2.2.1 函数图象与代数讲义-2027届高三数学一轮复习

错因诊断 第 2 模块 · 函数 · 思维 2.2.1·思维 —— 图象与代数的双向翻译 1 先定位 函数题里有一类失分：算式一行没错，可你脑子里的那张图与卷面上的式子说的不是同一件事。图没取骨架，读图只读了半张，把对称读成了周期，把根的个数交给判别式去数。这一篇收的就是这四类翻译错位。 本篇只处理第二关：条件都解出来了，你知道它们该往哪走。条件本身有没有读全、最后的答案写没写成别人能复现的过程，另有两篇专门管，这里不展开。 下面这张表把四类错位与它们在卷面上的样子放在一起。勾中三条以上，这一篇就是给你写的。 表 1: 四类翻译错位与对应表现 序号 判据 错误表现 1 画图前，先取骨架了吗 □ 画 时把 轴下方那一段直接删掉，而不是翻上去 □ 画分段函数不先算分界点处的值，凭印象画成一条连着的线 2 图给了半张，你补全了吗 □ 题目只给了 的解析式，就只在 上作答 □ 把“在 [1,+∞) 上递增”当成“在 上递增” 3 对称还是周期，分得开吗 □ 见 就说周期是 2 □ 见一条对称轴加一个对称中心，把周期算成两倍距离 4 根数，你数的是交点吗 □ 用判别式数根的个数，不回图上数交点 □ 把 的情形也算进“四个根”里 四类里，前两类是“式与图对不上”，后两类是“图上的结论被代数式改写坏了”。落到具体题目上，一共是六个位置：三个典型错误各占一个，随堂纠错里还有三个。 2 典型错误 三个典型错误，每个只错在一处，而且那一处都不在计算上。读的时候先盖住“错在哪一行”，自己找一遍。 典型错误一：绝对值是翻折，不是删除 题目 已知函数 。若 ，且 ，求 的值。 典型错解 即 。 两边都带绝对值，去掉绝对值后得 ，所以 。 这与 矛盾，说明这样的 不存在。 错在哪一行。第二行。绝对值“去掉”时你只取了一支： 有两支， 与 。你写了第一支，而 恰恰把答案逼到了第二支上。 你的自我解释大概是：“两边都带绝对值，各自取正，取正之后自然相等。”问题在于，“取正”是把每个数各自变成非负数，不是把两个不同的数变成同一个数。 与 各自取绝对值都是 0.3，可它们本身并不相等。 当场正解 先画图，不要先解方程。 在 (0,1) 上为负、在 (1,+∞) 上为正， 处为 0。把 轴下方那一段沿 轴翻上去，得到 ：它在 (0,1) 上递减，在 (1,+∞) 上递增，最低点是 (1,0)。 的意思就是：水平线与这条曲线有两个交点，横坐标分别是 与 。两个交点一个在左支、一个在右支，所以 于是 ，，条件化成 故 。 回验：取 、，则 ，且 ，条件成立。这样的 有无数对。 两个结论差在哪里。错解说“不存在”，正解说“”。差别的根源不在计算，在画图：折点 (1,0) 一旦落在纸上，你就不会认为两条臂可以“同时为正”。 图 1: 翻折之后同高的两点，横坐标之积为 1 看图就明白：灰色虚线是原来的 ，绿色实线是翻折后的 。红色水平线同高的两个交点，左横坐标 、右横坐标 ，它们不是镜像关系，而是“一个取负值、一个取正值，绝对值相等”。 错解的迷惑性。它把绝对值处理成“保证非负”，这个动作在解 时完全正确。而当你随手取两个都大于 1 的数回去验算时， 与 本来就是正的，绝对值符号确实可以原样摘掉——摘掉之后式子与原来一模一样，你验一百遍也验不出问题。真正被漏掉的是 这一支，而这一支才是 与 能同时成立的地方。 换个样子还会遇到。绝对值套在哪一层，决定了图怎么变： · 套在函数值外面（）： 轴下方那一段翻上去； · 套在自变量上（）：只画 的一半，再沿 轴镜像过去； · 只套在其中一项上（ 与 是两条不同的曲线）：先看清绝对值管到哪儿为止。 、、 都属于这一族。画图之前先问一句“绝对值管的是谁”，图上就不会少一支。 典型错误二：一条对称轴加一个中心，周期是四倍 题目 已知 是定义在 上的奇函数，且对任意 都有 。若 ，求 的值。 典型错解 由 ，令 ，得 ，所以图象关于直线 对称。又 是奇函数，图象关于原点对称。 对称轴与对称中心相距 1，所以 的周期为 。 于是 。 错在哪一行。第二行。一条对称轴加一个对称中心，给出的是四倍距离；两条对称轴才是两倍。倍数记混了，答案就少一个负号。 而且这个倍数本来不该背：轴与中心各给你一句等式，把它们接起来，倍数会自己出来。轴给出 ，中心给出 ，于是 走到这里只是“每加 2 变一次号”，值并没有回来。再走一步： 回得来的是 4，不是 2。 当场正解 说明图象关于直线 对称，即 ；奇函数说明 。两式相接，得 所以 4 是 的一个周期（不必是最小正周期）。由 ， 答案 −2，错解给的是 2。两个数只差一个符号，正是那个被记错的倍数丢掉的。 图 2: 对称轴与对称中心相距 1，周期是 4 图上画的是满足条件的一个具体函数 ：它关于原点中心对称，在 处左右镜像，而整条曲线每隔 4 个单位重复一次。 与 的函数值都是 −2，两点相距 4——这个 4 是从图上量出来的，不是背出来的。 错解的迷惑性。2 这个数并不荒唐：如果题目给的是两条对称轴，比如 与 ，周期就是 2|3−1|=4，“两倍距离”在这个模板里是对的。学生记住的正是那个模板，模板本身没错，错在把“轴加中心”套进了“轴加轴”的公式。 换个样子还会遇到。同一个套路有四种常见外壳，倍数各不相同： · 两条对称轴 与 ：周期 ； · 两个对称中心 与 ：周期 ； · 一条对称轴加一个对称中心：周期 ； · 只给一个 或 ：周期 ，因为再走一步就回来了。 四种情形都不用背，动笔时把两句话写成等式、连走两步就行。 典型错误三： 数不出四个根 题目 若关于 的方程 恰有四个不同的实根，求 的取值范围。 典型错解 两边平方去掉绝对值，得 ，即 两个二次方程各要有两个不同实根，所以 解得 。 错在哪一行。第一行。 与“ 或 ”并不等价：后者允许 ，而 ， 时原方程一个根也没有。你写的这两个方程在 时确实有解，可那些解代回原式，左边是非负数、右边是负数，等式根本不成立。 同一个地方还有第二处疏忽： 时这两个方程其实是同一个方程，根只有两个，却被数成了四个。两处毛病同一个根源——你数的是“两个方程各有几个根”，而不是“图上到底有几个交点”。 你的自我解释大概是：“平方之后既没有根号也没有绝对值，怎么会不等价？”平方确实消掉了绝对值，但同时把 的正负也抹平了： 只记得 ，忘了原式的右边是 本身，不是 。 当场正解 不要动判别式，先画图。 ：顶点是 (1,−4)，与 轴交于 (−1,0) 与 (3,0)。把 轴下方那一段（）翻上去，就得到 ：它在 与 处取到 0，在 处取到 4，两侧向外一直升高。 问题于是变成：水平线 与这条曲线有几个交点。因为 是水平线，它只能整体上下平移： · ：水平线在 轴下方，与曲线没有交点； · ：正好压住两个尖点，两个交点； · ：穿过四支，四个交点； · ：与顶部相切，三个交点； · ：只穿过外侧两支，两个交点。 所以恰有四个实根当且仅当 图 3: 三条水平线分别给出两个、四个、三个交点 图上三个位置： 轴那条贴着两个尖点，只有两个交点； 那条穿过四支，四个交点； 那条正好擦过顶点，三个交点。错解给出的 (−4,4) 把 轴下方整段也算进去了，可那一段上水平线与曲线根本不相交。 错解的迷惑性。 与 这两个不等式本身完全正确，它们是“两个二次方程各有两个不同实根”的充要条件，算得也漂亮。错只错在前一句：这两个二次方程与原方程不等价。更值得注意的是，−4 这个边界不是随便来的，它正是顶点的纵坐标——说明你的注意力已经逼近了图象，只差最后真的把图画出来。 换个样子还会遇到。“转化时悄悄多了一个前提”的地方，高中阶段至少有四处： · 要求 ，否则无解； · 要求 ，否则无解； · 要求 ，否则分母为零； · 只能推出 或 ，不能只取一支。 共同点是：每一步变形都悄悄加了一个前提，而这个前提在图上就是“水平线被允许待的地方”。所以凡是要数根的个数，先画图，判别式放到最后。 3 错误解剖 三个典型错误看上去是三件事：一个少画一支，一个把倍数记错，一个多算一段区间。它们的共同点是同一个动作没做——条件读进来之后，没有翻译成图上的动作。 在逐条剖析之前，先把六个错点在题目上的位置摊开。与图象有关的题目，坑只埋在这几处：解析式里的绝对值、只给一半的解析式或图象、形如 的等式、以及“方程有几个根”这句话。 表 2: 六个错因在题目上的位置 题目位置 要盯住的词或符号 翻译错的后果 对照 解析式 绝对值套在哪一层 图少一支，解集丢一半 典型错误一 条件等式 自变量之和与差 对称当成周期，周期减半 典型错误二 方程有几个根 转化前后的等价性 增根算进去，区间多一段 典型错误三 只给半条轴 奇偶性、定义域 只在半条轴上作答 纠错一 单调性的范围 “在 [1,+∞) 上” 右支结论用到整条轴 纠错二 三段式条件 奇偶、周期、解析式 只解方程，不搬图 纠错三 这张表不要背。它的用法是：做完一道与图象有关的题，回头对着表扫一遍，看自己刚才有没有在这六处停下来过。没停过的地方，就是下次会栽的地方。 “看着像”不是“就是” 的两条臂都向上弯，看上去很像一条抛物线的两半，于是有人顺手给它安一条对称轴。但抛物线的对称轴来自“左右镜像”，而 的两条臂是 与 ，它们之间隔着一次翻折，不是镜像。 判据只有一条，可以直接算：把式子里的 换成 ，值不变，才是关于 对称。 换完是 ，与原式不等，所以它不关于 对称。凡是从图上“看出”的对称，都要用这一句验一遍才作数。 “和是定值”与“差是定值” 把两个式子并排看，区别一目了然： · ：两边的自变量相加得 ，与 无关。 在两边一加一减，这是对称。 · ：两边的自变量相减得 ，与 无关。 在两边同向平移，这是周期。 一个看和，一个看差。把这两个式子摆在一起，就不会再把 读成周期 2——它的两个自变量是加起来的，加出来是 2，那是对称轴的位置，不是周期的长度。 差这一支还有一个伴生坑： 与 只差一个短横，而这个短横是“周期”与“半周期反号”的全部分界。处理办法不是提醒自己“注意负号”，而是问一句：加两次回不回得来。回得来，周期就是两倍；回不来，就继续加。 加两次回来，周期是 4。 读图之前，先把图补全 题目只给半条轴上的式子，图就只剩半张。读图的第一步不是读数，是补全：用奇偶性把另一半写出来，用周期性把给的那一段搬遍整条轴，用对称性把一支翻到另一支。补齐了再看，读数才不会只读到一半。 补全之后，读图只问三件事： · 这一支管哪一段 。图上每一段都有自己负责的范围，右支的结论不能用到左支上。 · 端点取不取。实心点含、空心点不含；题干里 、严格不等号这类写法，也会把端点去掉。 · 这一支在升还是在降。升的那支， 变大函数值也变大；降的那支相反。 三件事问完，图上任意两点的函数值谁大谁小就能直接读出来，不必解方程。纠错二里 的判断，用的就是第三条：右支递增、左支递减，所以要把两个数都折到对称轴的同一侧，比较它们到对称轴的距离。 4 修复动作 不要记“画图很重要”。要记三个动作，每个动作都能在卷面上留下痕迹。 动作一：四步取骨架，按顺序写下来 做法。拿到一个解析式，先不描点，按固定顺序在草稿纸上写四行： 1. 定义域：哪些 不能取； 1. 对称性：奇函数、偶函数，或者关于哪条竖线对称； 1. 特殊点：与 轴、 轴的交点，端点值，最高点与最低点； 1. 走向：每一段上递增还是递减，两端各自往哪去。 四行写完，图就只剩连线了。 示范。拿 走一遍。 第一行：定义域 (0,+∞)，图只在 轴右边。 第二行：没有对称性。 换成 后 没有意义，连定义域都不对称。 第三行： 时 ，这是唯一的零点，也是最低点； 时 。 第四行： 时 ，翻折后由正无穷降回到 0； 时由 0 升向正无穷。 四行写完，“尖朝下的折点、两条臂都向上”这个形状是推出来的，不是想出来的。形状一旦定住， 就是图上直接看得见的事实。 动作二：见到等式先算“和”与“差” 做法。题目给出形如 的等式时，先算两个括号里的自变量：相加得常数，是对称；相减得常数，是周期。算完把结论写成一句完整的话——“图象关于直线 对称”或者“ 是 的一个周期”，不要只丢下一个字母。算完别急着收笔：如果题目只给了半条轴上的式子，先用奇偶性把另一半补出来，再去读值。 示范。三个等式各走一遍。 ： 是常数，所以图象关于直线 对称。 ： 是常数，所以 2 是 的一个周期。 ： 也是常数，但两边的值差一个负号，所以它不是周期。再走一步，，4 才是周期。 示范（续）。把前两句接起来，就是典型错误二的标准流程：轴给出 ，奇函数给出 ，两式一接，；再走一步，。全程没有背任何倍数，4 是自己走出来的。 动作三：把“几个根”改写成“水平线穿几次” 做法。凡遇到“方程有几个实根”，第一步不是判别式，是把方程整理成“一个确定的函数 ”的形状，右边只剩一个字母或一个只含参数的常数。然后画出左边那个函数的图，拿一把水平尺从下往上移，数交点。 示范。拿 走一遍。 左边已经是确定的函数，右边是水平线。画图：两个尖点在 (−1,0) 与 (3,0)，顶部在 (1,4)。 尺子从下往上移： 时一个交点也没有； 时碰到两个尖点； 时穿过四支； 时擦过顶部； 时只剩外侧两支。 四个根的情形只有一段：。全程没有用判别式，也就没有机会把 的增根算进来。 5 随堂纠错 三个小片段，只给错解的那一句。能一眼看出毛病，说明这三个错点你已经免疫；看不出来，回头再读一遍第二节。 纠错一：图只给了半张 题干。已知 是定义在 上的偶函数，当 时 。解不等式 。 错解片段。当 时，，即 ，解得 ；结合 得 。所以解集为 [0,3)。 错因指要。题目要解的是整条轴上的不等式，给你的却只有 这一半的解析式。另一半要用偶性补出来： 时 ，故 由 得 ，即 ，与 取交集得 。两段合并，解集为 (−3,3)。 错解的迷惑性。[0,3) 这一段本身完全正确，端点的开闭也处理对了： 时 应当含， 时 不含。它唯一的毛病是把定义域当成了 [0,+∞)。“定义在 上”与“偶函数”这两句话你读到了，却没让它们干活。 图 4: 把右半张沿 轴翻过去，才得到整条曲线 虚线那半支是补出来的，实线那半支是题目给的。两半在 轴上接成一条折线，从图上分不出哪一半是补的，才说明补对了；接缝处一旦错开，解集也会跟着缺一块。 纠错二：单调性只管它写明的那一段 题干。已知 的图象关于直线 对称，且 在 [1,+∞) 上单调递增。若 ，求 的取值范围。 错解片段。因为 在 [1,+∞) 上递增，所以 ，解得 。 错因指要。“在 [1,+∞) 上递增”只描述了右支。 完全可能落在 1 的左边，而那里是左支，左支递减：离对称轴越远，函数值越大。正确的做法是把两个数都放到对称轴的同一侧再比： 解得 。 错解的迷惑性。 把正确答案整段包含了进去，看起来“更宽”，不像漏解。可边界一对就露馅： 时 ，由对称性 ，不等式取不到等号，正确答案已经把 排除了，错解却把它收了进来。 纠错三：三个条件只用了一个 题干。已知 是定义在 上的奇函数，且 。当 时 。求 在区间 [−4,4] 上的零点个数。 错解片段。令 ，得 或 。所以 在 [−4,4] 上有 2 个零点。 错因指要。题目给了三句话，你只用了第三句。第二句（周期 4）的作用是把 [0,2] 上的图整段搬走，第一句（奇函数）的作用是把右半轴搬到左半轴：。零点一共五个： −4, −2, 0, 2, 4. “求零点”在这种题里从来不是“解方程”，而是“解一次方程，再把结论搬遍整个区间”。 错解的迷惑性。0 与 2 确实是零点，代进去等式成立，所以检查环节查不出问题。毛病不在“算错了”，而在“数少了”——而“数少了”这件事，只有把图画出来、看它重复了几份，才看得见。 图 5: 题给一段，其余三段由奇偶性与周期搬出 6 练习 题 1 已知函数 。若 且 ，求 的值。 题 2 已知 是定义在 上的奇函数，且对任意 都有 。若 ，求 的值。 题 3 若关于 的方程 恰有三个不同的实根，求 的值。 题 4 已知 是定义在 上的偶函数，当 时 。解不等式 。 题 5 已知 的图象关于直线 对称，且 在 [−1,+∞) 上单调递增。若 ，求 的取值范围。 题 6 已知 是定义在 上的奇函数，且对任意 都有 。当 时 。求 的值。 7 错因备忘卡 剪下来贴在错题本扉页。与图象有关的题，动笔前扫一遍这一页就够了。 函数·思维：图与式的六道关 1. 四步取骨架。定义域、对称性、特殊点、走向，四行写在纸上，再连线。 1. 绝对值看它管谁。管函数值就下方翻上；管自变量就右半翻左；只管一项就先看清界限。 1. 对称看和，周期看差。 说的是对称轴 ，不是周期 2。 1. 倍数不要背。一条对称轴加一个中心是四倍距离；拿不准就加两次，看值回不回来。 1. 半张图先补全。只给一侧的解析式或图象，先用奇偶性补出另一侧，再在整条轴上作答。 1. 根数交给水平尺。方程整理成“函数 ”，画出图，让水平线从下往上走，数交点。 附 参考答案与解析 练习 题 1答案：2。 在 上递增，所以 也递增。 的图由此可以直接读出： 时 ，图是 ，从 1 降到 0； 时图是 ，从 0 升向正无穷。最低点是 (0,0)。 若 同在 一侧，由 递减得 ，与 矛盾；同在 一侧同理。所以必有 ，两个函数值各自取在两条不同的支上： 题 2答案：−3。 由 得 ，即图象关于直线 对称；奇函数给出 。两式相接： 所以 8 是 的一个周期。由 ， 核对： 满足全部条件（对称轴 、奇函数、周期 8），它在 与 处取值相同。 题 3答案：。 ：顶点是 (2,−1)，与 轴交于 (1,0) 与 (3,0)。把 轴下方那一段翻上去， 在 与 处为 0，在 处为 1，两侧向外升高。 于是水平线 的交点个数依次是： 时 0 个， 时 2 个， 时 4 个， 时 3 个， 时 2 个。 恰有三个实根，故 。此时三个根为 其中 来自顶部相切，另外两个来自外侧两支。 图 6: 水平线抬到顶点时，恰好三个交点 题 4答案：。 先解 的一半：，即 ，得 。 再用偶性补出 的一半：，由 得 。 两段合并为 。注意 处 ，不满足严格小于，所以两个区间不能合并成 (−2,2)。 题 5答案：(−4,2)。 图象关于 对称，且在 [−1,+∞) 上递增，所以在 (−∞,−1] 上递减：离对称轴越远，函数值越大。 于是 等价于 到 −1 的距离小于 2 到 −1 的距离： 核对边界： 时 ， 时两边相等，都取不到严格小于，故两端都不含。 题 6答案：1。 由 得 ，即图象关于直线 对称；奇函数给出 。两式相接： 所以 4 是 的一个周期。 一个周期内的四个值（用 上的解析式与对称性算出）依次是 ，，，，四数之和为 0。 由 ，前 2024 项正好是 506 个完整周期，和为 0；剩下两项的和为 。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $