第7讲 点与圆、直线与圆的位置关系 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版九年级数学上册

第7讲 点与圆、直线与圆的位置关系 2026-2027 苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解点与圆的三种位置关系，能根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断点的位置 · 掌握直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），能根据圆心到直线的距离与半径的关系判断位置 · 掌握切线的判定定理和性质定理，能运用切线定理进行计算和证明 · 理解切线长的概念，掌握切线长定理，能运用切线长定理解决相关问题 · 了解三角形内切圆的概念，能作出三角形的内切圆并计算内切圆半径 📚 知识梳理 ☆ 1.点与圆的位置关系 点与圆的三种位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r 位置关系的判定：比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系，d>r在圆外，d=r在圆上，d<r在圆内 几个点确定一个圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆；经过同一直线上的三点不能作圆 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点 概念辨析例题：已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是？ 解析：因为⊙O的半径r=5cm，点P到圆心的距离d=OP=3cm，所以d<r（3<5），根据点与圆的位置关系判定，点P在圆内。 ☆ 2.直线与圆的位置关系 直线与圆的三种位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l与⊙O相离⇔d>r；直线l与⊙O相切⇔d=r；直线l与⊙O相交⇔d<r 相离：直线与圆没有公共点，此时圆心到直线的距离大于半径（d>r） 相切：直线与圆有唯一公共点，此时圆心到直线的距离等于半径（d=r），这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点 相交：直线与圆有两个公共点，此时圆心到直线的距离小于半径（d<r），这条直线叫做圆的割线 概念辨析例题：已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为6cm，试判断直线l与⊙O的位置关系。 解析：因为⊙O的半径r=6cm，圆心O到直线l的距离d=6cm，所以d=r（6=6），根据直线与圆的位置关系判定，直线l与⊙O相切。 ☆ 3.切线的判定与性质 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。两个条件缺一不可：①经过半径外端；②垂直于这条半径 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定方法：①定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②数量关系法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③判定定理法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 常见辅助线：①证明切线时，若已知直线与圆有公共点，则连接圆心和公共点，证明垂直；若未知公共点，则过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径 概念辨析例题：如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，∠B=20°，求∠P的度数。 解析：连接OC，因为PC是⊙O的切线，所以OC⊥PC（切线的性质），即∠OCP=90°。因为OC=OB（都是半径），所以∠OCB=∠B=20°（等边对等角）。所以∠COP=∠OCB+∠B=40°（三角形外角等于不相邻两内角和）。在Rt△OCP中，∠P=90°-∠COP=90°-40°=50°。 ☆ 4.切线长 切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 切线长定理的几何语言：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∴PA=PB，∠APO=∠BPO（OP平分∠APB） 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等 概念辨析例题：如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，PA=10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，求△PCD的周长。 解析：因为PA、PB是⊙O的切线，所以PA=PB=10（切线长定理）。因为CA、CE是⊙O的切线，所以CA=CE（切线长定理）。因为DB、DE是⊙O的切线，所以DB=DE（切线长定理）。所以△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=10+10=20。 📋 知识总结表 位置关系 判定条件（d与r） 公共点数 点在圆外 d > r 0个 点在圆上 d = r 1个 点在圆内 d < r 0个（在圆内部） 直线与圆相离 d > r 0个 直线与圆相切 d = r 1个（切点） 直线与圆相交 d < r 2个 ⚠️ 核心考点 【考点1】点与圆的位置关系 · 判定方法：比较点到圆心的距离d与半径r的大小，d>r在圆外，d=r在圆上，d<r在圆内 · 不在同一直线上的三点确定一个圆，同一直线上三点不能作圆 · 三角形外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等 · 直角三角形外接圆半径=斜边一半，外心在斜边中点 1．在边长为4正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是同平面内的一动点，∠BED＝90°，F是DE中点，连接CF，则CF的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．已知⊙O的半径为10cm，点A为平面内一点，且OA＝8cm，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法判断 3．已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，OP的长可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（　　） A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部 5．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝25°，则∠P的度数为（　　） A．50° B．40° C．25° D．20° 6．在直角△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝6，AC＝4，E为射线AC上一点，以AE为直径作圆，连接BE交圆于点D，则CD的最小值为_____ ． 7．已知⊙O的半径为3，若点P到点O的距离为4，则点P在⊙O_____ ．（填“内”“外”或“上”） 8．已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝3，以点A为圆心，AB为半径作⊙A，则点D在⊙A_____ （填“外”“内”或“上”）． 9．如图．在平面直角坐标系中，点C是以点P为圆心，1为半径的圆上的动点，若A（﹣1，0），B（0，1），P（﹣3，2），则△ABC的面积最小值为____________________ ． 10．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r． （1）当r取什么值时，点A，B在⊙C外？ （2）当r在什么范围时，点B在⊙C内，点A在⊙C外？ 11．综合与实践 某地的景观湖湖面成鱼型，如图1，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索该景观湖的大小，如图2，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离DE为22米（点D，C，E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 12．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． （1）直接写出圆弧所在⊙P的圆心坐标：___________ ； （2）⊙P的半径为________________ ； （3）若点M（﹣1，1），则点M在⊙P_______ ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 13．如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E，DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD． （1）求∠F的度数； （2）若DE•DC＝16，求⊙O的半径． 14．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，垂足为点E．连接CD，BC．猜想∠DAB与∠ABC的数量关系，并证明你的结论． 【考点2】直线与圆的位置关系 · 判定方法：比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，d>r相离，d=r相切，d<r相交 · 相切时直线与圆有唯一公共点（切点），相交时有两个公共点 · 判断直线与圆位置关系时，先求圆心到直线的距离，再与半径比较 · 直线与圆相交时，弦长公式：弦长=2，其中d为弦心距 15．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线，所作切线与BA的延长线交于点P，∠B＝20°，则∠P＝（　　） A．20° B．25° C．40° D．50° 16．如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 17．如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P＝68°，则∠BAC的度数为（　　） A．34° B．39° C．51° D．56° 18．在探索宇宙的征程中，人类在一个边长为10光年的正方形星域中建立了一个观测站．该星域内有一个半径为1光年的恒星系（可视为圆形），它可以在星域内自由移动，并可能与其边界相切．设观测站位于星域的中心点P，观测站到该圆形恒星系边界上任意点的最短距离为d光年．已知d为整数，则d的取值情况有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 19．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，BC为半径画圆，则点C与⊙A的位置关系是__________ ． 20．如图，⊙A与x轴相切，与y轴相交于点B（0，1）、C（0，3），那么点A的坐标是___________________ ． 21．如图是地球的示意图，其中AB和CD分别表示赤道和南回归线，∠DOB＝23.5°，常州市某处E位于北纬31.5°（即∠EOB＝31.5°）．冬至日正午时，太阳光线FD所在直线经过地心O，此时E处的太阳高度角∠GEH（即平行于FD的光线GE与⊙O的切线EH所夹的锐角）的大小为_______ °． 22．如图，线段AB是⊙O的直径，∠CAB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，则∠D的度数为________ ． 23．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．若D为AC的中点，那么DE是⊙O的切线吗？请说明理由． 24．如图，在△ABC中，O为AC上一点，⊙O过B，C两点，且与AC交于点D，∠A＝36°，∠C＝27°，求证：AB是⊙O的切线． 25．O为∠ABC的平分线上的一点，直线AB与以点O为圆心的圆相切，直线BC与⊙O相切吗？为什么？ 【考点3】切线的判定与性质 · 判定切线：已知公共点→连半径证垂直；未知公共点→作垂线证半径 · 切线性质：切线垂直于过切点的半径，见切线想直角 · 常见辅助线：连接圆心和切点，构造直角三角形 · 切线判定定理两个条件缺一不可：经过半径外端且垂直于半径 26．在△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC上一点，以OA为半径的⊙O交AB于点D．当DC为⊙O的切线时，∠BCD等于（　　） A．∠A B．2∠A C．90°﹣∠A D．180°﹣4∠A 27．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若AB＝1，CD＝3，求半径AD的长是（　　） A．2 B． C． D．5 28．有一道题目：“如图，AB是⊙O的直径，BQ是⊙O的切线，要使直线AP是⊙O的切线，需添加的条件是________（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（　　） 甲：AP∥BQ；乙：∠BAC＝∠PAC；丙：∠BAC＝∠P A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 29．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 30．如图，已知⊙O与AD相切于点B，BE是⊙O的直径，且BE＝4，延长EB交AC于点C．若BC＝4，∠ACB＝60°，则点A与⊙O上的点的最大距离为___________________ ． 31．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于 _______ 度时，AC才能成为⊙O的切线． 32．在如图中，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是 ___________________ ．（写一个条件即可） 33．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于点E，连接OD，则下列结论：①OD∥AC；②∠B＝∠C＝30°；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线．其中结论正确的是________ ．（直接填序号） 34．如图，⊙O的半径OC长为5，直线l交⊙O于A，B两点，AB为8，OC⊥l，垂足为点H．将直线l向下平移一段距离，使它与⊙O相切．求这段距离． 35．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求： （1）∠BOC的度数； （2）BE+CG的长； （3）⊙O的半径． 36．已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求： （1）△PCD的周长； （2）若∠P＝50°，求∠COD的度数． 【考点4】切线长 · 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分夹角 · 见两条切线想切线长相等，常用于求三角形周长或线段长度 · 三角形内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，等于内切圆半径 · 直角三角形内切圆半径r=（a、b为直角边，c为斜边） 37．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 38．如图，P为⊙O外一点，PA，PB，MN分别切⊙O于A，B，C三点，且切线MN分别交PA，PB于点M，N．若PA＝12，则△PMN的周长为（　　） A．12 B．13 C．16 D．24 39．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若AB＝1，BC＝3，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 40．已知⊙O的半径是10cm，点P是⊙O外一点，则OP的长可能是（　　） A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm 41．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题（共16小题） 42．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA＝10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是_______ ． 43．如图，⊙O内切于四边形ABCD，且AB＝8，CD＝5，则四边形ABCD的周长_______ ． 44．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 _______ ． 45．如图，PA与⊙O相切于点A，PB与⊙O相切于点B，M为上一点，过点M与⊙O相切的直线分别交PA，PB于点E，F．若△PEF的周长为12，则PA的长为_____ ． 三．解答题（共26小题） 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记位置关系判定：点与圆看d与r，直线与圆看圆心到直线距离d与r，注意区分d的含义 · 掌握切线辅助线：证明切线时已知公共点连半径证垂直，未知公共点作垂线证半径；见切线想直角 · 熟练运用切线长定理：从圆外一点引两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分夹角，常用于求周长 · 区分外心和内心：外心是三边垂直平分线交点（外接圆圆心），内心是三条角平分线交点（内切圆圆心） · 规范几何证明步骤：作图→已知→求证→证明，每步推理要有定理依据，注意逻辑严密性和辅助线说明 【作业1】操作与探究：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°． （1）动手操作：用直尺和圆规按要求作图：①作BC的垂直平分线MN交AC于点O；②以点O为圆心OC长为半径作⊙O；③连接BO并延长交⊙O于点D，连接AD，CD．（要求：保留作图痕迹，标明字母）． （2）猜想证明：在（1）所作的图形中： ①判断点A，B与⊙O的位置关系_____________ ； ②判断四边形ABCD的形状，并进行证明． 【作业2】已知⊙O的圆心为原点O（0，0），半径为5．请判断点A（1，5），B（3，3），C（3，4）与⊙O的位置关系． 【作业3】⊙O的半径为10cm，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和⊙O的位置关系： （1）8cm （2）10cm （3）12cm． 【作业4】已知⊙O的半径为6cm当OP满足下列条件时，分别指出点P和⊙O的位置关系： （1）OP＝4cm； （2）OP＝7cm； （3）OP＝6cm； （4）OP＝6.1cm． 【作业5】已知⊙O的半径为6cm，点P在直线l上．若OP＝6cm，试判断直线l与⊙O的位置关系． 【作业6】如图，AB是⊙O的切线，B为切点．OA与⊙O交于点C，D为⊙O上一点，连接CD，BD，∠A＝42°，求∠D的度数． 【作业7】如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，∠APB＝60°，求∠COD的度数． 【作业8】如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，PA＝PB．求证：PB是⊙O的切线． 【作业9】如图，AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，过点C作CD⊥AD于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）已知点E是半圆AEB上一点，连接EB，EC，若∠BEC＝30°，且AC＝8，求⊙O的半径． 【作业10】如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF与⊙O相切． （1）求证：EF＝EC； （2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长． 【作业11】如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E． （1）求证：直线AD是⊙O的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． （2）当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由． 【作业12】如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm． （1）求证：∠BOC＝90°． （2）求BE的长． 【作业13】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E，F，G，H．连接OA，OB，OC，OD． （1）若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则DA的长为 _____ ； （2）求证∠AOD+∠BOC＝180°． 【作业14】在相距40千米的A、B两市间有一个半径为10千米的近似圆形的湖泊，湖泊的中心恰好在A、B两点连线的中点处．现要绕过湖泊从A市到B市，路程要尽量短，请你设计三种行走路线，并比较哪一种路线最短？为什么？（不考虑造桥或设计摆渡船，图①②③供设计画图用，用实线画出设计路线）． 【作业15】如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．求BC的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 点与圆、直线与圆的位置关系 2026-2027 苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解点与圆的三种位置关系，能根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断点的位置 · 掌握直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），能根据圆心到直线的距离与半径的关系判断位置 · 掌握切线的判定定理和性质定理，能运用切线定理进行计算和证明 · 理解切线长的概念，掌握切线长定理，能运用切线长定理解决相关问题 · 了解三角形内切圆的概念，能作出三角形的内切圆并计算内切圆半径 📚 知识梳理 ☆ 1.点与圆的位置关系 点与圆的三种位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r 位置关系的判定：比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系，d>r在圆外，d=r在圆上，d<r在圆内 几个点确定一个圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆；经过同一直线上的三点不能作圆 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点 概念辨析例题：已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是？ 解析：因为⊙O的半径r=5cm，点P到圆心的距离d=OP=3cm，所以d<r（3<5），根据点与圆的位置关系判定，点P在圆内。 ☆ 2.直线与圆的位置关系 直线与圆的三种位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l与⊙O相离⇔d>r；直线l与⊙O相切⇔d=r；直线l与⊙O相交⇔d<r 相离：直线与圆没有公共点，此时圆心到直线的距离大于半径（d>r） 相切：直线与圆有唯一公共点，此时圆心到直线的距离等于半径（d=r），这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点 相交：直线与圆有两个公共点，此时圆心到直线的距离小于半径（d<r），这条直线叫做圆的割线 概念辨析例题：已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为6cm，试判断直线l与⊙O的位置关系。 解析：因为⊙O的半径r=6cm，圆心O到直线l的距离d=6cm，所以d=r（6=6），根据直线与圆的位置关系判定，直线l与⊙O相切。 ☆ 3.切线的判定与性质 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。两个条件缺一不可：①经过半径外端；②垂直于这条半径 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定方法：①定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②数量关系法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③判定定理法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 常见辅助线：①证明切线时，若已知直线与圆有公共点，则连接圆心和公共点，证明垂直；若未知公共点，则过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径 概念辨析例题：如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，∠B=20°，求∠P的度数。 解析：连接OC，因为PC是⊙O的切线，所以OC⊥PC（切线的性质），即∠OCP=90°。因为OC=OB（都是半径），所以∠OCB=∠B=20°（等边对等角）。所以∠COP=∠OCB+∠B=40°（三角形外角等于不相邻两内角和）。在Rt△OCP中，∠P=90°-∠COP=90°-40°=50°。 ☆ 4.切线长 切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 切线长定理的几何语言：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∴PA=PB，∠APO=∠BPO（OP平分∠APB） 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等 概念辨析例题：如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，PA=10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，求△PCD的周长。 解析：因为PA、PB是⊙O的切线，所以PA=PB=10（切线长定理）。因为CA、CE是⊙O的切线，所以CA=CE（切线长定理）。因为DB、DE是⊙O的切线，所以DB=DE（切线长定理）。所以△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=10+10=20。 📋 知识总结表 位置关系 判定条件（d与r） 公共点数 点在圆外 d > r 0个 点在圆上 d = r 1个 点在圆内 d < r 0个（在圆内部） 直线与圆相离 d > r 0个 直线与圆相切 d = r 1个（切点） 直线与圆相交 d < r 2个 ⚠️ 核心考点 【考点1】点与圆的位置关系 · 判定方法：比较点到圆心的距离d与半径r的大小，d>r在圆外，d=r在圆上，d<r在圆内 · 不在同一直线上的三点确定一个圆，同一直线上三点不能作圆 · 三角形外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等 · 直角三角形外接圆半径=斜边一半，外心在斜边中点 1．在边长为4正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是同平面内的一动点，∠BED＝90°，F是DE中点，连接CF，则CF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】点与圆的位置关系；垂线段最短；三角形中位线定理；正方形的性质． 【分析】由E是同平面内的一动点，∠BED＝90°，可得点E为正方形外接圆上一点，延长DC至H，使DC＝CH＝4，由F是DE中点，可得CF为△DEH的中位线，即，由三角形两边之和大于第三边可知，当点O、E、H三点共线时，EH最小，利用勾股定理即可求出EH最小值，进而求解． 【解答】解：∵E是同平面内的一动点，∠BED＝90°， ∴点E为正方形外接圆⊙O上一点， 延长DC至H，使DC＝CH＝4， ∵F是DE中点， ∴CF为△DEH的中位线， ∴， 由三角形两边之和大于第三边可知，当点O、E、H三点共线时，EH最小， 过点O作OM⊥CD于M， ∵ABCD为正方形，边长为4， ∴OM＝CM＝2，， ∴HM＝2+4＝6，， ∴， ∴， ∴CF的最小值， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，最短线段问题，正确找到CF取最小值时点E的位置是解题的关键． 2．已知⊙O的半径为10cm，点A为平面内一点，且OA＝8cm，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法判断 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】根据点与圆的位置关系解答即可． 【解答】解：∵⊙O的半径为10cm，点A为平面内一点，且OA＝8cm， ∴OA＜r． ∴点A在⊙O内． 故选：B． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 3．已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，OP的长可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：∵O的半径为4，点P在⊙O外， ∴OP＞4， 故选：D． 【点评】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 4．已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（　　） A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部 【考点】点与圆的位置关系；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法． 【分析】解一元二次方程根，据点与圆的关系直接判定即可得到答案． 【解答】解：解方程x2﹣4x﹣5＝0可得，x1＝5，x2＝﹣1， ∵点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根， ∴d＝5＜8， ∴点P在⊙O的内部， 故选：A． 【点评】本题考查解一元二次方程及点与圆的关系，解题的关键是正确解方程及掌握点到圆心距离与圆半径关系判断点与圆的关系． 5．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝25°，则∠P的度数为（　　） A．50° B．40° C．25° D．20° 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【分析】根据圆周角定理和切线的性质分别求得∠AOP和∠PAO的度数是解题的关键． 【解答】解：由题意知，OC＝OB，∠PAO＝90°， ∴∠OCB＝∠B， 又∵∠B＝25°， ∴∠OCB＝∠B＝25°， ∴∠COA＝2∠OCB＝50°， ∴若∠B＝25°，则∠P＝90°﹣∠COA＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查了切线的性质及圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．在直角△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝6，AC＝4，E为射线AC上一点，以AE为直径作圆，连接BE交圆于点D，则CD的最小值为　2　 ． 【考点】点与圆的位置关系；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理． 【分析】连接AD，得出∠ADB＝90°，点D在以AB为直径的⊙M上运动，当点D在CM与⊙M的交点处时，CD最短，求出CM＝5，进而求出结论． 【解答】解：连接AD， ∵AE为直径， ∴∠ADE＝90°， ∴∠ADB＝90°， ∴点D在以AB为直径的⊙M上运动，当点D在CM与⊙M的交点处时，CD最短，如图所示， ∵AB＝6， ∴AM＝DMAB＝3， ∵∠CAB＝90°， ∴CM5， ∴CD＝CM﹣DM＝5﹣3＝2， ∴CD的最小值2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了勾股定理，圆周角定理以及圆外一点与圆的最短距离问题，找到点P的运动轨迹是圆是解题的关键． 7．已知⊙O的半径为3，若点P到点O的距离为4，则点P在⊙O　外　 ．（填“内”“外”或“上”） 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】根据点与圆的位置关系即可求解． 【解答】解：∵⊙O的半径为3，OP＝4＞3， ∴点P在⊙O外． 故答案为：外． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r． 8．已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝3，以点A为圆心，AB为半径作⊙A，则点D在⊙A　内　 （填“外”“内”或“上”）． 【考点】点与圆的位置关系；矩形的性质． 【分析】先确定点D到圆心A的距离d以及⊙A的半径r，再根据当d和r的关系判断点和圆的位置关系即可． 【解答】解：如图： ∴点D到圆心A的距离d＝3，⊙A的半径r＝4， ∴d＜r， ∴点D在⊙A内． 故答案为：内． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，正确进行计算是解题关键． 9．如图．在平面直角坐标系中，点C是以点P为圆心，1为半径的圆上的动点，若A（﹣1，0），B（0，1），P（﹣3，2），则△ABC的面积最小值为　　 ． 【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质． 【分析】连接PA，过点P作PH⊥x轴于H，可得∠PAH＝∠OAB＝45°，则∠PAB＝90°，设PA交⊙P于C，过点C作圆的切线，可知此时△ABC的面积最小，即可求解． 【解答】解：连接PA，过点P作PH⊥x轴于H， ∵B（0，1），P（﹣3，2），A（﹣1，0）， ∴AH＝PH＝2，OA＝OB＝1， ∴，，∠PAH＝∠OAB＝45°， ∴∠PAB＝90°， 设PA交⊙P于C，过点C作圆的切线，则切线平行于AB， ∴此时△ABC的面积最小， ∵半径为1， ∴， ∴△ABC的面积最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，掌握三角形的面积，点和圆的位置关系等是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r． （1）当r取什么值时，点A，B在⊙C外？ （2）当r在什么范围时，点B在⊙C内，点A在⊙C外？ 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】（1）要保证点在圆外，则点到圆心的距离应大于圆的半径，根据这一数量关系就可得到r的取值范围； （2）根据点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内和点到圆心的距离应大于圆的半径，则点在圆外求得r的取值范围． 【解答】解：（1）当0＜r＜3时，点A、B在⊙C外； （2）当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，能够根据已知条件得到相关的数量关系是解答本题的关键． 11．综合与实践 某地的景观湖湖面成鱼型，如图1，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索该景观湖的大小，如图2，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离DE为22米（点D，C，E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】连接OA，OC，OD，由C为AB的中点，点D为圆弧形道路内侧中点，可得OC⊥AB，OD⊥AB，ACAB＝100米，故O、E、C、D四点共线，设OA＝OD＝r米，可得r2＝（r﹣10）2+1002，r＝505，从而可得圆弧形水道外侧的半径为483米． 【解答】解：如图，设两同心圆的圆心为O，连接OA，OC，OD， ∵C为AB的中点，D为圆弧形道路内侧中点， ∴OC⊥AB，OD⊥AB． ∴O，E，C，D四点共线，（米）， 设OA＝OD＝r米，则OC＝（r﹣10）米． 在Rt△AOC中， ∵OA2＝OC2+AC2， ∴r2＝（r﹣10）2+1002， 解得r＝505， ∴OE＝OD﹣DE＝505﹣22＝483（米）． 所以圆弧形水道外侧的半径为483米． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，涉及垂径定理，解题的关键是掌握勾股定理列方程解决问题． 12．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． （1）直接写出圆弧所在⊙P的圆心坐标：　（2，﹣1）　 ； （2）⊙P的半径为　2　 ； （3）若点M（﹣1，1），则点M在⊙P　圆内　 ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；勾股定理． 【分析】（1）作出AB，BC的垂直平分线的交点即可求解； （2）利用勾股定理求解； （3）求出M、P两点的距离与半径比较即可得到结论． 【解答】解：（1）如图，作出AB，BC的垂直平分线的交点为P， ∴P（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）； （2）如图，连接AP，AP即为半径， ∵A（0，3），P（2，﹣1）， ∴， 故答案为：； （3）如图， ∵M（﹣1，1），P（2，﹣1）， ∴， ∴点M在⊙P内． 故答案为：圆内． 【点评】本题考查了图形与坐标综合，勾股定理，点与圆的位置关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 13．如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E，DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD． （1）求∠F的度数； （2）若DE•DC＝16，求⊙O的半径． 【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理． 【分析】（1）连接OD，根据FD为⊙O的切线，则∠ODF＝90°，由DF∥AB，则∠AOD＝90°，根据圆周角定理可得，又CF＝CD，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； （2）证明△DAE∽△DCA，根据相似三角形的性质，代入数据求解． 【解答】解：（1）AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E，如图： 如图，连接OD， ∵FD为⊙O的切线， ∴∠ODF＝90°， ∵DF∥AB， ∴∠AOD＝180°﹣∠ODF＝90°， ∴， ∵CF＝CD， ∴． （2）∵OA＝OD，∠AOD＝90°， ∴∠EAD＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠EAD＝∠ACD， 又∠ADE＝∠CDA， ∴△DAE∽△DCA， ∴， ∴DA2＝DE•DC＝16， ∵DA＞0， ∴DA＝4， ∵OA2+OD2＝2OA2＝DA2＝16， ∴，即⊙O的半径为． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识，正确作出辅助线是解题关键． 14．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，垂足为点E．连接CD，BC．猜想∠DAB与∠ABC的数量关系，并证明你的结论． 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据平行线的性质得到∠AOC＝∠DAB，再根据圆周角定理证明． 【解答】解：∠ABC∠DAB，理由如下： 如图，连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥CE， ∵DE⊥CE， ∴OC∥DE， ∴∠AOC＝∠DAB， 由圆周角定理得：∠ABC∠AOC， ∴∠ABC∠DAB． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【考点2】直线与圆的位置关系 · 判定方法：比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，d>r相离，d=r相切，d<r相交 · 相切时直线与圆有唯一公共点（切点），相交时有两个公共点 · 判断直线与圆位置关系时，先求圆心到直线的距离，再与半径比较 · 直线与圆相交时，弦长公式：弦长=2，其中d为弦心距 15．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线，所作切线与BA的延长线交于点P，∠B＝20°，则∠P＝（　　） A．20° B．25° C．40° D．50° 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【分析】连接CO，根据圆周角定理可得∠COA＝40°，根据切线的性质可得∠PCO＝90°，进而求得∠P的度数． 【解答】解：如图，连接CO， ∵∠B＝20°， ∴∠COA＝40°， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠PCO＝90°， ∴∠P＝90°﹣∠COA＝50°， 故选：D． 【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 16．如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】根据直线和圆的位置关系定理可得出答案． 【解答】解：根据图形可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交． 故选：C． 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系定理是解决问题的关键． 17．如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P＝68°，则∠BAC的度数为（　　） A．34° B．39° C．51° D．56° 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【分析】连接OP，交AC于H，根据切线长定理得到PA＝PC，∠APO＝∠CPO∠APB，根据切线的性质得到∠OAP＝90°，再根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：如图，连接OP，交AC于H， ∵PA，PC是⊙O的切线， ∴PA＝PC，∠APO＝∠CPO∠APB＝34°，∠OAP＝90°， ∴OP⊥AC， ∴∠PAH＝90°﹣∠APO＝56°， ∴∠BAC＝90°﹣56°＝34°， 故选：A． 【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 18．在探索宇宙的征程中，人类在一个边长为10光年的正方形星域中建立了一个观测站．该星域内有一个半径为1光年的恒星系（可视为圆形），它可以在星域内自由移动，并可能与其边界相切．设观测站位于星域的中心点P，观测站到该圆形恒星系边界上任意点的最短距离为d光年．已知d为整数，则d的取值情况有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【考点】切线的判定；正方形的性质；点与圆的位置关系． 【分析】先确定圆心O的运动范围，再利用点圆位置关系找到最短距离的范围，进而确定整数的数量． 【解答】解：如图， ∵正方形星域边长为10光年，中心为P，由于圆O要“在星域内自由移动且不超出边界”， ∴圆O到正方形各边的距离至少为1光年（否则圆会超出正方形）， ∴圆O的中心O的活动范围是一个边长为10﹣2×1＝8光年的小正方形（该小正方形距离原正方形各边均为1光年，中心仍为P）， ∴O到P的距离|PO|的范围为：最小值，当O与P重合时，|PO|＝0， 最大值：由勾股定理得小正方形的对角线长度为， ∴|PO|的最大值为小正方形对角线的一半，即， ∴， ∵圆上一点到外部点的最短距离为d＝||OP|﹣r|，r＝1， ∴当0≤|PO|≤1时，0≤d≤1，当时，， ∴综上， ∵， ∴整数d的可能取值为0，1，2，3，4共5种． 故选：C． 【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，切线的判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 19．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，BC为半径画圆，则点C与⊙A的位置关系是　点C在圆内　 ． 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】根据点P在圆内⇔d＜r解答即可． 【解答】解：∵BC＝4， ∴r＝4， ∵d＝AC＝3＜r， ∴点C与⊙A的位置关系是点C在圆内． 故答案为：点C在圆内． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r； ②点P在圆上⇔d＝r；①点P在圆内⇔d＜r． 20．如图，⊙A与x轴相切，与y轴相交于点B（0，1）、C（0，3），那么点A的坐标是　（，2）　 ． 【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理． 【分析】作AF⊥BC，假设⊙A与x轴相切于E点，连接AE，作BD⊥AE，根据勾股定理和垂径定理即可得到结论． 【解答】解：作AF⊥BC，假设⊙A与x轴相切于E点，连接AE，作BD⊥AE， 假设AE＝x，图象与y轴相交于点B（0，1）、C（0，3）， ∴OB＝DE＝1，AD＝x﹣1， ∵AC＝AB，AF⊥BC， ∴BF＝CF＝1， ∴AD＝BF＝1＝x﹣1， 解得：x＝2， ∴AE＝2． ∵AF， ∴A（，2）， 故答案为：（，2）． 【点评】此题主要考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，利用已知得出BF＝AD是解决问题的关键． 21．如图是地球的示意图，其中AB和CD分别表示赤道和南回归线，∠DOB＝23.5°，常州市某处E位于北纬31.5°（即∠EOB＝31.5°）．冬至日正午时，太阳光线FD所在直线经过地心O，此时E处的太阳高度角∠GEH（即平行于FD的光线GE与⊙O的切线EH所夹的锐角）的大小为　35　 °． 【考点】切线的性质． 【分析】先根据平行线的性质可得∠EOF+∠GEO＝180°，求出∠GEO＝125°，再结合EH是⊙O的切线，即∠OEH＝90°．即可得出∠GEH＝∠OEG﹣∠OEH＝35°． 【解答】解：∵∠DOB＝23.5°，∠EOB＝31.5°， ∴∠EOF＝∠DOB+∠EOB＝23.5°+31.5°＝55°， ∵FD∥EG， ∴∠EOF+∠GEO＝180°， ∴∠GEO＝180°﹣55°＝125°， 又∵EH是⊙O的切线， ∴∠OEH＝90°， ∴∠GEH＝∠OEG﹣∠OEH＝125°﹣90°＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质、切线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键． 22．如图，线段AB是⊙O的直径，∠CAB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，则∠D的度数为　50°　 ． 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【分析】连接OC，由CD与⊙O相切于点C，得∠OCD＝90°，由圆周角定理得∠CAB∠COD，因为∠CAB＝20°，所以∠COD＝2∠CAB＝40°，求得∠D＝90°﹣∠COD＝50°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OC， ∵CD与⊙O相切于点C， ∴CD⊥OC， ∴∠OCD＝90°， ∵线段AB是⊙O的直径，CD交AB的延长线于点D， ∴∠CAB∠COD， ∵∠CAB＝20°， ∴∠COD＝2∠CAB＝40°， ∴∠D＝90°﹣∠COD＝50°， 故答案为：50°． 【点评】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 23．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．若D为AC的中点，那么DE是⊙O的切线吗？请说明理由． 【考点】切线的判定． 【分析】由三角形中位线定理推出OD∥BC，得到半径OD⊥DE，判定DE是⊙O的切线． 【解答】解：DE是⊙O的切线，理由如下： ∵若D为AC的中点，O是AB的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴半径OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线． 【点评】本题考查切线的判定，关键是掌握切线的判定方法． 24．如图，在△ABC中，O为AC上一点，⊙O过B，C两点，且与AC交于点D，∠A＝36°，∠C＝27°，求证：AB是⊙O的切线． 【考点】切线的判定；圆周角定理． 【分析】连接OB，由等腰三角形的性质及三角形内角和求得∠OBC、∠ABC，从而求得∠ABO的度数为90°，即可证明结论成立． 【解答】证明：如图，连接OB， 则OB＝OC， ∴∠OBC＝∠C＝27°， ∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝117°， ∴∠ABO＝∠ABC﹣∠OBC＝117°﹣27°＝90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线． 【点评】本题考查切线的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 25．O为∠ABC的平分线上的一点，直线AB与以点O为圆心的圆相切，直线BC与⊙O相切吗？为什么？ 【考点】切线的判定与性质；角平分线的性质． 【分析】作OE⊥BC于点E，设⊙O与直线AB相切于点D，连接OD，则AB⊥OD，因为O为∠ABC的平分线上的一点，且OE⊥BC于点E，OD⊥BA于点D，所以OE＝OD，则点E在⊙O上，即可由OE是⊙O的半径，且BC⊥OE于点E，证明直线BC与⊙O相切． 【解答】解：直线BC与⊙O相切， 理由：作OE⊥BC于点E，设⊙O与直线AB相切于点D，连接OD，则AB⊥OD， ∵O为∠ABC的平分线上的一点，且OE⊥BC于点E，OD⊥BA于点D， ∴OE＝OD， ∴点E在⊙O上， ∵OE是⊙O的半径，且BC⊥OE于点E， ∴直线BC与⊙O相切． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、点与圆的位置关系、切线的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【考点3】切线的判定与性质 · 判定切线：已知公共点→连半径证垂直；未知公共点→作垂线证半径 · 切线性质：切线垂直于过切点的半径，见切线想直角 · 常见辅助线：连接圆心和切点，构造直角三角形 · 切线判定定理两个条件缺一不可：经过半径外端且垂直于半径 26．在△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC上一点，以OA为半径的⊙O交AB于点D．当DC为⊙O的切线时，∠BCD等于（　　） A．∠A B．2∠A C．90°﹣∠A D．180°﹣4∠A 【考点】切线的判定与性质；圆周角定理． 【分析】连接OD，利用切线的性质得到∠ODC＝90°，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠DOC＝2∠A，最后在Rt△ODC中求出∠OCD，进而求出∠BCD． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC上一点，以OA为半径的⊙O交AB于点D．如图，连接OD， ∵DC为⊙O的切线， ∴OD⊥DC，即∠ODC＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A， ∴∠DOC＝∠A+∠ODA＝2∠A， 在Rt△ODC中，∠OCD＝90°﹣∠DOC＝90°﹣2∠A， ∵∠ACB＝∠BCD+∠OCD＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠OCD＝90°﹣（90°﹣2∠A）＝2∠A． 故选：B． 【点评】本题考查切线的判定与性质，正确进行计算是解题关键． 27．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若AB＝1，CD＝3，求半径AD的长是（　　） A．2 B． C． D．5 【考点】切线的判定与性质；勾股定理． 【分析】连接DB、DE，根据切线的判定可证AB是⊙D的切线，再根据切线长定理可得AB＝BE＝1，∠ABD＝∠EBD，由切线的性质可得DE⊥BC，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得DC＝BC＝3，可得EC＝2，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：连接DB、DE， ∵AD⊥AB，AD是⊙D的半径， ∴AB是⊙D的切线， ∵BC是⊙D的切线， ∴DE⊥BC，AB＝BE＝1，∠ABD＝∠EBD， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∴∠EBD＝∠BDC， ∴DC＝BC＝3， ∴EC＝BC﹣BE＝3﹣1＝2， 在Rt△DEC中，， ∴若AB＝1，CD＝3，则半径， 故选：C． 【点评】本题主要考查切线的判定与性质、切线长定理、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 28．有一道题目：“如图，AB是⊙O的直径，BQ是⊙O的切线，要使直线AP是⊙O的切线，需添加的条件是________（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（　　） 甲：AP∥BQ；乙：∠BAC＝∠PAC；丙：∠BAC＝∠P A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 【考点】切线的判定与性质；圆周角定理． 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，可得：∠BAP＝90°，可知直线AP是⊙O的切线；根据∠BAC＝∠PAC不能说明∠BAP＝90°，不能说明直线AP是⊙O的切线；根据AB是⊙O的直径，可以说明∠ACB＝∠ACP＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余，可以说明∠CAP+∠P＝90°，因为∠BAC＝∠P，等量代换可以说明∠BAC＝∠P，可得：直线AP是⊙O的切线． 【解答】解：∵AP∥BQ， ∴∠BAP+∠ABQ＝180°， ∵BQ是⊙O的切线， ∴∠ABQ＝90°， ∴∠BAP＝90°， ∴AP是⊙O的切线， ∴甲同学的答案正确； ∵∠BAC＝∠PAC不能说明∠BAP＝90°， ∴不能说明直线AP是⊙O的切线， 故乙同学的答案错误； ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ACP＝90°， ∴∠CAP+∠P＝90°， ∵∠BAC＝∠P， ∴∠CAP+∠BAC＝90°， ∴直线AP是⊙O的切线， 故丙同学的答案正确； 综上所述，只有甲、丙同学的答案正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 29．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【考点】切线长定理． 【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案． 【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED， ∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16， 即△PCD的周长为16． 故选：C． 【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键． 30．如图，已知⊙O与AD相切于点B，BE是⊙O的直径，且BE＝4，延长EB交AC于点C．若BC＝4，∠ACB＝60°，则点A与⊙O上的点的最大距离为　　 ． 【考点】切线的性质． 【分析】连接AE，证明AD是线段EC的垂直平分线，继而证明△AEC是等边三角形，根据勾股定理，圆的性质解答即可． 【解答】解：连接AE， ∵⊙O与AD相切于点B， ∴AD⊥BC， ∵BE＝4，BC＝4， ∴BE＝BC，EC＝BE+BC＝8， ∴AD是线段EC的垂直平分线， ∴AE＝AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∵∠ACB＝60°， ∴△AEC是等边三角形， ∴AE＝AC＝EC＝8， ∴， ∵BE是⊙O的直径， ∴， 连接AO并延长交⊙O于点M，此时AM为所求最大距离， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 31．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于 　60　 度时，AC才能成为⊙O的切线． 【考点】切线的判定． 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【解答】解：∵△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠OAB＝30°， ∴当∠CAB的度数等于60°时，OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线． 【点评】本题考查了切线的判定． 32．在如图中，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是 　∠TAC＝∠B（答案不唯一）　 ．（写一个条件即可） 【考点】切线的判定． 【分析】要使得直线AT是⊙O的切线，只要证明∠OAT＝90°即可，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而得∠B+∠BAC＝90°，所以只要满足∠TAC＝∠B即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， 当∠TAC＝∠B时，∠TAC+∠BAC＝90°， 即∠OAT＝90°， ∵OA是圆O的半径， ∴直线AT是⊙O的切线， 故答案为：∠TAC＝∠B（答案不唯一）． 【点评】本题考查了切线的判定，熟练掌握圆周角定理与切线的判定是解题的关键． 33．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于点E，连接OD，则下列结论：①OD∥AC；②∠B＝∠C＝30°；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线．其中结论正确的是　①③④　 ．（直接填序号） 【考点】切线的判定；三角形中位线定理；圆周角定理． 【分析】根据三角形中位线定理得到OD∥AC，，则可判断①；根据圆的性质可得OA＝OD，则，则可判断③；可证明DE⊥OD，则可判断④；根据现有条件无法证明∠B＝∠C＝30°，则可判断②． 【解答】解：∵D为BC中点，点O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC，，故①正确； ∵OA＝OD， ∴，即2OA＝AC，故③正确； ∵OD∥AC，DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线，故④正确； 根据现有条件无法证明∠B＝∠C＝30°，故②错误； 故答案为：①③④． 【点评】本题主要考查了圆的基本性质，切线的判定，三角形中位线定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 34．如图，⊙O的半径OC长为5，直线l交⊙O于A，B两点，AB为8，OC⊥l，垂足为点H．将直线l向下平移一段距离，使它与⊙O相切．求这段距离． 【考点】切线的判定与性质；平移的性质；垂径定理． 【分析】连接OB，过点C作l′∥l，由⊙O的半径OC长为5，直线l交⊙O于A，B两点，且AB＝8，OC⊥l于点H，得OC＝OB＝5，AH＝BHAB＝4，∠OCE＝∠OHB＝90°，求得OH3，则CH＝OC﹣OH＝2，可证明直线l′与⊙O相切，所以将直线l向下平移到与直线l′重合时，则直线l与⊙O相切，所以平移的距离为2． 【解答】解：连接OB，过点C作l′∥l， ∵⊙O的半径OC长为5，直线l交⊙O于A，B两点，且AB＝8，OC⊥l于点H， ∴OC＝OB＝5，AH＝BHAB＝4，∠OCE＝∠OHB＝90°， ∴OH3， ∴CH＝OC﹣OH＝5﹣3＝2， ∵OC是⊙O的半径，且l′⊥OC于点C， ∴直线l′与⊙O相切， ∴将直线l向下平移到与直线l′重合时，则直线l与⊙O相切， ∴平移的距离为线段CH的长度， ∴这段距离为2． 【点评】此题重点考查垂径定理、勾股定理、切线的判定、平移的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 35．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求： （1）∠BOC的度数； （2）BE+CG的长； （3）⊙O的半径． 【考点】切线长定理． 【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠ABC+∠BCD＝180°，则有∠OBE+∠OCF＝90°，即∠BOC＝90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长； （3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长． 【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG； ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠OBF+∠OCF＝90°， ∴∠BOC＝90°； （2）由（1）知，∠BOC＝90°． ∵OB＝6cm，OC＝8cm， ∴由勾股定理得到：BC10cm， ∴BE+CG＝BC＝10cm． （3）∵BC与⊙O相切于点F， ∴OF⊥BC， ∴S△OBCOF×BCOB×OC，即OF×106×8． ∴OF＝4.8cm． 【点评】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算． 36．已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求： （1）△PCD的周长； （2）若∠P＝50°，求∠COD的度数． 【考点】切线长定理． 【分析】（1）根据切线长定理，即可得到PA＝PB，ED＝BD，CE＝AC，从而求得三角形的周长＝2PA； （2）连接OE，根据切线的性质得出∠P+∠AOB＝180°，由切线长定理得出∠COD∠AOB，即可得出结果． 【解答】解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E， ∴PA＝PB＝6，ED＝BD，CE＝AC； ∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12； （2）连接OE，如图所示： 由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD， ∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°， ∴∠AOB+∠P＝180°， ∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°， 由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD， ∴∠COD∠AOB130°＝65°． 【点评】本题考查了切线的性质、切线长定理；运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 【考点4】切线长 · 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分夹角 · 见两条切线想切线长相等，常用于求三角形周长或线段长度 · 三角形内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，等于内切圆半径 · 直角三角形内切圆半径r=（a、b为直角边，c为斜边） 37．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】切线长定理． 【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长． 【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线， ∴AC＝AP＝6， ∵BP、BD为⊙O的切线， ∴BP＝BD， ∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 38．如图，P为⊙O外一点，PA，PB，MN分别切⊙O于A，B，C三点，且切线MN分别交PA，PB于点M，N．若PA＝12，则△PMN的周长为（　　） A．12 B．13 C．16 D．24 【考点】切线长定理． 【分析】根据切线长定理得到PA＝PB＝12，MC＝MA，NC＝NB，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴PA＝PB＝12， 同理，可得MC＝MA，NC＝NB， ∴△PMN的周长 ＝PM+CM+CN+PN ＝PM+AM+PN+BN ＝PA+PB ＝2PA ＝24． 故选：D． 【点评】本题考查切线长定理，掌握其性质是解题的关键． 39．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若AB＝1，BC＝3，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【考点】切线长定理；平行线的性质；勾股定理；切线的性质；切线的判定． 【分析】连接DB、DE，根据切线的判定可证AB是⊙D的切线，再根据切线长定理可得AB＝BE＝1，∠ABD＝∠EBD，由切线的性质可得DE⊥BC，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得DC＝BC＝3，可得EC＝2，再利用勾股定理求得，然后根据阴影部分的面积计算即可求解． 【解答】解：连接DB、DE， ∵AD⊥AB，AD是⊙D的半径， ∴AB是⊙D的切线， ∵BC是⊙D的切线， ∴AB＝BE＝1，EC＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，∠ABD＝∠EBD，DE⊥BC， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∴∠EBD＝∠BDC， ∴DC＝BC＝3， 在Rt△DEC中，， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故选：C． 【点评】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 40．已知⊙O的半径是10cm，点P是⊙O外一点，则OP的长可能是（　　） A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】根据点P是⊙O外一点，得到OP＞r，即可得出结果． 【解答】解：∵⊙O的半径是10cm，点P是⊙O外一点， ∴OP＞10cm； ∴OP的长可能是12cm． 故选：D． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，掌握其相关知识点是解题的关键． 41．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外， ∴OP＞5， 故选：D． 【点评】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 二．填空题（共16小题） 42．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA＝10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是　20　 ． 【考点】切线长定理． 【分析】根据切线长定理得出PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝PA+PB，代入求出即可． 【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB， ∴△PCD的周长是PC+CD+PD ＝PC+AC+DB+PD ＝PA+PB ＝10+10 ＝20． 故答案为：20． 【点评】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长＝PA+PB． 43．如图，⊙O内切于四边形ABCD，且AB＝8，CD＝5，则四边形ABCD的周长　26　 ． 【考点】切线长定理． 【分析】利用切线长定理进行求解． 【解答】解：如图所示，AB与⊙O相切于点E，BC与⊙O相切于点F，CD与⊙O相切于点G，AD与⊙O相切于点H， 由条件可知AB，AD，CD，BC是⊙O的切线， ∴AE＝AH，BE＝BF，DH＝DG，CG＝CF， ∴AE+BE+AH+BF＝2AB＝16，DH+CG+DG+CF＝2CD＝10， ∴2AB+2CD＝16+10＝26． 故答案为：26． 【点评】本题考查了切线长定理，熟练掌握该知识点是关键． 44．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 　46　 ． 【考点】切线长定理． 【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝23，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，如图， ∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG， ∴AD+BC＝AB+CD＝23， ∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝23+23＝46， 故答案为：46． 【点评】本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 45．如图，PA与⊙O相切于点A，PB与⊙O相切于点B，M为上一点，过点M与⊙O相切的直线分别交PA，PB于点E，F．若△PEF的周长为12，则PA的长为　6　 ． 【考点】切线长定理． 【分析】本题可根据切线长定理，将△PEF的周长转化为与PA、PB有关的线段长度，再结合PA与PB的关系求解PA的长． 【解答】解：由题意可得：PA＝PB．EA＝EM． 同理，∵FB，FM是⊙O的切线，切点分别为B，M， ∴FB＝FM． ∵C△PEF＝PE+EF+PF． ∴C△PEF＝PE+EM+FM+PF＝（PE+EA）+（PF+FB）＝PA+PB． 又∵PA＝PB， ∴C△PEF＝2PA． ∵△PEF的周长为12，即C△PEF＝12， ∴C△PEF＝2PA，可得2PA＝12， 解得PA＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将△PEF的周长转化为与PA相关的表达式来求解． 三．解答题（共26小题） 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记位置关系判定：点与圆看d与r，直线与圆看圆心到直线距离d与r，注意区分d的含义 · 掌握切线辅助线：证明切线时已知公共点连半径证垂直，未知公共点作垂线证半径；见切线想直角 · 熟练运用切线长定理：从圆外一点引两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分夹角，常用于求周长 · 区分外心和内心：外心是三边垂直平分线交点（外接圆圆心），内心是三条角平分线交点（内切圆圆心） · 规范几何证明步骤：作图→已知→求证→证明，每步推理要有定理依据，注意逻辑严密性和辅助线说明 【作业1】操作与探究：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°． （1）动手操作：用直尺和圆规按要求作图：①作BC的垂直平分线MN交AC于点O；②以点O为圆心OC长为半径作⊙O；③连接BO并延长交⊙O于点D，连接AD，CD．（要求：保留作图痕迹，标明字母）． （2）猜想证明：在（1）所作的图形中： ①判断点A，B与⊙O的位置关系　点A，B在⊙O上　 ； ②判断四边形ABCD的形状，并进行证明． 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】（1）根据题目的操作步骤画图即可； （2）①根据线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质可得出OA＝OB＝OC，即可得证； ②根据OA＝OC，OB＝OD，可证四边形ABCD是平行四边形，结合∠ABC＝90°，即可得证． 【解答】解：（1）如图即为所求． （2）①点A，B在⊙O上． 理由如下：∵∠ABC＝90°，直线MN垂直平分BC， ∴OE∥AB，BE＝CE， ∴， ∴CO＝AO， ∴点O是AC的中点， ∴． 在Rt△ABC中，OB是斜边AC上的中线，∠ABC＝90°， ∴． ∴OA＝OB＝OC． ∵OC是⊙O的半径， ∴点A，B在⊙O上． 故答案为：点A，B在⊙O上； ②四边形ABCD是矩形． 理由如下：由作图可知，点D在⊙O上， ∴OD＝OC． ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠ABC＝90°， ∴▱ABCD是矩形． 【点评】本题考查直角三角形斜边中线性质、垂直平分线的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【作业2】已知⊙O的圆心为原点O（0，0），半径为5．请判断点A（1，5），B（3，3），C（3，4）与⊙O的位置关系． 【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质． 【分析】分别计算出各点到圆心的距离，再与圆的半径相比较即可得出结论． 【解答】解：∵点A（1，5），B（3，3），C（3，4）， ∴OA；OB3，OC5， ∵⊙O的圆心为原点O（0，0），半径为5，5，35， ∴OA＞5，OB＜5，OC＝5， ∴点A在⊙O外，点B在⊙O内，点C在圆上． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 【作业3】⊙O的半径为10cm，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和⊙O的位置关系： （1）8cm （2）10cm （3）12cm． 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：（1）∵OP＝8cm＜10cm， ∴点P在圆内； （2）∵OP＝10cm， ∴点P在圆上； （3）∵OP＝12cm＞10cm， ∴点P在圆外． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 【作业4】已知⊙O的半径为6cm当OP满足下列条件时，分别指出点P和⊙O的位置关系： （1）OP＝4cm； （2）OP＝7cm； （3）OP＝6cm； （4）OP＝6.1cm． 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】（1）根据OP的值与⊙O的半径大小即可得出结论； （2）根据OP的值与⊙O的半径大小即可得出结论； （3）根据OP的值与⊙O的半径大小即可得出结论； （4）根据OP的值与⊙O的半径大小即可得出结论． 【解答】解：（1）∵4cm＜6cm， ∴点P在圆内； （2）∵7cm＞6cm， ∴点P在圆外； （3）∵6cm＝6cm， ∴点P在圆上； （4）∵6.1cm＞6cm， ∴点P在圆外． 【点评】本题主要考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 【作业5】已知⊙O的半径为6cm，点P在直线l上．若OP＝6cm，试判断直线l与⊙O的位置关系． 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】由条件可知点P在⊙O上，则可知直线l与⊙O相切，可求得答案． 【解答】解：∵r＝6cm，OP＝6cm， ∴r＝OP， ∵点P在直线l上，OP＝6cm， ∴点O到直线l的距离≤6cm， ∴直线l与⊙O相切或相交， 故答案为：相切或相交． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，由条件判断出点P在圆上是解题的关键． 【作业6】如图，AB是⊙O的切线，B为切点．OA与⊙O交于点C，D为⊙O上一点，连接CD，BD，∠A＝42°，求∠D的度数． 【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理． 【分析】连接OB，根据切线的性质得到∠OBA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠AOB，再根据圆周角定理求出∠D． 【解答】解：如图，连接OB， ∵AB是⊙O的切线， ∴OB⊥AB， ∴∠OBA＝90°， ∴∠AOB＝90°﹣∠A＝90°﹣42°＝48°， 由圆周角定理得：∠D∠AOB＝24°． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【作业7】如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，∠APB＝60°，求∠COD的度数． 【考点】切线的性质． 【分析】连接OA、OE、OB，根据切线的性质、切线长定理得到OA⊥PA，OE⊥CD，OB⊥PB，∠ACO＝∠ECO，∠EDO＝∠BDO，计算即可． 【解答】解：如图，连接OA、OE、OB， ∵PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E， ∴OA⊥PA，OE⊥CD，OB⊥PB，∠ACO＝∠ECO，∠EDO＝∠BDO， ∴∠AOB＝180°﹣∠APB＝180°﹣60°＝120°，∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD， ∴∠COD∠AOB＝60°． 【点评】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键． 【作业8】如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，PA＝PB．求证：PB是⊙O的切线． 【考点】切线的判定与性质． 【分析】连接OA，OB，OP，根据切线的性质可得∠PAO＝90°，再通过SSS证明△PAO≌△PBO，可得∠PAO＝∠PBO＝90°，即可证明． 【解答】证明：连接OA，OB，OP， ∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAO＝90°， 在⊙O中，OA＝OB， 在△PAO和△PBO中， ， ∴△PAO≌△PBO（SSS）， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∴BO⊥PB， ∴PB是⊙O的切线． 【点评】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定和性质是解题的关键． 【作业9】如图，AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，过点C作CD⊥AD于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）已知点E是半圆AEB上一点，连接EB，EC，若∠BEC＝30°，且AC＝8，求⊙O的半径． 【考点】切线的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理． 【分析】（1）连接OC，证明AD∥OC可推出结论； （2）连接BC，根据含30°角的直角三角形的性质推出．再在直角三角形ABC中根据勾股定理求出AB即可推出结果． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， 又∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠OCA＝∠DAC， ∴AD∥OC． ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：如图，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BAC＝∠BEC＝30°． 在Rt△ABC中，∠BAC＝30°， ∴AB， 所以⊙O的半径为． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，熟记各性质定理是解题的关键． 【作业10】如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF与⊙O相切． （1）求证：EF＝EC； （2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长． 【考点】切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理． 【分析】（1）连接OF，根据垂直定义可得∠CDB＝90°，从而可得∠B+∠C＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠OFB，由切线的性质得∠OFB+∠EFC＝90°，继而得到∠C＝∠EFC，即可解答； （2）连接AF，根据已知可得OD＝AD＝1，BD＝3，从而在Rt△BDC中，利用勾股定理求出BC＝5，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠AFB＝90°，从而可证△BDC∽△BFA，进而利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：连接OF， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∵OF是⊙O的半径，EF是⊙O的切线， ∴∠OFE＝90°， ∴∠OFB+∠EFC＝90° ∵OB＝OF， ∴∠B＝∠OFB， ∴∠C＝∠EFC， ∴EF＝EC． （2）解：连接AF， ∵AB＝4， ∴， ∵D是OA的中点， ∴， ∴BD＝OB+OD＝3， 在Rt△BDC中，AB＝CD＝4， ∴， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∵∠AFB＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B， ∴△BDC∽△BFA， ∴， ∴， ∴， ∴CF＝BC﹣BF＝5， ∴CF的长为． 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【作业11】如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E． （1）求证：直线AD是⊙O的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． （2）当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由． 【考点】切线长定理；全等三角形的判定；平行四边形的性质；切线的判定． 【分析】（1）连接EO并延长与AD交于点F，连接BD，通过证明三角形全等可得OE＝OF，进一步证明直线AD是⊙O的切线； （2）设AB与⊙O相切于点G，连接GO并延长与CD交于点H，同理（1）得CD是⊙O的切线，再根据切线长定理得BG＝BE，CE＝CH，再进一步可得AB＝BC，即可证明▱ABCD是菱形． 【解答】（1）证明：如图，连接EO并延长与AD交于点F，连接BD， 由条件可知OB＝OD，AD∥BC， ∴∠OBE＝∠ODF， 又∵∠BOE＝∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴OE＝OF， ∴BC与⊙O相切于点E， ∴AD与⊙O相切于点F， 即直线AD是⊙O的切线． （2）▱ABCD是菱形． 理由：如图， 设AB与⊙O相切于点G，连接GO并延长与CD交于点H， 同理（1），得CD是⊙O的切线，AG＝CH． 由切线长定理得BG＝BE，CE＝CH， ∵AG＝CH， ∴AG＝CE． ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，圆的切线的判定以及切线长定理，熟练掌握与运用平行四边形的性质，全等三角形的判定，圆的切线的判定以及切线长定理，是做题的关键． 【作业12】如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm． （1）求证：∠BOC＝90°． （2）求BE的长． 【考点】切线长定理；勾股定理；切线的性质． 【分析】（1）由切线长定理易得，，则可得∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠DCB）＝90°，即可得证； （2）勾股定理求出BC，进而利用等面积求出OF，再利用勾股定理求出BF，即可得BE． 【解答】（1）证明：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点， ∴，， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB＝180°， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠DCB）＝90°， ∴∠BOC＝90°， （2）解：∵OB＝6cm，OC＝8cm， ∴BC10cm， 连接OF，如图， ∵BC是⊙O的切线， ∴OF⊥BC， ∴， ∴6×8＝10OF， 解得OFcm， 在Rt△OBF中，BFcm， ∴BE＝BFcm． 【点评】本题主要考查切线长定理，勾股定理等内容，求得∠BOC为直角是解题的关键，注意等积法的应用． 【作业13】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E，F，G，H．连接OA，OB，OC，OD． （1）若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则DA的长为 　3　 ； （2）求证∠AOD+∠BOC＝180°． 【考点】切线长定理；勾股定理；圆周角定理． 【分析】（1）根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，计算即可； （2）连接OE、OF、OG、OH，根据切线的性质得到OE⊥AB，OF⊥BC，根据切线长定理得到∠OBE＝∠OBF，根据直角三角形的性质得到∠BOE＝∠BOF，同理得到∠COF＝∠COG，∠DOG＝∠DOH，∠AOE＝∠AOH，证明结论． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E，F，G，H， ∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH， ∴BE+CG＝BF+FC＝BC＝6， ∴AD＝AH+DH＝AE+DG＝AB﹣BE+CD﹣CG＝5+4﹣6＝3， 故答案为：3； （2）证明：如图，连接OE、OF、OG、OH， ∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E，F，G，H， ∴OE⊥AB，OF⊥BC，∠OBE＝∠OBF， ∴∠BOE＝∠BOF， 同理可得：∠COF＝∠COG，∠DOG＝∠DOH，∠AOE＝∠AOH， ∴∠AOD+∠BOC360°＝180°． 【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． 【作业14】在相距40千米的A、B两市间有一个半径为10千米的近似圆形的湖泊，湖泊的中心恰好在A、B两点连线的中点处．现要绕过湖泊从A市到B市，路程要尽量短，请你设计三种行走路线，并比较哪一种路线最短？为什么？（不考虑造桥或设计摆渡船，图①②③供设计画图用，用实线画出设计路线）． 【考点】切线长定理． 【分析】根据三角形的边长的关系：两边之和大于第三边，以及弧长大于对应的弦长，作圆的切线，设计不同的方案，找出最短距离． 【解答】解： ①走AE→弧EMF→FB； ②过A作⊙O的切线，切点为C，走AC→弧CNF→FB； ③过A、B分别作⊙O的切线，切点为C、D两点，走AC→弧CD→DB． 比较可得③最短． 连接CE、DF， ∵AE+EC＞AC、BF+FD＞BD，且弧CE的长＞CE的长、弧DF的长＞DF的长， ∴走AC→弧CD→DB最短，即③为最短． 【点评】①本题属于设计型题目，综合了三角形的边长关系，弦长关系等． ②解决这类问题要熟练掌握各个小知识点，综合所学知识以及生活常识解题． 【作业15】如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．求BC的长． 【考点】切线长定理；勾股定理． 【分析】易证BO平分∠ABC、CO平分∠BCD，则∠OBC+∠OCB＝90°，再利用勾股定理求出BC即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， 由切线长定理，可知BO平分∠ABC、CO平分∠BCD， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠BCD， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠BCD）＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∴． 【点评】本题主要考查了切线长定理、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $