精品解析：安徽省无为第一中学2025-2026学年高一上学期12月月测数学试卷

安徽省无为第一中学高一数学12月月测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数若，则实数的取值是（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 5或 3. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（ ） A. B. C. D. 4. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 函数，，若对，都存在，使成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. 与是同一个函数 B. 函数的值域为 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值为6 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个单调区间 B. 当时， C. 函数有最小值 D. 不等式的解集是 11. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的值为________． 13. 已知函数（且），在上单调递增，则实数a的取值范围是________． 14. “高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是______. ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）已知，求值：①；②. 16. 设函数． （1）命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围； （2）求不等式的解集． 17. 已知是二次函数，且不等式的解集是. （1）求函数的解析式； （2）令，若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求a，b的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围． 19. 定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，． （1）判断的奇偶性； （2）求证：函数在上是减函数； （3）若，且，，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省无为第一中学高一数学12月月测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得B，根据并集的定义求得，再根据补集的定义求解即可. 【详解】，， 又， ． 故选：C. 2. 函数若，则实数的取值是（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】对于求解与分段函数有关的方程时，应分段考虑再合并. 【详解】当时，，解得：； 当时，，解得：； 即实数的取值是5或. 故选：D. 3. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义及单调性的定义逐项判断即可. 【详解】对于，对于，，且， 故函数是非奇非偶函数，不满足题意； 对于，函数，满足是奇函数，但在定义域内不具有单调性，不满足条件； 对于，函数的定义域为，不具有对称性，故不具有奇偶性，不满足题意； 对于，对于函数，定义域为，满足，是奇函数， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递减； 又当时，，所以在上单调递减，满足题意. 故选： 4. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的概念，系数为1，且在上是减函数，指数为负即可. 【详解】由幂函数在上是减函数， 则，解得， 故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：C. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列出使函数有意义的不等式组，解不等式组可得结果. 【详解】要使有意义，则，解得，所以函数的定义域为. 故选：B. 6. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选：C 7. 函数，，若对，都存在，使成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原问题转化为，再根据二次函数的最值和指数函数的值域建立不等式，解之可得选项. 【详解】若对，都存在，使成立，则需， 又，，所以， 令，因为，所以，所以， 所以，解得，则m的取值范围是， 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 8. 已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，验证其为奇函数，再将问题转化为，然后由单调性解抽象函数不等式即可； 【详解】设，则，故是奇函数． 不等式等价于不等式 即不等式 因为是奇函数，所以 易证是上的减函数，则，即，解得． 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. 与是同一个函数 B. 函数的值域为 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值为6 【答案】AC 【解析】 【分析】A根据同一函数对应法则、定义域相同判断；B应用分离常量法求值域判断；C根据条件间的推出关系，结合特殊值判断；D应用基本不等式求函数最值，注意等号成立条件判断. 【详解】A：由、，且它们的定义域均为，是同一函数，对； B：由，易知其值域为，错； C：对于，若，显然不成立，充分性不成立； 对于，则，必要性成立，对； D：由，又， 而上式中时等号成立，显然等号不成立，错. 故选：AC 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个单调区间 B. 当时， C. 函数有最小值 D. 不等式的解集是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用奇偶性求出的表达式，再逐项求出单调区间、最值以及不等式的解集即可判断. 【详解】解：当时，，因为时， 所以，又因为是定义在上的偶函数 所以时， 即 如图所示： 对A，由图知，函数有个单调区间，故A错误； 对B，由上述分析知，当时，，故B正确； 对C，由图知，当或时，函数取得最小值，故C正确； 对D，由图知，不等式的解集是，故D错误. 故选：BC. 11. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后逐一判断每个选项即可. 【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增， 所以，故A对， 若，则，得，故B错， 若，则或，因为，所以或，故C正确， 因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由指数幂的运算性质及已知求值即可. 【详解】由. 故答案为： 13. 已知函数（且），在上单调递增，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数以及指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】由于函数在上单调递增， 所以需要满足：，解得：. 因此可得：实数的取值范围是. 故答案为： 14. “高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是______. ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义可得解析式，画出图形，根据函数图象逐个命题判断即可. 【详解】由题意得：， 由解析式可得函数图形如下图所示，    对于①，函数，①错误； 对于②：函数的最小值为，②正确； 对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确； 对于④，由图象函数满足， 也可利用定义推导，，④正确； 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）已知，求值：①；②. 【答案】（1）；（2）①18，② 【解析】 【分析】 （1）根据指数幂的运算性质和根式的性质计算可得结果； （2）①由两边平方可得结果；②根据计算可得结果. 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即， 所以， ②由①知，因为，所以， 所以. 【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，考查了根式的性质，属于基础题. 16. 设函数． （1）命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）由题意可得不等式在R上恒成立，讨论a是否为0，结合判别式解不等式，即可求得答案； （2）不等式等价于，分类讨论a的取值范围，确定与1的大小关系，即可求得答案. 【小问1详解】 为假命题， ，为真命题，即不等式在R上恒成立， 当时，恒成立，则满足题意； 当时，需满足，解得， 综上，实数a的取值范围． 【小问2详解】 不等式等价于． 当时，不等式可化为，解得； 当时，，由不等式解得； 当时，则，原不等式即为，解得； 当时，则，解得或； 当时，则，解得或； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或． 17. 已知是二次函数，且不等式的解集是. （1）求函数的解析式； （2）令，若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据的解集是得，，以及，列方程组，求解即可； （2）由，得，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论即可. 【小问1详解】 由题意，设，， 因为的解集是，所以，且和是方程的解， 又，所以，解得，，， 所以. 【小问2详解】 ， 所以二次函数开口向上，对称轴方程为：， ①当，即时，函数在区间上单调递增， 所以，由，解得； ②当，即时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，由， 解得；不满足，故舍去； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以，由，解得； 综上所述，或. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求a，b的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围． 【答案】（1）， （2） 由(1)中知，， 由指数函数的单调性，在上单调递减， 证明：设，，， 则， 由指数函数单调性可知，，即， 故，即， 所以在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】(1)结合已知条件，利用奇函数性质即可求解；(2)利用指数函数单调性即可判断的单调性，然后利用单调性定义即可证明；(3)利用的单调性和奇偶性，并对参数进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，即， ，解得. 故，.则 ，符合题意 【小问2详解】 在上单调递减，证明略； 【小问3详解】 因为是上的奇函数， 所以， 因为在上单调递减， 所以，即， 从而对任意的，恒成立， 当时，不等式恒成立，满足题意； 当时，欲使对任意的，恒成立， 只需，解得. 综上所述，k的取值范围为. 19. 定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，． （1）判断的奇偶性； （2）求证：函数在上是减函数； （3）若，且，，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）奇函数 （2）设任意的且，由， 则. 又当时，，所以当时，有， 所以，即， 所以函数在上是减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给关系式令，即可求出，再令，即可得到与的关系，即可判断； （2）利用定义法证明，结合时，即可证明； （3）求出的值域，从而得到恒成立，设，即可得到，解得即可. 【小问1详解】 为奇函数， 证明：因为的定义域为，且对，，， 令，则，则； 令，则，则，即， 所以函数是奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， 又在上单调递减，所以， 所以恒成立， 等价于：恒成立， 即恒成立， 设，是关于的一次函数， 所以，即，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $