安微省亳州市第十八中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题

高一第一学期阶段性检测数学试题 第I卷（选择题) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有一个选项符 合要求) 1.己知集合A={x-1≤x≤3}，B={x|x≤0，x∈Z),则AOB=() A.{x|-1≤x≤0} B.{0,1,2,3} C.{x|0<x<3} D.{-1,0} 2.若2∈{1，a,2-2},则a=() A.-2 B.-2或2 C.2 D.4 3.设命题卫：对于所有的实数x,x2≥0.用符号语言表示p的否定为() A.x∈R,x2<0 B.3xER,x2≥0 C.r∈R,x2<0 D.x∈R,x2≥0 4.下列命题正确的有() A若ab,则日君 B.若a>b,则a2>b2 C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若>b,则a>b 5.若0<x<5.则V06-3的最大值为《) A.4 B.&5 C.16 D.4 3 3 6.关于x的不等式x+2(m-1)x+m2-m<0的解集为(：，)，且1+1=2，实数m的值为 () A.-4 B.-1 C.1 D.4 7,已知正实数a,b满足a+b=1,则北+分的最小值为(】 A.2 B.3 C.4 D.5 8.定义b-a叫做集合{x|a≤x≤b的长度，己知集合M={x|x2-2x-3m2≤0}，集合 N={xx2+r-22≤0}，若集合M∩N的长度为2，则MUN的长度为() A.3 B.4 C.5 D.10 高一数学阶段检测第1页（共4页） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列说法中不正确的是() A.0与{0}表示同一个集合 B.集合{1,2,3}与{3,2,1}是两个相同的集合 C.方程(x-1)(x-2)=0的所有解组成的集合可表示为{1,1,2} D.集合{x|4<x<5}可以用列举法表示 10.设正实数a,b满足a+b=1,则() A,b的最小值是 B.ab的最大值是马 c.1+2的最小值为3+22 a"b D.2+b的最小值为 11.不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-2<x<1},则下列选项正确的有() A.a<0 B.a+b+c>0 C.不等式a2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>1} D.不等式bx-c>0的解集是{xk>2} 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.不等式X-4≥2的解集是 x-1 13.若实数x,y>0,且w=x+y+3,则1+1的最小值为 x-1y-1 14.若命题存在x∈R,2-3+9≤0为假命题，则实数a的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 已知-1<2a+b<5,0<a+b<3. (1)求4a+b的取值范围： (2)求a的取值范围. 高一数学阶段检测第2页（共4页） 16.(15分) 己知p:(x+4)(x-1)≤0，q:x2-(2m+1)x+m2+m≤0. (1)若m=1,卫，q有且只有一个为真，求实数x的取值范围： (2)若g是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 17.(15分) 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创 业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成 本为C()万元.在年产量不是8万件时，C(x)=子+2x(万元)：在年产量不小于8万件时， C()=7x+100-37.每件产品售价为6元.假设小王生产的商品当年全部售完. (1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定 成本-流动成本)； (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 高一数学阶段检测第3页（共4页） 18.(17分) 已知二次函数y=m2+bx+c. (1)若y<0的解集为{x-3<x<4),解关于x的不等式bx2+2m-(c+3b)<0: (2)已知b=4,a>c,若y≥0对于一切实数x恒成立，并且存在x,使得+bx+c=0成立： ①求ac的值： ②求4+c的最小值， 2a-c 19.(17分) 已知二次函数y=x2+(a-1)x-a. (1)求关于x的不等式y>0的解集； (2)若关于x的不等式y<0的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围； (3)若当≤x≤3时，不等式>0-)r+(2a+1x-2+1恒成立，求实数a的取值范围. 高一数学阶段检测第4页（共4页） 高一第一学期阶段性检测数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，有一个选项符合要求） 1．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 （　　） A． B． 或 C． D． 3．设命题 ：对于所有的实数 ，．用符号语言表示 的否定为（　　） A．， B．， C．， D．， 4．下列命题正确的有（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，则 5．若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．关于 的不等式 的解集为 ，且 ，实数 的值为（　　） A． B． C． D． 7．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．定义 叫做集合 的长度，已知集合 ，集合 ，若集合 的长度为 ，则 的长度为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．） 9．下列说法中不正确的是（　　） A． 与 表示同一个集合 B．集合 与 是两个相同的集合 C．方程 的所有解组成的集合可表示为 D．集合 可以用列举法表示 10．设正实数 ， 满足 ，则（　　） A． 的最小值是 B． 的最大值是 C． 的最小值为 D． 的最小值为 11．不等式 的解集是 ，则下列选项正确的有（　　） A． B． C．不等式 的解集是 D．不等式 的解集是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．不等式 的解集是　　　　　　． 13．若实数 ，且 ，则 的最小值为　　　　　　． 14．若命题“存在 ，”为假命题，则实数 的取值范围是　　　　　　． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 已知 ，． （1）求 的取值范围； （2）求 的取值范围． 16．（15分） 已知 ，． （1）若 ，， 有且只有一个为真，求实数 的取值范围； （2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 17．（15分） 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为 万元，每生产 万件，需另投入流动成本为 万元．在年产量不足 万件时，（万元）；在年产量不小于 万件时，．每件产品售价为 元．假设小王生产的商品当年全部售完． （1）写出年利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 18．（17分） 已知二次函数 ． （1）若 的解集为 ，解关于 的不等式 ； （2）已知 ，，若 对于一切实数 恒成立，并且存在 ，使得 成立： ① 求 的值； ② 求 的最小值． 19．（17分） 已知二次函数 ． （1）求关于 的不等式 的解集； （2）若关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，求实数 的取值范围； （3）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 高一数学阶段检测　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $高一第一学期阶段性检测数学试题 参考答案 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1.已知集合A={x-1≤x≤3}，B={x|x≤0，x∈Z),则AOB=() A.{x|-1≤x≤0} B.{0,1,2,3} C.{x|0<x<3} D.{-1,0} 【答案】D 【分析】先明确集合B中的整数元素，再求交集。 【解答】 B是小于或等于0的整数组成的集合，即…，-2，-1,0}， 与A=[-1,3]取交集得A∩B={-1,0}.故选D. 2.若2∈{1，a,a2-2},则a=() A.-2 B.-2或2 C.2 D.4 【答案】A 【分析】按2是哪一个元素分类，再检验集合元素的互异性. 【解答】 若a=2,则集合为{1,2,2}，不满足互异性，舍去： 若a2-2=2,则a2=4,a=2(舍去)或=-2， 当au=-2时集合为{红，-2,2}，符合题意. 故选A. 3.设命题p:对于所有的实数x,x2≥0.用符号语言表示p的否定为() A.x∈R,x2<0 B.ER,x2≥0 C.r∈R,x2<0 D.x∈R,x2≥0 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：改量词、否结论. 【解答】 卫：x∈R,x2≥0， 其否定为x∈R,x2<0.故选C. 4.下列命题正确的有() A.若a>b,则1<1 B.若a>b,则ad>b2 a b C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若ad>b,则a>b 【答案】D 高一数学阶段检测（答案）第1页（共9页） 【分析】逐项判断，注意举反例. 【解答】 A项：取a=1,b=1,则日1方不政立的版例：。1，名1，比时日名借误 B项：取a=1,b=-2,则d=1<b2=4,错误： C项：取a=1,b=-2,c=1,d=-3,则ac=1<bd=6,错误； D项：y=x在R上单调递增，所以>b一a>b,正确. 故选D .若0<x<6,则VxQ6-3如)的最大值为( A.4 B.&3 C.16 D. 3 3 【答案】B 【分析】把x(16-3x)凑成“和为定值”的两项，用基本不等式. 【解答】 因为0<x<16 所以x>0,16-3x>0, 06-3-6刘6--4 3 当且仅当3x=16-3x,即x=8时取等号， 3 所以V(16-3x)的最大值为 6483 V3=3 故选B 6.关于x的不等式x2+2m-1)x+m-m<0的解集为(k,),且1+1=2，实数m的值为 X12 () A.-4 B.-1 C.1 D.4 【答案】B 【分析】由韦达定理把上+1用m表示，注意判别式大于零. 【解答】 由题意△=4(-1)-4(2-m)=4(1-m>0,即m<1,且32=m2-m≠0： 1+1=生+3=-2(m-_20-m_2 xx2xx2m2-mm(m-1）m 由-2=2得m=-1(满足m<1且m-m≠0).故选B. 高一数学阶段检测（答案）第2页（共9页） 7.已知正实数a,b满足a+b=1,则地+的最小值为() a b A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【分析】利用a+b=1把上拆成4+1，再用基本不等式. b 【解答】 4地+1-4b+a+b.4b++1≥24+1=5， a b a b a b 当且仅当兰名即a=边，结合a+b=1得a号6专时取等号。 故选D 8.定义b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的长度，已知集合M={x|x2-2r-32≤0}，集合 N={x|x2+x-2m2≤0}，若集合MON的长度为2，则MUN的长度为() A.3 B.4 C.5 D.10 【答案】C 【分析】先因式分解求出两个集合（按m的正负讨论），再由交集长度求m,最后求并集长度 【解答】 M:（x-3m)(x+m)≤0；N:（x+2m)(x-m≤0. 当m>0时，M=[-m,3m],N=[-2,m],MN=[-m,m],长度为2m=2,得m=1, 此时MUN=[-2,3],长度为5. 当m<0时，M=[3,-m,N=[m,-2m],MN=[m,-m],长度为-2=2，得m=-1, 此时MUN=「-3,2]，长度也是5. 故选C. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9.下列说法中不正确的是() A.0与{0}表示同一个集合 B.集合{1,2,3}与{3,2,1}是两个相同的集合 C.方程(x-1)(x-2)=0的所有解组成的集合可表示为{11,2} D.集合{x|4<x<5}可以用列举法表示 【答案】ACD 【分析】逐项判断说法的真假，选出“不正确的。 【解答】 A项：0是元素，{0是集合，二者不同，说法不正确： B项：集合中元素无序，两集合相同，说法正确： 高一数学阶段检测（答案）第3页（共9页） C项：集合中元素互异，应表示为{红，2}，说法不正确： D项：{x4<x<5}是无限集，不能用列举法表示，说法不正确， 故选ACD. 10.设正实数a,b满足a+b=1,则() A必的最小值是号 B.b的最大值是号 C.1+2的最小值为3+22 a b D.d+b的最小值为 【答案】BCD 【分析】逐项求最值，注意α，b为正实数时等号能否取到. 【解答】 A项：≤子没有最小值(b→0)，错误： 8现咖：片当a=6时，工 c项日子名合引a-创=3+名名-2，当=时取等号，正痛： D项：？+b≥a+,b=号，当a=b=时取等号，正确。 2 故选BCD. 11.不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-2<x<1},则下列选项正确的有() A.a<0 B.a+b+c>0 C.不等式ax2+bx+c>0的解集是c{x|x<-2或x>1} D.不等式br-c>0的解集是{xx>2} 【答案】ABD 【分析】由解集的两端点用韦达定理把b,c用α表示，再逐项判断， 【解答】 由解集为(-2,1)知a<0,且-2,1是ax2-bx+c=0的两根， 由韦达定理-2+1=b, -2x1=C,即b=-a,c=-2a. a A项：a<0,正确； B项：a+b+c=a-a-2a=-2a>0,正确： C项：a2+bx+c>0即m2-ax-2a>0,两边同除以a<0得x2-x-2<0,解得-1<x<2,错误； D项：bx-c>0即-x+2a>0,两边同除以a<0得-x+2<0,即x>2,正确. 故选ABD. 高一数学阶段检测（答案）第4页（共9页） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.不等式X-4≥2的解集是 x-1 【答案】[-2,1) 【分析】移项通分，化为整式不等式，注意分母不为零. 【解答】 =4220,即X=4-2x+2≥0，即--220， x-1 x-1 x-1 等价于+2s0,即(x+2(x-1)≤0且x≠1， x-1 解得-2≤x<1,故解集为[-2,1). 13.若实数x,y>0,且w=x+y+3,则1+1的最小值为 x-1y-1 【答案】1 【分析】由xy=x+y+3得(x-1)(y-1)=4,再对两个倒数用基本不等式. 【解答】 由y=x+y+3得y-x-y=3,即(x-1)(y-1)=4, 因为x,y>0且(x-1)(y-1)=4>0,可知x-1与y-1同号；若同负，则x<1,y<1,此时 3y<x+y,与y=x+y+3矛盾，故x-1>0,y-1>0, 所以1+1≥2 1-2x=1, x-1'y-1“V(x-1(y-1)2 当且仅当x-1=y-1=2,即x=y=3时取等号，故最小值为1. 14.若命题“存在x∈R,2-3+9≤0”为假命题，则实数a的取值范围是 【答案】[0,4) 【分析】命题为假即其否定为真，转化为二次不等式恒成立，注意α=0的情形. 【解答】 原命题为假，等价于“∈R,x2-3ar+9>0”为真. 当a=0时，9>0恒成立，符合； 当a>0时，需△=9a2-36a<0,解得0<a<4; 当a<0时，开口向下，不能恒正，不合题意。 综上，0≤a<4,即[0,4). 四、解答题（共77分） 15.(13分) 已知-1<2M+b<5,0<a+b<3. 高一数学阶段检测（答案）第5页（共9页） (1)求4a+b的取值范围： (2)求a的取值范围， 【答案】(1)(-9,15)；(2)(（-4,5) 【分析】设1=2+b,v=a+b,把ab用u,v表示，再用同向不等式相加. 【解答】 设l=2a+b∈(-1,5)，v=a+b∈(0,3)，则a=l-v,b=2v-u. (1)4a+b=4(u-v)+(2-u)=3u-2v, 由-1<u<5得-3<31<15，由0<v<3得-6<-2w<0, 两式相加得-9<3u-2v<15,即4a+b的取值范围是（-9,15). (2)a=u-v,由-1<u<5、-3<-v<0相加得-4<a<5, 即a的取值范围是(-4,5). 16.(15分) 己知p:(x+4)(x-1)≤0，q:x2-(2m+1)x+m2+m≤0. (1)若=1，p,q有且只有一个为真，求实数x的取值范围： (2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)【-4,1)U(1,2]:(2)[-4,0] 【分析】先把两个命题都化为最简单的区间形式，再按“有且只有一个为真“充分不必要”处理. 【解答】 p:-4≤x≤1；q:(x-)(x-m-1)≤0，即≤x≤m+1. (1)当m=1时，q:1≤x≤2. 若卫真q假：-4≤x≤1且x<1或x>2,得-4≤x<1: 若p假q真：x<-4或x>1,且1≤x≤2，得1<x≤2： 所以x∈[-4,1)U(1,2]. (2)q是p的充分不必要条件，即「，m+1]}[-4,1, 需m≥-4且m+1≤1，即-4≤m≤0：此时[m,m+1]的长度为1，不可能等于[-4,1]，故不必要”成立. 所以m∈[-4,0 17.(15分) 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创 业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成 本为C(x)万元.在年产量不足8万件时，C(y)=x2+2x(万元)：在年产量不小于8万件时， 3 C()=7x+100-37.每件产品售价为6元.假设小王生产的商品当年全部售完。 高一数学阶段检测（答案）第6页（共9页） (1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定 成本-流动成本)： (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)P)=-+4K-20<x<8-x+35-10,x 已，x≥8；(2)年产量为10万件时利润最大， 3 最大利润15万元 【分析】(1)按“利润=收入-固定成本-流动成本”分段列式；(2)分段求最大值后比较. 【解答】 (1)销售收入为6x万元，所以P(x)=6.x-2-C(x) 当0<<8时，P()=6-2-(（+2 x+4x-2: 3 当x≥8时，P(x)=6x-2- +90--+35-9 即P(x)如上式. (2)当0<<8时，P)=0x-6+10≤10，当x=6时取等号： 当x≥8时，P(y)=35-x+100 ≤35-2√100=15，当且仅当x=10时取等号， 因为15>10，所以年产量为10万件时利润最大，最大利润为15万元. 18.（17分) 已知二次函数y=m2+bx+c· (1)若y<0的解集为{x-3<x<4,解关于x的不等式bx2+2-(c+3b)<0: （2)己知b=4,a>c,若y≥0对于一切实数x恒成立，并且存在x,使得+bx。+c=0成立： ①求ac的值； ②求+C的最小值. 2a-c 【答案】(1)(-m,-3)U(5,+m):(2)①ac=4;②最小值为8 【分析】(1)用韦达定理把b,c用a表示；(2)①由恒成立与“有解两个条件夹出ac;②变形后 用基本不等式， 【解答】 (1)由y<0的解集为(-3,4)知a>0,且-3,4是2+bx+c=0的两根， 由韦达定理-3+4=-力，-3x4=,即b=-a,c=-12a. a a 不等式bx2+2m-(c+3b)<0即-ax2+2ax-（-12a-3a<0,即-2+2ax+15a<0,， 两边同除以a>0得x2-2x-15>0,即(x-5)(x+3)>0, 高一数学阶段检测（答案）第7页（共9页） 解得x<-3或x>5,解集为(-0，-3)U(5,+0): (2)①y=ax2+4x+c≥0恒成立，需a>0且△=16-4ac≤0，即ac≥4： 又存在x,使+4x+c=0,即方程有实根，需△=16-4ac≥0，即ac≤4. 所以ac=4. ②由ac=4>0且a>c知a>c>0,所以2a-c>0, 4d+c2_2a-c+4-(2a-c)+,16≥26-8， 2a-c 2a-c 2a-c 当且仅当2a-c=4,结合ac=4得a=1+V3,c=2V3-1时取等号， 故最小值为8. 19.(17分) 已知二次函数y=x2+(a-1)x-a. (1)求关于x的不等式y>0的解集： (2)若关于x的不等式y<0的解集中恰有3个整数，求实数α的取值范围： (3)若当≤x≤3时，不等式y>-a)x+(2a+)x-2a+1恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)当a>-1时解集为c{xx<-a或x>1}:当a=-1时解集为{xx≠1}；当a<-1时解集 为x<1或x>-a:(2)(←6，-小(2,3]：(3)a>4+27 3 【分析】(1)因式分解后比较两根1与-α的大小；(2)数区间内的整数；(3)作差后转化为二次函 数在闭区间上的最小值问题. 【解答】 (1)y=x2+(a-1)x-a=(x-1)(x+a>0,两根为1与-a. 当-a<1,即a>-1时，解集为{xx<-a或x>1}: 当a=-1时，不等式为(x-1)>0,解集为{x|x≠1}： 当a<-1时，解集为{x|x<1或>-四. (2)y<0即(x-1)(x+a)<0,解集为两根之间的开区间. 若a>-1,解集为（←a1),其中的整数个数为3时，需-3≤-a<-2,即2<a≤3： 若a<-1,解集为(1，-a,其中的整数个数为3时，需5≤-a<6,即-6<a≤-5，所以-6<a≤-5. 综上，a∈(-6，-5]U(2,3]. (3)不等式即x2+(a-1)x-a>(1-a)x2+(2a+1)x-2a+1, 整理得云-a+2刘+（口-1）>0，需它对任意xe}3成立 当a≤0时，取x=3得7a-7<0,不成立，故a>0. 高一数学阶段检测（答案）第8页（共9页） 删时三次函数开口向上，对称抽1二。：当>)时该对称辅落 摄小为引=a--a2， 4a 由a--a+2>0得4aa-)>a+2,即3n-a-4>0. 解得a>4+25或a<425 3 3 (舍去)· 故a4+2万 3 高一数学阶段检测（答案）第9页（共9页） 高一第一学期阶段性检测数学试题 参考答案 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确集合 中的整数元素，再求交集． 【解答】 是小于或等于 的整数组成的集合，即 ， 与 取交集得 ．故选D． 2．若 ，则 （　　） A． B． 或 C． D． 【答案】A 【分析】按 是哪一个元素分类，再检验集合元素的互异性． 【解答】 若 ，则集合为 ，不满足互异性，舍去； 若 ，则 ，（舍去）或 ， 当 时集合为 ，符合题意． 故选A． 3．设命题 ：对于所有的实数 ，．用符号语言表示 的否定为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：改量词、否结论． 【解答】 ：，， 其否定为 ，．故选C． 4．下列命题正确的有（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，则 【答案】D 【分析】逐项判断，注意举反例． 【解答】 A项：取 ，，则 不成立的反例：，，此时 ，错误； B项：取 ，，则 ，错误； C项：取 ，，，，则 ，错误； D项： 在 上单调递增，所以 ，正确． 故选D． 5．若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把 湊成“和为定值”的两项，用基本不等式． 【解答】 因为 ，所以 ，， ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的最大值为 ．故选B． 6．关于 的不等式 的解集为 ，且 ，实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦达定理把 用 表示，注意判别式大于零． 【解答】 由题意 ，即 ，且 ； ， 由 得 （满足 且 ）．故选B． 7．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用 把 拆成 ，再用基本不等式． 【解答】 ， 当且仅当 ，即 ，结合 得 ， 时取等号． 故选D． 8．定义 叫做集合 的长度，已知集合 ，集合 ，若集合 的长度为 ，则 的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先因式分解求出两个集合（按 的正负讨论），再由交集长度求 ，最后求并集长度． 【解答】 ：；：． 当 时，，，，长度为 ，得 ， 此时 ，长度为 ． 当 时，，，，长度为 ，得 ， 此时 ，长度也是 ． 故选C． 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9．下列说法中不正确的是（　　） A． 与 表示同一个集合 B．集合 与 是两个相同的集合 C．方程 的所有解组成的集合可表示为 D．集合 可以用列举法表示 【答案】ACD 【分析】逐项判断说法的真假，选出“不正确”的． 【解答】 A项： 是元素， 是集合，二者不同，说法不正确； B项：集合中元素无序，两集合相同，说法正确； C项：集合中元素互异，应表示为 ，说法不正确； D项： 是无限集，不能用列举法表示，说法不正确． 故选ACD． 10．设正实数 ， 满足 ，则（　　） A． 的最小值是 B． 的最大值是 C． 的最小值为 D． 的最小值为 【答案】BCD 【分析】逐项求最值，注意 为正实数时等号能否取到． 【解答】 A项：，没有最小值（），错误； B项：，当 时取等号，正确； C项：，当 时取等号，正确； D项：，当 时取等号，正确． 故选BCD． 11．不等式 的解集是 ，则下列选项正确的有（　　） A． B． C．不等式 的解集是 c D．不等式 的解集是 【答案】ABD 【分析】由解集的两端点用韦达定理把 用 表示，再逐项判断． 【解答】 由解集为 知 ，且 是 的两根， 由韦达定理 ，，即 ，． A项：，正确； B项：，正确； C项： 即 ，两边同除以 得 ，解得 ，错误； D项： 即 ，两边同除以 得 ，即 ，正确． 故选ABD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．不等式 的解集是　　　　　　． 【答案】 【分析】移项通分，化为整式不等式，注意分母不为零． 【解答】 ，即 ，即 ， 等价于 ，即 且 ， 解得 ，故解集为 ． 13．若实数 ，且 ，则 的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】由 得 ，再对两个倒数用基本不等式． 【解答】 由 得 ，即 ， 因为 且 ，可知 与 同号；若同负，则 ，，此时 ，与 矛盾，故 ，， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ． 14．若命题“存在 ，”为假命题，则实数 的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】命题为假即其否定为真，转化为二次不等式恒成立，注意 的情形． 【解答】 原命题为假，等价于“，”为真． 当 时， 恒成立，符合； 当 时，需 ，解得 ； 当 时，开口向下，不能恒正，不合题意． 综上，，即 ． 四、解答题（共77分） 15．（13分） 已知 ，． （1）求 的取值范围； （2）求 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】设 ，，把 用 表示，再用同向不等式相加． 【解答】 设 ，，则 ，． （1）， 由 得 ，由 得 ， 两式相加得 ，即 的取值范围是 ． （2），由 、 相加得 ， 即 的取值范围是 ． 16．（15分） 已知 ，． （1）若 ，， 有且只有一个为真，求实数 的取值范围； （2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】先把两个命题都化为最简单的区间形式，再按“有且只有一个为真”“充分不必要”处理． 【解答】 ：；：，即 ． （1）当 时，：． 若 真 假： 且 或 ，得 ； 若 假 真： 或 ，且 ，得 ； 所以 ． （2） 是 的充分不必要条件，即 ， 需 且 ，即 ；此时 的长度为 ，不可能等于 ，故“不必要”成立． 所以 ． 17．（15分） 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为 万元，每生产 万件，需另投入流动成本为 万元．在年产量不足 万件时，（万元）；在年产量不小于 万件时，．每件产品售价为 元．假设小王生产的商品当年全部售完． （1）写出年利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）年产量为 万件时利润最大，最大利润 万元 【分析】（1）按“利润收入固定成本流动成本”分段列式；（2）分段求最大值后比较． 【解答】 （1）销售收入为 万元，所以 ． 当 时，； 当 时，． 即 如上式． （2）当 时，，当 时取等号； 当 时，，当且仅当 时取等号， 因为 ，所以年产量为 万件时利润最大，最大利润为 万元． 18．（17分） 已知二次函数 ． （1）若 的解集为 ，解关于 的不等式 ； （2）已知 ，，若 对于一切实数 恒成立，并且存在 ，使得 成立： ① 求 的值； ② 求 的最小值． 【答案】（1）；（2）① ；② 最小值为 【分析】（1）用韦达定理把 用 表示；（2）① 由“恒成立”与“有解”两个条件夹出 ；② 变形后用基本不等式． 【解答】 （1）由 的解集为 知 ，且 是 的两根， 由韦达定理 ，，即 ，． 不等式 即 ，即 ， 两边同除以 得 ，即 ， 解得 或 ，解集为 ． （2）① 恒成立，需 且 ，即 ； 又存在 使 ，即方程有实根，需 ，即 ． 所以 ． ② 由 且 知 ，所以 ， ， 当且仅当 ，结合 得 ， 时取等号， 故最小值为 ． 19．（17分） 已知二次函数 ． （1）求关于 的不等式 的解集； （2）若关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，求实数 的取值范围； （3）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）当 时解集为 c；当 时解集为 ；当 时解集为 ；（2）；（3） 【分析】（1）因式分解后比较两根 与 的大小；（2）数区间内的整数；（3）作差后转化为二次函数在闭区间上的最小值问题． 【解答】 （1），两根为 与 ． 当 ，即 时，解集为 ； 当 时，不等式为 ，解集为 ； 当 时，解集为 ． （2） 即 ，解集为两根之间的开区间． 若 ，解集为 ，其中的整数个数为 时，需 ，即 ； 若 ，解集为 ，其中的整数个数为 时，需 ，即 ，所以 ． 综上，． （3）不等式即 ， 整理得 ，需它对任意 成立． 当 时，取 得 ，不成立，故 ． 此时二次函数开口向上，对称轴 ；当 时该对称轴落在 内， 最小值为 ， 由 得 ，即 ， 解得 或 （舍去）， 故 ． 高一数学阶段检测（答案）　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $