重难专题01 过点的切线与函数公切线问题（十种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦“过点的切线与函数公切线问题”重难专题，系统整合10大核心题型，涵盖存在切线求参数范围、过点作切线求方程与条数、公切线及参数相关问题等，构建完整知识网络。 清单以题型脑图归纳考法，分题型详解解题步骤，如设切点坐标、列切线方程、转化参数范围，培养数学思维与逻辑推理能力。配套例题标注重难点，如公切线问题中斜率与截距关系的方程构建，助力学生自主梳理思路，教师可据此精准教学，提升备考针对性。

重难专题01 过点的切线与函数公切线问题 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 函数存在切线求参数范围 此类题目是函数在定义域内某点处的导数（即切线斜率）能取到特定值或函数图像存在于已知直线平行的切线，解题核心是将“存在切线”转化为导函数值域或非常有解的问题。解题思路： 1.转化为导数方程有解：若函数存在斜率为的切线，等价于方程在定义域内有解。此时，参数的范围即为导函数的值域。 2.利用导函数值域确定参数：对于含参函数，先求导数，分析其单调性与极值，求出的最大值或最小值。 1．（23-24高三上·陕西榆林·阶段检测）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点横坐标为，所作切线斜率为，则， 当时，，故不存在； 当时，满足：. 所以：. 故选：C. 2．（25-26高二下·山东德州·阶段检测）若函数的图象在上存在平行于轴的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为函数的图象在上存在平行于轴的切线，说明其导数在内有零点， 即方程在内有解， 令，则在有解， 分离参数可得， 令，则， 所以，则， 即， 所以的取值范围是. 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知的定义域为，所以， 又， 由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为, 同理可得，点处切线斜率为； 又因为两条切线与直线平行，可得，即， 所以是关于方程的两根， 所以，即，又，可得； 所以，由，所以， 所以， 所以的取值范围是. 故选：D 4．（2026·湖南·模拟预测）已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程，再结合切线方程与已知直线方程的关系，得到关于的表达式，最后通过求导得出函数的最值即可确定的取值范围. 【详解】由函数，得， 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为，其中， 即切线方程为. 整理可得， 又因为直线与曲线相切， 所以，. 设，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数在时取极小值， 且当时，. 综上所述，函数的值域为，所以实数的取值范围. 题型02 过点作切线求切线方程 此类题型解题步骤： 1.设切点坐标写切线方程：设切点为；点斜式写出过切点的切线方程； 2.代入已知点求解：将题目给定的“过点”坐标代入上述方程，得到关于的方程； 3.解方程并回代：解出的值（可能有一个或多个解），将其回代步骤3的方程，得到切线方程。 1．（2026·河南开封·模拟预测）过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点坐标为，切线的斜率为， 显然不合题意， 时，， ，解得, 故. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 【答案】C 【详解】设切点为， ，则切线方程为， 整理得， 又切线过点， 所以，即， 解得或， 所以切线方程为或，斜率为或． 故选：C． 3．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）函数过原点的切线方程为________． 【答案】或 【详解】设切点为，对函数求导得，切线斜率为， 由于切线过原点，则，整理得，即， 解得， 当时，切线斜率为，此时切线方程为； 当时，切线斜率为，此时切线方程为. 故答案为：或. 题型03 过点作切线求切线条数 此类题型解题步骤： 1.设切点坐标写切线方程：设切点为，根据点斜式写出过切点的切线方程； 2.代入已知点并求解：将题目给定的“过点”坐标代入上述方程，得到关于的方程，该方程实数解的个数即为切线的条数。 1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数过点的切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】由函数，则， 当点为切点时，则，即切线的斜率， 所以切线的方程为， 当点不是切点时，设切点，则， 即，即， 解得或（舍去），所以 所以切线的方程为，即． 综上，函数过点的切线条数为2条. 故选：B 2．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）过点作曲线的切线，则切线条数最多为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点为，则， 又，所以切线斜率为， 又切线过点，所以，整理并化简得， 令，则， 令，则， 易知时，，时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，又，， 所以存在唯一，使，所以切线只有一条， 故选：B. 3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【详解】由题意， 设切点为， 所以切线方程为， 再将代入切线方程， 所以 ， 当时，满足条件， 当时，， 解得， 最后将切点代入，求出切线斜率 当时，，所以切线为， 当，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论， 当，，此时切线为， 当，，此时切线为， 所以切线条数为条. 题型04 已知切线条数求参数范围 此类题型核心是将几何问题转化为代数问题：通过设切点、列方程，将“切线条数”转化为“关于切点横坐标的方程根的个数”，再利用导数研究函数的性质（单调性、极值）来确定参数范围。解题步骤： 1.设切点坐标写切线方程：设切点为，根据点斜式写出过切点的切线方程； 2.代入已知点并整理：将题目给定的“过点”坐标代入上述方程，得到关于的方程； 3.转化为根的个数问题：①若已知可做条切线，则上述关于的方程必有个不同的实数根；②构造新函数（或分离参数后构造），利用导数分析其单调性和极值；③结合函数图像的趋势，确定直线（或参数项）与函数图象有个交点的条件。 1．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知，若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以， 设过点的直线与相切于点， 则切线方程为， 代入，得，整理得， 因为有两条这样的切线，所以此方程有两个不同解， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 2．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切点的坐标为，求出切线方程，将点代入切线方程可将问题转化为方程有三个不同的实数根，令，可将问题转化为有三个零点，结合导数研究其单调性，极值即可求解. 【详解】设切点的坐标为，，所以切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 令，,由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得，故的取值范围为. 故选：A 3．（2026·重庆万州·模拟预测）过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为，，切线斜率. 切线方程：，即. 切线过，代入得：， 整理得：. 由分离参数，得. 令，原题等价于与的图象有两个交点. 求导：，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故， 当时，，当时，， 作出的大致图象： 由此可知要使得与的图象有两个交点.，需满足 综上所述时，原方程有两个零点. 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】设曲线切点为，即， 由， 所以与曲线相切的直线的方程：， 因为切线过， 所以， 设 ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 显然当，，当，， 且，函数的图象如下图所示： 因此要想过点可作3条与曲线相切的直线， 只需直线与函数的图象有三个不同的交点， 即， 故答案为： 5．（25-26高三上·江苏苏州·期中）过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，，若两条切线斜率之积为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，联立切线方程，求出、，再由两条切线的斜率之积为得到，即可用的式子表示、，代入化简可得，利用基本不等式求解即可 【详解】因为，所以，则，， 依题意可知两条切线的方程分别为， 联立两条切线的方程 解得，则， 因为两条切线的斜率之积为，所以，所以，则 由，， 可得 所以， 当且仅当，即时取得最小值，由因为，所以， 则， 故选：D 题型05 求两函数的公切线 此类题目求解步骤： 1.设切点坐标：设曲线的切点为，曲线的切点为； 2.建立斜率相等关系：根据导数的几何意义，公切线的斜率等于两曲线在各自切点处的导数值，即； 3.写出切线方程并重合：曲线的切线方程为：，曲线的切线方程为：，利用两直线的斜率和截距相等得到方程组，求解； 4.得出方程。 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）曲线与曲线的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域为，则. 的定义域为，则. 设与相切的切点为，切线方程为，即. 设与相切的切点为，切线方程为， 即. 由题意知，，由，得， 代入另一个方程解得，则. 代入中，得，即. 2．（2026·广东深圳·二模）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．1或 D．1或 【答案】C 【详解】由题意可得，设切点坐标分别为， 则函数在点处切线方程为：，即， 函数在点处切线方程为：，即. 根据两切线是公切线可得：， 由可得 所以，整理得， 解得或，所以公切线斜率为或. 3．（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 【答案】/ 【详解】设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 因为是公切线，所以，解得 所以 所以在轴上的截距为 4．（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 【答案】/ 【详解】设直线 与曲线的切点为 ， 由求导得，则切线方程为 依题意，其与直线为同一条直线， 故  ,解得; 设直线l： 与曲线 的切点为 由求导得 则切线方程为 ， 依题意，其与直线为同一条直线， 故, 由②解得， 代入①，可得. 所以 . 5．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值. 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. 题型06 与公切线有关的求值问题 此类题型核心思路是利用公切线的几何性质建立方程组，通过消元转化为函数零点或方程求解问题。 解题步骤为：1.设切点坐标并写出切线方程：设曲线的切点为，曲线的切点为，曲线的切线方程为：，曲线的切线方程为：； 2.建立等量关系：利用两直线的斜率和截距相等得到方程组； 3.消元与求解。 1．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】分别计算函数和在点和点处的切线斜率，得到，再结合，化简即可求解. 【详解】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 2．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则等于（    ）. A．0 B． C．或0 D．0或 【答案】D 【详解】由，得，则，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即， 由，得，则，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即， 则，即， 则， 即，解得或. 当时，由得； 当时，由得. 故或, 则或. 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】 【详解】设切点为， ，故切线的斜率，， 所以切线方程为， 又，故切线方程为，即，， . 故当时，的最小值为. 4．（2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 【答案】4 【详解】设直线与函数的图象的切点为， 由求导得，由，得， 所以直线与函数的图象的切点为， 将点代入，解得. 设直线与函数的图象的切点为， 又，则（*）. 由，代入上式得， 因为函数单调递增，且， 所以，代入（*），解得， 所以. 5．（2026·湖南·三模）已知直线l与函数的图象在处相切，与函数的图象在处相切，则_________. 【答案】 【详解】由，可得，则， 所以切线方程为，即， 由，可得，则， 所以切线方程为，即； 由题意可知，，解得， 所以. 6．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为______. 【答案】 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为. 7．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知曲线与在交点处的切线互相垂直，则___________． 【答案】 【分析】设两曲线交点为，曲线的斜率为，曲线的斜率为，求出两曲线交点，分别对曲线方程求导，由切线垂直，解得，联立求解与，相关的值，代入求解即可. 【详解】设两曲线交点为，曲线的斜率为，曲线的斜率为，则，解得，对求导可得，，对求导可得，， 因为两切线垂直，所以，所以，解得， 由，解得，所以， 由可得，所以. 题型07 存在切点相同的公切线求参数 此类题目的核心思路是利用公共切点的双重属性：该点既在两条曲线上，又是两条曲线公切线斜率相等的点。解题步骤： 1.设公共切点：设两曲线与的公共切点为； 2.列方程组：根据切点性质建立如下方程组：①函数值相等；②导数值相等，即； 3.求解参数：联立上述两个方程，消去或，解出题目要求的参数值。 1．（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）已知函数与的图象在处的切线重合，则（    ） A． B．e C． D． 【答案】A 【详解】对求导可得， 所以在处的切线斜率，又, 所以切线方程为，整理得， 对求导可得， 所以在处的切线斜率，又, 所以切线方程为，整理得， 所以，即，所以. 故选：A 2．（25-26高二下·河北衡水·期末）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处切线方程，再设出切点坐标，利用导数几何意义用表示并建立函数关系，利用导数求出最大值. 【详解】函数，求导得，则，而， 曲线在处的切线方程为，即， 设曲线在处的切线与曲线相切的切点为， 而，则且，于是， 解得，，即． 因此，令函数， 求导得，由，得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以的最大值为. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则a的值为______． 【答案】0或1 【分析】利用切线重合列方程，求得切点的横坐标，进而求得的值. 【详解】设公共的切点为，则在函数中，当时，， 则在点处的切线方程为：， 在函数中，当时，， 同理可得在P点处的切线方程为：， 又两个函数在公共点处的切线重合，所以， 解方程组可得或，所以a的值为0或1． 4．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 【答案】 【详解】，. 设曲线与曲线在点处有公切线， 所以，即，解得，. 所以，正数的值为5. 5．（2026·辽宁抚顺·一模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 【答案】或 【详解】由，所以，又由，所以， 设公共点为， 所以，由，即，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得. 题型08 存在切点不同的公切线求参数 此类题型解题步骤为： 1.设切点坐标并写出切线方程：设曲线的切点为，曲线的切点为，曲线的切线方程为：，曲线的切线方程为：； 2.建立等量关系：利用两直线的斜率和截距相等得到关于的方程组； 3.求解参数：联立上述两个方程，解出题目要求的参数值。 1．（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】设直线与曲线、曲线分别相切于点，， 设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 2．（2024·湖南长沙·一模）已知直线与函数，的图象分别相交于A，B两点.设为曲线在点A处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，得，，得， ，， 则，， 所以， 设，， ，， 当，，则在单调递增， 当，，则在单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故选：D 3．（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____. 【答案】 【详解】因为，所以，则， 切线斜率，切线方程：为，即， 设与相切于点， 因此，切点在切线上， ， 即. 4.（25-26高三上·江西南昌·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 【答案】 【详解】由函数，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由函数，可得， 设曲线的切点为， 则，解得. 故答案为：. 5．（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】1 【详解】由，则， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为． 设直线与曲线相切的切点为，且， 则，解得． 题型09 存在公切线求参数范围 此类题型解题步骤为： 1.设切点坐标并写出切线方程：设曲线的切点为，曲线的切点为，曲线的切线方程为：，曲线的切线方程为：； 2.建立等量关系：利用两直线的斜率和截距相等得到关于的方程组； 3.消元转化：从方程组中消去一个变量（如），将问题转化为关于另一个变量的方程在特定区间上有解的问题； 4.求值域定范围：构造新函数，利用导数分析其单调性、极值和最值，求出该函数的值域，参数的范围即为该值域。 1．（多选）（25-26高三上·广东江门·阶段检测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先设曲线上一点，根据导数的几何意义，求曲线在该点处的切线方程，再由切线过点，得到关于的方程，由该方程无解求的取值范围，即可进行判断. 【详解】设曲线上一点， 因为，所以. 所以曲线在处切线的斜率为. 所以曲线在处切线方程为. 由切线过点，得， 整理得：. 由该方程无解，得， 即，解得. 故选：BC 2．（2025·云南昆明·模拟预测）若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切线分别切两曲线于，，则直线斜率为，从而可得，，再利用导数，即可求解． 【详解】因为和曲线， 所以，，， 设切线分别切两曲线于，， 则直线斜率为，所以， 所以，， 设，，则，， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，且当与时，， 所以 故选：B. 3．（24-25高二下·山东潍坊·阶段检测）若两曲线与存在公切线，则的范围是_____________________ 【答案】. 【分析】根据一元函数导数求切线的方法，设出两条曲线的切线，根据两条切线的斜率和截距分别相当，列出方程组，即可求出的范围. 【详解】对求导，，设切点，则切线方程为：, 化简得. 对求导，，设切点， 则切线方程为：，化简得. 则根据公切线可列方程组，消去得到， 化简得. 令，求导， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 可知在上单调递增，在上单调递减，在出取得最大值， ，值域为， 所以的范围是, 故答案为：. 4．（25-26高三上·浙江·期末）公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，若函数的图象存在两条不同的公切线，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】将有两条公切线转化为与直线有两个不同交点，后利用导数研究函数单调性与极值情况画出大致图象，即可得答案. 【详解】设切线在上的切点分别为 因为，则切线方程可表示为， 即，将点代入得到 又因为，即， 化简得到， 由函数的图象存在两条不同的公切线， 得到与直线有两个不同交点， 令，则， 令在上单调递增， 令在上单调递减，则， 注意到，可得大致图象如下： 由图象可得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________． 【答案】 【详解】设公切线在图象上的切点为，结合， 可得公切线方程为：； 设公切线在图象上的切点为，结合， 可得公切线方程还可表示为：. 依题意可得，由②得，即， 代入①，得， 又，，从而. 令，则. 令，则， 则在上单调递减，注意到， 则， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而，即实数m的最大值为. 6．（23-24高三上·四川遂宁·阶段检测）若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】设切点为，求导计算得到切线方程，与二次函数联立，计算得到，构造，求导得到函数的单调区间，计算最值得到，解不等式得到范围. 【详解】，可得， 设切点为，则， 则公切线方程为，即， ，则， 所以，整理可得， 又由，可得，解得， 令，其中，可得， 令，可得，函数在上单调递增， 且， 当时，，即，此时函数单调递减， 当时，，即，此时函数单调递增， 所以，且当趋近于时，趋近正无穷， 所以函数的值域为， 所以且，解得，即实数的取值范围为． 故答案为：. 题型10 已知公切线条数求参数范围 此类题型解题步骤为： 1.设切点坐标并写出切线方程：设曲线的切点为，曲线的切点为，曲线的切线方程为：，曲线的切线方程为：； 2.建立等量关系：利用两直线的斜率和截距相等得到关于的方程组； 3.消元转化：从方程组中消去一个变量（如），将问题转化为关于另一个变量的方程在特定区间上有解的问题； 4.构造函数并分析性质：构造新函数，利用导数分析其单调性、极值和最值，并画出函数草图； 5.数形结合确定范围：根据题目要求的公切线条数，观察直线与函数图像的交点情况，从而列出关于参数的不等式，解出参数的范围。 1．（2026·青海西宁·二模）若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据导函数的几何意义分析可得，构建，利用导数求单调性及最值. 【详解】设公切线为，是与的切点，是与的切点， ，，所以的方程为， 因为，整理得， 同理，因为，整理得． 依题意两条直线重合，可得，两式相除得， 所以，代入①得 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则或． 当时，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 所以有极小值为，有极大值为， 当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 所以当，即时， 直线与曲线有三个交点，故的取值范围为． 2．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数问题，即可求出的取值范围. 【详解】设公切线为是与的切点，由，得， 设是与的切点，由，得， 所以的方程为，因为，整理得， 同理，因为，整理得， 依题意两条直线重合，可得， 消去，得， 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则， 当或时，；当时，， 所以有极小值为，有极大值为， 因为，，，所以， 当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 故的图象简单表示为下图: 所以当，即时，直线与曲线有三个交点， 故答案为： 3．（25-26高三上·四川自贡·期末）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】分别求出两条曲线的导数，设出公切线与两条曲线的切点，根据导数的几何意义写出切线方程，再根据两条切线方程相同列出等式，最后通过构造函数，利用函数的单调性和极值来确定的取值范围. 【详解】设，，则，. 设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 则公切线的斜率，消去，得. 因为，所以，即， 将其代入并分离参数，得. 令，则， 则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则的极小值为，极大值为. 当时，，当时，. 因为曲线与曲线有三条公切线， 所以关于的方程恰有3个不同的实数解， 则，即. 故答案为： 4．（2026·青海西宁·二模）若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据导函数的几何意义分析可得，构建，利用导数求单调性及最值. 【详解】设公切线为，是与的切点，是与的切点， ，，所以的方程为， 因为，整理得， 同理，因为，整理得． 依题意两条直线重合，可得，两式相除得， 所以，代入①得 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则或． 当时，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 所以有极小值为，有极大值为， 当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 所以当，即时， 直线与曲线有三个交点，故的取值范围为． 5．（25-26高三上·江西吉安·期末）已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为_____， 【答案】 【分析】根据题意利用导数的几何意义求出切线方程表达式，令，可知有两个不相等的实数根，且互为倒数，即可得，由可求出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意得存在实数，使得在处的切线和在处的切线重合， 所以，即， 由，即， 又由，即， 令，则题目转化为有两个不相等的实数根，且互为倒数， 设两根分别为，， 则由得， 化简得， 所以，即， 因为，所以， 故的取值范围为. 6．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义分别求出切线方程，从而得出，利用换元法把问题转化为有两个不同解，求导并分析函数的单调性和最大值，结合极限分析求出的取值范围． 【详解】设曲线上的切点为，求导得， 则切线方程为，即， 设该切线与曲线切于点，求导得， 则切线方程为，即， ，即①，②， 把①代入②消去得，由得，解得， 令，则，代入①得， 令，问题转化为有2个不同解， 求导，时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值，和时，， ，， ，即． 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难专题01 过点的切线与函数公切线问题 题型脑图•重难考法归纳 题型1函数存在切线求参数 题型6与公切线有关的求值问题 题型2过点作切线求切线方程 题型？切点相同的公切线求参数 题型3过点作切线求切线条数 题型8切点不同的公切线求参数 过点的切线、公切线问题 题型4已知切线条数求参数范围 题型9存在公切线求参数范围 题型5求两函数的公切线 题型10已知公切线条数求参数范围 考法深研•解题技能通关 题型01函数存在切线求参数范围 点 方法技巧 此类题目是函数在定义域内某点处的导数（即切线斜率）能取到特定值或函数图像存在于已知直线平行 的切线，解题核心是将“存在切线”转化为导函数值域或非常有解的问题。解题思路： 1.转化为导数方程有解：若函数存在斜率为k的切线，等价于方程∫'()=k在定义域内有解。此时， 参数的范围即为导函数()的值域。 2利用导函数值域确定参数：对于含参函数，先求导数∫'(9，分析其单调性与极值，求出∫(？的最 大值或最小值。 1.(23-24高三上陕西榆林阶段检测)函数f(冈=x-l 在区间6) 的图象上存在两条相互垂直的切线， 则a的取值范围() A.(0,6) B.(0,3) c.(34) D.(4,6) 1/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高二下山东德州阶段检测)若函数 f(x)=ax+- 的图象在（令，21 上存在平行于x轴的切 线，则a的取值范围是() c.（-1,0) D.[-1,0) 3。(2025陕西西安模拟预测)已知函数f()=t+血 的图象有两条与直线'=2x平行的切线，且切点 坐标分别 P(,fs》(,f(3》,则+5的取值范围是() a(G树c( 。( 4.(2026湖南模拟预测)已知直线1：y=x+b与曲线y=+血x相切，则实数b的取值范围是() A.1,2) B.（∞， c.(0,h2] D.[h2,+o) 题型02过点作切线求切线方程 点 方法技巧 此类题型解题步骤： 1.设切点坐标写切线方程：设切点为P(,》;点斜式写出过切点的切线方程 y-f(xo)=f(xo)(x-xo). 2.代入已知点求解：将题目给定的“过点”坐标代入上述方程，得到关于0的方程； 3.解方程并回代：解出0的值（可能有一个或多个解），将其回代步骤3的方程，得到切线方程。 1.（2026河南开封模拟预测)过原点作曲线()=(x-4e 的一条切线，则此条切线的斜率为() 1 A. e B.e C.e D. e 2/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2,（25-26高三·全国-轮复习)函数儿冈=t-3 过点(22) 的切线斜率为() A.1 B.9 C.0或9 D.0或-9 3 （25-26高三上辽宁阶段检测)函数"=(+1)e 过原点的切线方程为 题型03 过点作切线求切线条数 点 方法技巧 此类题型解题步骤： 1.设切点坐标写切线方程：设切点为P,f(》,根据点斜式写出过切点的切线方程 y-f(xo)=f(xo)(x-xo). 2.代入已知点并求解：将题目给定的“过点”坐标代入上述方程，得到关于x的方程，该方程实数解的 个数即为切线的条数。 1.（25-26高三全国一轮复习)函数=r-3过 (1，-2) 点 的切线条数为() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 Inx 2.(2425高三下江苏苏州开学考试)过点A(-5,0)作曲线y=x的切线，则切线条数最多为（) A.0 B.1 C.2 D.3 ,(2026:重庆沙坪坝模拟预测)过坐标原点0可作曲线=x+si 的切线条数为() A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 题型04已知切线条数求参数范围 点 方法技巧 此类题型核心是将几何问题转化为代数问题：通过设切点、列方程，将“切线条数”转化为“关于切点 横坐标的方程根的个数”，再利用导数研究函数的性质（单调性、极值）来确定参数范围。解题步骤： 1.设切点坐标写切线方程：设切点为P(,(x》,根据点斜式写出过切点的切线方程 y-f(x)=f'(xx-): 3/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.代入已知点并整理：将题目给定的“过点”坐标代入上述方程，得到关于0的方程； 3.转化为根的个数问题：①若已知可做n条切线，则上述关于o的方程必有个不同的实数根：②构造 新函数G)=,)(或分离参数后构造)，利用导数分析其单调性和极值；③结合函数图像的趋势， 确定直线y=m(或参数项)与函数G)=g)图象有n个交点的条件。 1. (2526高二下吉林长春阶段检测)已知f(x)=x+20 +x,若曲线y=(x)存在两条过点(2,0)的切线， 则a的取值范围为() A.（0,-2U(0,+o) 8.（2,0) c.（0,-4U(0,+o) D.(4,0) 2.(2526高三上安微阜阳阶段检测）若过点P1.0)可作曲线)-+3 的三条切线，则a的取值 范围为() A.(34) 8.(2,3) c.（o,3u(4,+o）D.(,2u(3,+) 3.(2026重庆万州模拟预测)过点m1)有两条直线与)-hx 的图象相切，则”的取值范围是 () A.（-o,e) B.(0,+o∞) c.(0,e) p.(0,e) 4.(2526商=上黑龙江哈尔滨阶段检测已知=(-e,过点M@,0可作3条与曲线'=f例相 切的直线，则实数的取值范围是 5.(25-26高三上·江苏苏州期中)过点 P(xo o) 作曲线'=x的两条切线，记两切点分别为 4) %+1 B(:),若两条切线斜率之积为1，则的取值范围是() A.(0) 8.(0 C.1to) D.(+o) 4/11 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05 求两函数的公切线 点方法技巧 此类题目求解步骤： 1设切点坐标：设曲线y=f)的切点为A,f(x),曲线y=g)的切点为Bx2,f》: 2.建立斜率相等关系：根据导数的几何意义，公切线的斜率k等于两曲线在各自切点处的导数值，即 f(x)=g(x2)=k: 3写出切线方程并重合：曲线y=)的切线方程为：y-f(x)=f'(xx-x),曲线y=g()的切 线方程为：y-f(x2)='(,x-2),利用两直线的斜率和截距相等得到方程组，求解x,x2; 4.得出方程。 1.(25-26商二下江苏苏州期中)曲线=hx与曲线y=血(x-)+ 的公切线方程是() A.x-ey=0 B.2x-y+1-ln2=0 C.x-2y-2+2n2=0 D.x-y-1=0 2.(2026旷东深圳二模)函数/(=2+与函数8✉) 公切线的斜率为() A.e2 B.e C.1或e D.1或e2 3.(2026河南焦作一模)已知曲线'=r+2与'=h(6x+ 的公切线为，则在'轴上的截距为 4。(252沾商三下辽宁抚顺阶段检测》已知直线。)=瓜与底线”=和)=c心+0邪相切，则b= 5,（25-26高三下重庆沙坪坝开学考试)若直线'=+1(k∈R)是曲乡 )是曲线y=nx+2与曲线 5/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=e+b(b∈R) 的公切线，则b=() A.0 B.1 C.e D e 题型06与公切线有关的求值问题 点方法技巧 此类题型核心思路是利用公切线的几何性质建立方程组，通过消元转化为函数零点或方程求解问题。 解题步骤为：1，设切点坐标并写出切线方程：设曲线y=f()的切点为Ax,f(化)，曲线y=g(0)的 切点为B(,f,),曲线y=f)的切线方程为：y-f()=f'(xx-x),曲线y=8)的切线 方程为：y-f(x)=f"(x,)-) 2.建立等量关系：利用两直线的斜率和截距相等得到方程组： 3.消元与求解。 1.(25-26高三上江苏扬州阶段检测)一条直线与函数y=血x和y=© 的图象分别相切于 P(x,)和点 (）,则1-x1+)的值为() A.2 B.2e C.0 D.In2 2.（25-26高三下江苏扬州开学考试)若直线'与曲线()=。-2相 2相切于点4：，），与曲线 g()=血x相切于点 (x2,y2 ,则5等于() 1 A.0 B.e C.e或0 D.0或e 3.(2026湖北武汉模拟预测)若直线y=cr+a与曲线y=r+b相切，则d+b的最小值为 4.(2026陕西检林三模)已知直线=是函数/儿冈=(K+ae和函数8（因=hr+ 图象的公切线，则 2°+3b= 6/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 5.(2026湖南三模)己知直线1与函数f)=2的图象在x=x(x≠0)处相切，与函数8)=3r的图 =x2(x2+0) 象在 处相切，则 6.(25-26高三下河北沧州阶段检测)已知a,b为正实数，且直线'=x-“与曲线 ..y=In(x+b) 相切，则 ab的最大值为， 7.(2526高三上山东荷泽期末)已知曲线9：y-(a>0)与C:y=hc6>0)在交点处的切线互相垂 直，则n(v2aj+2nb= 题型07存在切点相同的公切线求参数 点 方法技巧 此类题目的核心思路是利用公共切点的双重属性：该点既在两条曲线上，又是两条曲线公切线斜率相等 的点。解题步骤： 1.设公共切点：设两曲线y=f)与y=g(x)的公共切点为Pxo,fxo): f(xo)=g(xo) 2列方程组：根据切点性质建立如下方程组：①函数值相等；②导数值相等，即/'"(，)=8(，) 3求解参数：联立上述两个方程，消去0或'0，解出题日要求的参数值。 1.(25-26高三上安徽合肥·阶段检测)已知函数 =r+a+2与8（四）=c+ 的图象在x=1处的切线 重合，则a+b=() A.e-1 B.e C.e+l D.e+2 号下河北衡水期末若曲线因)x+3在，1处的切线也是曲线ye ab的最大值为() 2 3 2 A.3e B. e C. D. 7/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3。(25-26商三全国一轮复习)已知两函数=4r,y=3x+ “的图象有公共点，且在公共点处的切线 重合，则a的值为 4.(2026江苏连云港模拟预测)尚线/（闪=-9x与曲线8凶=3x+a(a>0) 在它们的某个公共点处有 公切线，则正数a的值为. 5. (2026辽宁抚顺一模)若曲线y=r-与曲线)=血(a)在它们的公共点处有相同的切线，则a= 题型08 存在切点不同的公切线求参数 点 方法技巧 此类题型解题步骤为： 1,设切点坐标并写出切线方程：设曲线y=f)的切点为A,fx),曲线y=g()的切点为 B(x2,fx),曲线y=f()的切线方程为：y-f(:)=f'(x)-),曲线y=g)的切线方程 为：y-fx)=f'(x-x)； 2.建立等量关系：利用两直线的斜率和截距相等得到关于x,x2的方程组： 3求解参数：联立上述两个方程，解出题目要求的参数值。 1. （2026西紫左一校)若直线y=低+6是南线-h2x+的切线，包是陆线=h(4红+刊 的切线， 则k=() A.2n2 B.3 C.41n2 D.4 之2024岁肉长沙一的》已直旋0与数们.句h的国象分别期安于A8两点段 为曲线=（因在点A处切线的斜率，么为曲线'=8（日在点B处切线的斜率，则最大值为(） A.1 B.e C.ea D.e 3.(2026河南南阳三模)已知函数f(④)=e+的图象在点0，fo》处的切线也是函数()=hx+b的 8/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图象的切线，则实数b= 4.(25-26高三上江西南昌期末)若曲线'=1(3-0 (2,0 在点 处的切线也是曲线'=c-2x+a 的切线， 则a= 5.（2026河北张家口二模)已知曲线=h(2x)在点20 处的切线也是曲线y=e+x-a的切线，则 a= 题型09 存在公切线求参数范围 点方法技巧 此类题型解题步骤为： 1.设切点坐标并写出切线方程：设曲线y=f(w)的切点为A(,fx),曲线y=g()的切点为 B(x2,fx),曲线y=f()的切线方程为：y-f(x)=∫'(xx-x),曲线y=8w)的切线方程 为：y-f(c)=f'"(xc-)； 2.建立等量关系：利用两直线的斜率和截距相等得到关于x,X2的方程组； 3.消元转化：从方程组中消去一个变量（如无），将问题转化为关于另一个变量的方程在特定区间上有 解的问题： 4求值域定范围：构造新函数(0，利用导数分析其单调性、极值和最值，求出该函数的值域，参数的 范围即为该值域。 1.（多透)(25-26高三上广东江门阶段检测)过*轴上一点Pk,0) 作曲 C:y=(x+3)e 的切线，若这 样的切线不存在，则整数的可能取值为() A.-8 B.-5 C.-6 D.-7 2.(2025云南昆明模拟预测)若直线'同时与由线/（冈=c+1>》和南线8（句=心>D相切，则直线 1斜率的取值范围是() A.[1,+0) B.[e,+o) c.[2e,+o) D.[3e,+o) 9/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3。(2425高=下山东潍坊阶段检测若两曲线=-1与”=a血x- 存在公切线，则“的范围是 4. (25-26高三上·浙江·期末)公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，若函数 f(x)=1+Inx,g(x)=avx-1 的图象存在两条不同的公切线，则实数“的取值范围为 5.（25-26高三下江苏无锡阶段检测)已知函数()=2mr+hx(m>0)g()= ,若曲线’=)与 曲线”=8（四存在公切线，则实数m的最大值为 6。(23-24高三上四川遂宁阶段检测)若函数了)=4nx+1与函数8-。-2a>0)的图象存在公切 a 线，则实数a的取值范围为 题型10 已知公切线条数求参数范围 点方法技巧 此类题型解题步骤为： 1设切点坐标并写出切线方程：设曲线y=f()的切点为4(，fG刃，曲线y=g()的切点为 B(x,fx2),曲线y=f()的切线方程为：y-f(x)=f'(x)x-),曲线y=g()的切线方程 为：y-f(x)=f'(x,)x-x): 2建立等量关系：利用两直线的斜率和截距相等得到关于x,x2的方程组： 3.消元转化：从方程组中消去一个变量（如），将问题转化为关于另一个变量的方程在特定区间上有 解的问题： 4构造函数并分析性质：构造新函数()，利用导数分析其单调性、极值和最值，并画出函数草图； 5,数形结合确定范围：根据题目要求的公切线条数，观察直线y=m与函数()图像的交点情况，从而 列出关于参数的不等式，解出参数的范围。 10/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m 1.(2026青海西宁·二模)若曲线y=ln(2x)与曲线y=x恰好有3条公切线，则m的取值范围为 2.(2425商三下湖南水州开学考试)若曲线'=x'(k<0)与曲线y=心有三条公切线，则的取值范 围是· 3。(25-26高三上四川自贡期末)若曲线'=C与曲线'= “有三条公切线，则的取值范围是 m 4.(2026青海西宁二模)若曲线y=h(2x)与曲线y=x恰好有3条公切线，则m的取值范围为一 5.(2526高三上江西吉安期末)已知曲线'=me(m之d与曲线"=lnr+nmcR) 有两条公切线，且它 们的斜率之积为1，则实数n的取值范围为一 6.（2026甘肃兰州校拟预测)若酯线)=c“与曲线8()=a、 有两条公切线，则“的取值范围为 11/11