴，解得，故选：B． 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用垂心的性质得，再结合已知条件得，设，再利用两角和的正切公式可得，从而可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 题型五、欧拉线综合 外心、重心、垂心共线（欧拉线）；满足：，即。 向量式：，。 20．数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出，知CD正误. 【详解】 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误； ，C错误； ，D正确.故选：D. 巩固提升： 1．已知△ABC的重心为O，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】△ABC的重心O为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，根据向量线性运算的几何表示结合条件即得. 【详解】设分别是的中点， 由于是三角形的重心，所以. 故选：C. 2．O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 【答案】D 【分析】根据向量线性关系可得，结合的几何意义判断所过的点，即可得答案. 【详解】由题设， 而所在直线过中点，即与边上的中线重合，且，所以P的轨迹一定通过的重心. 故选：D 3．在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，根据平面向量的线性运算即可求解. 【详解】如图，为的重心，延长交于点， 由题意可知，，所以， 所以，故选：A. 4．设为的重心，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解. 【详解】因为为重心，所以， 所以，故选：B. 5．边长为2的正中，G为重心，P为线段BC上一动点，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】建立适当的直角坐标系，根据题意求出点和点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】如图：以所在直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴，建立如图所示直角坐标系，由题意可知：，因为G为的重心，所以， 因为点为线段上一动点，设点， 所以，，则， 故选：． 6．在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解. 【详解】取中点为， 三个式子相加可得, 又 ,故选：D    7.O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】取线段BC的中点E，则．动点P满足：，，则．即可判断出结论． 【详解】取线段BC的中点E，则．动点P满足：，， 则，则. 则直线AP一定通过△ABC的重心．故选：C． 8．在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】先利用平面向量基本定理及三点共线得到，利用基本不等式“1的妙用”求出最小值. 【详解】在中，E为重心，所以， 设，，（，） 所以，，所以. 因为M、E、N三点共线，所以， 所以（当且仅当，即，时取等号）．故的最小值是3．故选：C． 9．在中，，G为的重心，若，则外接圆的半径为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先由条件判定△ABC为等边三角形，再求得△ABC的边长，利用正弦定理求△ABC外接圆的半径即可解决. 【解】由，可得，则有， 又在中，，G为的重心，则为等边三角形， ∵，则， ∴外接圆的半径为故选：C． 10．记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到，结合余弦定理整理得，从而求得. 【详解】依题意，作出图形，因为点是的重心，所以是的中点，故， 由已知得，因为，所以， 又因为点是的重心，所以，则， 又因为，所以，则， 又由余弦定理得，所以，整理得，因为，令，则， 所以，则.故选：D. . 11．点是的重心，，则（    ） A．32 B．30 C．16 D．14 【答案】A 【分析】利用勾股定理和向量垂直数量积为0，列向量方程求解即可. 【详解】记，因为是的重心， 所以，，因为 所以整理得 所以，解得，即故选：A 12．已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解. 【详解】由题意，所以， 即，所以，所以， 又，， 则， 所以，即， 由，，， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 又在上单调递减，，所以当取最大值时，.故选：A 【点睛】此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题. 13（多选）．已知为的重心，，，则的可能取值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】CD 【分析】利用重心性质把用表示后平方求模，得出其取值范围后可得正确选项． 【详解】如图，是的重心，记， 则， ， 又，即，所以，当且仅当时等号成立， 所以．即．只有CD满足．故选：CD． 14（多选）．如图，是所在平面内任意一点，是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，、、分别为、、的中点， 所以，， 同理可得，， 所以，，A错； 对于B选项，由重心的性质可知，，， 由A选项可知，， 所以，，B对； 对于C选项，由重心的性质可知，，， 所以， ，C对； 对于D选项，， 同理可得，， 因此，，D对. 故选：BCD. 15（多选）．已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】BD 【分析】设，利用重心的性质，把用、表示，再由，，三点共线得关于，的方程，再由三角形面积比得关于，的另一方程，联立即可求得实数的值． 【详解】解：如图，，，即，设，则， 三点共线，，， 所以，与的面积之比为，， 即，化简得，解得或3.故选：BD 16．在中，为重心，，，则= . 【答案】 【分析】设中点为，根据向量线性表示可得，，然后根据向量数量积的运算律结合条件即得. 【详解】设中点为， 为的重心且，，， 因为，， 所以.故答案为：. 17．已知等边的重心为O，边长为3，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正三角形的性质结合数量积的定义求解作答. 【详解】在等边中，延长交于，如图， 因为为重心，则，， 所以.故答案为： 18．已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则 . 【答案】3 【分析】先由向量的线性运算求得，再由G，D，E三点共线得，即可求得. 【详解】 如图，设F为BC的中点，则，又，， 则，又G，D，E三点共线，∴，即. 故答案为：3. 19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为的重心，，，则 . 【答案】 【分析】根据及余弦定理建立方程得出，再由余弦定理求解即可． 【详解】连接AO，延长AO交BC于D， 由题意得D为BC的中点，，所以， 因为， 所以，得. 故故答案为： 20．设为的重心，若，则 ． 【答案】 【分析】注意到结论“为重心，则”，不妨创设条件：，则可得直角三角形，从而可得. 【详解】因为为重心，则， 又因为， 不妨设，所以， 所以，所以， 所以故答案为：. 21．若点为的重心，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设中点为，连接，可得，，利用平面向量的加法和减法运算得出，，由此可得，化简得出，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值，进而可求得的最大值. 【详解】设中点为，连接，角、、的对边为、、， ，为的中点，所以，， ，即， ，， 可得，， 由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，所以，.因此，的最大值为.故答案为：. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值最值的计算，考查了平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学微专题一 三角形中的 “四心” 问题 一、必掌握知识 1.奔驰定理 如图，已知O为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 2.奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 3.奔驰定理的推论及四心问题 推论是内的一点,且,则 有此定理可得三角形四心向量式 （1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. （2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. （3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. （4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等. 奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. （5）已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则；或 ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则，或 研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想. 4、三角形的四心定义 外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 5、三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心的重要结论： （1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 6、三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． ④外心的重要结论： 若点是△的外心，则 或 ；反之，若或 ，则点是△的外心。 7、三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． （3）重要结论：若点是△的内心，则有；反之，若，则点是△的内心． 8、垂心 三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心. 重要结论：若是△的垂心，则或 ，反之，若或 ，则是△的垂心 二 易错点归纳 易错点 1：混淆四心向量表达式 1.重心：无边长系数，； 2.内心：带边长系数（奔驰定理）； 易错：把内心奔驰定理直接套用到重心，忘记乘以边长 易错点 2：外心数量积运算出错 公式：，不要写成。 原理：外心在边上投影是边中点，利用投影简化数量积，很多同学直接展开余弦，计算量大容易算错。 易错点 3：欧拉线向量记错 ；，。易错：记成长短比例，搞反重心分割与的比例 易错点 4：奔驰定理适用条件 ，其中，边长是对边，不要对应错顶点。 易错点 5：空间几何体中四心混淆 三棱锥中，顶点在底面射影： 射影是底面外心侧棱全部相等； 射影是底面垂心侧棱两两垂直；易错：空间里直接套用平面三角形四心，忽略空间条件 易错点6：向量等式变形逻辑 如，移项得到，说明，不是。 易错：直接约掉向量，向量不能做除法 三 必考题型全归纳： 题型一、重心（三条中线交点） 1.若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___． 2．在平行四边形中，为的重心，，则（    ） A． B．2 C． D．3 3．已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 4．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型二、外心（三边垂直平分线交点，外接圆圆心） 5.已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 6.设为的外心，若，则是的（    ） A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点） C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点） 7．点是平面外一点，且，则点在平面上的射影一定是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 8．已知O为锐角三角形的外心，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 题型三、内心（三条角平分线交点，内切圆圆心） 10.已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 11．在中，，，，则直线通过的（    ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 12．在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（    ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 13．在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型四、垂心（三条高线交点） 14．已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 15．已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 . 16．在三棱锥中、、两两垂直，是在平面内的射影，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题型五 奔驰定理的应用 17．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（    ） A． B． C． D． 18．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，则 D．若为的垂心，，则 19．奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 题型六、欧拉线综合 20．数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固提升： 1．已知△ABC的重心为O，则向量（    ） A． B． C． D． 2．O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 3．在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（    ） A． B． C． D． 4．设为的重心，则（   ） A．0 B． C． D． 5．边长为2的正中，G为重心，P为线段BC上一动点，则（    ） A．1 B．2 C． D． 6．在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（    ） A． B． C． D．    7.O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 8．在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．2 9．在中，，G为的重心，若，则外接圆的半径为（    ） A． B．2 C． D． 10．记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ） A． B． C． D． 11．点是的重心，，则（    ） A．32 B．30 C．16 D．14 12．已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 13（多选）．已知为的重心，，，则的可能取值为（    ） A． B．1 C． D． 14（多选）．如图，是所在平面内任意一点，是的重心，则（    ） A． B． C． D． 15（多选）．已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．3 16．在中，为重心，，，则= . 17．已知等边的重心为O，边长为3，则 . 18．已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则 . 19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为的重心，，，则 . 20．设为的重心，若，则 ． 21．若点为的重心，且，则的最大值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $