第04讲 函数图象与零点 讲义-2027届高三数学一轮复习

高中数学·一轮复习讲义系列 第04讲 函数图象与零点（复习讲义）（解析版） 2026-2027学年高三一轮复习数学 6 大题型 · 30 题 · 11 道典例 · 7 道变式 · 12 道分层 目　录 01　考情解码·命题预警 2 02　知识梳理 3 03　题型精讲 6 题型一　函数图象的识别与变换（基础） 6 题型二　零点存在定理与零点所在区间（基础） 8 题型三　二分法求近似解（常考） 10 题型四　由图象交点求零点个数与参数范围（重点） 11 题型五　分段函数与复合方程的零点（难点） 13 题型六　零点和、根的分布与综合证明（难点） 16 04　易错核对 21 05　分层练习 22 使用说明 • 本讲义共 30 题：03 题型精讲 18 题（11 道典例 + 7 道变式），05 分层练习 12 题（A、B、C 各 4 题）；03 与 05 不重复。 • 题号为全讲统一编号，03 内按题型顺序排列；同一题型内先典例后变式。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案、分析与详解；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议顺序：02 知识梳理 → 03 题型精讲（先典例、后变式）→ 04 易错核对 → 05 分层练习。 01　考情解码·命题预警 本讲复习定位：函数图象是“数形结合”的入口，函数的零点是“函数与方程”的核心。选填题重在图象变换、零点存在定理、零点个数与参数范围；解答题重在零点个数求参、零点和与对称性、恒成立。复习时先画图，再定临界，最后写范围，端点开闭单独核对。 考查要求 方法与条件 对应题号 会识别函数图象，掌握平移、对称、伸缩、翻折 图象变换法则、特殊点与渐近线、排除法 第01、02、03、19题 理解零点概念，会用零点存在定理判断零点区间 连续、端点异号、单调性、定义域 第04、05、06、20、21、22、23、24题 会用二分法求近似解 区间长度、中点、精度、变号零点 第07、08题 会用图象交点求零点个数与参数范围 分离参数、水平线、临界位置、端点开闭 第09、10、11、25、27题 会处理分段函数与复合方程的零点 换元、分层讨论、根的分布、值域 第12、13、14、26题 会求零点和、证明零点存在、处理恒成立 对称性、周期性、单调性、分离参数 第15、16、17、18、28、29、30题 命题预警 • 零点是实数，不是点 ；答案写“零点为 ”，不要写“”。 • 零点存在定理必须写“图象连续不断”与“端点异号”，只能得“至少一个”；唯一性要再加单调。 • 图象变换“左加右减”是对 本身加减；先伸缩后平移时，平移量要除以 。 • 二分法 次后区间长度为 ，精度是区间长度，不是次数。 • 分离参数后画水平线，临界值处交点个数会变；端点取不取要单独核对。 复习建议：先过图象变换与零点定义，再练零点存在定理和二分法；随后用“分离参数 水平线”统一处理零点个数与参数范围；最后集中突破分段函数、复合方程和零点和。每道题先写定义域，再画图，最后写范围；含参数的题把临界值逐个代入检验。 02　知识梳理 按“函数图象的变换—函数的零点与零点存在定理—由图象交点求零点个数与参数范围—分段函数与复合方程的零点—零点和与对称性—零点综合与恒成立”六块整理，公式后注明使用条件；带“•”的条目是 03 题型直接调用的结论。 一、函数图象的变换 • 平移： 的图象向左平移 （）个单位得 ，向右平移 个单位得 ；向上、向下平移 个单位分别得 、。口诀“左加右减、上加下减”，左右平移是对 本身加减。 • 对称： 与 的图象关于 轴对称； 关于 轴对称； 关于原点对称。 • 伸缩：（）由 的图象横坐标变为原来的 得到；（）纵坐标变为原来的 倍。 • 翻折： 的图象由 的图象把 轴下方部分翻折到上方得到； 的图象保留 部分，再关于 轴对称。 • 变换顺序：先伸缩后平移与先平移后伸缩的结果不同。把 写成 ，可知它由 左移 得到，平移量是 而不是 。 • 识别图象：先看定义域、奇偶性、单调性、渐近线、极值，再看与坐标轴的交点和端点，最后用排除法；含参数的图象题先找“临界位置”。 二、函数的零点与零点存在定理 • 零点定义：使 的实数 叫做函数 的零点。零点是实数，不是点 ；函数零点、方程 的实根、图象与 轴交点的横坐标三者等价。 • 零点存在定理：若 在闭区间 上的图象连续不断，且 ，则存在 ，使 。定理只保证“至少一个”零点，不能判断零点的个数。 • 唯一性：若 在 上连续、单调，且 ，则 在 内有且只有一个零点。 • 判断零点所在区间：先写定义域，判断连续性与单调性，再算端点值找异号；对数式常用 、、 等特殊值。 • 二分法：对连续且变号的零点，反复取中点把区间减半； 次后区间长度为 ，要求小于 时取满足 的最小正整数 。不变号零点不能用二分法。 • 易错：不写“连续”；忽略定义域；把“存在”当成“唯一”；端点值为 时端点本身就是零点，不能再算作区间内零点。 三、由图象交点求零点个数与参数范围 • 转化：方程 的实根个数等于直线 与 图象的交点个数；方程 的实根个数等于两条曲线交点的个数。 • 分离参数：把含参方程化成 或 ，先画不含参函数 的图象，再平移水平线找交点个数的变化。 • 临界位置：图象的极值点、端点、渐近线、相切位置；参数经过临界值时交点个数改变，按“临界值”把参数范围分段。 • 分段函数：逐段画图，注意端点空心、实心；水平线与各段图象的交点逐段数，分段点单独检查，避免重复或漏算。 • 二次方程根的分布：方程在 上有两个不等实根，需 、对称轴在 内、 与 同号（开口向上时为正）；只有一个实根时用 或端点为零单独讨论。 • 复合方程： 先解外层 得 的取值，再对每个 解 ；原方程根的个数等于各层根数之和。 四、分段函数与复合方程的零点 • 换元分层：令 ，把 化为 ；先求 的所有可能值，再对每个 解 ，最后合并解集。 • 定义域：每一层都要写新元的范围； 必须落在 的值域内，否则 无解。 • 分段函数：按分段区间分别解方程，解出的根必须落在该段内；分段点单独代入检验，避免重复计数或漏算。 • 绝对值：（）等价于 ； 等价于 ；含 时按 与 去绝对值。 • 根的个数：先由外层方程求出 的个数，再分别数每个 对应的 的根的个数，最后相加；不能把外层方程的根数直接当成原方程的根数。 • 易错：换元后不回代；解出的 不在 的值域内；分段点重复计数；把“零点”写成坐标点。 五、零点和与对称性 • 轴对称：若 的图象关于直线 对称，则 ；若 是 的一对对称根，则 。 • 中心对称：若图象关于点 对称，则 ；一对对称根的和仍为 ，纵坐标之和对求横坐标之和没有影响。 • 奇偶性：奇函数图象关于原点对称， 的根成对相反；偶函数图象关于 轴对称，根也成对相反。 • 周期性：若 ，则每个周期内 的根分布相同；求所有根之和时，先求一个周期内的和，再按周期平移累加。 • 配对求和：先画图判断根的个数与对称关系，再把根两两配对求和；不要逐个解方程（很多根解不出）。 • 注意：对称轴、对称中心要先从条件中求出；含参数的对称性题，先用特殊点定参数，再回代验证。 六、零点综合与恒成立 • 零点个数求参：分离参数后求函数的值域或最值，注意端点能否取到；参数在二次项系数上时，先讨论 与 。 • 恒成立：，；。 • 存在性：，；。量词不同，转化方向相反。 • 双变量：，，；注意量词顺序，不能把“任意”与“存在”互换。 • 零点存在证明：写清“连续”“端点异号”“单调（唯一）”三句话；证明唯一性时不能只靠图象。 • 易错：只算判别式不检验根的范围；恒成立与存在混用；开区间端点取不到仍代入；换元后未写新元范围。 03　题型精讲 按解法分 6 个题型。每个题型先给方法条件，再给 1—2 道【典例】完整展示过程，并配 1—2 道【变式】当堂训练；解析版给出答案、分析与详解。 题型一　函数图象的识别与变换（共3题）　基础 【方法条件】 • 平移： 是左移 个单位， 是右移 个单位；上下平移直接在函数值上加、减。 • 对称：、、 的图象分别与 的图象关于 轴、 轴、原点对称。 • 伸缩：（）的横坐标变为原来的 ；（）的纵坐标变为原来的 倍。 • 翻折： 把 轴下方部分翻到上方； 保留 部分，再关于 轴对称。 • 识别图象先看定义域、奇偶性、单调性、渐近线和特殊点，再用排除法；变换题先找“基准点”和“基准线”，按同一顺序完成伸缩与平移。 【典例1】 01．（单选题） （25-26高三上·广东佛山·阶段检测） 若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图像变换可得解. 【详解】由图像可知图像上点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的两倍得到函数的图像， 所以. 故选：A 【典例2】 02．（解答题） （23-24高三上·广东湛江·阶段检测） 已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移1个单位长度，得到的图象，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象经过点代入即可求解， （2）根据平移得，进而结合基本不等式即可求解最值. 【详解】（1）由图可知， 解得，所以 （2）依题意可得， 所以. 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最大值为. 【变式1】 03．（单选题） （26-27高三上·山东德州·阶段检测） 函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】设函数和. 函数的零点个数就是函数和的交点个数. 在同一坐标系内作出函数和的图象，如图， 可知两函数的图象有4个交点，故函数有4个零点. 题型二　零点存在定理与零点所在区间（共3题）　基础 【方法条件】 • 零点存在定理的三个条件：闭区间上图象连续不断、端点函数值异号；结论是“至少存在一个”零点。 • 判断零点所在区间：先写定义域，判断连续性与单调性，再算端点值找异号；单调函数最多一个零点，端点异号即唯一。 • 含对数、指数的题，比较端点值与 时常用 、、 等特殊值。 • 表格型：相邻两个自变量对应的函数值异号，就说明该区间内至少有一个零点；只能数异号区间的个数，不能断定零点的准确个数。 • 易错：不写“连续”；忽略定义域；把“存在”当成“唯一”；端点值为 时端点本身就是零点。 【典例1】 04．（单选题） （26-27高三上·江西南昌·阶段检测） 已知函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】易知的定义域为， 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以存在使得，即B正确. 【典例2】 05．（单选题） （2026·重庆永川·模拟预测） 函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， ， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 【变式1】 06．（单选题） （26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测） 若函数的零点所在区间为，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为函数与函数均为增函数, 所以函数为增函数, 因为,, 所以函数的零点所在区间为, 所以. 题型三　二分法求近似解（共2题）　常考 【方法条件】 • 适用条件：函数图象连续不断，且零点为变号零点；不变号零点（如 的零点）不能用二分法。 • 区间长度：初始长度为 ，每二分一次长度减半， 次后长度为 。 • 操作：取中点 ，算 ；若 ， 就是零点；否则保留与 异号的那一半区间。 • 精度：要求区间长度小于 时，解 ，取满足不等式的最小正整数 。 • 易错：把区间长度当成精度；次数算成 ；中点算错；对不变号零点使用二分法。 【典例】 07．（填空题） （26-27高三上·浙江·开学考试） 已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 【答案】 【分析】根据二分法的含义知，每次二分都会将原有的区间长度缩为可得至少需要进行多少次函数值的计算. 【详解】每进行一次函数值计算，区间长度变为原来的，进行次计算后，区间长度为， 则， 得，得， 得， 则要进行二分操作的次数为． 【变式1】 08．（填空题） （23-24高三上·甘肃·阶段检测） 已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则________． 【答案】/ 【分析】根据二分法的定义可得出结论. 【详解】因为，， 取的中点，则， 所以，函数的零点在区间内， 故为区间的中点值，因此，. 故答案为：. 题型四　由图象交点求零点个数与参数范围（共3题）　重点 【方法条件】 • 方程 的实根个数等于直线 与 图象的交点个数。 • 分离参数：把含参方程化成 ，先画不含参函数 的图象，再平移水平线找交点个数的变化。 • 临界位置：图象的极值点、端点、渐近线、相切位置；参数经过临界值时，交点个数发生改变，按区间分段写范围。 • 分段函数逐段画图，注意端点空心、实心；水平线与各段图象的交点逐段数，分段点单独检查。 • 二次方程根的分布：在 上有两个不等实根，需 、对称轴在 内、 与 同号；只有一个实根时用 或端点为零单独讨论。 【典例1】 09．（单选题） （26-27高三上·陕西西安·阶段检测） 已知函数，若方程有三个实数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定方程在上有一个解，从而得在上必有两个不同解，即必有两个非正数解，由二次函数根的分布情况列出不等式组求解即可. 【详解】当时，,单调递增且值域为， 所以此时直线与函数的图象始终有一个交点， 即方程在上有一个解； 由题意可得在上必有两个不同解， 即在上必有两个非正数解， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 【典例2】 10．（单选题） （26-27高三上·河北衡水·阶段检测） 设．若方程恰有3个不同的实数解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由的图象与直线有三个交点，作出图象，数形结合讨论求解即可. 【详解】令，则，作出函数的图象， 由题意可知的图象与直线有三个交点， 由图可知，当时，的图象与直线一定有一个交点， 当时，的图象与直线一定有一个交点， 所以的图象与直线在区间上有且仅有一个交点， 即在区间上有两相等实数根， 所以，得. 【变式1】 11．（填空题） （2026·上海嘉定·二模） 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【详解】由，得或， 由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根， 则，解得且， 所以实数a的取值范围是. 题型五　分段函数与复合方程的零点（共3题）　难点 【方法条件】 • 换元分层：令 ，把 化为 ；先求 的所有可能值，再对每个 解 。 • 每一层都要写定义域： 必须落在 的值域内，否则 无解。 • 分段函数按段解方程，解出的根必须落在该段内；分段点单独代入检验，避免重复计数或漏算。 • 绝对值方程：（）等价于 ； 按 与 去绝对值。 • 复合方程根的个数：先由外层方程求出 的个数，再分别数每个 对应的 的根的个数，最后相加。 【典例1】 12．（填空题） （24-25高三上·安徽亳州·期末） 已知函数，若关于的方程有唯一解，则______. 【答案】1 【分析】根据判别式，结合零点为0即可求解. 【详解】由于关于的方程有唯一解， 且有唯一的实数根，故， 故又零点为，故， 因此， 故， 故答案为：1 【典例2】 13．（解答题） （26-27高三上·甘肃·阶段检测） 已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若函数仅有一个零点，求的取值范围； (3)若，，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数函数的定义域，解指数不等式即可求解； （2）根据指对互化，由题意可知仅有一个实数解，令，结合二次函数的图象即可求解； （3）根据复合函数的单调性可知为减函数，不妨设，则，不等式可化为，由题意进而得到，结合的范围即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，解得， 所以的定义域为. （2）由题意得方程仅有一个实数解，即仅有一个实数解， 令，则在上仅有一个实数解， 而函数开口向上，对称轴为，且时，， 则或，即的取值范围为. （3）根据复合函数的单调性，易知在定义域上为减函数， 根据对数函数的定义域可知在上恒成立， 即在上恒成立，则， 不妨设，则，则可化为， 即，即，则， 即， 由题意知，，，则， 则， 则，，则，则， 所以的取值范围为. 【变式1】 14．（解答题） （26-27高三上·江苏·阶段检测） 已知关于的函数． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有3个不等实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用换元法，令，分离参数m，构造函数求最小值，得到m的取值范围； （2）用换元法，令化简方程，结合解的个数特征，利用二次函数根的分布求出t的范围． 【详解】（1）令，则，不等式化为：，即， 设，则，故， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为0，故实数的取值范围为． （2）令，有意义，则，， 故原方程可化为， 化简整理得， 作的大致图象如下图所示： 则当时，对应2个解， 当时，对应1个解， 原方程有3个不等实根，等价于二次方程有两个正根，且一个根在内， 另一个根大于1， 设，开口向上，由根的分布得： ，，解得， 此时，满足两个不同实根条件， 故的取值范围为． 题型六　零点和、根的分布与综合证明（共4题）　难点 【方法条件】 • 对称根配对：若图象关于直线 对称，则 的一对对称根之和为 ；关于点 对称时同样为 。 • 奇偶性：奇函数 的根成对相反；偶函数图象关于 轴对称，根也成对相反。 • 周期性：先求一个周期内的根与和，再按周期平移累加；注意首项与余项不能漏。 • 零点存在证明：写清“连续”“端点异号”“单调（唯一）”三句话；证明唯一性不能只靠图象。 • 恒成立：，；双变量问题注意“任意”与“存在”的顺序。 【典例1】 15．（解答题） （26-27高三上·陕西西安·阶段检测） 已知函数． (1)若为奇函数，求实数的值； (2)若且当时，函数存在零点，求实数的取值范围； (3)在（1）的条件下，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数定义即可计算求解，再检验即可得解； （2）先利用换元法令，将函数转化为二次函数，，然后求出二次函数的最值得到函数在上的值域，最后将函数存在零点转化为方程有解即可得解； （3）先根据函数的单调性求出在上的最大值，接着令将题设条件等价转化为在上恒成立，即，求出在上的最大值即可求解. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 即，，解得， 当时，， 因为，所以不成立，舍去； 当时，， 函数定义域为关于原点对称，且， 所以函数为奇函数，故. 综上所述，. （2）当时，得， 令，则，因为，所以， 当时，；当时，， 所以在上的值域为， 又因为函数存在零点，所以方程有解， 因为，所以，即， 综上所述，实数的取值范围是. （3）由（1）得，当时，， 因为，所以， 所以，即， 由题得，对任意的，总存在，使得成立， 即对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立； ，令，当时，， 则，即在上恒成立，即， 因为函数在单调递减，在上单调递增， 所，即， 综上所述，的取值范围是. 【典例2】 16．（解答题） （26-27高三上·福建南平·阶段检测） 已知函数． (1)若，求在上的值域； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)讨论在上的零点个数． 【答案】(1) (2) (3)当或或时，在上的零点个数为1； 当且时，在上的零点个数为2． 【分析】（1）当时，为增函数，即可求得值域； （2）经过化简后令，可得到，因，故，即可求得的取值范围； （3）当，则，则，对进行分类讨论，解出上的零点个数即可． 【详解】（1）当时，易得是增函数， 所以，， 故在上的值域为． （2）． 令，由，得，得， 由，得，得． 设函数，，要使恒成立，则， 得，即的取值范围为． （3）令，由，得， 设函数，则在上的零点个数等于在上的零点个数． 当时，，令，得，所以在上的零点个数为． 当时，令，得或． ①当，即时，在上的零点个数为． ②当，即时，在上的零点个数为． ③当且，即且时，在上的零点个数为． 综上，当或或时，在上的零点个数为； 当且时，在上的零点个数为． 【变式1】 17．（解答题） （26-27高三上·北京顺义·阶段检测） 已知函数. (1)若函数为偶函数，求的值； (2)若函数在区间内只有一个零点，求实数的取值范围； (3)当时，设函数满足①，；②，，求在区间上的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数定义列出等式，比较系数即可求出； （2）分和两种情况讨论，结合判别式和零点存在定理，分别检验零点是否在区间内； （3）先求出在上的表达式，再利用递推关系将上的函数转化为上的表达式，最后根据二次函数的单调性求值域． 【详解】（1）依题有，， ， 解得. （2）①若时，，，零点； ②若时， （ⅰ）当，即， 此时，零点； （ⅱ）当，即时，函数在区间内只有一个零点，有以下可能： （a）即，； （b）即时，此时，另一个零点； （c）即时，此时，另一个零点 综上，实数的取值范围. （3）当，； 由已知， 因为，所以，， 即， ，则， 所以 对称轴 函数在单调递增，； 在区间上的值域为. 【变式2】 18．（解答题） （25-26高三上·江苏盐城·阶段检测） 函数满足对任意，都有，且的图象关于直线x=1对称，当时，，  且函数恰有2025个零点. (1)证明：函数为周期函数； (2)求整数a的值. 【答案】(1) 由的图象关于直线对称，得到， 又，所以， 即，从而得到函数的周期为， 所以函数为周期函数. (2)45 【分析】（1）根据函数的对称性可得，结合条件可得，即可证明； （2）由函数的性质作出与的图象，由交点个数可得出，据此可得解. 【详解】（1）略 （2）由可知，函数关于对称， 根据对称性、周期性及当时，， 当和时，函数图象相同，作出两函数图象（如图所示）， 要使函数恰有2025个零点， 则函数的图象与图象在上恰有2025个交点， 由图象可知，第个交点为， 所以， 又， 所以由得，， 故或. 所以整数的值为45. 04　易错核对 以下 8 条是本讲常见失分点，每条给出典型表现、纠正方法与对应题号。 序号 易错点 典型表现与纠正 对应题 易错一 把零点写成坐标点 零点是使 的实数 ，不是点 ；答案写“零点为 ”，不要写“”。纠正：先解方程，再只写横坐标。 第08、19、21题 易错二 零点存在定理漏“连续”或把“至少”当“唯一” 只写“”就下结论，或据此断定只有一个零点。纠正：补“图象连续不断”；个数要用单调性或图象另证。 第04、05、06、20题 易错三 图象变换方向或顺序错 把 右移 个单位写成 ；先伸缩后平移时平移量忘记除以 ；把翻折与对称混用。纠正：左右平移对 本身加减，先写成 再定平移量。 第01、02、03题 易错四 二分法的精度与次数算错 把区间长度当成精度，或把次数算成 ；对不变号零点使用二分法。纠正： 次后长度为 ，解不等式取最小正整数。 第07、08题 易错五 分离参数后临界值取不取判断错 画水平线 时，切点、端点处交点个数会变化，开区间端点不能直接取；把“有解”当成“有两解”。纠正：逐个临界值代入原方程检验。 第09、10、11、27题 易错六 分段函数分段点重复或漏算 每段解出的根不检验是否在本段；分段点既算进左段又算进右段，或漏掉。纠正：每段写出范围，分段点单独代入。 第12、13、14、26题 易错七 复合方程换元后不回代、不查值域 令 后只解外层方程，忘记回代；解出的 不在 的值域内仍继续解。纠正：先写 的范围，再逐层回代。 第12、13、14、26题 易错八 零点和配对错误 没有先判断对称轴或对称中心就配对；周期函数求和漏掉首项或余项。纠正：先定对称关系，再两根配对；周期函数按“整周期 周期和 余项”计算。 第15、16、17、18、28、29、30题 05　分层练习 另选 12 题，按 A 基础、B 提升、C 综合三层编排；与 03 的典例、变式均不重复，解析版给出答案与详解。 A　基础达标（4题，建议用时约 20 分钟） 19．（单选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的零点是函数图像与轴的交点的横坐标，所以函数零点的个数即为函数图像与轴的交点个数. 有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故答案选D． 20．（填空题） （25-26高三·全国·一轮复习） 若是函数的零点，则________. 【答案】/ 【分析】由题意可得，代入求解即可. 【详解】由题意可得， 解得. 21．（填空题） （2026·湖南长沙·模拟预测） 已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 【答案】 27 【分析】根据零点定义结合对数运算求值. 【详解】因为a是函数的零点， 所以，所以， 则实数a的值为． 22．（填空题） （2026·上海徐汇·二模） 函数的零点是__________. 【答案】0 【详解】令，即，解得， 所以函数的零点是0. B　能力提升（4题，建议用时约 25 分钟） 23．（单选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数，在下列区间中，包含零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，当时，易得单调递增， 因为，， 所以根据函数零点存在定理可知，内包含的零点.. 24．（填空题） （26-27高三上·江西·阶段检测） 若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】∵ 函数的二次项系数为， ∴ 函数图象为开口向上的抛物线. ∵ 的两个零点分别位于区间与内， ∴ . 解得. 25．（多选题） （26-27高三上·山西·阶段检测） 定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．函数有个零点 C． D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【分析】根据已知得是周期为4的奇函数，利用对称性求得时，，再应用奇函数、周期性研究函数性质求函数值并判断对称性，数形结合判断零点个数． 【详解】由关于点对称，则关于原点对称，即为奇函数， 设，则， ，则，A错； ，， ∴函数是以4为周期的周期函数， ，C正确； 由，即， 所以关于点对称，D正确； 函数的零点个数就是函数图象与函数图象的交点个数， 当时，，当时，，当时，， 且在上单调递减，在上单调递增， 又在一个周期内单调递增，值域为， 同一坐标系内作函数与的图象如下： 观察图像知与有3个交点，B正确． 26．（解答题） （25-26高三上·山东日照·开学考试） 已知幂函数是定义在上的偶函数. (1)求函数的解析式； (2)当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数，列式求出m的值，结合函数为偶函数，即可求得答案. （2）将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，结合换元法以及二次函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）是幂函数，故， 解得或2， 当时，，其定义域为，且， 即函数为奇函数，不符合题意； 当时，，函数为偶函数，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知， 则，， 函数有两个不同的零点， 即的图象与直线在时有两个不同的交点， 令，，令， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， ， 故要使得的图象与直线在时有两个不同的交点， 需满足， 即. C　综合拓展（4题，建议用时约 30 分钟） 27．（多选题） （26-27高三上·湖南·阶段检测） 定义为，，中的最小值，设，若方程在区间上有8个不同的实数根，则实数的取值范围为下列哪些集合的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合函数图象可知，方程有4个不同的实数根时的取值范围为，再求出函数在上有2个不同的零点时的条件即可. 【详解】如图，画出在上的图象，观察图象可知，， 令，当时，方程有4个不同的实数根， 方程在上有8个不同的实数根， 所以函数在上有2个不同的零点， 所以解得. 实数的取值范围为，是AC选项中集合的子集. 28．（单选题） （26-27高三上·安徽合肥·阶段检测） 已知定义在上的奇函数，满足.当时，，则方程的所有根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原方程可整理为，令，由条件得出的对称性和周期性，画出两个函数的图像，交点个数为4，再由交点的对称性即可得到方程根的和. 【详解】由是定义在上的奇函数得，结合可得： ，因此, 即4为函数的一个周期，且其图象关于对称． 原方程可整理为，令， 因 则关于中心对称，故关于中心对称， 当时，的值域为， 结合对称性和周期性可知的值域是， 当时，在时取最小值2，如图所示： 当时，与共有2个交点，结合函数对称性可知， 时，两函数也有2个交点，共4个交点，且交点关于对称， 即原方程有4个实数根，所有根之和为8． 【点睛】本题的核心是利用函数的奇偶性、对称性、周期性简化方程根的计算，不需要直接求解每个根，利用对称点的横坐标之和直接得到总根之和． 29．（解答题） （26-27高三上·江苏扬州·阶段检测） 已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出的定义域，再根据对数函数的单调性求解不等式即可； （2）将只有一个零点，转化为关于的方程只有一个正根，分类讨论和分别求解即可． 【详解】（1），， ， ，， 的定义域， 中，，的定义域． ， ， ， ，即， 不等式的解集为． （2），， ， 函数只有一个零点， 只有一解， ，， ，， ， ， 恒成立， 关于的方程只有一个正根， 当时，转化为，符合题意； 当时，若有两个相等的实数根，则，解得， 此时方程的根为，符合题意； 当时，若有两个相异的实数根，则，解得， 此时设方程的两个根为，，则有， 方程的两个根只能异号， ， ，此时方程只有一个正根，符合题意． 综上可知，实数的取值范围为或． 30．（解答题） （26-27高三上·上海静安·阶段检测） 已知函数 (1)讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)若方程有两个不同的正根，求实数的范围． 【答案】(1)当时，是偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数 (2) 【分析】（1）由奇偶性定义，分别检验与，计算得，只有时满足偶函数；奇函数不可能成立，故时为偶函数，时非奇非偶. （2）方程化为，有两个不同正根，需同时满足：判别式大于零、两根之和大于零、两根之积大于零，由韦达定理列三个不等式，解得实数的范围. 【详解】（1）已知，定义域为，， 偶函数恒成立，代入得：， 化简得，该式要对所有实数恒成立，仅当时满足， 此时函数变为，符合偶函数定义； 奇函数恒成立，代入得：， 化简得，方程没有实数解，不可能对所有恒成立，因此不可能是奇函数， 综上：当时，是偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数. （2）由得，移项得： 方程有两个不同的正实根，则， 化简得，因式分解得，解得或， 且，解得，，解得， 综上，取交集得，即实数的取值范围是. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·一轮复习讲义系列 第04讲 函数图象与零点（复习讲义）（原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习数学 6 大题型 · 30 题 · 11 道典例 · 7 道变式 · 12 道分层 目　录 01　考情解码·命题预警 2 02　知识梳理 3 03　题型精讲 6 题型一　函数图象的识别与变换（基础） 6 题型二　零点存在定理与零点所在区间（基础） 8 题型三　二分法求近似解（常考） 9 题型四　由图象交点求零点个数与参数范围（重点） 9 题型五　分段函数与复合方程的零点（难点） 10 题型六　零点和、根的分布与综合证明（难点） 12 04　易错核对 15 05　分层练习 16 使用说明 • 本讲义共 30 题：03 题型精讲 18 题（11 道典例 + 7 道变式），05 分层练习 12 题（A、B、C 各 4 题）；03 与 05 不重复。 • 题号为全讲统一编号，03 内按题型顺序排列；同一题型内先典例后变式。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案、分析与详解；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议顺序：02 知识梳理 → 03 题型精讲（先典例、后变式）→ 04 易错核对 → 05 分层练习。 01　考情解码·命题预警 本讲复习定位：函数图象是“数形结合”的入口，函数的零点是“函数与方程”的核心。选填题重在图象变换、零点存在定理、零点个数与参数范围；解答题重在零点个数求参、零点和与对称性、恒成立。复习时先画图，再定临界，最后写范围，端点开闭单独核对。 考查要求 方法与条件 对应题号 会识别函数图象，掌握平移、对称、伸缩、翻折 图象变换法则、特殊点与渐近线、排除法 第01、02、03、19题 理解零点概念，会用零点存在定理判断零点区间 连续、端点异号、单调性、定义域 第04、05、06、20、21、22、23、24题 会用二分法求近似解 区间长度、中点、精度、变号零点 第07、08题 会用图象交点求零点个数与参数范围 分离参数、水平线、临界位置、端点开闭 第09、10、11、25、27题 会处理分段函数与复合方程的零点 换元、分层讨论、根的分布、值域 第12、13、14、26题 会求零点和、证明零点存在、处理恒成立 对称性、周期性、单调性、分离参数 第15、16、17、18、28、29、30题 命题预警 • 零点是实数，不是点 ；答案写“零点为 ”，不要写“”。 • 零点存在定理必须写“图象连续不断”与“端点异号”，只能得“至少一个”；唯一性要再加单调。 • 图象变换“左加右减”是对 本身加减；先伸缩后平移时，平移量要除以 。 • 二分法 次后区间长度为 ，精度是区间长度，不是次数。 • 分离参数后画水平线，临界值处交点个数会变；端点取不取要单独核对。 复习建议：先过图象变换与零点定义，再练零点存在定理和二分法；随后用“分离参数 水平线”统一处理零点个数与参数范围；最后集中突破分段函数、复合方程和零点和。每道题先写定义域，再画图，最后写范围；含参数的题把临界值逐个代入检验。 02　知识梳理 按“函数图象的变换—函数的零点与零点存在定理—由图象交点求零点个数与参数范围—分段函数与复合方程的零点—零点和与对称性—零点综合与恒成立”六块整理，公式后注明使用条件；带“•”的条目是 03 题型直接调用的结论。 一、函数图象的变换 • 平移： 的图象向左平移 （）个单位得 ，向右平移 个单位得 ；向上、向下平移 个单位分别得 、。口诀“左加右减、上加下减”，左右平移是对 本身加减。 • 对称： 与 的图象关于 轴对称； 关于 轴对称； 关于原点对称。 • 伸缩：（）由 的图象横坐标变为原来的 得到；（）纵坐标变为原来的 倍。 • 翻折： 的图象由 的图象把 轴下方部分翻折到上方得到； 的图象保留 部分，再关于 轴对称。 • 变换顺序：先伸缩后平移与先平移后伸缩的结果不同。把 写成 ，可知它由 左移 得到，平移量是 而不是 。 • 识别图象：先看定义域、奇偶性、单调性、渐近线、极值，再看与坐标轴的交点和端点，最后用排除法；含参数的图象题先找“临界位置”。 二、函数的零点与零点存在定理 • 零点定义：使 的实数 叫做函数 的零点。零点是实数，不是点 ；函数零点、方程 的实根、图象与 轴交点的横坐标三者等价。 • 零点存在定理：若 在闭区间 上的图象连续不断，且 ，则存在 ，使 。定理只保证“至少一个”零点，不能判断零点的个数。 • 唯一性：若 在 上连续、单调，且 ，则 在 内有且只有一个零点。 • 判断零点所在区间：先写定义域，判断连续性与单调性，再算端点值找异号；对数式常用 、、 等特殊值。 • 二分法：对连续且变号的零点，反复取中点把区间减半； 次后区间长度为 ，要求小于 时取满足 的最小正整数 。不变号零点不能用二分法。 • 易错：不写“连续”；忽略定义域；把“存在”当成“唯一”；端点值为 时端点本身就是零点，不能再算作区间内零点。 三、由图象交点求零点个数与参数范围 • 转化：方程 的实根个数等于直线 与 图象的交点个数；方程 的实根个数等于两条曲线交点的个数。 • 分离参数：把含参方程化成 或 ，先画不含参函数 的图象，再平移水平线找交点个数的变化。 • 临界位置：图象的极值点、端点、渐近线、相切位置；参数经过临界值时交点个数改变，按“临界值”把参数范围分段。 • 分段函数：逐段画图，注意端点空心、实心；水平线与各段图象的交点逐段数，分段点单独检查，避免重复或漏算。 • 二次方程根的分布：方程在 上有两个不等实根，需 、对称轴在 内、 与 同号（开口向上时为正）；只有一个实根时用 或端点为零单独讨论。 • 复合方程： 先解外层 得 的取值，再对每个 解 ；原方程根的个数等于各层根数之和。 四、分段函数与复合方程的零点 • 换元分层：令 ，把 化为 ；先求 的所有可能值，再对每个 解 ，最后合并解集。 • 定义域：每一层都要写新元的范围； 必须落在 的值域内，否则 无解。 • 分段函数：按分段区间分别解方程，解出的根必须落在该段内；分段点单独代入检验，避免重复计数或漏算。 • 绝对值：（）等价于 ； 等价于 ；含 时按 与 去绝对值。 • 根的个数：先由外层方程求出 的个数，再分别数每个 对应的 的根的个数，最后相加；不能把外层方程的根数直接当成原方程的根数。 • 易错：换元后不回代；解出的 不在 的值域内；分段点重复计数；把“零点”写成坐标点。 五、零点和与对称性 • 轴对称：若 的图象关于直线 对称，则 ；若 是 的一对对称根，则 。 • 中心对称：若图象关于点 对称，则 ；一对对称根的和仍为 ，纵坐标之和对求横坐标之和没有影响。 • 奇偶性：奇函数图象关于原点对称， 的根成对相反；偶函数图象关于 轴对称，根也成对相反。 • 周期性：若 ，则每个周期内 的根分布相同；求所有根之和时，先求一个周期内的和，再按周期平移累加。 • 配对求和：先画图判断根的个数与对称关系，再把根两两配对求和；不要逐个解方程（很多根解不出）。 • 注意：对称轴、对称中心要先从条件中求出；含参数的对称性题，先用特殊点定参数，再回代验证。 六、零点综合与恒成立 • 零点个数求参：分离参数后求函数的值域或最值，注意端点能否取到；参数在二次项系数上时，先讨论 与 。 • 恒成立：，；。 • 存在性：，；。量词不同，转化方向相反。 • 双变量：，，；注意量词顺序，不能把“任意”与“存在”互换。 • 零点存在证明：写清“连续”“端点异号”“单调（唯一）”三句话；证明唯一性时不能只靠图象。 • 易错：只算判别式不检验根的范围；恒成立与存在混用；开区间端点取不到仍代入；换元后未写新元范围。 03　题型精讲 按解法分 6 个题型。每个题型先给方法条件，再给 1—2 道【典例】完整展示过程，并配 1—2 道【变式】当堂训练；解析版给出答案、分析与详解。 题型一　函数图象的识别与变换（共3题）　基础 【方法条件】 • 平移： 是左移 个单位， 是右移 个单位；上下平移直接在函数值上加、减。 • 对称：、、 的图象分别与 的图象关于 轴、 轴、原点对称。 • 伸缩：（）的横坐标变为原来的 ；（）的纵坐标变为原来的 倍。 • 翻折： 把 轴下方部分翻到上方； 保留 部分，再关于 轴对称。 • 识别图象先看定义域、奇偶性、单调性、渐近线和特殊点，再用排除法；变换题先找“基准点”和“基准线”，按同一顺序完成伸缩与平移。 【典例1】 01．（单选题） （25-26高三上·广东佛山·阶段检测） 若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，则（　　） A． B． C． D． 【典例2】 02．（解答题） （23-24高三上·广东湛江·阶段检测） 已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移1个单位长度，得到的图象，求的最大值. 【变式1】 03．（单选题） （26-27高三上·山东德州·阶段检测） 函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型二　零点存在定理与零点所在区间（共3题）　基础 【方法条件】 • 零点存在定理的三个条件：闭区间上图象连续不断、端点函数值异号；结论是“至少存在一个”零点。 • 判断零点所在区间：先写定义域，判断连续性与单调性，再算端点值找异号；单调函数最多一个零点，端点异号即唯一。 • 含对数、指数的题，比较端点值与 时常用 、、 等特殊值。 • 表格型：相邻两个自变量对应的函数值异号，就说明该区间内至少有一个零点；只能数异号区间的个数，不能断定零点的准确个数。 • 易错：不写“连续”；忽略定义域；把“存在”当成“唯一”；端点值为 时端点本身就是零点。 【典例1】 04．（单选题） （26-27高三上·江西南昌·阶段检测） 已知函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【典例2】 05．（单选题） （2026·重庆永川·模拟预测） 函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 06．（单选题） （26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测） 若函数的零点所在区间为，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三　二分法求近似解（共2题）　常考 【方法条件】 • 适用条件：函数图象连续不断，且零点为变号零点；不变号零点（如 的零点）不能用二分法。 • 区间长度：初始长度为 ，每二分一次长度减半， 次后长度为 。 • 操作：取中点 ，算 ；若 ， 就是零点；否则保留与 异号的那一半区间。 • 精度：要求区间长度小于 时，解 ，取满足不等式的最小正整数 。 • 易错：把区间长度当成精度；次数算成 ；中点算错；对不变号零点使用二分法。 【典例】 07．（填空题） （26-27高三上·浙江·开学考试） 已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 【变式1】 08．（填空题） （23-24高三上·甘肃·阶段检测） 已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则________． 题型四　由图象交点求零点个数与参数范围（共3题）　重点 【方法条件】 • 方程 的实根个数等于直线 与 图象的交点个数。 • 分离参数：把含参方程化成 ，先画不含参函数 的图象，再平移水平线找交点个数的变化。 • 临界位置：图象的极值点、端点、渐近线、相切位置；参数经过临界值时，交点个数发生改变，按区间分段写范围。 • 分段函数逐段画图，注意端点空心、实心；水平线与各段图象的交点逐段数，分段点单独检查。 • 二次方程根的分布：在 上有两个不等实根，需 、对称轴在 内、 与 同号；只有一个实根时用 或端点为零单独讨论。 【典例1】 09．（单选题） （26-27高三上·陕西西安·阶段检测） 已知函数，若方程有三个实数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【典例2】 10．（单选题） （26-27高三上·河北衡水·阶段检测） 设．若方程恰有3个不同的实数解，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】 11．（填空题） （2026·上海嘉定·二模） 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 题型五　分段函数与复合方程的零点（共3题）　难点 【方法条件】 • 换元分层：令 ，把 化为 ；先求 的所有可能值，再对每个 解 。 • 每一层都要写定义域： 必须落在 的值域内，否则 无解。 • 分段函数按段解方程，解出的根必须落在该段内；分段点单独代入检验，避免重复计数或漏算。 • 绝对值方程：（）等价于 ； 按 与 去绝对值。 • 复合方程根的个数：先由外层方程求出 的个数，再分别数每个 对应的 的根的个数，最后相加。 【典例1】 12．（填空题） （24-25高三上·安徽亳州·期末） 已知函数，若关于的方程有唯一解，则______. 【典例2】 13．（解答题） （26-27高三上·甘肃·阶段检测） 已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若函数仅有一个零点，求的取值范围； (3)若，，，，求的取值范围． 【变式1】 14．（解答题） （26-27高三上·江苏·阶段检测） 已知关于的函数． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有3个不等实数根，求实数的取值范围． 题型六　零点和、根的分布与综合证明（共4题）　难点 【方法条件】 • 对称根配对：若图象关于直线 对称，则 的一对对称根之和为 ；关于点 对称时同样为 。 • 奇偶性：奇函数 的根成对相反；偶函数图象关于 轴对称，根也成对相反。 • 周期性：先求一个周期内的根与和，再按周期平移累加；注意首项与余项不能漏。 • 零点存在证明：写清“连续”“端点异号”“单调（唯一）”三句话；证明唯一性不能只靠图象。 • 恒成立：，；双变量问题注意“任意”与“存在”的顺序。 【典例1】 15．（解答题） （26-27高三上·陕西西安·阶段检测） 已知函数． (1)若为奇函数，求实数的值； (2)若且当时，函数存在零点，求实数的取值范围； (3)在（1）的条件下，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【典例2】 16．（解答题） （26-27高三上·福建南平·阶段检测） 已知函数． (1)若，求在上的值域； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)讨论在上的零点个数． 【变式1】 17．（解答题） （26-27高三上·北京顺义·阶段检测） 已知函数. (1)若函数为偶函数，求的值； (2)若函数在区间内只有一个零点，求实数的取值范围； (3)当时，设函数满足①，；②，，求在区间上的值域. 【变式2】 18．（解答题） （25-26高三上·江苏盐城·阶段检测） 函数满足对任意，都有，且的图象关于直线x=1对称，当时，，  且函数恰有2025个零点. (1)证明：函数为周期函数； (2)求整数a的值. 04　易错核对 以下 8 条是本讲常见失分点，每条给出典型表现、纠正方法与对应题号。 序号 易错点 典型表现与纠正 对应题 易错一 把零点写成坐标点 零点是使 的实数 ，不是点 ；答案写“零点为 ”，不要写“”。纠正：先解方程，再只写横坐标。 第08、19、21题 易错二 零点存在定理漏“连续”或把“至少”当“唯一” 只写“”就下结论，或据此断定只有一个零点。纠正：补“图象连续不断”；个数要用单调性或图象另证。 第04、05、06、20题 易错三 图象变换方向或顺序错 把 右移 个单位写成 ；先伸缩后平移时平移量忘记除以 ；把翻折与对称混用。纠正：左右平移对 本身加减，先写成 再定平移量。 第01、02、03题 易错四 二分法的精度与次数算错 把区间长度当成精度，或把次数算成 ；对不变号零点使用二分法。纠正： 次后长度为 ，解不等式取最小正整数。 第07、08题 易错五 分离参数后临界值取不取判断错 画水平线 时，切点、端点处交点个数会变化，开区间端点不能直接取；把“有解”当成“有两解”。纠正：逐个临界值代入原方程检验。 第09、10、11、27题 易错六 分段函数分段点重复或漏算 每段解出的根不检验是否在本段；分段点既算进左段又算进右段，或漏掉。纠正：每段写出范围，分段点单独代入。 第12、13、14、26题 易错七 复合方程换元后不回代、不查值域 令 后只解外层方程，忘记回代；解出的 不在 的值域内仍继续解。纠正：先写 的范围，再逐层回代。 第12、13、14、26题 易错八 零点和配对错误 没有先判断对称轴或对称中心就配对；周期函数求和漏掉首项或余项。纠正：先定对称关系，再两根配对；周期函数按“整周期 周期和 余项”计算。 第15、16、17、18、28、29、30题 05　分层练习 另选 12 题，按 A 基础、B 提升、C 综合三层编排；与 03 的典例、变式均不重复，解析版给出答案与详解。 A　基础达标（4题，建议用时约 20 分钟） 19．（单选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A． B． C． D． 20．（填空题） （25-26高三·全国·一轮复习） 若是函数的零点，则________. 21．（填空题） （2026·湖南长沙·模拟预测） 已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 22．（填空题） （2026·上海徐汇·二模） 函数的零点是__________. B　能力提升（4题，建议用时约 25 分钟） 23．（单选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数，在下列区间中，包含零点的是（　　） A． B． C． D． 24．（填空题） （26-27高三上·江西·阶段检测） 若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 25．（多选题） （26-27高三上·山西·阶段检测） 定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．函数有个零点 C． D．的图象关于点对称 26．（解答题） （25-26高三上·山东日照·开学考试） 已知幂函数是定义在上的偶函数. (1)求函数的解析式； (2)当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. C　综合拓展（4题，建议用时约 30 分钟） 27．（多选题） （26-27高三上·湖南·阶段检测） 定义为，，中的最小值，设，若方程在区间上有8个不同的实数根，则实数的取值范围为下列哪些集合的子集（   ） A． B． C． D． 28．（单选题） （26-27高三上·安徽合肥·阶段检测） 已知定义在上的奇函数，满足.当时，，则方程的所有根之和为（    ） A． B． C． D． 29．（解答题） （26-27高三上·江苏扬州·阶段检测） 已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 30．（解答题） （26-27高三上·上海静安·阶段检测） 已知函数 (1)讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)若方程有两个不同的正根，求实数的范围． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $