期中复习压轴题专练 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

期中复习压轴题专项训练 版本：北师大版 年级：七年级上册 考试范围：1-4章 1．综合与实践 【问题情景】七（1）班图书角需要整理书籍，同学们计划用旧纸箱制作无盖长方体图书整理盒，方便分类存放图书． 【操作实践】 (1)若要制作一个无盖的长方体纸盒（长、完、高不完全相等），图1中的________图形经过折叠能围成无盖的长方体纸盒（图中每个小长方形长和宽对应相等）． (2)图2是小宇的设计图，把它折成无盖的长方体纸盒后，与“图”字相对的字是________． (3)如图3，有一张长为，宽为的长方形旧纸箱，小佳准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖的长方体图书整理盒． ①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，折成无盖的长方体图书整理盒，如果把这个无盖的图书整理盒沿某些棱重新剪开，可以得到周长最大的展开图，则周长最大为________． 2．某综合实践小组开展了长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． 根据图方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为___________平方厘米； 如图，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形．用其中一个长为厘米，宽为厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图，盒子底面的四边形是长方形，； 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积，，的大小． 3．综合实践： 【问题情景】 某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图的四个图形中哪个图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？___________． (2)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形折成无盖长方体纸盒． ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切痕迹，虚线表示折痕 ②当四角剪去的小正方形的边长为时，请求出纸盒的容积． 4．“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要______平方厘米的纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在一个更大的长方体的外包装盒内（体积是原来纸箱的2倍），已知单个玩具的长方体纸箱长为5分米，宽为3分米，高为4分米（如图所示）．现有三种形式的纸箱（图所示），请分别计算这三种形式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图3-2是该长方体的一种表面展开图，这种表面展开图的外围周长是______厘米．若要设计一个使外围周长最大的表面展开图，则此时的外围周长是______厘米．（直接写出答案） 5．值得探究的“叠放”！ 问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？ 方法探究： 第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图①），由此可知，新长方体的长、宽、高分别为1，1，2． 第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，1，2． 第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图③），该正方体的长、宽、高分别为2，2，2． 这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为． 仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题： (1)取如图④的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？ (2)取四个长、宽、高分别为2,3,c的长方体进行叠放如图⑤，此时，形成一个新的长方体表面积最小，则c的取值范围是______． 6．综合与实践： 提出问题：有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有种不同的摆放方式，如图所示： 探究结论： （1）请计算图中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长（） 宽（） 高（） 表面积 图 _____ _____ 图 _____ 2 _____ 图 _____ 2 _____ 根据上表可知，表面积最小的是_____所示的长方体．（填“图”“图”“图”）． 解决问题： （2）现有个这样的小长方体纸盒，若将这个纸盒搭成一个大长方体，共有_____种不同的方式． （3）在（）题中搭成的大长方体的表面积最小为_____平方厘米． 7．综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 30 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱； （3）已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． （4）如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数． 8．综合与探究： 问题情景：学习了第一章生活中的立体图形后，综合实践小组开展了“长方体纸盒制作”实践探究活动． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖正方体纸盒，图中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____； (2)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的底面边长为______；当四角剪去的四个小正方形的边长为时，求出纸盒的体积． (3)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______． 9．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）如图，下列四幅图中不是长方体的表面展开图的是______． 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒，方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍． （3）若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______，外围周长最大时的表面展开图共有______种不同的形状，请任选一种画出该长方体的展开图（要求：借助直尺或三角板作图，图中标明长、宽、高的数据）． 10．综合与探究 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且，则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 (1)如图1，若点表示的数是，点表示的数是6，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________． 【深入探究】 (2)如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 (3)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，，点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 11．综合与实践 自制糕点包装礼盒 提出问题：如何制作一个长方体形糕点包装礼盒 包装要求：每个包装礼盒装8枚糕点 解决问题： (1)选取材料：根据8枚糕点的总质量选择合适的包装材料．同时还想了解制作的糕点质量是否均衡，于是将8枚糕点分别称重并记录，数据如下（每枚糕点的标准质量为80g，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示）： 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 与标准质量的差／ 0 0 ①求这8枚糕点的总质量； ②求这8枚糕点中，质量最大的与最小的相差多少？ (2)制作礼盒：需要制作一个有盖的长方体盒子． 以下是组员们为制作有盖的长方体画的展开图．其中正确的是______． 同学们根据正确的展开图制作了长方体礼盒． (3)打包礼盒：如图，在礼盒上扎了一条漂亮的丝带，已知长方体礼盒的长、宽、高分别为，，（），打蝴蝶结要的丝带． ①用含的代数式表示丝带总长； ②若，，，求丝带的总长． 12．综合与探究 【基础探究】 （1）如图1，已知点，分别为数轴上的两点，点在点的右边，点对应的数是，点对应的数是．点是数轴上和之间的一动点，点对应的数是． 两点之间的距离是___________；两点之间的距离是___________．（用含的代数式表示） ②若，点到，两点的距离相等，则的值为____________． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，点在移动的过程中，点到，两点的距离相等，点到两点的距离相等，试判断两点之间的距离是不是定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，点和点在，两点之间（点在点的右边，点在点的右边），两点之间的距离是，两点之间的距离是，点到两点的距离相等，点S到两点的距离相等，求两点之间的距离（用含和的代数式表示）． 13．综合与实践 问题情境：数学实践课上白老师组织大家玩数字运算游戏，游戏分为三轮进行． 游戏过程：第一轮与第二轮游戏规则如下： ，，三名同学围坐在圆桌，每两人之间放一张带有数字的卡片（如图所示），三名同学分别将相邻两张卡片上的数字进行和、差、积或商四种运算中的一种运算，三名同学进行相同运算后，计算结果最大的人获得胜利． 第三轮游戏规则：白老师准备了一个大盲盒，盲盒里面放了很多带有不同数字的卡片，甲、乙、丙、丁四名同学从盲盒中任意取出一张卡片，比较卡片上的数字的大小，数字大的人获胜． 趣味问题： (1)若第一轮游戏为计算相邻两张卡片上的数字之和，请通过计算说明谁获胜． (2)若第二轮游戏是B获胜，则相邻的两张卡片上的数字所进行的运算不可能是__________（填选项）． A．    B．    C．    D． (3)第三轮游戏中，已知甲抽到的卡片上的数字为6，乙抽到的卡片上的数字是甲抽到的卡片上的数字的相反数，丙抽到的卡片上的数字为乙抽到的卡片上的数字的，丁抽到的卡片上的数字比丙抽到的卡片上的数字大9，通过计算说明谁获胜． 14．综合与探究 下面是小雨同学一篇数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 今天上课时，我知道了：两个非零有理数相乘，可以分为“正数×正数”，“负数×正数”，“正数×负数”与“负数×负数”四种类型、对于前三种乘法法则的探索过程，我都理解，但是对于“负负得正”的结论，仍然存在疑问．通过重新梳理探索的过程，我理解了“负负得正”的道理，进一步体会到运算律在探索法则中的作用． 探索1：对于“正数×正数”和“负数×正数”，可根据乘法与加法的关系进行计算． 例如：； ． 探索2：对于“正数×负数”，可以转化为“负数×正数”得出结论． 例如：   （依据1：▲） ． 即． 结合与，与的关系可以发现：两个正有理数相乘，如果其中一个因数不变，另一个因数变为其相反数时，乘积也与原来的积互为相反数［结论］ 例如：，而与的结果都是，也符合上述结论． 探索3：对于“负数×负数”，受“探索2”中所得结论的启发，我的思考如下： 以为例，猜想的积与的积也互为相反数．对于这一猜想，我分析如下：    （依据2：▲） ． 所以，，即的积与的积互为相反数． 因为，所以，即两个负数的乘积是一个正数 …… 任务： (1)写出上述探索过程中的两个依据：依据1：__________________  依据2：__________________ (2)仿照“探索3”的思路，说明“”． (3)聪明的两位学生又回忆起有理数的相关运算． 在探究“有理数加法法则”的过程中，我们只要通过对几类运算进行归纳总结，就可以得出该法则．下列给出的算式： ；     ；    ；     ； ；     ；     ；     ， 你认为可以帮助探究有理数加法法则的算式组合是_________ A．    B．    C．    D． 15．问题情景 七（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 操作探究 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列_____（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． A．                       B． C．                       D． （2）如图1，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小明准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 拓展应用 （3）如图2，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图3，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图3中的包装纸折成图4中的牛奶盒子，求这个牛奶盒子的容积． 16．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究． 【应用一】 翻折变换小亮在草稿纸上画了一条数轴进行探究： 若折叠纸面，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 若数轴上两点之间的距离为，且两点经折叠后重合（在的左侧，且折痕与折痕相同），则点表示_____，点表示_____． 【应用二】距离问题 点、在数轴上分别表示有理数，、两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．例如，数轴上与两点之间的距离表示为． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____；数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____． （2）若，则_____； 若表示一个有理数，则的最小值为_____． （3）请写出的最小值为_____． 17．综合与实践 信息1 若一个两位数十位、个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，如：．同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如． 信息2 调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数． 【信息理解】 (1)填空：可表示为__________，可表示为__________． (2)的运算结果能被9整除，请说明其中的道理． 【迁移运用】 (3)小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验． 步骤1：小明写下一个两位数； 步骤2：小天将一个两位数输入如图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去．    若小天的最终结果为四位数，请直接写出两位数与之间的数量关系． 18．下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 概念理解： 如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即的形式，其中a、b、c、d均为整数，且，，则称这个多项式为“完美积式”． 例如，，因此是一个“完美积式”． 特例构造： 根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下： 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”， 以此类推… 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”：，其系数之间存在特定的关系． 设二次项系数，一次项系数，常数项． 则，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式一定是完全平方数． 反过来，对于一个二次三项式，如果是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”． 根据以上材料，回答下列问题： (1)当，，b、d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：______； (2)下列二次三项式中，是“完美积式”的是（   ）； A．　　B．　　C．　　D． (3)若二次三项式是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为_____． 19．综合与探究 在日常生活、生产中，人们经常需要处理一些结构相似、重复出现的量．例如：某工厂生产一种产品，每件产品的成本由两部分组成：固定成本（设备折旧、场地租金等）和可变成本（原材料、人工等）．若设每件产品的可变成本为元，固定成本分摊到每件产品上为3元，则每件产品的总成本可以表示为（x＋3）元．当我们研究“成本变化对利润的影响”时，常常不需要单独考虑和3，而是把看作一个整体来分析，这种把“一个代数式当成一个整体”来解决问题的方法，叫做整体思想．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中广泛应用．下图所示是老师安排的一道作业题： 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 20．综合与实践 生活中很多物品的包装盒都可以近似看作长方体，小华在学习了数学活动“制作包装盒”这节课时，用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子，按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，做成了一个无盖的长方体盒子并进行如下探究： (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为______cm，底面积为______，请你用含的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表： 剪去正方形的边长单位：cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积（单位：） 324 512 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你会发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (4)现在需要对无盖长方体盒子的所有外表面(包括底面)进行涂色，当时，需要涂色的面积是多少？ 21．下面是小天同学的学习日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 问题解决策略：归纳． 【问题】将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，保证连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 长方形内点的个数 1 2 3 4 三角形的个数 4 6 8 10 【探索】首先，分析简单图形．如图1，研究长方形内有1个点，2个点，3个点，4个点的情形．其次，初步发现规律．几种简单情形的数据如上表，发现长方形内点的个数每增加1，三角形的个数就增加2．因此当长方形内有35个点时，分得三角形的个数是．最后，解释并表达规律当长方形内有个点时，分得的三角形的个数为……小结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干个简单情形中找到相应的规律．初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况，最后试着给出合理的解释，并用数学语言简洁的表达规律． 【回顾反思】 （1）如果长方形内有100个点可以分得_____个三角形；如果长方形内有个点，那么可分得______个三角形； 请用归纳策略解答下列问题： （2）如图2：现用灰、白两种颜色的五边形地砖按如图所示的规律拼成若干个蝴蝶形图案．对某城市的人行道路进行铺设，第一幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有四块第二幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有7块，则第17幅蝴蝶形图案中灰色地砖有___________块． 22．综合与实践 制作一个尽可能大的无盖长方体收纳盒 问题情境 综合实践课上，同学们需要将一张边长为的正方形硬纸板制成一个无盖长方体收纳盒．为了使收纳盒的容积尽可能大，应如何设计与制作？ 设计方案 1．怎样制作无盖长方体收纳盒 同学们提出了很多可行的设计方案，为统一研究条件，采用如下制作方案：在正方形硬纸板的四个角上各剪去一个完全相同的小正方形（如图1），剪下的部分不再使用．设剪去的小正方形边长为，将剩余部分沿虚线折叠，可得到一个无盖长方体收纳盒（如图2）． （说明：图1中，实线为剪切线，虚线为折痕，阴影为剪去部分） 2．怎样确定无盖长方体收纳盒容积的最大值 思考交流发现，需先分析盒子的长、宽、高与的关系，再利用表格，逐步有序地列出的值，计算对应的值并从中发现规律． 实施方案 制作无盖长方体收纳盒 全班分成若干小组，按照上述方法合作完成无盖长方体收纳盒的制作． (1)利用盒子的长、宽、高与的关系，估计容积的最大值 若取整数值（单位：），计算对应的值，如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 529 882 1083 1156 1014 847 441 ①计算并填空：__________，__________； ②观察上表数据，随着小正方形边长的增大，容积有怎样的变化规律？ (2)观察上表可知：当在至之间时，容积存在最大值．为进一步探究为何值时，容积最大，你计划如何开展研究？请简述你的思路． 23．“大自然的数学密码” 大自然中藏着许多数学奥秘．蜜蜂的蜂巢、龟甲的花纹、雪花的形状，都呈现出美丽的六边形．让我们通过一个图形生长的游戏，来探索其中的规律． 图形生长规则： ①第1阶段：如图1． ②第2阶段：如图2，在第1阶段六边形的每条边外侧，各拼接1个新的正六边形． ③第3阶段：如图3，在第2阶段图形所有最外侧的边（只属于一个六边形的边）外侧，各拼接1个新的正六边形． ④以后每个阶段，都重复第3阶段的规则，不断向外生长． 任务1：动手画一画，数据填一填 （1）根据上述规则，前几个阶段的数据如下，请补全下表： 阶段数 该阶段新增六边形的个数 该阶段结束后图形最外围的边数 1 1 6 2 6 18 3 ______ ______ 4 ______ ______ 观察“新增六边形的个数”一列的数字（1，6，…），我发现一个规律：从第2阶段开始，每阶段新增的个数都比前一阶段多______个． 任务2：动脑想一想，规律用一用 （2）根据上面发现的规律：第5阶段将新增_____个六边形．此时，整个图形最外围的边数将是______条． （3）对于“最外围边数”，我找到了一个更简单的规律：最外围边数______（用含n的代数式表示）．根据这个规律，第10阶段时，最外围边数是______条． 任务3：生活连一连，问题解一解 （4）蜜蜂蜂巢采用六边形结构，能用最少的材料建造出最大的空间．如果将我们的生长模型看作一个简化的“蜂巢”建造过程，那么长到第6阶段时，这个“蜂巢”一共由______个六边形巢房组成．（提示：计算从第1到第6阶段所有新增个数的总和） 24．综合与实践 如图①是年月份的月历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 【初步分析】 （1）计算图①中的结果为______；将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______． 【数学思考】 （2）小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． =（ ） ______． 所以的值均为______． 【拓广探究】 （3）同学们利用小乐的方法，借助图①中的月历，在月历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 25．综合与探究 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将“数”与“形”完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．如图①，若数轴上点，表示的数分别为，（），则线段的长（点到点的距离）为，记作． 请用上面材料中的知识，解答下面的问题． 【问题情境】 如图②，一个点从数轴上的原点开始，沿数轴先向左移动4个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动4个单位长度到达点． 【问题探究】 (1)①请在图②中表示出，，三点的位置； ②点到点的距离______，点到点的距离______． (2)若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点从点，点从点出发分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①设运动时间为秒（），则点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______；（用含的代数式表示） ②在①的条件下，试探究在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 26．综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 27．综合与探究 问题情境：探究三角尺中的学问．一把含角的直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使得，直角三角板的直角边从射线开始，绕点以/秒的速度顺时针旋转一圈，设旋转的时间为秒． 问题解决： (1)如图，当直角边在射线上，另一边在直线的上方，则的度数为 ，的度数为 ； 初步感知： (2)当直角三角板旋转到如图所示的位置时，射线恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； 操作探究： (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 28．综合与实践 在数学活动课上，同学们用折纸探究角平分线．小明发现，当角内部有两条射线分别平分相邻的两个小角时，它们所成夹角的大小也有规律． 进一步地，小华提出：如果这两条射线不是平分，而是按固定比例分割相邻的两个小角，是否也有类似的规律?针对提出的疑问，他们小组合作抽象出了以下数学问题： (1)【基础探究】 如图1，已知内部有三条射线、、，其中平分，平分．若，，则的度数为_____． (2)【发现规律】 如图2，设，（），其中平分，平分．猜想的度数是否随的改变而改变?请证明你的猜想． (3)【拓展推广】 在（2）的假设条件下，若，．上述猜想是否还成立？若成立，求出；若不成立，请说明理由． 29．综合与探究 【问题呈现】 如图1，已知线段，请用尺规按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （1）延长线段到点，使；延长线段到点，使． 【问题初探】 （2）在（1）中所作的图中，若，则________，________（用含的代数式表示） 【问题探究】 如图2，已知线段． （3）①在直线上是否存在点，使？为什么？ ②在直线上是否存在点，使？如果存在，请直接写出点的位置及点的数量；如果不存在，请说明理由． 30．在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：下列图①和图②中和都有公共顶点和一条公共边，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】： （1）如图②，和___________“共边角”（填”是“或”不是”）； （2）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角是___________； （3）若在图①中，分别平分“共边角”和，请指出与的数量关系，并说明理由． 【知识迁移】： （4）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：和都有公共端点，所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为10和4，则这两条线段的中点之间的距离为___________． 31．综合与探究不同几何图形的学习有着相通之处，解决相应内容的题目也可以类比借鉴，以下是小景同学应用类比思想学习角和线段部分内容时思考的几个问题． 【认识知识】问题一：已知点、、三点在同一直线上，线段，，点是线段的中点，点是线段的中点，求的长度．小景同学读完题目后，很快画出了图形并得出的长度是8，请你帮助她写出求解的推理过程． 老师告诉小景同学这道题的答案应该有两个，在老师的提醒下，小景同学求出了另一个答案是，综合两种情况最终得到的长度是8或2． 【类比探究】 问题二：，，射线是的平分线，射线是的平分线，求的度数． 类比第一个问题的思考过程，小景同学认为这个问题同样需要进行分类讨论，根据题目要求，她画出了以下两个图形，请帮助她求出图2中的度数． 【拓广探索】 问题三：，，射线是的三等分线，射线是的三等分线，求的度数． 类比前两个问题的方法，小景同学认为这个关于角的三等分线的问题也有类似的解决方法并画出了两个图形，下面是其中一种情况（射线OC在内部时）的图像（图3），请帮助她求出此时的度数，直接写出答案即可． 32．问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①在如图1中，若，则的长______；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点， ______，______， ，不变， 的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知在内部转动，和分别平分和，则与、有一定的数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，将和分别平分和改为分别作出射线，若，，直接写出与、的数量关系． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴题专项训练 版本：北师大版 年级：七年级上册 考试范围：1-4章 1．综合与实践 【问题情景】七（1）班图书角需要整理书籍，同学们计划用旧纸箱制作无盖长方体图书整理盒，方便分类存放图书． 【操作实践】 (1)若要制作一个无盖的长方体纸盒（长、完、高不完全相等），图1中的________图形经过折叠能围成无盖的长方体纸盒（图中每个小长方形长和宽对应相等）． (2)图2是小宇的设计图，把它折成无盖的长方体纸盒后，与“图”字相对的字是________． (3)如图3，有一张长为，宽为的长方形旧纸箱，小佳准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖的长方体图书整理盒． ①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，折成无盖的长方体图书整理盒，如果把这个无盖的图书整理盒沿某些棱重新剪开，可以得到周长最大的展开图，则周长最大为________． 2．某综合实践小组开展了长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． 根据图方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为___________平方厘米； 如图，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形．用其中一个长为厘米，宽为厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图，盒子底面的四边形是长方形，； 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积，，的大小． 3．综合实践： 【问题情景】 某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图的四个图形中哪个图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？___________． (2)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形折成无盖长方体纸盒． ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切痕迹，虚线表示折痕 ②当四角剪去的小正方形的边长为时，请求出纸盒的容积． 4．“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要______平方厘米的纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在一个更大的长方体的外包装盒内（体积是原来纸箱的2倍），已知单个玩具的长方体纸箱长为5分米，宽为3分米，高为4分米（如图所示）．现有三种形式的纸箱（图所示），请分别计算这三种形式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图3-2是该长方体的一种表面展开图，这种表面展开图的外围周长是______厘米．若要设计一个使外围周长最大的表面展开图，则此时的外围周长是______厘米．（直接写出答案） 5．值得探究的“叠放”！ 问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？ 方法探究： 第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图①），由此可知，新长方体的长、宽、高分别为1，1，2． 第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，1，2． 第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图③），该正方体的长、宽、高分别为2，2，2． 这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为． 仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题： (1)取如图④的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？ (2)取四个长、宽、高分别为2,3,c的长方体进行叠放如图⑤，此时，形成一个新的长方体表面积最小，则c的取值范围是______． 6．综合与实践： 提出问题：有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有种不同的摆放方式，如图所示： 探究结论： （1）请计算图中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长（） 宽（） 高（） 表面积 图 _____ _____ 图 _____ 2 _____ 图 _____ 2 _____ 根据上表可知，表面积最小的是_____所示的长方体．（填“图”“图”“图”）． 解决问题： （2）现有个这样的小长方体纸盒，若将这个纸盒搭成一个大长方体，共有_____种不同的方式． （3）在（）题中搭成的大长方体的表面积最小为_____平方厘米． 7．综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 30 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱； （3）已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． （4）如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数． 8．综合与探究： 问题情景：学习了第一章生活中的立体图形后，综合实践小组开展了“长方体纸盒制作”实践探究活动． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖正方体纸盒，图中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____； (2)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的底面边长为______；当四角剪去的四个小正方形的边长为时，求出纸盒的体积． (3)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______． 9．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）如图，下列四幅图中不是长方体的表面展开图的是______． 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒，方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍． （3）若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______，外围周长最大时的表面展开图共有______种不同的形状，请任选一种画出该长方体的展开图（要求：借助直尺或三角板作图，图中标明长、宽、高的数据）． 10．综合与探究 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且，则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 (1)如图1，若点表示的数是，点表示的数是6，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________． 【深入探究】 (2)如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 (3)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，，点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 11．综合与实践 自制糕点包装礼盒 提出问题：如何制作一个长方体形糕点包装礼盒 包装要求：每个包装礼盒装8枚糕点 解决问题： (1)选取材料：根据8枚糕点的总质量选择合适的包装材料．同时还想了解制作的糕点质量是否均衡，于是将8枚糕点分别称重并记录，数据如下（每枚糕点的标准质量为80g，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示）： 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 与标准质量的差／ 0 0 ①求这8枚糕点的总质量； ②求这8枚糕点中，质量最大的与最小的相差多少？ (2)制作礼盒：需要制作一个有盖的长方体盒子． 以下是组员们为制作有盖的长方体画的展开图．其中正确的是______． 同学们根据正确的展开图制作了长方体礼盒． (3)打包礼盒：如图，在礼盒上扎了一条漂亮的丝带，已知长方体礼盒的长、宽、高分别为，，（），打蝴蝶结要的丝带． ①用含的代数式表示丝带总长； ②若，，，求丝带的总长． 12．综合与探究 【基础探究】 （1）如图1，已知点，分别为数轴上的两点，点在点的右边，点对应的数是，点对应的数是．点是数轴上和之间的一动点，点对应的数是． 两点之间的距离是___________；两点之间的距离是___________．（用含的代数式表示） ②若，点到，两点的距离相等，则的值为____________． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，点在移动的过程中，点到，两点的距离相等，点到两点的距离相等，试判断两点之间的距离是不是定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，点和点在，两点之间（点在点的右边，点在点的右边），两点之间的距离是，两点之间的距离是，点到两点的距离相等，点S到两点的距离相等，求两点之间的距离（用含和的代数式表示）． 13．综合与实践 问题情境：数学实践课上白老师组织大家玩数字运算游戏，游戏分为三轮进行． 游戏过程：第一轮与第二轮游戏规则如下： ，，三名同学围坐在圆桌，每两人之间放一张带有数字的卡片（如图所示），三名同学分别将相邻两张卡片上的数字进行和、差、积或商四种运算中的一种运算，三名同学进行相同运算后，计算结果最大的人获得胜利． 第三轮游戏规则：白老师准备了一个大盲盒，盲盒里面放了很多带有不同数字的卡片，甲、乙、丙、丁四名同学从盲盒中任意取出一张卡片，比较卡片上的数字的大小，数字大的人获胜． 趣味问题： (1)若第一轮游戏为计算相邻两张卡片上的数字之和，请通过计算说明谁获胜． (2)若第二轮游戏是B获胜，则相邻的两张卡片上的数字所进行的运算不可能是__________（填选项）． A．    B．    C．    D． (3)第三轮游戏中，已知甲抽到的卡片上的数字为6，乙抽到的卡片上的数字是甲抽到的卡片上的数字的相反数，丙抽到的卡片上的数字为乙抽到的卡片上的数字的，丁抽到的卡片上的数字比丙抽到的卡片上的数字大9，通过计算说明谁获胜． 14．综合与探究 下面是小雨同学一篇数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 今天上课时，我知道了：两个非零有理数相乘，可以分为“正数×正数”，“负数×正数”，“正数×负数”与“负数×负数”四种类型、对于前三种乘法法则的探索过程，我都理解，但是对于“负负得正”的结论，仍然存在疑问．通过重新梳理探索的过程，我理解了“负负得正”的道理，进一步体会到运算律在探索法则中的作用． 探索1：对于“正数×正数”和“负数×正数”，可根据乘法与加法的关系进行计算． 例如：； ． 探索2：对于“正数×负数”，可以转化为“负数×正数”得出结论． 例如：   （依据1：▲） ． 即． 结合与，与的关系可以发现：两个正有理数相乘，如果其中一个因数不变，另一个因数变为其相反数时，乘积也与原来的积互为相反数［结论］ 例如：，而与的结果都是，也符合上述结论． 探索3：对于“负数×负数”，受“探索2”中所得结论的启发，我的思考如下： 以为例，猜想的积与的积也互为相反数．对于这一猜想，我分析如下：    （依据2：▲） ． 所以，，即的积与的积互为相反数． 因为，所以，即两个负数的乘积是一个正数 …… 任务： (1)写出上述探索过程中的两个依据：依据1：__________________  依据2：__________________ (2)仿照“探索3”的思路，说明“”． (3)聪明的两位学生又回忆起有理数的相关运算． 在探究“有理数加法法则”的过程中，我们只要通过对几类运算进行归纳总结，就可以得出该法则．下列给出的算式： ；     ；    ；     ； ；     ；     ；     ， 你认为可以帮助探究有理数加法法则的算式组合是_________ A．    B．    C．    D． 15．问题情景 七（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 操作探究 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列_____（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． A．                       B． C．                       D． （2）如图1，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小明准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 拓展应用 （3）如图2，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图3，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图3中的包装纸折成图4中的牛奶盒子，求这个牛奶盒子的容积． 16．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究． 【应用一】 翻折变换小亮在草稿纸上画了一条数轴进行探究： 若折叠纸面，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 若数轴上两点之间的距离为，且两点经折叠后重合（在的左侧，且折痕与折痕相同），则点表示_____，点表示_____． 【应用二】距离问题 点、在数轴上分别表示有理数，、两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．例如，数轴上与两点之间的距离表示为． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____；数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____． （2）若，则_____； 若表示一个有理数，则的最小值为_____． （3）请写出的最小值为_____． 17．综合与实践 信息1 若一个两位数十位、个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，如：．同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如． 信息2 调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数． 【信息理解】 (1)填空：可表示为__________，可表示为__________． (2)的运算结果能被9整除，请说明其中的道理． 【迁移运用】 (3)小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验． 步骤1：小明写下一个两位数； 步骤2：小天将一个两位数输入如图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去．    若小天的最终结果为四位数，请直接写出两位数与之间的数量关系． 18．下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 概念理解： 如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即的形式，其中a、b、c、d均为整数，且，，则称这个多项式为“完美积式”． 例如，，因此是一个“完美积式”． 特例构造： 根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下： 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”， 以此类推… 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”：，其系数之间存在特定的关系． 设二次项系数，一次项系数，常数项． 则，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式一定是完全平方数． 反过来，对于一个二次三项式，如果是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”． 根据以上材料，回答下列问题： (1)当，，b、d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：______； (2)下列二次三项式中，是“完美积式”的是（   ）； A．　　B．　　C．　　D． (3)若二次三项式是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为_____． 19．综合与探究 在日常生活、生产中，人们经常需要处理一些结构相似、重复出现的量．例如：某工厂生产一种产品，每件产品的成本由两部分组成：固定成本（设备折旧、场地租金等）和可变成本（原材料、人工等）．若设每件产品的可变成本为元，固定成本分摊到每件产品上为3元，则每件产品的总成本可以表示为（x＋3）元．当我们研究“成本变化对利润的影响”时，常常不需要单独考虑和3，而是把看作一个整体来分析，这种把“一个代数式当成一个整体”来解决问题的方法，叫做整体思想．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中广泛应用．下图所示是老师安排的一道作业题： 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 20．综合与实践 生活中很多物品的包装盒都可以近似看作长方体，小华在学习了数学活动“制作包装盒”这节课时，用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子，按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，做成了一个无盖的长方体盒子并进行如下探究： (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为______cm，底面积为______，请你用含的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表： 剪去正方形的边长单位：cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积（单位：） 324 512 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你会发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (4)现在需要对无盖长方体盒子的所有外表面(包括底面)进行涂色，当时，需要涂色的面积是多少？ 21．下面是小天同学的学习日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 问题解决策略：归纳． 【问题】将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，保证连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 长方形内点的个数 1 2 3 4 三角形的个数 4 6 8 10 【探索】首先，分析简单图形．如图1，研究长方形内有1个点，2个点，3个点，4个点的情形．其次，初步发现规律．几种简单情形的数据如上表，发现长方形内点的个数每增加1，三角形的个数就增加2．因此当长方形内有35个点时，分得三角形的个数是．最后，解释并表达规律当长方形内有个点时，分得的三角形的个数为……小结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干个简单情形中找到相应的规律．初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况，最后试着给出合理的解释，并用数学语言简洁的表达规律． 【回顾反思】 （1）如果长方形内有100个点可以分得_____个三角形；如果长方形内有个点，那么可分得______个三角形； 请用归纳策略解答下列问题： （2）如图2：现用灰、白两种颜色的五边形地砖按如图所示的规律拼成若干个蝴蝶形图案．对某城市的人行道路进行铺设，第一幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有四块第二幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有7块，则第17幅蝴蝶形图案中灰色地砖有___________块． 22．综合与实践 制作一个尽可能大的无盖长方体收纳盒 问题情境 综合实践课上，同学们需要将一张边长为的正方形硬纸板制成一个无盖长方体收纳盒．为了使收纳盒的容积尽可能大，应如何设计与制作？ 设计方案 1．怎样制作无盖长方体收纳盒 同学们提出了很多可行的设计方案，为统一研究条件，采用如下制作方案：在正方形硬纸板的四个角上各剪去一个完全相同的小正方形（如图1），剪下的部分不再使用．设剪去的小正方形边长为，将剩余部分沿虚线折叠，可得到一个无盖长方体收纳盒（如图2）． （说明：图1中，实线为剪切线，虚线为折痕，阴影为剪去部分） 2．怎样确定无盖长方体收纳盒容积的最大值 思考交流发现，需先分析盒子的长、宽、高与的关系，再利用表格，逐步有序地列出的值，计算对应的值并从中发现规律． 实施方案 制作无盖长方体收纳盒 全班分成若干小组，按照上述方法合作完成无盖长方体收纳盒的制作． (1)利用盒子的长、宽、高与的关系，估计容积的最大值 若取整数值（单位：），计算对应的值，如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 529 882 1083 1156 1014 847 441 ①计算并填空：__________，__________； ②观察上表数据，随着小正方形边长的增大，容积有怎样的变化规律？ (2)观察上表可知：当在至之间时，容积存在最大值．为进一步探究为何值时，容积最大，你计划如何开展研究？请简述你的思路． 23．“大自然的数学密码” 大自然中藏着许多数学奥秘．蜜蜂的蜂巢、龟甲的花纹、雪花的形状，都呈现出美丽的六边形．让我们通过一个图形生长的游戏，来探索其中的规律． 图形生长规则： ①第1阶段：如图1． ②第2阶段：如图2，在第1阶段六边形的每条边外侧，各拼接1个新的正六边形． ③第3阶段：如图3，在第2阶段图形所有最外侧的边（只属于一个六边形的边）外侧，各拼接1个新的正六边形． ④以后每个阶段，都重复第3阶段的规则，不断向外生长． 任务1：动手画一画，数据填一填 （1）根据上述规则，前几个阶段的数据如下，请补全下表： 阶段数 该阶段新增六边形的个数 该阶段结束后图形最外围的边数 1 1 6 2 6 18 3 ______ ______ 4 ______ ______ 观察“新增六边形的个数”一列的数字（1，6，…），我发现一个规律：从第2阶段开始，每阶段新增的个数都比前一阶段多______个． 任务2：动脑想一想，规律用一用 （2）根据上面发现的规律：第5阶段将新增_____个六边形．此时，整个图形最外围的边数将是______条． （3）对于“最外围边数”，我找到了一个更简单的规律：最外围边数______（用含n的代数式表示）．根据这个规律，第10阶段时，最外围边数是______条． 任务3：生活连一连，问题解一解 （4）蜜蜂蜂巢采用六边形结构，能用最少的材料建造出最大的空间．如果将我们的生长模型看作一个简化的“蜂巢”建造过程，那么长到第6阶段时，这个“蜂巢”一共由______个六边形巢房组成．（提示：计算从第1到第6阶段所有新增个数的总和） 24．综合与实践 如图①是年月份的月历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 【初步分析】 （1）计算图①中的结果为______；将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______． 【数学思考】 （2）小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． =（ ） ______． 所以的值均为______． 【拓广探究】 （3）同学们利用小乐的方法，借助图①中的月历，在月历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 25．综合与探究 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将“数”与“形”完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．如图①，若数轴上点，表示的数分别为，（），则线段的长（点到点的距离）为，记作． 请用上面材料中的知识，解答下面的问题． 【问题情境】 如图②，一个点从数轴上的原点开始，沿数轴先向左移动4个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动4个单位长度到达点． 【问题探究】 (1)①请在图②中表示出，，三点的位置； ②点到点的距离______，点到点的距离______． (2)若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点从点，点从点出发分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①设运动时间为秒（），则点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______；（用含的代数式表示） ②在①的条件下，试探究在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 26．综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 27．综合与探究 问题情境：探究三角尺中的学问．一把含角的直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使得，直角三角板的直角边从射线开始，绕点以/秒的速度顺时针旋转一圈，设旋转的时间为秒． 问题解决： (1)如图，当直角边在射线上，另一边在直线的上方，则的度数为 ，的度数为 ； 初步感知： (2)当直角三角板旋转到如图所示的位置时，射线恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； 操作探究： (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 28．综合与实践 在数学活动课上，同学们用折纸探究角平分线．小明发现，当角内部有两条射线分别平分相邻的两个小角时，它们所成夹角的大小也有规律． 进一步地，小华提出：如果这两条射线不是平分，而是按固定比例分割相邻的两个小角，是否也有类似的规律?针对提出的疑问，他们小组合作抽象出了以下数学问题： (1)【基础探究】 如图1，已知内部有三条射线、、，其中平分，平分．若，，则的度数为_____． (2)【发现规律】 如图2，设，（），其中平分，平分．猜想的度数是否随的改变而改变?请证明你的猜想． (3)【拓展推广】 在（2）的假设条件下，若，．上述猜想是否还成立？若成立，求出；若不成立，请说明理由． 29．综合与探究 【问题呈现】 如图1，已知线段，请用尺规按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （1）延长线段到点，使；延长线段到点，使． 【问题初探】 （2）在（1）中所作的图中，若，则________，________（用含的代数式表示） 【问题探究】 如图2，已知线段． （3）①在直线上是否存在点，使？为什么？ ②在直线上是否存在点，使？如果存在，请直接写出点的位置及点的数量；如果不存在，请说明理由． 30．在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：下列图①和图②中和都有公共顶点和一条公共边，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】： （1）如图②，和___________“共边角”（填”是“或”不是”）； （2）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角是___________； （3）若在图①中，分别平分“共边角”和，请指出与的数量关系，并说明理由． 【知识迁移】： （4）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：和都有公共端点，所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为10和4，则这两条线段的中点之间的距离为___________． 31．综合与探究不同几何图形的学习有着相通之处，解决相应内容的题目也可以类比借鉴，以下是小景同学应用类比思想学习角和线段部分内容时思考的几个问题． 【认识知识】问题一：已知点、、三点在同一直线上，线段，，点是线段的中点，点是线段的中点，求的长度．小景同学读完题目后，很快画出了图形并得出的长度是8，请你帮助她写出求解的推理过程． 老师告诉小景同学这道题的答案应该有两个，在老师的提醒下，小景同学求出了另一个答案是，综合两种情况最终得到的长度是8或2． 【类比探究】 问题二：，，射线是的平分线，射线是的平分线，求的度数． 类比第一个问题的思考过程，小景同学认为这个问题同样需要进行分类讨论，根据题目要求，她画出了以下两个图形，请帮助她求出图2中的度数． 【拓广探索】 问题三：，，射线是的三等分线，射线是的三等分线，求的度数． 类比前两个问题的方法，小景同学认为这个关于角的三等分线的问题也有类似的解决方法并画出了两个图形，下面是其中一种情况（射线OC在内部时）的图像（图3），请帮助她求出此时的度数，直接写出答案即可． 32．问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①在如图1中，若，则的长______；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点， ______，______， ，不变， 的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知在内部转动，和分别平分和，则与、有一定的数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，将和分别平分和改为分别作出射线，若，，直接写出与、的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)B (2)盒 (3)解：①根据题意，画示意图如下： ；②240 【分析】（1）根据题意，无盖的盒子有5个面，结合几何体的展开图解答即可． （2）根据展开图的相对面隔一相对的原则，判断解答即可． （3）①根据题意，画出示意图即可． ②首先计算无盖长方体的长，宽，高，要让展开图周长最大，需要保留尽可能长的棱不剪，剪开所有的短棱，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得，无盖的盒子有5个面，A有6个面，有盖，不符合要求；B符合要求；C不符合展开图的要求． （2）解：根据题意，与“图”字相对的字是“盒”． （3）①解：略． ②解：四角各剪去了一个边长为的小正方形，折成无盖的长方体的长，宽，高为： ，，； 要让展开图周长最大，需要保留尽可能长的棱不剪，剪开所有的短棱： 故展开图的最大周长为：． 2．(1)； (2) 平方厘米； ． 【分析】根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号； 先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积； 分别根据甲、乙、丙三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，能折成长方体，不能折成长方体， 故答案为：； （2）解：∵正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， ∴底面边长（厘米）， ∴底面积（平方厘米）； 甲方案：∵底面四边形是正方形，且， ∴底面边长厘米，高（厘米）， ∴（立方厘米）； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且（厘米）， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴（立方厘米）； 丙方案：∵，且， ∴， ∴厘米，厘米， ∴高（厘米）， ∴（立方厘米）， ∵， ∴． 3．(1) (2)①示意图如图所示： ② 【分析】（1）根据所给四个图形展开面的特征来判断能否折叠成无盖的正方体纸盒； （2）①在边长为的大正方形四个角，各画出一个大小相同的小正方形，小正方形的轮廓用实线表示，这部分是需要剪掉的区域，实线为剪切痕迹，沿着四个小正方形靠近大正方形中心的四条边画虚线，这四条虚线就是后续向上折叠纸盒侧面的折痕，最终得到的图形为大正方形四角各有一个实线小正方形，中间围出一个虚线正方形，四条边向外连出四个矩形的样式；②首先确定剪去的小正方形边长就是纸盒的高，为，原正方形上下左右各剪去一个边长为的小正方形后中间的正方形边长，即为长方体纸盒的底面边长，最后按照长方体容积公式“底面积高”代入计算即可． 【详解】（1）选项为“田”字形，折叠后缺少有效面，故不能折叠成无盖的正方体纸盒； 选项为“”字形，折叠后会出现面的重叠，故不能折叠成无盖的正方体纸盒； 选项为“凹”字形，折叠后会出现面的重叠，故不能折叠成无盖的正方体纸盒； 而选项为“”字形，折叠后符合无盖正方体的特征，故可以折叠成无盖的正方体纸盒； （2）①略 ②剪去的小正方形边长就是纸盒的高， 长方体纸盒的高为， 原正方形上下左右各剪去一个边长为的小正方形， 中间的正方形边长为，即为长方体纸盒的底面边长， 根据长方体容积公式，． 4．(1)109 (2)178（平方厘米），194（平方厘米），173（平方厘米）， 按图所示的方式摆放所需的纸板面积更少 (3)50；62 【分析】本题考查了长方体的展开图，解题的关键是要发挥空间想象能力，计算出每个面的面积． （1）计算长方体的表面积再加底面面积，即可求出制作长方体纸箱的面积； （2）根据图示计算即可； （3）根据图示即可算出图的外围周长，要使展开图的外围周长最长，则需要使沿长为5的边剪开，使长为5的边尽可能多的作外围即可． 【详解】（1）解：， 故制作长方体纸箱需要109平方厘米纸板， 故答案为：109； （2）解：按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， ∵， ∴按图所示的方式摆放所需的纸板面积更少； （3）解：表面展开图的外围周长：（厘米）， 如图所示，此时外围周长最大， 最大周长为：（厘米）， 故答案为：50，62． 5．(1) (2) 【分析】本题考查长方体的表面积公式，考查学生审题能力，空间想象能力，理解题意是解题的关键． （1）根据题意得出重叠后新的长方体的长是4，宽是3，高是2，表面积最小，求解即可； （2）据图形得，小长方体的3个不同的面的面积分别为：，重叠的图形的四个面的面积分别为：，，然后得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：要使长方体的表面积最小，使得面积最大的面重叠即可， ∴重叠后新的长方体的长是4，宽是3，高是2， 此时最小的表面积为：； （2）根据图形得，小长方体的3个不同的面的面积分别为：， ∵使得新长方体表面积最小， ∴重叠的四个面的面积要最大， 由图得：重叠的图形的四个面的面积分别为：，， ∴是最小的一个面， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（）如下表，； 长（） 宽（） 高（） 表面积 图 图 图 （） （）． 【分析】本题考查了几何体的表面积，找出各种不同搭法是解题的关键． （）根据长方体的表面积的计算方法分别计算即可； （）画出不同的搭法即可； （）利用长方体的表面积计算公式，求出各种搭法的表面积，取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：（） （）如图： ∴现有个这样的小长方体纸盒，若将这个纸盒搭成一个大长方体，共有种不同的方式， 故答案为：； （）表面积为：；， ， ， ， ∴在（）题中搭成的大长方体的表面积最小为平方厘米， 故答案为：． 7．（1）填表如下；； 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 （2）五； （3）6； （4）正五边形有个，正六边形有个 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）首先填写表格，然后总结规律即可； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可； （4）设黑皮有个，白皮有个，则这个足球的面数为：，根据欧拉公式求解即可． 【详解】（1）解：∴顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是， 故答案为：； （2）解：一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱，故答案为：五； （3）解：由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：，故该多面体的面数为6． （4）解：设黑皮有个，白皮有个，则这个足球的面数为：， 棱数为：，顶点数为：， 由欧拉公式可得：， 解得：， 个黑皮与个白皮相邻，个白皮与个黑皮相邻， 白皮个数为（个）， ∴正五边形有个，正六边形有个． 8．(1) (2)， (3) 【分析】根据正方体的折叠，可得折成一个无盖的正方体纸盒需要有个面，根据平面图形中小正方形的个数和位置进行判断即可； 根据正方体的表面展开图的特征，当正方形纸板四个角都剪去一个边长为小正方形时，得到的纸盒的底面边长为； 根据剪去的小正方形的位置和边长，求出折叠好的长方体纸盒的长、宽、高，再根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：A图中个小正方形的位置呈“田”字格形式，不能折叠成正方体，故A选项不能围成无盖正方体； B图中只有个小正方形，无盖正方体纸盒需要个小正方形，故B选项不能围成无盖正方体； C图中有个小正方形，折叠后恰好是一个无盖正方体纸盒，故C选项能围成无盖正方体； D图中有个小正方形，可以折叠成一个有盖的正方体纸盒，故D选项不能围成无盖正方体； 故选：C． （2）解：正方形纸板四个角都剪掉一个边长为的小正方形，得到的纸盒的底面边长为， 当时，纸盒的高为，底面是边长为的正方形， 则纸盒的体积为：； （3）解：由图可知，折好的长方体纸盒的长为，宽为，高为， 折好的长方体纸盒的体积为， 当、时， 【点睛】本题考查正方体的表面展开图，长方体的体积，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． 9．（1）③； （2）①400；②1000；③2； （3）70；3； 如图所示，    ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为； 外围周长最大时的表面展开图共有3种不同的形状；长方体的展开图，如图所示： 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成进行判断即可； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； ③分别求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，即可求解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，可得答案． 【详解】解：（1）根据长方体的结构，③不能折成一个长方体，因此③不是长方体的表面展开图． （2）①长方体纸盒的底面面积为， ∴长方体纸盒的底面积为， ②长方体纸盒的底面积为， ∴该长方体纸盒的体积为， ③无盖盒子的体积：， 有盖盒子的体积：， ∵， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍； （3）略 10．(1)2，10， 12 (2)不变；10 (3) 【分析】（1）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． （2）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． （3）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． 【详解】（1）解： 点表示的数是，点与点表示的数互为相反数， 表示的数是． 表示的数是6， ， ， ， ，（舍去，与重合） 表示的数是． ． （2）解：设为点的第一次跳跃，表示的数是， 表示的数是， 表示的数是，， ， ， ， ，（舍去，与重合） ． 不管怎么变化，为固定值，且是10． （3）解：设为点的第一次跳跃，表示的数是， 表示的数是， 表示的数是， ， ， ，（舍去，与重合） ． 11．(1)①；② (2)A (3)①；② 【分析】本题主要考查了正负数应用，展开图折叠成几何体．解决本题的关键是熟练掌握有理数的混合运算，根据展开图确定出立体图形． （1）①80乘以6再加上超过与不足标准质量的总和；②比较超过或不足标准质量的大小，用最大数减去最小数； （2）能制作无盖的长方体的展开图只有A； （3）①梱扎长方体礼盒的丝带构成两个长方形，周长分别为 ，，再加上打蝴蝶结要的丝带，即得丝带总长；②当，，，时，代入①中结果，计算即得． 【详解】（1）解：①； ②， ． （2）解：A、可以做一个有盖长方体盒子； B、做不了无盖长方体盒子； C、只能做一个无盖三棱柱盒子； D、可以做一个无盖长方体盒子； 故选：A． （3）解：①； ②当，，时， ． 12．（1）①；②1；（2）两点之间的距离是定值，值为；（3） 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点间的距离及数轴上动点问题，理解题意是解决本题的关键． （1）①根据题意即可求解；②根据题意结合即可求解； （2）先表达出点D和点E的代数式，再根据数轴上两点间的距离进行求解判断即可； （3）根据题意得出，，两点之间的距离与，两点之间的距离和是和两点之间的距离与两点之间的距离和是，进而即可求解． 【详解】解：（1）①由题意可得，两点之间的距离是； 两点之间的距离是； 故答案为：； ②∵点到，两点的距离相等且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）两点之间的距离是定值， ∵点到，两点的距离相等，点到两点的距离相等， ∴点D为，点E为， ∴两点之间的距离是，两点之间的距离是， ∴两点之间的距离是． （3），两点之间的距离与，两点之间的距离和是， ∵点到两点的距离相等，点S到两点的距离相等， ∴两点之间的距离与两点之间的距离和是， ∵两点之间的距离是， ∴两点之间的距离是． 13．(1)C同学获胜 (2)A (3)丁获胜 【分析】本题考查了有理数的加法，减法，乘法，除法，相反数的定义，有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意，先利用有理数加法法则求出三位同学的计算结果，再比较大小即可解答； （2）同理（1）方法，分别利用有理数的减法，乘法，除法运算法则求出三位同学的计算结果，再比较大小即可解答； （3）根据相反数的定义，有理数乘法的意义，有理数加法的意义计算出乙，丙，丁的数字，比较大小即可． 【详解】（1）解：A同学的计算结果为， B同学的计算结果为， 同学的计算结果为． 因为， 所以C同学获胜． （2）解：若第二轮游戏进行减法运算： A同学的计算结果为或， B同学的计算结果为或， 同学的计算结果为或， 当A同学的计算结果为，B同学的计算结果为，同学的计算结果为时， 因为， 所以B同学获胜； 若第二轮游戏进行乘法运算： A同学的计算结果为， B同学的计算结果为， 同学的计算结果为， 因为， 所以B同学获胜； 若第二轮游戏进行除法运算： A同学的计算结果为或， B同学的计算结果为或， 同学的计算结果为或， 因为A同学的计算结果为负数，B同学的计算结果为正，同学的计算结果为负数， 所以B同学获胜； 由（1）知若第二轮游戏进行加法运算，C同学获胜； 综上，第二轮游戏是B获胜，相邻的两张卡片上的数字所进行的运算不可能是加法， 故答案为：A． （3）解：因为甲抽到的卡片上的数字为6，乙抽到的卡片上的数字是甲抽到的卡片上的数字的相反数， 所以乙抽到的卡片上的数字为， 又因为丙抽到的卡片上的数字为乙的， 所以丙抽到的卡片上的数字为， 因为丁抽到的卡片上的数字比丙抽到的卡片上的数字大9， 所以丁抽到的卡片上的数字为， 因为， 所以丁获胜． 14．(1)乘法交换律，乘法分配律 (2) 证明： （乘法分配律） ， ，即与互为相反数． ， ． (3)C 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意，可以写出相应的依据； （2）根据题目中的探索3，可以写出的理由； （3）根据有理数加法法则的应用选择． 【详解】（1）解∶由题目中的解答过程可知依据1：乘法交换律；依据2：乘法分配律． 故答案为∶乘法交换律；乘法分配律； （2）略 （3）解∶探究有理数加法法则需要归纳以下几种情况：两个正数相加（如②）；两个负数相加（如③）；一个数同0相加（如⑤）；异号两数相加，包括和为正（如⑥）、和为负（如⑦）、和为零（即互为相反数的两数相加，如⑧）．选项C的算式组合②③⑤⑥⑦⑧恰好完整覆盖了上述所有情况． 故选C． 15．（1）C；（2）；（3） 【分析】本题主要考查立体图形和平面图形的关系，以及容积的求解： （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）根据题目所给剪法可以得解边长，结合长方体的体积计算公式解答； （3）根据长方体的侧面展开图的模式即可求得长宽高，利用长方体的体积计算公式解答． 【详解】解：（1）制作一个无盖的正方体纸盒需要5个面，排除B和D，A有“田”字无法折叠为无盖的正方体纸盒， 故选：C． （2）该纸盒的容积为 ． （3）牛奶盒身的高为． 已知②号长方形的宽比①号多， 则①号长方形的宽为， 所以②号长方形的宽为， 此时牛奶盒子的容积为． 答：这个牛奶盒子的容积是． 16．[应用一] ； ，；[应用二] （），；（） 或； ；（）． 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值几何意义，数轴折叠等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． [应用一]先求出折叠点表示的数为，从而即可求解； 先求出折叠点表示的数为，则点表示，点表示， [应用二]（）根据数轴上两点之间的距离即可求解； （）根据数轴上两点之间的距离即可求解； 根据数轴上两点之间的距离即可求解； （）的几何意义是在数轴上表示数两点间的距离；的几何意义是在数轴上表示数两点间的距离；的几何意义是：在数轴上表示数两点间的距离，所以表示数的点在数轴上表示数，，三点的距离之和，通过数轴可得当为数，此时最小值是． 【详解】解：[应用一]∵折叠纸面，表示的点与表示的点重合， ∴折痕点为， ∴与表示的点重合点为， 故答案为：； ∵折痕与折痕相同，即折痕点为， ∴点表示，点表示， 故答案为：，； [应用二]（）数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：，； （）由的几何意义是在数轴上表示数两点间的距离， ∵， ∴或， ∴的值为或， 故答案为：或； ∵表示在数轴上表示数与，的距离之和， ∴当在，之间时有最小值，为， 故答案为：6； （）∵的几何意义是：在数轴上表示数两点间的距离；的几何意义是：在数轴上表示数两点间的距离；的几何意义是：在数轴上表示数两点间的距离； ∴表示数的点在数轴上表示数，，三点的距离之和，则有最小值时，为数，此时最小值是， 故答案为：． 17．(1)； (2) 解：， 能被9整除． (3) 【分析】（1）一个两位数十位上的数表示多少个，个位上的数表示多少个，据此即可求解； （2）由，，计算出，即可证明能被9整除； （3）根据运算程序得出结果为，再根据，即可得出． 【详解】（1）解：； ； （2）略 （3）解：，理由如下： 将输入运算程序，得： ， 减去得：， 而四位数可以表示为：， 所以， 即， 所以， 即． 18．(1)（答案不唯一） (2)B (3) 【分析】（1）根据题意不妨取即可； （2）根据“完美积式”的判定为一个整数的平方，逐项判断即可； （3）根据题意可知要为一个整数的平方，再列举即可． 【详解】（1）解：，，b、d互为相反数, ，即， 则“完美积式”式为， 不妨取，则“完美积式”为； （2）解：对于A，，不是一个整数的平方，故A不符合； 对于B，，故B正确； 对于C，，不是一个整数的平方，故C不符合题意； 对于D，，故D不符合题意； （3）解：， 要为一个整数的平方，且k为正整数， ，解得（负值已舍去）， ，解得（负值已舍去）， ，解得（负值已舍去）， 故k的所有可能值的和为． 19．（1）；  （2）；  （3） 【分析】本题考查了用整体代换法求整式的值、整式的加减，能熟练利用整体思想求解是解题的关键； （1）将化为，整体代入，即可求解； （2）把代入并整理得，把代入得，再化为，整体代入，即可求解； （3）将化为，整体代入，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ； （2）把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3），， 20．(1)，，； (2)，； (3)C； (4) 【分析】本题考查长方体的展开图、表面积计算及代数式的实际应用，核心是理解折叠后长方体的长、宽、高与原正方形边长的数量关系． （1）根据长方体的展开图，直接推导盒子的高、底面边长，进而得到底面积和容积的代数式； （2）将给定的和的值代入容积公式，通过有理数运算得出结果； （3）观察表格中容积随剪去正方形边长的变化数据，总结变化趋势； （4）涂色面积可通过“原正方形面积减去4个剪去的小正方形面积”快速计算，或直接计算长方体各外表面的面积之和． 【详解】（1）解：由折叠过程可知，无盖长方体盒子的高等于剪去的正方形边长，即； 底面为正方形，其边长为原正方形边长减去2个剪去正方形的边长，即，故底面积为； 容积为底面积与高的乘积，即； 故答案为：，，； （2）解：当，时，容积； 当，时，容积； 故表格中依次填，； （3）解：观察表格数据：剪去正方形边长从1到3时，容积逐渐增大；从3到时，容积逐渐减小，因此容积随剪去正方形边长的增大先增大后减小， 故选：C； （4）解：原正方形纸片的面积为， 剪去的4个小正方形的总面积为， 需要涂色的面积． 答：需要涂色的面积是． 21．（1）202，；（2）52 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，列代数式，解题的关键是找出图形个数的规律． （1）根据图形个数，列代数式表示出个数规律即可； （2）根据图形个数，列代数式表示出个数规律即可． 【详解】解：（1）长方形内有100个点可以分得的三角形个数为（个）， 长方形内有个点，那么可分得的三角形的个数为（个）， 故答案为：202，； （2）第一幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有4块， 第二幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有7块， 第三幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有10块， …… 第幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有块， ∴第17幅蝴蝶形图案中灰色地砖有块， 故答案为：52． 22．(1)①1125，648；②先增大后减小 (2) 缩小x的取值范围和取值间隔，逐步确定当x位于哪两个数之间时，容积V存在最大值，如计算，3.2，3.3，……，4.9时，对应V的值，确定当x位于哪两个数之间时，容积V存在最大值，继续缩小取值间隔，重复上述步骤，发现规律．（答案不唯一） 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，解题的关键是： （1）①先根据长方体的体积公式求出，然后把，代入计算即可； ②根据表格数据，进行分析，即可作答； （2）模仿前面过程，进行作答即可． 【详解】（1）解：①根据题意，得：， 当时，； 当时，， 故答案为：1125，648； ②观察数据发现，随着小正方形边长的增大，容积先增大后减小； （2）略 23． （1）填表如下： 阶段数 该阶段新增六边形的个数 该阶段结束后图形最外围的边数 1 1 6 2 6 18 3 12 30 4 18 42 观察可知，从第2阶段开始，每阶段新增的个数都比前一阶段多6个； （2）24；54； （3）；114；（4）91 【分析】本题考查图形类规律探究，准确的找到规律是解题的关键： （1）根据给出的图形，填写表格即可； （2）根据表格中的数据，得到规律进行作答即可； （3）根据规律列出代数式，进而求出第10阶段时，最外围边数即可； （4）根据规律列式计算即可． 【详解】解：（1）观察图3可知：第3阶段，新增六边形为12个，最外围的边数为30， ∵第1阶段，新增六边形为1个，最外围的边数为条， 第2阶段，新增六边形为个，最外围的边数为条， 第3阶段，新增六边形为个，最外围的边数为条， ∴第4阶段，新增六边形为个，最外围的边数为条， 填表如下： 阶段数 该阶段新增六边形的个数 该阶段结束后图形最外围的边数 1 1 6 2 6 18 3 12 30 4 18 42 观察可知，从第2阶段开始，每阶段新增的个数都比前一阶段多6个； （2）第5阶段将新增个六边形，此时整个图形最外围的边数将是条； （3）由（1）可知：最外围边数，故第10阶段时，最外围边数是条； （4）（个）； 故答案为：91． 24．（1）0，0； （2），，0，0； （3）的值均为0， 如图， ，，，， 将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0． 【分析】本题考查了数字类规律探索,整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据所给算式计算即可； （2）先得出，再代入计算即可求解； （3）先按框出，再计算后得出结论． 【详解】（1）解：； 将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0． 故答案为：0，0； （2）设，则，，． ． 所以的值均为0． 故答案为：，，0，0； （3）略 25．(1)①在图②中表示出，，三点的位置如图： ②3，7 (2)①，，； ②的值不变，其值为13；理由如下： 由① 可得：， ∴． 【详解】（1）解：① 由题意得：点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，数轴表示见答案； ② 点到点的距离； 点到点的距离； 故答案为3，7； （2）解：①由题意得：点P运动的距离为，点M运动的距离为，点N运动的距离为， ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为； ②略 26．（1）30，105；（2）；（3）或 【分析】（1）根据平角和角平分线的定义，分别求得，即可解答； （2）根据角平分线的定义，分别求得，即可解答； （3）运用分类讨论的思想方法，根据的度数和题中表示的所有角都是小于的角，分别讨论当在的右侧和左侧的情况，根据角平分线的定义和角度的和差运算，即可解答． 【详解】解：（1）∵边和边在同一条直线上，， ∴， ∵分别为的平分线， ∴，， ∴； （2）∵分别为的平分线，， ∴，， ∵， ∴ （3）∵题中表示的所有角都是小于的角， ∴①如图3所示，当在的右侧，且时， ∵，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴； ②如图4所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ③如图5所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ④如图6所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑤如图7所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑥如图8所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； 综上所述，当时，的度数为或． 27．(1)， (2)， 理由如下： ， ，， 恰好平分， ， ， ． (3)存在，t的值为2或8或20 【分析】（1）由角的和差得，，即可求解； （2）由角的和差及角平分线的定义得，，由余角的性质，即可求解； （3）分类讨论：①当是、构成夹角的平分线，②当是、构成夹角的平分线，③当是、构成夹角的平分线，结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）略 （3）解：存在； ①如图，当是、构成夹角的平分线， ， ； ②如图，当是、构成夹角的平分线， ， ； ③如图，当是、构成夹角的平分线， ， 绕旋转了， ． 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线，角的和差，余角的性质，旋转的性质，掌握余角的性质，熟练利用角平分线的定义并结合角的和差进行求解，能根据旋转的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 28．(1) (2) 解：猜想的度数不随的改变而改变，理由如下： 平分且， ， ，， ， 平分， ， ， 的度数不随的改变而改变； (3)上述猜想依然成立． 【分析】本题考查角平分线的定义，角的运算等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，求出，，计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，求出，，计算即可求解； （3）根据角之间的关系，易得，，计算化简可得． 【详解】（1）解： ，， ， 平分，平分， ，， 故答案为：； （2）略 （3）解：上述猜想依然成立，理由如下： ，， ，， ， ． 29． （1）如图所示为所求： （2），； （3）①不存在， 理由：对于直线上的任意点P，恒有，当且仅当点P在线段上时取等号； 因此的最小值为，不可能等于； ②存在，点的位置在除线段外的直线上，点的数量有无数个 【分析】本题考查尺规作图，作线段，两点间的距离，线段和差的运算． （1）根据题意作图即可； （2）根据图形，利用线段间的关系及线段的和差即可求解； （3）①不存在，求得，不可能等于；②存在，点的位置在除线段外的直线上，这样的点有无数个． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）①略 ②存在这样的点P， 点P的位置：点的位置在除线段外的直线上， 则点的数量有无数个． 30．（1）是；（2）或；（3）；（4）7或3 【分析】本题考查了角的和差、角平分线、与线段中点有关的计算，熟练掌握角平分线和线段中点的计算是解题关键． （1）根据“共边角”的定义解答即可得； （2）分两种情况，画出图形（见解析），根据角的和差解答即可得； （3）先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据角的和差可得，据此建立等式化简即可得； （4）根据题意设和是两条“共端点线段”，且，点分别为的中点，则，，再分两种情况：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，根据线段的和差计算即可得． 【详解】解：（1）∵和都有公共顶点和一条公共边， ∴和是“共边角”， 故答案为：是． （2）由题意，设和是“共边角”，且，， 如图，当在的内部时， 则它们非公共边的两边的夹角是； 如图，当在的左侧时， 则它们非公共边的两边的夹角是； 故答案为：或． （3）∵、分别平分“共边角”和， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （4）由题意，设和是两条“共端点线段”，且，点分别为的中点， ∴，． 如图，当点在线段上时， ∴； 如图，当点在线段的延长线上时， ∴； 综上，的长度为7或3， 即这两条线段的中点之间的距离为7或3， 故答案为：7或3． 31．问题一： 当点C在线段延长线上时，如小景图1， ∵，， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 当点C在线段上时，如小景图2， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故的长度是8或2； 问题二：或， 问题三： ，， ， . 【分析】本题考查了与线段有关的计算和角有关的计算，解题关键是能根据图形正确得到线段或角之间的和差关系，同时要求学生牢记中点、角平分线的定义等相关概念． 问题一：分两种情况，①当点在线段延长线上时，利用线段中点得出求解即可；②当点C在线段上时，利用线段中点得出求解即可； 问题二：利用角平分线的定义得到，，再利用角的和差关系进行计算即可； 问题三：先利用三等分线得出或，或，再利用角的和差关系进行转化即可． 【详解】解：问题一：略 ，，射线是的平分线，射线是的平分线， ，， ①当是外部的一条射线，如图1， ； ②当是内部的一条射线，如图2， ． 问题三：如图3 ∵，射线是的三等分线， 或， ∵，射线是的三等分线，射线是的三等分线， 或， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，. 32．(1)①6；②，． (2) 小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．理由： 分别是、的中点， ，， ， ，不变， 的长不变； (3) 【分析】此题考查了线段中点的相关计算、角平分线的相关计算、几何图形中相关角度的计算等知识． （1）①根据线段中点的定义得到，，得到，即可求出答案；②按照①的步骤即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据，，得到，则 ，即可得到结论； 【详解】（1）解：①∵线段，，点、分别是、的中点． ∴，， ∴ ， 故答案为；； ②略 （2）解：， 理由如下： ∵和分别平分和， ∴， ∴ ； （3）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴ ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $