2.5 函数图象讲义-2027届高三数学一轮复习

第一编 · U2 函数与导数 2.5函数图象 高中数学一轮复习讲义 一、考情与考点定位 本节先回答三个问题：高考怎么考、必须记准什么、这一讲要练哪几类模型。 （一）高考怎么考 函数图象是高考小题的常驻考点，识图、作图、变换、图象应用四条线交替出现。近三年的图象题有一个共同倾向：题面不再只给一个“像不像”的直观判断，而是要求用定义域、奇偶性、特殊点与变化趋势互相印证，或者把变换、交点、参数范围绑在一起。2026 年五套卷中，天津卷两道进入本讲；全国Ⅱ卷第 13 题的指数换元已列在 2.6 的考情表内，本讲只在例 6 里接着用一次；其余各卷的函数题或考性质、或考导数，分别归到 2.3、2.9。表 1 收五道最能代表这四条线的题；2025 年北京卷第 4 题的伸缩变换既是例 3 的第一问，也收进表 1，2023 年全国甲卷第 10 题的平移后数交点放在检测题里接着用。 表 1: 高考函数图象考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 天津卷 4 由函数的部分图象选择解析式，考奇偶性、零点与极值点 2026 天津卷 6 由对数绝对值函数的图象比较三个函数值的大小 2025 北京卷 4 由指数函数图象的伸缩变换，判断横、纵坐标的变化 2025 天津卷 3 由含绝对值的分式函数图象选择解析式，考渐近线与奇偶性 2024 全国甲卷（理） 7 由解析式选择大致图象，考奇偶性、特殊点与变化趋势 从表 1 能读出三条命题线索。第一条是识图仍是主盘，但“只看一个点”已经不够用：2024 年全国甲卷第 7 题要同时用偶性、零点附近的正负与两端趋势；2026 年天津卷第 4 题要把零点、极值点与端点值一起对；2025 年天津卷第 3 题先由渐近线定断点，再由奇偶性排除两个选项。三条特征交叉，答案才唯一。 第二条是变换题常常和交点、不等式绑在一起：2025 年北京卷第 4 题单考伸缩，属于基础盘；把余弦曲线平移后再数它与一条直线的交点，变换写错一步，后面全错（这类题放在检测 B7 里接着练）。复习时不能只背“左加右减”，要把变换后的解析式完整写出来。 第三条是含参与比较大小都回到“看图定位置”：2026 年天津卷第 6 题把三个函数值放到对数绝对值函数的 V 形图象上，比较的是它们到对称轴的距离；含参交点则先把参数分离，让水平线扫过曲线，临界位置由图象读出。这两类题都不需要复杂计算，需要的是先把草图画对。 （二）必备知识清单 本讲知识点不多，难在每条都要落到一个具体动作上，所以清单按“动笔时做什么”来列。 表 2: 本讲必备知识清单 知识块 必须记准的内容 掌握要求 定义域与渐近线 分母不为零、偶次根号下非负、对数真数为正；分式函数在分母零点处有竖直渐近线，指数函数有一条水平渐近线 先定定义域，再谈图象；渐近线用虚线画 奇偶性与对称 满足 的图象关于 轴对称；满足 的图象关于原点对称；奇函数在 有定义时必有 会用奇偶性排除选项，也会只画一半再对称 特殊点与趋势 与两轴的交点、、、极值点； 趋向正负无穷时函数值的走向与增长速度 至少代两个特殊点；端点趋势要单独看 基本母图 一次、二次、反比例、指数、对数、幂函数与三角函数的图象及关键特征 能默画母图，再由母图作变换 四类变换 平移、伸缩、对称、翻折；平移“左加右减”只动 ，有系数时先提系数 会写变换后的解析式，也会由变换过程反推 图象应用 解不等式看上下位置，比较大小看单调性或到对称轴的距离，交点个数看水平线或动直线与曲线的交点 会分离参数、找临界位置、写清端点开闭 二、知识梳理：把定义变成可操作的动作 这一节把四块知识逐条翻译成动笔时的动作：先看什么、再画什么、最后检查什么。全讲统一按四步走——认模型、定关系、画图象、校验，其中“定关系”是把题面条件翻成解析式、方程或不等式，“校验”专管三件事：特殊点、端点开闭、临界值。 （一）识图：先看三眼，再下结论 给一个解析式判断图象，或者给一段图象判断解析式，第一动作都不是“凭感觉像不像”，而是按固定顺序看三眼。 第一眼看定义域与断点。分式函数先找分母的零点，那里有竖直渐近线；偶次根号要求被开方数非负，图象只出现在允许的横坐标上；对数函数要求真数为正，图象只在 轴右侧。定义域一错，后面所有特征都白看。 第二眼看奇偶性。把 代进去，若 ，图象关于 轴对称；若 ，图象关于原点对称。奇函数如果在 有定义，图象必过原点。这一眼通常能一次排除两个选项。 第三眼看特殊点与趋势。先算 、、 与零点，再看 趋向正负无穷时函数值是升、是降、还是趋近某条水平线。特殊点负责“排除”，趋势负责“确认”，两者不能互相代替。 识图三眼 第一眼：定义域与渐近线，先看“图能画在哪”。 第二眼：奇偶性，先看“图对不对称”。 第三眼：特殊点与两端趋势，先看“图经过哪、往哪走”。 三眼至少对上两条，才可以在选项里下结论。 （二）作图：先母图，再描点 作陌生函数的简图，顺序是“母图—变换—描点”。先把函数拆成基本初等函数的平移、伸缩或翻折，画出母图；再按变换规则移动；最后补三个关键点：与坐标轴的交点、极值点、端点。没有母图可拆时，才用描点法：定定义域，算五个左右的点，按单调性光滑连线。 作图必须标出四样东西：与 轴、 轴的交点，极值点，渐近线，定义域的端点。只画一条弯线而不标关键点，后面解不等式时根本读不出区间端点。 作图的四个必标 与两轴的交点：解 与算 。 极值点：图象由升转降、由降转升的位置。 渐近线：分母零点画竖直虚线，指数函数的水平线画水平虚线。 定义域端点：空心圈表示不取，实心点表示取到。 （三）变换：先提系数，再谈平移 四类基本变换要分清“动谁”。上下平移动的是函数值， 是把整条曲线向上或向下挪；左右平移动的是自变量， 是把曲线向右挪 。有系数时先提出来： 所以它是 向左平移 个单位，而不是向左平移 1 个单位。伸缩变换中， 把横坐标变为原来的 倍， 把纵坐标变为原来的 倍； 时还要关于 轴翻折， 时还要关于 轴翻折。两者的口诀不能混。 对称变换有三条： 关于 轴对称， 关于 轴对称， 关于原点对称。翻折变换有两条，区别在绝对值加在哪里： 是把 轴下方的部分翻到上方， 是保留 轴右侧的部分，再把它对称复制到左侧。前者改变的是函数值，后者改变的是自变量。 变换的三个高频错法 把 右移 写成 ：平移只动 ，正确写法是 。 先伸缩后平移时仍按原式里的 φ 平移：必须先提出系数，平移量是 。 把 与 混为一谈：前者左右翻折，后者上下翻折，图象完全不同。 （四）图象应用：三件事，三种读法 图象应用归到底只有三件事，读法各不相同。 解不等式，读的是“上下位置”。把不等式整理成 ，先求两条曲线的交点，再按交点分区间，看哪一段上 的图象在 的上方。端点能不能取，要回到原不等式单独验。 比较大小，读的是“同一曲线上的位置”。同一个函数在不同自变量处的函数值，用单调性比较；含绝对值的函数，先把自变量化到对称轴同一侧，再比较它们到对称轴的距离。距离越远，函数值越大或越小，由开口方向决定。 交点个数与参数范围，读的是“水平线或动直线扫过曲线”。把方程整理成 ，就变成水平线 与曲线 的交点问题；若参数在直线里，就让直线绕定点转动，找相切、过端点、过顶点这些临界位置。临界值取不取，单独代回去数交点。 图象应用的三句口诀 解不等式：先求交点，再分区间，最后验端点。 比大小：先化同侧，再看距离，最后定增减。 定参数：先分离，再画线，最后讨论临界。 三、题型模型分类：先认情境，再选工具 本讲按题面情境分六个模型：前两个管“式与图互相翻译”，中间两个管“图怎么变”，最后两个管“图拿来做什么”。模型认出，工具也就定了。 表 3: 函数图象问题的六个模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 给式辨图 给出解析式，四个图象里选一个 奇偶、特殊点、趋势 例 1 二 · 给图求式 给出一段图象，四个解析式里选一个 读交点、极值、渐近线 例 2 三 · 平移伸缩 给原函数与变换过程，问结果或交点 提系数，写解析式 例 3 四 · 对称翻折 式子里有绝对值，或问翻折后的图象 下翻上、右保左 例 4 五 · 图象应用 解不等式、比大小、读图求范围 作草图，看位置 例 5 六 · 含参交点 方程根的个数随参数变化 分离参数，找临界 例 6 （一）模型一：给式辨图 识别标志是题面给出解析式，选项是四幅图象。标准动作：先看定义域，再看奇偶性，最后代两个特殊点并看两端趋势。易错处是只凭一个点就下结论，或者把“偶函数”与“关于 轴对称”混为一谈。 （二）模型二：给图求式 识别标志是题面给出一段图象，选项是四个解析式。标准动作：先由图象的对称性定奇偶，再由渐近线定断点，最后由零点、极值点或某个已知函数值列方程。易错处是只在图象上找一个点代入，忽略了另一个选项也过这个点。 （三）模型三：平移伸缩 识别标志是题面出现“向左或向右平移”“横坐标伸长或缩短”“由某图象得到某图象”。标准动作：先把原式写成 的形式，再写变换后的解析式；若后面还问交点或不等式，继续按模型五、六处理。易错处是平移量没有除以横坐标系数，或者平移方向写反。 （四）模型四：对称翻折 识别标志是解析式里出现 或 ，或者题面直接给翻折后的图象问原函数。标准动作：先判断绝对值加在函数值上还是自变量上，再按“下翻上”或“右保左”分段作图。易错处是把两种翻折混用，或者翻折后忘记保留原来的定义域。 （五）模型五：图象应用 识别标志是解不等式、比较几个函数值的大小，或者由图象读参数范围。标准动作：把式子整理成两条曲线的上下关系，或同一曲线上的两点，先画草图，再按交点分区、按单调性比较。易错处是不画图直接代端点，或者解集端点开闭写错。 （六）模型六：含参交点 识别标志是方程或零点个数随参数变化。标准动作：把参数分离到一边，写成 ，再作水平线 扫过曲线，找相切、过顶点、过端点这些临界位置。易错处是把“相切”当成两个交点，或者漏掉参数取临界值时交点个数的变化。 四、例题精讲 六道例题一一对应上面六个模型，每题统一按四步展开：认模型 → 定关系 → 画图象 → 校验。第三步的“画图象”不是画得漂亮，而是把题面条件变成能读的位置关系；第四步专管三件事——特殊点回代、端点开闭、临界值取舍。 （一）模型一：给式辨图 本模型先用奇偶性砍掉一半选项，再用特殊点与趋势确认。 例题 1（模型一·偶性与趋势） 函数 在区间 [−2.8, 2.8] 的图象大致为（） 图 1: 例题 1 的四个候选图象 第 1 步 · 认模型：题面给解析式、四个图象选一个——模型一。先定定义域，再用奇偶性砍选项。 第 2 步 · 定关系：函数对全体实数有定义。把 代入： 故 ，是偶函数，图象关于 轴对称。再看特殊点： 当 很接近 0 时，，，故 ，即原点附近图象在 轴上方。 第 3 步 · 画图象：由偶性排除 A、C（它们关于原点对称）；D 虽然也是偶函数，但它在原点附近为负、在 附近为负，与 、 矛盾。B 的图象在 0 处为 0、两侧先升后降、在 处落到 轴下方，与上面的符号表一致。 第 4 步 · 校验：把 与 代回：、，B 图在这两处的位置正确；再检查 与关于 轴对称，B 图也满足。 故图象大致为 B。 识图不能只靠一个点 一个特殊点只能排除“不过这个点”的选项，不能确认“就是它”。 本题若只看 ，四个选项都过原点；若只看 ，A、C 也能找到合适的点。 必须把奇偶性、两个特殊点与两端趋势一起用。 （二）模型二：给图求式 本模型先由对称性定奇偶，再由函数值与零点排除。 例题 2（模型二·奇偶与零点） 函数 的部分图象如图 2 所示，则 的解析式可能为（） A. B. C. D. 图 2: 函数 的部分图象 第 1 步 · 认模型：题面给图象、四个解析式选一个——模型二。先看对称性，再代特殊点。 第 2 步 · 定关系：图象关于原点对称，且在原点处有定义、函数值为 0，故 是奇函数。D 中 是偶函数，排除。图象还给出 、。代入剩下三个： A 中 ，不等于 −1，排除； B 中 ，也不等于 −1，排除； C 中 ，，与图象一致。 第 3 步 · 画图象：再核对零点。C 中令 ，即 。除 外，还有 两个零点；图中的零点正好在 附近。图象在 处取正值最大、在 处取负值最小，C 的峰谷位置也与之一致。 第 4 步 · 校验：把 、、 三个点代回 C，分别为 −1、1、0，与图上的三个位置完全对上；再用 检查，C 确实是奇函数。 故 ，选 C。 （三）模型三：平移伸缩 本模型先把目标式写成 ，再读平移量与伸缩倍数。 例题 3（模型三·两次变换） （1）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有点的（） A. 横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） C. 纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的 3 倍（横坐标不变） （2）把函数 的图象经过怎样的变换，可以得到 的图象？ 第 1 步 · 认模型：题面给原函数与目标函数，问变换过程——模型三。先把目标式写成 的形式，再读平移量与伸缩倍数。 第 2 步 · 定关系：（1）因为 所以只需把 中的 换成 ，即横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变。 （2）先提出系数： 所以目标函数是由 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位得到的。 第 3 步 · 画图象：（1）横坐标压缩为原来的一半，图象在横向上被“挤紧”，原来在 处的点移到 处。（2）对数曲线的竖直渐近线由 移到 ，整条曲线向右挪 2 个单位、向上挪 1 个单位。 第 4 步 · 校验：（1）取 上的点 (0,1) 与 (1,3)，压缩后对应 (0,1) 与 ；而 在 处正好等于 3 ✓。 （2）取 上的点 (1,0) 与 (2,1)，按“右 2、上 1”移动后为 (3,1) 与 (4,2)；代回目标式：，，完全一致 ✓。目标式的定义域为 ，与渐近线 也对得上。 故（1）选 A；（2）向右平移 2 个单位、向上平移 1 个单位。 变换的两个坎：系数与顺序 是把横坐标压缩为原来的一半，不是把纵坐标乘 3；后者得到的是 。 必须先提出 2，写成 ，才能读出“右 2、上 1”。 先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量不同：先伸缩时，平移量要除以横坐标系数。 （四）模型四：对称翻折 本模型先把绝对值翻折成两段，再由图象读根的个数。 例题 4（模型四·两种翻折） 已知函数 。 （1）在同一坐标系中作出 与 的简图； （2）若方程 恰有四个不相等的实根，求 的取值范围； （3）若方程 恰有四个不相等的实根，求 的取值范围。 图 3: 函数 与 的简图 第 1 步 · 认模型：式子里出现 与 两种翻折——模型四。先把 配方，再分别按“下翻上”和“右保左”作图。 第 2 步 · 定关系：，零点为 −1 与 3，顶点为 (1,−4)。于是 是把 轴下方的谷底翻到上方，得到以 为对称轴、顶点为 (1,4) 的 W 形； 是保留 的部分，再关于 轴对称复制到左侧，得到以 轴为对称轴、在 处取最小值 −4 的图形。 第 3 步 · 画图象：（1）两图如图 3 所示。 （2） 的根的个数，就是水平线 与 W 形图象的交点个数。由图可见： 无交点； 有两个交点（）； 有四个交点； 有三个交点（谷底翻上后的顶点只算一个）； 有两个交点。故 。 （3） 的根的个数，先令 ，则 。要在 上有四个根，必须让 有两个不同的正根 ，每个 再对应 两个根。由韦达定理，两根之和为 2>0，两根之积为 ，故只需 即 且 。故 。 第 4 步 · 校验：取 ， 即 ，两根为 与 1.71，都是正根，对应四个 ，符合要求。再看端点： 时 是重根，只对应 两个根； 时两根为 3 与 −1，只有一个正根，也只对应两个 。两端都不取。 故（2）；（3）。 两种翻折，翻的不是同一处 翻的是函数值：把 轴下方的部分翻上去，零点不动，谷底变峰顶。 翻的是自变量：只保留 轴右侧，再对称复制到左侧，右侧的形状一点不改。 判断翻折后的根的个数，先看翻折后的水平线与图象交几次；不要拿原函数的根数直接乘二。 （五）模型五：图象应用 本模型把不等式翻译成图象的上下位置，端点单独验。 例题 5（模型五·读图解不等式） 已知定义在 [−4,4] 上的奇函数 ，其图象如图 4 所示，其中右半支经过点 (1,2)、(3,0)、(4,−2)。 （1）解不等式 ； （2）解不等式 。 图 4: 定义在闭区间上的奇函数图象 第 1 步 · 认模型：题面给一个奇函数的图象，要求解不等式——模型五。先由奇性把左半支与右半支对上，再按上下位置读区间。 第 2 步 · 定关系：右半支的三段折线依次为： 时 ； 时 ； 时 。由奇函数性质 ，左半支的关键点为 (−4,2)、(−3,0)、(−1,−2)、(0,0)，图象如图 4。 第 3 步 · 画图象：（1）先看右半支： 在 上由 得 ，在 上由 得 ，故右半支解为 。再看左半支： 时 ，要 ，就要 。令 ，右半支上 只在 上出现，故 ，即 。合并得 （2） 分两类。当 时，要 ，右半支上只有 ；当 时，要 ，左半支上只有 。故 第 4 步 · 校验：取 ，，满足 ，且 ；取 ，，满足 ；取 ，，。端点 与 处 ，不满足严格小于，故这两点不取； 与 处乘积为负，要取。 故（1）解集为 ；（2）解集为 。 （六）模型六：含参交点 本模型先把参数分离，再让水平线扫过曲线。 例题 6（模型六·换元后定参数） 若函数 有两个零点，则 的取值范围是。 图 5: 函数 的图象 第 1 步 · 认模型：零点个数随参数 变化，且式子是指数结构——模型六。先把 分离出来，再换元。 第 2 步 · 定关系： 等价于 令 ，则 ，故 第 3 步 · 画图象：由基本不等式， 等号在 即 时成立。由于 随 递增，原函数的图象也在 处取最小值 4。函数 在 (0,2) 上递减、在 (2,+∞) 上递增，故它的图象是一条先降后升的曲线，最低点对应到原坐标系为 (1,4)。水平线 与这条曲线有两个交点，当且仅当 。 第 4 步 · 校验： 时只有 一个解，对应 ，只有一个零点； 时水平线在最低点下方，无交点； 时方程 化为 ，两根之积为 4>0、两根之和为 ，故有两个正根。又 ，结合 在 (0,2) 上递减、在 (2,+∞) 上递增，两个根分别落在 (0,2) 与 (2,+∞)，各对应一个 。端点 不取。 故 的取值范围是 (4,+∞)。 五、易错点辨析 下面六个错误都来自本讲真实的失分位置，按“识图作图”与“变换应用”分成两组。每组三行，按“错在哪、为什么错、怎么改”三列对照。 表 4: 识图与作图中的三个高频错误 错误表现 错因 正确做法 只代一个点就选图 特殊点只能排除，不能确认；多个选项可能都过该点 至少用三条特征交叉：定义域、奇偶性、两个特殊点与两端趋势 把两种翻折混用 绝对值加在自变量上还是函数值上，翻折方向完全不同 先看绝对值的位置： 右保左， 下翻上 作图不标关键点 后面解不等式时读不出区间端点 四个必标：两轴交点、极值点、渐近线、定义域端点 动笔前的三句自查 这个函数的定义域是什么？断点与渐近线画了吗？ 奇偶性判断了吗？能不能只画一半？ 特殊点代了几个？两端趋势看了吗？ 表 5: 变换与图象应用中的三个高频错误 错误表现 错因 正确做法 平移量漏除系数 只把 φ 从括号里直接减掉，没有先提系数 先写成 ，再按 平移 解不等式漏端点 只按图象读区间，没有回代原不等式 交点处单独代入，严格不等号去掉端点 相切当成两交点 水平线或动直线在临界位置只碰一次 临界值单独讨论，代回数交点个数 六、当堂检测 十道题按三个梯度排：A 组四题练基本变换与作图，B 组四题把识图、比较大小、交点个数与翻折叠进来，C 组两题练含参交点的临界分析。 （一）A 组：基础过关 这一组四题要求先把解析式写对，再画草图或读关键点；每题写完都要回看定义域与端点。 A1 已知函数 的图象向右平移 2 个单位长度后得到函数 的图象，则 （） A. B. C. D. A2 作出函数 的图象，并写出它的单调区间与最小值。 A3 把函数 的图象向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到函数 的图象。写出 的解析式、值域与渐近线。 A4 已知函数 ，作出它的图象，并写出单调区间与最小值。 （二）B 组：能力提升 这一组四题分别练给图求式、图象比较大小、平移后数交点与翻折后的对称性。 B5 已知函数 的部分图象如图 6 所示，则 的解析式可能为（） A. B. C. D. 图 6: 某个函数的部分图象 B6 已知函数 ，若 ，，，则 的大小关系为（） A. B. C. D. B7 函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长度得到，则 的图象与直线 的交点个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B8 已知函数 。若 ，且 ，求 的值。 （三）C 组：压轴突破 两道题共用同一条 W 形曲线与一条过定点的动直线，分别练“恰有三个交点”与“有四个交点”的临界分析。 C9 已知函数 ，直线 。若 与 的图象恰有三个不同的交点，求 的值。 C10 已知函数 ，直线 。若 与 的图象有四个不同的交点，求 的取值范围。 七、参考答案与提示 下面逐题给出答案与关键步骤的提示。凡图象题，都先写“看哪三条特征”；凡含参题，都先分离参数再数交点；凡解不等式，都单独交代端点开闭。 （一）A 组 A1答案：A。 提示：图象向右平移 2 个单位，是把 换成 ，故 。令 ，则 ，，即 。易错点：把右移写成 ，得到 ；或者只把 +2 加在函数值上，写成 。 A2答案：图象是以 为零点、以 (0,4) 为顶点的 W 形；单调递增区间为 [−2,0] 与 [2,+∞)，单调递减区间为 (−∞,−2] 与 [0,2]；最小值为 0。 提示：先画 ，它在 (−2,2) 内为负，把这一段翻到 轴上方，得到 W 形。易错点：翻折后忘记把原谷底 (0,−4) 变成峰顶 (0,4)，或者把单调区间写成原函数的单调区间。 A3答案：；值域为 (−2,+∞)；渐近线为 。 提示：右移 1 个单位把 换成 ，下移 2 个单位在整体减 2，故 。当 趋向负无穷时 趋向 0，故值域为 (−2,+∞)，水平渐近线为 。易错点：把右移写成 ，或者把渐近线写成 。 A4答案：图象关于 轴对称，在 处取最小值 −1；单调递增区间为 [−1,0] 与 [1,+∞)，单调递减区间为 (−∞,−1] 与 [0,1]；最小值为 −1。 提示：当 时 ，再关于 轴对称复制到左侧。易错点：只画右半支，或者把最小值写成 0（误以为顶点在原点）。 （二）B 组 B5答案：D。 提示：图象关于 轴对称，是偶函数，排除 A、B（二者都是奇函数）。图象在 处有竖直渐近线，且在 (−1,1) 内函数值为负、在 时为正。C 在 (−1,1) 内为正、外侧为负，符号正好相反；D 的符号与图象一致。易错点：只看 就选 C，忽略 (−1,1) 内为负这一条。 B6答案：A。 提示：先算前两个值：，。再算 ，故 。也可以画 的 V 形图： 与 都在 右侧，离 1 越远函数值越大； 在左侧，函数值为 ，比前两者都大。易错点：把 的绝对值误算成 的一半，或者只比较三个自变量的大小。 B7答案：C。 提示：平移后 ，交点方程为 ，由值域得 。按 的单调段分段，逐段检查端点符号，三个交点分别落在 、、 内。易错点：平移时把 直接加在初相上，得到 ，后面全错；或忘记先由值域把 限制在 [−1,3]，到区间外去找交点。 B8答案：0。 提示：由 得 。因为 ，且对数函数在 (0,+∞) 上单调递增，故两个对数互为相反数： 即 ，展开得 。易错点：忽略 、 的定义域，或者把“互为相反数”写成“相等”，得到 。 （三）C 组 C9答案：。 提示：直线 恒过 (0,2)，而 (0,2) 在 的曲线下方（因为 2<4）。三个交点只能出现在直线经过图象的“角点” 时：若经过 (2,0)，则 ，得 ；若经过 (−2,0)，则 ，得 。相切不可能，因为两段抛物线对应的二次方程判别式分别为 与 ，恒大于 0。代回验证： 时三个交点为 ； 时三个交点为 。易错点：只找到一个 ，漏掉另一侧的角点。 C10答案：。 提示：仍按两段拆。当 时，，方程 即 ，两根之积为 −6，一正一负；当 时，，方程 即 ，两根之积为 −2，也一正一负。要有四个不同交点，需外侧方程的两根都落在 、内侧方程的两根都落在 。由 是三个交点的临界， 时四个交点都在； 时外侧方程在 (−2,2) 内的那个根不属于外侧分段，内侧方程在 的那个根也不属于内侧分段，故只剩两个交点。故 。易错点：只算判别式，忘记检查根是否落在各自的分段内。 学科网（北京）股份有限公司 $