错因诊断3.2.3 导数（端点与取等条件）讲义-2027届高三数学一轮复习

3.2.3·思维 —— 端点与取等条件的失守

1 先定位

导数题里最不服气的一种失分，是这一种：定义域写了，导数求对了，该分的情况也分全了，可答案还是差一段、多一个值，或者干脆写成“任意实数”。这一篇管的就是这类失分——条件都摆上桌了，你把它们往哪个位置放，让等号取不取。

三关之中，这一篇只走第二关：条件解出来之后，往哪个位置去看。第一关是读题，第三关是写过程，都不在这里展开。

第二关会失守的位置只有三个：端点、内部、远端。下表是全书的五条元错因，本篇用到第三、第四、第五条。

表 1: 五问速查：元错因的判据与信号

③④⑤ 三行里勾中两条以上，这一篇就是为你写的。

2 典型错误

三个典型错误，每一个都只错在一处：有的少看一层台阶，有的多扔一个等号，有的多留一个值。读的时候先盖住“错在哪一行”，自己找一遍。

典型错误一：端点一阶为零，被当成“没有限制”

 

端点这一关过了，说明端点不构成限制，所以 取任意实数时 都成立，即 。

错在哪一行。最后一行。前两行做的都是对的事：算端点的函数值、算端点处的导数，这正是端点效应的标准动作。错在第三步的结论——把“端点这一关过了”当成了“题目条件成立”。

端点效应在这一题里只负责筛参数，它给出的永远是一个必要条件。更麻烦的是，这里第二层恰好等于 0：一个必要条件退化成了 0≥0 的恒等式，等于什么都没筛。这时必须往第三层走，否则所谓的“通过”是假的。

图 1: 三条曲线都过原点，只有 钻到轴下

图上看得很直接：三条曲线从同一个点 (0,0) 出发， 与 那两条都往上走，只有 的那条在原点右侧钻到了 轴下面。钻下去的原因可以手算： 时 ，而 ，多减的 0.0048 把函数值压成了负数。一个必要条件在端点处“通过”了，可是 只走开 0.1，条件就破了。

错解的迷惑性。端点效应的口诀本身没错——“端点函数值为 0，就看端点导数的符号”——它在这个错解里也确实被完整执行了： 算对了， 算对了，0≥0 也确实是“不违反”。正因为它每一步都踩在口诀上，学生很难怀疑自己。真正的缺口藏在口诀管不到的地方：口诀只告诉你“要找什么”，没告诉你“找到之后还要干什么”。必要条件筛出来的范围，必须补一段充分性证明，这一步在错解里整个消失了；而当第二层恰好取等号时，连筛选的作用都没了，剩下的只有心理上的踏实。