2026-2027学年苏科版八年级数学上册 期中考试模拟卷

2025—2026 学年度第一学期期中学情分析样题　　　八年级数学（三） 2026—2027 学年度第一学期期中模拟卷 八年级数学（三） 满分：100 分　　考试时间：100 分钟 姓名：____________　　班级：__________　　学号：________　　得分：________ 注意事项： 1．本试卷共 6 页，满分 100 分，考试时间为 100 分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑；答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列各组数能构成勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，根据尺规作图的痕迹，点 在数轴上表示的数是（　　） A． B． C． D． 3．在 中，，，， 的对边分别是 ，，．若 ，，则 的面积是（　　） A． B． C． D． 4．如图①为一块光学直棱镜，其截面为 （如图②）， 所在的面为不透光的磨砂面，，，．现将一束单色光从 边上的点 射入，折射后到达 边上的点 处，恰有 ，再经过反射后（即 ），从点 垂直于 射出，则光线在棱镜内部经过的路程 的总长度为（　　） A． B． C． D． 5．定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在 中，，，，则 中 边的“中高偏度值”为（　　） A． B． C． D． ． 6．下列说法中正确的是（　　） A． 的平方根是 B． C． 的立方根是 D． 的立方根是 【答案】C 【解析】 的平方根是 ，A 错误；，B 错误； 的立方根是 ，C 正确； 的立方根是 ，D 错误．故选 C． 7．在实数 ，，，，， 中，无理数的个数为（　　） A． B． C． D． 8．一次数学课上，老师请同学们在一张长为 、宽为 的长方形纸板上，剪下一个腰长为 的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其他两个顶点在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为（　　） A． B． 或 C． 或 或 D． 或 或 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 9．直角三角形的两边 ， 满足 ，第三边长是＿＿＿＿＿＿． 10．如图，正方形 由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形 组成，连接 ．若 ，，则 ＿＿＿＿＿＿． 11．如图，以 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若 ，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿＿＿． 12．如图所示的网格是正方形网格，则 ＿＿＿＿＿＿（点 ，， 是网格线交点）． 13．如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为 、、， 和 是这个台阶两个相对的端点， 点有一只昆虫想到 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到 点的最短路程是＿＿＿＿＿＿． 14．如图，在 中，，，， 是 的平分线．若 ， 分别是 和 上的动点，则 的最小值是＿＿＿＿＿＿． 15．如图，在 中，， 是边 上一点，连接 ，在 右侧作 ，且 ，连接 ．若 ，，则四边形 的面积为＿＿＿＿＿＿． 16．如图，直角三角形 中，，在直角三角形外面作正方形 ，，，面积分别为 ，，，，， 的面积分别为 ，，，则 ＿＿＿＿＿＿． 17．如图，在 中，，， 是 内的两点， 平分 ，，若 ，，则 的长是＿＿＿＿＿＿． 18．新题型·双空题：已知 ，， 均为正整数． （1）若 ，则 ＿＿＿＿＿＿； （2）若 ，，则满足条件的 的个数总比 的个数少＿＿＿＿＿＿个． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 64 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（9 分）如图，已知 ，， 分别是 ， 的中点，连接 ，． （1）求证：； （2）若 ，判断 的形状，并说明理由． 20．（8 分）观察与类比． （1）如图①，在 中，，点 在 外，连接 ，作 于点 ，交 于点 ，，，连接 ．求证：； （2）如图②，，，，延长 交 于点 ，写出 ，， 之间的数量关系，并证明你的结论． 21．（5 分）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为 的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为 的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形 的面积为 ，则这个格点正方形的边长为 ． 【问题解决】 （1）图②是由 个小正方形组成的网格，那么格点正方形 的边 ＿＿＿＿＿＿； （2）在由 个小正方形组成的图③中，画出边长为 的格点正方形． 22．（5 分）已知 的立方根是 ， 的算术平方根是 ， 是 的整数部分，求 的平方根． 23．（9 分）如图，将一张长方形纸片 沿 折叠，使 ， 两点重合，点 落在点 处．已知 ，． （1）求证： 是等腰三角形； （2）求线段 的长． 24．（13 分）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图①，在 中， 是 边上的中线， 与 的“极化值”就等于 的值，可记为 ． （1）在图①中，若 ，，， 是 边上的中线，则 ＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿； （2）如图②，在 中，，，求 ， 的值； （3）如图③，在 中，， 是 边上的中线，点 在 上，且 ．已知 ，，求 的长． 25．（6 分）如图， 中，，，． （1）用直尺和圆规作 的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若 （1）中所作的垂直平分线交 于点 ，求 的长． 26．（9 分）如图，等腰三角形 中，，点 是 上一动点，点 ， 分别在 的延长线上，且 ，． 【问题思考】 （1）在图①中，求证：； 【问题再探】 （2）若 ，如图②，探究线段 ，， 之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】 （3）若 且 平分 ，如图③，若 ，则 的值为＿＿＿＿＿＿． 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025—2026 学年度第一学期期中学情分析样题　　　八年级数学（三） 2026—2027 学年度第一学期期中模拟卷 八年级数学（三） 满分：100 分　　考试时间：100 分钟 姓名：____________　　班级：__________　　学号：________　　得分：________ 注意事项： 1．本试卷共 6 页，满分 100 分，考试时间为 100 分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑；答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列各组数能构成勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】勾股数必须满足：三个数都是正整数，且较小两数的平方和等于最大数的平方．A 中含有无理数；B 中 ；C 中三个数不是正整数；D 中 ，符合要求．故选 D． 2．如图，根据尺规作图的痕迹，点 在数轴上表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由作图痕迹可知，所作直角三角形的斜边长为 ；以数轴的原点为圆心、该斜边长为半径画弧，交数轴正半轴于点 ，所以点 表示的数是 ．故选 B． 3．在 中，，，， 的对边分别是 ，，．若 ，，则 的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由勾股定理得 ．又 ，两边平方得 ，所以 ，． 故 ．故选 A． 4．如图①为一块光学直棱镜，其截面为 （如图②）， 所在的面为不透光的磨砂面，，，．现将一束单色光从 边上的点 射入，折射后到达 边上的点 处，恰有 ，再经过反射后（即 ），从点 垂直于 射出，则光线在棱镜内部经过的路程 的总长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在 中，，，所以 ，，． 因为 ，由面积法 得 ；又 ． 因为 ，所以 ，． 在 中， 是 与 的夹角，由 得 ，所以 ，从而 ． 又 ，所以 是等边三角形，． 故 ．故选 B． 5．定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在 中，，，，则 中 边的“中高偏度值”为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由勾股定理得 ．设 边上的中线为 ，高为 ，则 ，且 ． 在 中，，所以 ． 故 边的“中高偏度值”为 ．故选 B． 6．下列说法中正确的是（　　） A． 的平方根是 B． C． 的立方根是 D． 的立方根是 【答案】C 【解析】 的平方根是 ，A 错误；，B 错误； 的立方根是 ，C 正确； 的立方根是 ，D 错误．故选 C． 7．在实数 ，，，，， 中，无理数的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 是分数， 是整数， 是有理数；， 是无理数， 是无限不循环小数，也是无理数．故无理数有 个，选 B． 8．一次数学课上，老师请同学们在一张长为 、宽为 的长方形纸板上，剪下一个腰长为 的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其他两个顶点在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为（　　） A． B． 或 C． 或 或 D． 或 或 【答案】C 【解析】①两腰分别落在长方形的两条邻边上，腰长为 ，夹角为 ，面积 ． ②以重合顶点为底角顶点，一腰落在长边上（长 ），另一腰长为 ，第三个顶点落在宽边上：由 得 ，面积 ． ③以重合顶点为底角顶点，一腰落在宽边上（长 ），第三个顶点落在长边上：由 得 ，面积 ． 所以面积为 或 或 ．故选 C． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 9．直角三角形的两边 ， 满足 ，第三边长是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 或 【解析】由非负数的性质得 ，，即 ，．若 ， 都是直角边，则第三边（斜边）为 ；若 是斜边，则第三边为 ．故第三边长是 或 ． 10．如图，正方形 由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形 组成，连接 ．若 ，，则 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】在 中，，即正方形的边长为 ． 以 为原点、 所在直线为 轴建立坐标系，则 ，，．设 ，由 ， 得 ，，解得 ，． 所以 ． 11．如图，以 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若 ，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】设 的两直角边为 ，，斜边 ．以一条边为斜边的等腰直角三角形的面积等于该边平方的 ． 所以三块面积之和为 ． 12．如图所示的网格是正方形网格，则 ＿＿＿＿＿＿（点 ，， 是网格线交点）． 【答案】 【解析】设每个小正方形边长为 ．过点 作 于 ，由网格可得 ，，，，于是 ，． 取格点 ，使 ， 且 在 的同侧（即 ），则 与 的夹角等于“两直角边为 和 ”的直角三角形的锐角，而 的两直角边恰为 、，故这个角等于 ． 所以 ． 13．如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为 、、， 和 是这个台阶两个相对的端点， 点有一只昆虫想到 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到 点的最短路程是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】把台阶的侧面展开，则展开图是直角三角形：水平方向为台阶的长 ，竖直方向为 ． 由勾股定理得最短路程为 ． 14．如图，在 中，，，， 是 的平分线．若 ， 分别是 和 上的动点，则 的最小值是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为 ，所以 是直角三角形，． 作点 关于 的对称点 ，由 平分 知 落在 上，且 ．于是 ，当 时取最小值． 在 中，由面积法 得 ，即 的最小值为 ． 15．如图，在 中，， 是边 上一点，连接 ，在 右侧作 ，且 ，连接 ．若 ，，则四边形 的面积为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】作 于 ，因为 ，，所以 ，，． ．因为 在 上，所以 ；又 ，点 到 的距离等于点 到 的距离 ，所以 ． 故 ． 16．如图，直角三角形 中，，在直角三角形外面作正方形 ，，，面积分别为 ，，，，， 的面积分别为 ，，，则 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】由正方形面积得 ，，，因为 ，所以 ，． 由正方形的性质可证 （它们都与 等底等高），故 ． 17．如图，在 中，，， 是 内的两点， 平分 ，，若 ，，则 的长是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为 ， 平分 ，所以 ，设 所在直线交 于 ，则 ． 因为 ，结合 可证 ，即 ，从而 ． 在 中，，，所以 ，． 因为 ，点 到 的距离为 ，所以点 到 的距离也为 ，从而 ． 又 到 的垂足与 的距离为 ， 在 的右侧， 与 的夹角为 ，故 到该垂足的水平距离为 ，于是 ，． 18．新题型·双空题已知 ，， 均为正整数． （1）若 ，则 ＿＿＿＿＿＿； （2）若 ，，则满足条件的 的个数总比 的个数少＿＿＿＿＿＿个． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为 ，所以 ． （2）由 得 ，其中正整数 有 个；由 得 ，其中正整数 有 个． 所以 的个数比 的个数少 个． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 64 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（9 分）如图，已知 ，， 分别是 ， 的中点，连接 ，． （1）求证：； （2）若 ，判断 的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2） 是等腰直角三角形 【解析】（1）因为 ， 是 的中点，所以 ；同理 ．所以 ，即 是等腰三角形． 又 是 的中点，所以 ． （2）由（1）知 ，所以 ，，， 四点都在以 为圆心、 为半径的圆上， 是 所对圆心角的两倍，即 ． 又 ，所以 是等腰直角三角形． 20．（8 分）观察与类比． （1）如图①，在 中，，点 在 外，连接 ，作 于点 ，交 于点 ，，，连接 ．求证：； （2）如图②，，，，延长 交 于点 ，写出 ，， 之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．在 和 中，，，所以 （HL），得 ． 又 ，，，所以 （HL），得 ． 因为 ，， 三点共线，，所以 ． （2）．同理可证 ，得 ；，得 ．因为 ，所以 ，即 ． 21．（5 分）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为 的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为 的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形 的面积为 ，则这个格点正方形的边长为 ． 【问题解决】 （1）图②是由 个小正方形组成的网格，那么格点正方形 的边 ＿＿＿＿＿＿； （2）在由 个小正方形组成的图③中，画出边长为 的格点正方形． 【答案】（1）；（2）作图见解析 【解析】（1）格点正方形 的面积等于 ，所以 ． （2）边长为 的格点正方形，其面积为 ，可在 的网格中，以每条边“横 格、竖 格”的格点为顶点画出，作图略（所画正方形的四个顶点都在格点上，且边长为 ）． 22．（5 分）已知 的立方根是 ， 的算术平方根是 ， 是 的整数部分，求 的平方根． 【答案】 【解析】由题意得 ，即 ；，即 ． 由 得 ，代入 得 ，解得 ，． 因为 ，所以 ．于是 ，其平方根为 ． 23．（9 分）如图，将一张长方形纸片 沿 折叠，使 ， 两点重合，点 落在点 处．已知 ，． （1）求证： 是等腰三角形； （2）求线段 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由折叠得 ．因为 ，所以 ，从而 ，所以 ，即 是等腰三角形． （2）由折叠得 ．设 ，则 ，．在 中，，由勾股定理得 ，解得 ，即 ． 24．（13 分）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图①，在 中， 是 边上的中线， 与 的“极化值”就等于 的值，可记为 ． （1）在图①中，若 ，，， 是 边上的中线，则 ＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿； （2）如图②，在 中，，，求 ， 的值； （3）如图③，在 中，， 是 边上的中线，点 在 上，且 ．已知 ，，求 的长． 【答案】（1），；（2），；（3） 【解析】（1）因为 ，，，所以 ，，．故 ． 设 的中点为 ，则 是 中 边上的中线，，所以 ． （2）作 于 ．因为 ，，所以 ，，． 所以 ． 设 的中点为 ，则 是 边上的中线．过 作 ，交 的延长线于 ．因为 ，，所以 ，，． 于是 ，，故 ． （3）设 ，，则 ． 在 中，，设 的中点为 ，则 ，，所以 ． 联立得 ，，所以 ，． 25．（6 分）如图， 中，，，． （1）用直尺和圆规作 的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若 （1）中所作的垂直平分线交 于点 ，求 的长． 【答案】（1）作图见解析；（2） 【解析】（1）分别以 ， 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，即为 的垂直平分线，作图略． （2）设 ，因为 在 的垂直平分线上，所以 ，． 在 中，由 得 ，解得 ，即 ． 26．（9 分）如图，等腰三角形 中，，点 是 上一动点，点 ， 分别在 的延长线上，且 ，． 【问题思考】 （1）在图①中，求证：； 【问题再探】 （2）若 ，如图②，探究线段 ，， 之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】 （3）若 且 平分 ，如图③，若 ，则 的值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】（1）因为 ，所以 ，设其度数为 ；因为 ，所以 ，设其度数为 ． 在 中，；又 ，所以 是等腰三角形，．因为 ，，， 在同一直线上，所以 ，于是 ． 所以 ． 另一方面，在 中 ，而 与 是相反的射线，所以 ．故 ． （2）．当 时，， 是等边三角形．由（1）得 ，又 ，所以 是等边三角形，． 因为 ，，所以 （旋转型全等），从而 ；而 ，所以 ．又 ，故 ． （3）．当 时，， 是等腰直角三角形，由（1）得 ，即 ，所以 是 中 边上的高． 设 ，则 ．由 平分 得 ，所以 ，． 在 中，，即 ，所以 ． 因为 与 共底 、对应高分别为 与 ，所以 ；又 ，故 ． 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $