错因诊断4.3 解三角形过程的书写讲义-2027届高三数学一轮复习

4.3·表达 —— 解三角形过程的书写

1 先定位

解三角形是过程分最密的一类题：定理写没写、代入对不对、两个解怎么取、角的范围交没交代，每一处都单独计分。答案对了而分没拿全，多半不是不会，是卷面上少了几句话。这一篇只处理第三关：你已经知道用哪条定理、往哪个方向算，现在要把过程写成别人能照着复现的样子。

读题时漏掉“钝角”两个字，是第一关的事；看着条件选不出用正弦还是余弦，是第二关的事。这两件都不在这一篇。

下面这张表把四个失分点和它们在卷面上的具体样子放在一起。勾中两条以上，这一篇就是给你写的。

表 1: 四个失分点与卷面上的表现

四条里，前两条管“怎么写清楚”，后两条管“怎么把多个结果收干净”。它们有一个共同点：答案可能全对，分却拿不全——因为你省掉的，正是阅卷人用来判断的那几行。

还有一层原因值得先说破：解三角形几乎没有“一步定生死”的地方。一道 12 分的解答题，通常拆成“写出定理”“代入求值”“判断取舍”“给出结论”四到五个得分点，每个点两三分。所以你不需要想出什么新东西，只要把该写的句子写全；丢分也因此是零散发生的——一道题扣三分，十道题扣三十分，而每一道题的卷面看起来都没什么毛病。

2 典型错误

三个典型错误，每个只错在一处，而且那一处都不在计算上。读的时候先盖住“错在哪一行”，自己找一遍。

典型错误一：b 不是 AB 的缩写

 

错在哪一行。第一行。 是 的对边， 的对边是 ，所以 ； 是 的对边，应该叫 。你把两条已知边的名字对调了。因为 、 正好是夹 的两条边，余弦定理里 互换不影响 ，所以 照样算对；到了正弦定理求 ， 必须是对边，这个错位立刻把 推到 。

你检查到这里多半会说：“边就两条，谁叫 谁叫 有什么关系？” 对 没有关系，对 有关系。

图 1: 交换两条已知边， 不变而 变了

图 1 里两个三角形的 都是 ，可 一个是 ，一个是 。错解的第一问因此看不出毛病，第二问才露出来。

错解的迷惑性。它的第一问是对的，而且这个“对”来得很扎实：余弦定理只认“夹角和两条邻边”，不认谁叫 谁叫 ，两条边交换之后 确实不变。你在这里得到一次“我做对了”的确认，第二问的错误就被这次确认掩护过去了。再加上 是个很整的数，看起来像是题目特意设计的答

案，很少有人回头怀疑它。阅卷时的结果是：第一问的分照给，第二问的分照扣，而卷面上没有任何一处痕迹，能提示你两条边的名字曾经被换过。

换个样子还会遇到。题目用 、、 给条件，解答却用 、、；题目用文字说“ 的对边”；用坐标求边长。形态各不相同，动作只有一个：先把三个“边—对角”等号写全，再抄数字。同一种错位也会出现在求 的时候： 是 的对边，也就是 ；把 记成 ，最后算出来的就是 。

典型错误二：sin 值只写了一个角

 

错在哪一行。最后一行。 在三角形内对应两个角： 与 。你只写了先想到的那个。判断依据就在你已经算出的三条边里： 最大，所以 最大；又 ，由余弦定理知 ， 为钝角，只能是 。

错解的迷惑性。 与 一模一样，用正弦定理反查根本查不出来；而 是更熟的那个，手会先写它。三条边都摆在卷面上，却没有人回头用它们判一次锐钝。这个错解每一步计算都对，唯一缺的是一句“ 是钝角”。

换个样子还会遇到。已知三边求角；已知两边及一边对角，求另一角；判断三角形是锐角、直角还是钝角。判据只有一条：最大边对应的角，用余弦定理算 的符号。