1.1.1空间向量及其运算教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课程名称

1.1.1　空间向量及其线性运算

教师姓名

授课时长

40分钟

知识点来源

学科：数学　　年级：高二　　教材版本：人教A版（2019）选择性必修第一册

课题：第一章　空间向量与立体几何　1.1.1　空间向量及其线性运算

知识点描述

空间向量：在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模。空间向量用字母，，，…表示，也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模。

特殊向量：长度为0的向量叫做零向量，记作；模为1的向量叫做单位向量；与向量长度相等且方向相反的向量叫做的相反向量，记作－。

向量间的关系：方向相同且模相等的向量叫做相等向量；表示若干空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量（平行向量），规定零向量与任意向量平行；平行于同一个平面的向量叫做共面向量，任意两个空间向量总是共面的。

线性运算：空间向量的加法、减法与数乘运算统称为空间向量的线性运算。加法满足三角形法则（首尾相接）与平行四边形法则（共起点），减法满足三角形法则（共起点，方向指向被减向量）；实数λ与向量的积λ仍是一个向量，其长度为|λ|||，方向由λ的符号确定。

运算律：空间向量的线性运算满足交换律＋＝＋，结合律（＋）＋＝＋（＋）与（）＝（），分配律（＋）＝＋，λ（＋）＝＋。

三个不共面向量的和：对于三个不共面的向量，，，以任意点O为起点，以，，为邻边作平行六面体，则它们的和等于以O为起点的对角线所表示的向量。

共线与共面：对于任意两个空间向量，（），∥的充要条件是存在实数λ，使＝；共面向量定理是本节后续推理的重要依据。

教学目

一、数学抽象

标（指向核心素养）

1.类比平面向量的概念，抽象出空间向量的概念，理解空间向量的长度（模）、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量（平行向量）与共面向量等概念。

2.经历"具体情境—类比推广—归纳定义"的过程，体会从平面到空间的推广是研究立体几何问题的重要途径。

二、逻辑推理

1.能类比平面向量研究空间向量，说明任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，空间向量的线性运算可以转化为平面向量的线性运算。

2.能将平面向量线性运算的运算律推广到空间，并通过作图与推理验证交换律、结合律与分配律。

三、直观想象

1.能在长方体、平行六面体等空间图形中辨认与表示空间向量，借助图形理解向量加法的三角形法则与平行四边形法则。

2.能借助平行六面体理解空间三个不共面向量之和的几何意义，发展空间想象能力。

四、数学运算

1.能应用平行四边形法则和三角形法则进行空间向量的加减运算，能进行空间向量的数乘运算。

2.能利用空间向量的线性运算化简向量表达式，并在几何体中表示向量运算的结果。

教学重点

空间向量的相关概念；空间向量的线性运算及其运算律；三个不共面向量之和的几何意义。

教学难点

空间向量加法结合律的证明；在空间图形中正确进行向量的线性运算并理解其几何意义。

适用对象

高二年级学生（人教A版2019·选择性必修第一册）

课型

（注：可选择如下选项，也可以补充填写）

√新授课　□复习课　□习题课　□实验课　□其他

教学用途

（注：可选择如下选项，也可以补充填写）

√课堂教学　□课前预习　□课后复习　□其他

设计思

教材与学情：学生已系统学习平面向量的概念与线性运算，具备类比推广的知

路

识基础；但空间观念尚待加强，对空间向量运算的几何直观需要借助图形建立。

设计主线：滑翔伞情境引入→类比平面向量建构空间向量概念→探究线性运算法则与运算律→平行六面体中三个不共面向量之和→巩固应用，全课40分钟。

难点突破：以"任意两个空间向量可平移到同一平面"为转化桥梁，让学生在平行六面体中动手标出向量、体会运算的几何意义，化解结合律证明的抽象性。

反馈矫正：设计概念判断题组与几何体中的运算化简题，当堂检测概念理解与运算掌握情况。

教 学 过 程

环节

内 容

设计意图

一、导入新课

（约4分钟）

【情境引入】展示滑翔伞运动的场景：滑翔过程中，飞行员受到来自不同方向、大小各异的力，如绳索的拉力、风力、重力等，这些力不在同一个平面内。

【设问】我们已经知道，利用平面向量可以研究平面图形中的问题。能否把平面向量推广到空间，用空间向量研究滑翔运动中的受力问题？——引出课题：空间向量及其线性运算。

【复习回顾】向量是既有大小又有方向的量；平面内向量的相关概念：零向量、单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量。

从滑翔伞受力不在同一平面的真实情境出发，引发"把平面向量推广到空间"的认知需求，为本章的学习确立研究主线。

二、新课教学（一）

（约10分钟）

1.空间向量的概念：在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模。

2.表示方法：空间向量用字母 ，，，…表示（印刷体），书写时用带箭头的小写字母表示；几何上用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模。向量的起点是A、终点是B，其模记作||。

3.特殊向量：长度为0的向量叫做零向量，记作，其方向是任意的；模为1的向量叫做单位向量；与向量长度相等且方向相反的向量叫做的相反向量，记作－。

通过类比平面向量建构空间向量的概念体系，在特殊几何体中辨认向量关系，培养数学抽象与直观想象素养。