1.1.2 空间向量的数量积运算 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学人教A版选择性必修 第一册 教学设计 1.1.2 空间向量的数量积运算 （2026-2027学年） 一、教材分析 本节内容选自人民教育出版社《普通高中教科书·数学（选择性必修 第一册）》第一章“空间向量与立体几何”1.1.2节。在此之前学生已经学习了空间向量及其线性运算，本节课类比平面向量的数量积，研究空间两个向量的夹角、空间向量的数量积的定义、性质与运算律，以及空间向量的投影向量。 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义。空间向量的数量积运算是沟通“数”与“形”的重要工具，它将几何中的长度、角度问题转化为向量的运算问题，为后续用空间向量解决立体几何中的位置关系与度量问题奠定了坚实的基础，具有承上启下的重要作用。 教材在内容的组织上，始终贯穿“类比—推广—证明—应用”的思想方法：先类比平面向量给出空间向量夹角的定义，再定义空间向量的数量积，然后将平面向量数量积的运算律推广到空间并加以证明，最后通过具体问题体会空间向量数量积的应用。通过本节课的学习，可以强化学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养。 二、教学目标与核心素养 （一）课程目标 1、类比平面向量的夹角，理解空间向量夹角的概念，知道两个向量夹角的范围是； 2、类比平面向量的数量积，理解空间向量数量积的定义，掌握空间向量数量积的性质与运算律； 3、理解空间向量投影向量的概念及其几何意义，会用空间向量的数量积解决立体几何中求长度、角度、证明垂直等简单问题。 （二）数学学科素养 1.数学抽象：空间两个向量所成的角、空间向量数量积的定义与性质； 2.逻辑推理：平面向量数量积的运算律向空间向量数量积运算律的推广与证明； 3.数学运算：运用空间向量数量积的定义、性质与运算律进行计算； 4.直观想象：空间向量投影向量的几何意义及其应用。 三、教学重难点 重点：空间向量的数量积的定义、性质与运算律； 难点：空间向量数量积运算律的证明及投影向量的理解。 四、教学方法和工具 教学方法：以学生为主体，教师为主导，采用类比探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体、三维动画演示软件。 五、教学过程 （一）情景导入 提问1：我们已经学习了空间向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 提问2：在平面向量中我们学习过数量积运算，空间中两个向量的数量积是否也能类似于平面向量来定义呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察、研探。由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义。由此引出本节课的课题——空间向量的数量积运算。 （二）预习课本，引入新课 阅读课本第8-9页，思考并完成以下问题 1、空间中两个向量所成的角是如何定义的？范围是什么？ 2、空间向量的数量积是如何定义的？ 3、空间向量数量积有哪些性质与运算律？ 4、什么是空间向量的投影向量？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 （三）新知探究 1.空间向量的夹角 探究：空间任意两个向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，那么平面内两个向量夹角的定义能否推广到空间？ 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作。 注：遵循“同起点”原则。特别地，当时，与同向；当时，与反向；当时，我们说与互相垂直，记作。 如图1： 图1 空间两个向量的夹角 思考：两个非零向量夹角的范围是什么？若，则等于多少？ 两向量的夹角的范围是，若，则或。 2.空间向量的数量积 已知两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即 。 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即。 温馨提示：①数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写；②向量的数量积是一个实数（数量），不是向量，它的值可正、可负、可为0。 3.空间向量的投影向量 思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。类似地，在空间中，向量向向量的投影有什么意义？ 由于向量是自由向量，可以将与平移到同一个平面内。如图2，在空间任取一点，作，，过点作所在直线的垂线，垂足为，则向量称为向量在向量上的投影向量。 图2 向量 a 在向量 b 上的投影向量 类似的，向量向直线的投影，可以先将平移到与直线共面的平面内再投影；向量向平面的投影，就是分别由的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量。这时，向量与的夹角就是向量所在直线与平面所成的角。 4.空间向量数量积的性质 设两个非零向量，，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，由数量积的定义可得： （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，。特别地，，； （4）。 5.空间向量数量积的运算律 探究：平面向量的数量积满足交换律、分配律等运算律，对于空间向量是否仍然成立？ 对于空间向量，，和实数，有： （1）交换律：； （2）数乘结合律：； （3）分配律：； （4）完全平方公式：； （5）平方差公式：。 注：不一定成立且无意义。因为是一个数量，表示与共线的向量，而与不一定共线，数量积不满足结合律。 （四）典例分析、举一反三 例1 如图3，在平行六面体中，，，，三个向量的模均为1，且两两夹角均为。求： （1）； （2）的长（精确到0.1）。 图3 平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 解：（1）根据加法的平行四边形法则，，再由加法的三角形法则得 。 （2）由数量积的性质， ， 因为，且，所以 ， ， 所以。 注：由本题可知，平行六面体（包括正方体与长方体）相邻三条棱表示的向量之和总等于它们所夹对角线表示的向量。 教师让学生以4人为一组交流讨论后展示，教师点评并规范书写过程。 例2 已知，为单位向量，与的夹角为，求向量在向量方向上的投影向量。 解：由投影向量的定义，在方向上的投影向量为 。 练习1：已知，，，求的值。 解：。 学生独立完成，请一名学生上黑板板演，师生共同订正。 练习2：如图4，在三棱锥中，⊥平面，⊥，。确定在上的投影向量，并求的值。 图4 三棱锥 P-ABC 解：因为⊥平面，⊂平面，所以⊥，即，所以在上的投影向量与在上的投影向量相同。 又⊥，即，在方向上的投影为，所以在上的投影向量为，且。 设计意图：通过例题和练习巩固空间向量数量积的定义、性质与运算律，让学生在空间几何体中学会确定向量的夹角，体会将几何问题转化为向量运算的方法，培养学生的直观想象与数学运算素养。 （五）课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧： 1、知识上：空间向量的夹角；空间向量的数量积；空间向量的投影向量；空间向量数量积的性质与运算律； 2、方法上：类比的思想贯穿整节课，从二维平面推广到三维空间；数形结合，将几何问题（长度、角度、垂直）转化为向量运算； 3、通过数量积和运算律的应用，提升了学生的数学运算素养与逻辑推理能力。 六、板书设计 1.1.2 空间向量的数量积运算 一、空间向量的夹角 二、空间向量的数量积 三、性质与运算律 例1 练习1、练习2 七、作业布置 1、课本第12页练习1、2、3； 2、探究拓展：已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点，分别是，的中点，求的值； 3、思考：能否用空间向量的数量积证明“若一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线垂直于该平面”？ 八、教学反思 本节课以类比为主线，从平面向量自然过渡到空间向量，学生能够较好地理解空间向量数量积的定义与运算律。教学中利用三维动画展示空间向量的投影向量，直观形象，降低了理解难度。部分学生对“数量积是数量而非向量”以及“数量积不满足结合律”的理解仍不够深刻，在后续教学中应结合具体反例加以强化。练习中学生确定空间几何体中两个向量夹角时容易出错，特别是“同起点”原则的落实需要在后续课时中持续巩固。 学科网（北京）股份有限公司 $