2026-2027学年沪科版九年级数学上册期中检测卷

沪科版九年级数学上册期中检测卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每小题4分） 1.下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是    A. B. C. D. 2.如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是(    ) A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 4.对于抛物线，下列说法错误的是(    ) A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 5.已知线段a，b，c，d是比例线段，其中，，，则d等于(    ) A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 6cm 6.已知反比例函数，则下列描述不正确的是(    ) A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、第三象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 7.已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为。 A. B. C. D. 无法判断 8.如图，点A是反比例函数图象上任意一点，过点A平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在x轴上，则四边形ABCD的面积为    A. 6 B. 5 C. 3 D. 9.大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为AB的黄金分割点，如果BP的长度为6cm，那么AP的长度是 A. B. C. 3 D. 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，，是x轴上的两点，P是函数图象上一动点，连接AP，则的最小值为      A. 30 B. 24 C. 42 D. 63 二、填空题（每小题5分） 11.抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是          . 12.如图，在中，，点D为边AB上一点，，以点C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，连接若，则          . 13.如图，点A在反比例函数的图象上，点B是OA上一点，过点A作轴于点C，连结若，的面积为1，则k的值为           14.若抛物线与x轴只有一个交点，且过点， 该抛物线的对称轴是直线          用含b的代数式表示；  n的值为          . 三、解答题（每小题8分） 15.已知线段a，b满足，且 求线段a，b的长． 若线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长． 16.已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为 求抛物线的解析式； 求y的最值． 四、解答题（每小题8分） 17.如图，在中，延长CB至点D，使，在AC上取一点F，连接DF交AB于点E，过F点作交CD于点H，已知，           ； 求AF的长． 18.生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间时变化的图象，如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段AB表示升温阶段，线段BC表示恒温阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时温度降到 求线段AB及双曲线CD段的函数解析式写出自变量取值范围； 求该大棚在时内，温度不低于的时长， 五、解答题（每小题10分） 19.已知抛物线 求证：不论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点； 若该抛物线与x轴两交点为和，且，求m的值． 20.如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且           ，          ； 满足不等式的x的取值范围是          ； 为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围． 六、解答题（每小题12分） 21.项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点O为无人机的摄像头，是喷药口，，O，在同一条水平直线上，如图2，以无人机摄像头所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷药口点A和点B到点O的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C， 依题意，得点A的坐标为：______；求出点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决；启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂宽度为EF的区域，且时，田埂高度忽略不计恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； 如图4，在直线AB上再增加2个喷药口M和N，M在A左侧，N在B右侧，，当无人机上升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度PQ的长． 22.阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，AD平分，交BC于点D，则 下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作，交BA的延长线于点 【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 【直接应用】如图3，中，E是BC中点，AD是的平分线，交AC于若，，求线段FC的长； 【拓展延伸】如图4，AD是的外角的平分线，求证： 七、解答题（14分） 23.已知抛物线的顶点，经过点，与y轴交于点 求抛物线的解析式； 当时，求出二次函数最大值与最小值的差； 如图过点作直线交抛物线于点F、G，轴于M，轴于N，求的值． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的一般形式：形如为常数且，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、，是一次函数，不符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选： 2.【答案】D  【解析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【详解】A选项，两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似； B选项：两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似； C选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似； D选项：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似． 3.【答案】B  【解析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：函数图象向左平移2个单位长度， 平移后表达式为 再向下平移1个单位长度， 最终表达式为，即 4.【答案】D  【解析】解：在中，对称轴为直线，顶点坐标为， 、C正确； ， 抛物线开口向下，故A正确； 当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选： 需根据的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，找出错误选项即可． 本题考查二次函数顶点式的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5.【答案】D  【解析】根据比例线段的定义得到，然后把，，，代入进行计算即可． 【详解】解：线段a、b、c、d是成比例线段， ， 而，，， 故选： 6.【答案】D  【解析】解：反比例函数，  A、，  点一定在反比例函数上，正确，不符合题意；  B、，  函数图象位于第一、第三象限，正正确，不符合题意；  C、，  在每个象限内，y随x的增大而减小，  当时，恰好在第三象限内，  随x的增大而减小，正正确，不符合题意；  D、，  反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，  当时，，原说法错误，符合题意，  故选： 根据反比例函数的图象与系数的关系进行解答即可． 本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：抛物线为， 抛物线开口向下，对称轴为直线 离对称轴越远，函数值越小， 与对称轴的距离最近，与对称轴的距离最远， 故选： 首先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，A、B、C三点与对称轴的远近，判断，，的大小关系． 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近． 8.【答案】B  【解析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质； 连接OA、OB，设AB交y轴于E，由于轴，根据反比例函数的系数k的几何意义求出和，则平行四边形ABCD的面积 【详解】解：连接OA、OB，设AB交y轴于E，如图， 平行四边形ABCD，C，D在x轴上， 轴， 轴， ，， ， 平行四边形ABCD， 平行四边形ABCD的面积 故选： 9.【答案】D  【解析】本题考查黄金分割，二次根式的运算，掌握黄金分割比是解题的关键． 根据黄金分割比，可得，代入计算即可． 【详解】解：为AB的黄金分割点， ， ， 故选： 10.【答案】B  【解析】先根据直线解析式设出P的坐标，再表示与，求和后整理为二次函数，用配方法求最小值． 【详解】解：点P是直线上的动点，  设点P的横坐标为p， 将代入，可得， ，， ， ，二次函数图象开口向上，      当时，有最小值，最小值为 11.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 根据两抛物线形状相同，开口方向相反，求出a的值，再将顶点坐标代入求出c的值，即可确定出解析式. 【解答】 解：抛物线与的形状相同，开口方向相反，可得， ， 把代入得：， 则该抛物线解析式为 故答案为 12.【答案】4  【解析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， 13.【答案】  【解析】设点A的坐标是，可得：，根据，可得：，即可求出k的值． 【详解】解：设点A的坐标是， 则，， ， ， ， ， ， 14.【答案】     4   【解析】先利用两点A、B求出对称轴；抛物线与x轴只有一个交点，说明顶点在x轴上，顶点纵坐标为0，再用顶点式代入求值． 【详解】解：由题意得，二次函数的对称轴是直线 抛物线过点、， 对称轴是直线 又抛物线与x轴只有一个交点， 顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 即 15.【答案】【小题1】 解：， 设，， ， ， ， ，； 【小题2】 解：线段c是线段a，b的比例中项， ， 是线段，，   【解析】  本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，如即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． 利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值；   根据比例中项的定义得到，然后根据算术平方根的定义求解． 16.【答案】【小题1】 解：由题意得，， 解得， 抛物线的解析式； 【小题2】 ，， 当时，y取最小值为   【解析】  本题考查了二次函数的解析式，掌握待定系数法以及二次函数的一般式化成顶点式是解答本题的关键. 根据与坐标轴的两个交点，使用待定系数法进行解答即可；   将求得的解析式，化成顶点式即可完成解答； 17.【答案】【小题1】 【小题2】 解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以   【解析】  利用平行线分线段成比例得到即可求解； 【详解】解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以；   由得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 18.【答案】【小题1】 解：设线段AB所在直线的解析式为 将和代入，得， 解得， 线段AB的函数解析式为 设双曲线CD段的函数解析式为， 将代入，得， 双曲线CD段的函数解析式为， 在中，当时，， ， 段的函数解析式为； 【小题2】 解：令， 解得， 段温度为的时刻为15时． 令， 解得， 段温度为的时刻为3时， 小时， 答：温度不低于的时长为12小时．   【解析】  利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出点C的横坐标即可得到答案；   把分别代入到两个函数解析式中求出对应的x的值即可得到答案． 19.【答案】【小题1】 证明：令， ， ， ， 有两个不相等的实数根， 不论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点； 【小题2】 解：该抛物线与x轴两交点为和， 是一元二次方程的两个根， ，， ， ， 解得   【解析】  本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系： 证明一元二次方程中即可；   利用一元二次方程根与系数的关系求出和，根据列等式即可求解． 20.【答案】【小题1】 2 【小题2】 【小题3】 解：由条件可得， ， ， ， 的面积不小于的面积， ， 或   【解析】  利用点A的坐标求出OA的长度，从而确定点B的坐标，使用待定系数法求解即可； 【详解】解：由条件可知， ， ， ， 把及代入， 则，解得，   求出直线AB与x轴的交点坐标，观察图象得出答案； 解：令，代入中， 则， 解得， 直线与x轴交于点， 根据图象可知，当时，x的取值范围为；   根据题意求出的面积，再将的面积表示出来，利用不等式求解． 21.【答案】【小题1】 ，点A与点B到点O的距离相等， ， 点A的坐标为 故答案为：； ， 点C的坐标为 设点A所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得 解得 点A所在抛物线的函数表达式为 【小题2】 以无人机摄像头所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系， 喷药口A喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点E和点F关于y轴对称， 可以设点E的坐标为 将点代入， 得 点E的坐标为 此时无人机摄像头距离地面的高度为 答∶ 无人机应该下降的高度为 【小题3】  ，A点坐标为， 点坐标为 所在抛物线形状与A所在抛物线相同，二次项系数相同， 设M所在抛物线表达式为 无人机高度为480cm， 抛物线是从O点相对高度， 代入到中，得  ． 解得， ， 关于y轴对称， ， 长   【解析】  本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． 首先根据喷药口A、B到O距离相等且OB长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值，再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式；   以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变．由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度，用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度．   根据已知条件求出M的坐标．设M所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒农药覆盖区域宽度． 22.【答案】【小题1】 证明：， ，，， 平分， ， ， ， 【小题2】 解：平分，，， ， ； 是BC的中点， ， ， ， ， 【小题3】 证明：过点C作，交AB于点F，如图， ，， 是的平分线， ， ， ， ， ，   【解析】  由平行线分线段成比例定理得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，即可证明   根据得到，则可推出，由平行线分线段成比例定理得到，据此可得答案；   过点C作，交AB于点F，由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，由平行线分线段成比例定理得到，即可证明 23.【答案】【小题1】 解：设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 即 【小题2】 解：抛物线的对称轴为直线， ，且， 抛物线开口向上，离对称轴越远y值越大， 当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值是0， 最大值与最小值的差是 【小题3】 解：设直线PF的解析式为， 将点代入解得， 直线PF的解析式为， 将代入，整理得：， ，， ， ， ， ，   【解析】  根据顶点坐标将二次函数表达式设出来，再将点代入求解即可；   利用二次函数的增减性求解即可；   将一次函数表达式设出来，联立一次函数与二次函数，求出点横坐标之间的关系，从而确定点横坐标之间的关系，再利用两点之间的距离求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $