广东省江门市鹤山市第一中学2026-2027学年高二上学期第一阶段质量监测数学试题

鹤山一中2026-2027学年度第一学期第一阶段质量监测 高二数学试卷 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）： 类别 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则表格中的值为（    ） A．400 B．500 C．600 D．1000 2．某影院连续天的观影人数（单位：百人）依次为，，，，，，，，，，则下列关于这天观影人数的结论正确的是（ ） A．众数为120 B．平均数为140 C．中位数为130 D．第百分位数为170 3．如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5．若，，，则下列结论错误的是（   ） A．事件与相互独立 B． C．事件与互斥 D． 6．在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 7．已知甲、乙两人通过“石头、剪刀、布”决定谁先开始游戏，规则为：每局中两人出法相互独立，且出石头、剪刀、布的概率均为，若两人出法不同则直接定胜负（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），若出法相同则重新开局．记“甲在第1局或第2局获胜”为事件A，则（   ） A． B． C． D． 8．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分 ，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（ ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．直线l的方向向量，平面α的法向量，则 C．已知三向量，，共面，则 D．若，则为钝角 10．下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2 B．从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为，则为整数的概率是 C．从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件 D．若样本数据的标准差为8，则数据，的标准差为16 11．空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为．根据上面的材料，以下选项说法正确的是（   ） A．若过点的平面方程为，则 B．若平面的方程为，平面的方程为，则这两平面夹角的正弦值为 C．若平面的方程为，则点在平面内的射影的坐标为 D．若平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，，则直线l与平面的夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分。 12．设，向量，，，且，，则 ______. 13．有一组样本数据：6，，，，，，6，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，，，的方差为________. 14．已知空间中的点，且，则点到的距离为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）合肥市第六中学工会为了迎接端午节，特举办一次端午趣味答题竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成五组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计竞赛成绩的第80百分位数； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的竞赛成绩在内的概率． 16．（15分）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设点是棱上的一点． (1)若，证明：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角 的正弦值． 17． （15分）空间中，两两垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它的任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，分别为“斜坐标系”下三条数轴轴，轴，轴）正方向上的单位向量，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标:若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. 在平行六面体中，，，，建立“空间斜坐标系”如图所示.若，，且. (1)求向量的斜坐标；(2)求；(3)求 18．（17分）2．如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，是棱上的异于端点的一点. (1)求证：； (2)若是棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值. 19．（17分）某班级举办“趣味闯关赢文创”活动，每位同学需依次参加三项独立的挑战任务（顺序可自行安排），各任务结果互不影响．若连续通过两项任务，可获得1份文创小礼品；若连续通过三项任务，可额外再获得1份（共2份）；其余情况无礼品．挑战任务均基于一个装有编号分别为的5个大小形状相同小球的盒子，规则如下： 任务A：从盒子中随机摸出1个小球．若小球编号小于4，则通过． 任务B：从盒子中有放回地依次摸球两次，每次摸出1个小球．若两次摸出的小球编号均小于4，则通过． 任务C：从盒子中不放回地依次摸球两次，每次摸出1个小球．若两次摸出的小球编号之和小于，则通过． (1)求单个同学分别通过任务A､任务B的概率． (2)当时，应如何安排三项任务的顺序，才能使单个同学获得文创礼品的概率最大？ (3)若所有同学都按任务的顺序进行，组委会要求：①单个同学获得2份礼品的概率不低于0.1；②单个同学获得礼品的概率不超过0.34．请确定整数的取值范围． 高二级数学第1页（共3页） 高二级数学第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《鹤山一中2026-2027学年度第一学期第一阶段质量监测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A A C B B C AC ABD 题号 11 答案 AC 12． 13．14 14． 详解8．C 【分析】根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内， 的最小值就是三棱锥的高， 由， 得，得. 故选：C. 11．AC 【分析】对于A选项，考查点满足平面方程的条件，将点P代入平面方程，计算即可得到；对于B选项，考查面面角的求解，根据平面方程提取出平面、平面的法向量，分别为和，利用向量夹角公式，求出法向量夹角的余弦值，再计算得到平面夹角的正弦值；对于C选项，考查点在平面内的射影，根据平面方程提取出平面的法向量，设点在平面内的射影为，根据点满足平面的方程以及，联立解出点；对于D选项，考查线面角的求解，根据平面方程提取出平面、平面、平面的法向量，分别为、、，设平面和平面的交线l的方向向量为，根据，联立得到，设直线l与平面的夹角为，结合公式，即可求解. 【详解】对于A，把点代入，得，解得，故A正确； 对于B，因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 又平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 所以， 则这两平面夹角的正弦值为，所以B错误； 对于C，因为平面的方程为，所以平面的一个法向量．设 点在平面内的射影为，则，且， 于是有，解得，所以，故C正确； 对于D，因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为； 因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 设直线l的方向向量为，则有 取，则，，则， 又因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 设直线l与平面的夹角为，则， 所以，故D错误． 15（13分）． 【详解】（1）频率分布直方图中，所有组的频率之和为1，组距为10， 因此，。。。。。。。。。。。。1分 所以，解得.。。。。。。。。。。。。。。。。。，。。。2分 前3组频率之和为，。。。。。。3分 前4组频率之和为，。。。。。。4分 所以第80百分位数在区间内， 设第80百分位数为，则，解得.。。。。。。。。6分 （2）成绩在内的频率为0.1，成绩在内的频率为0.2，频率之比为. 所以成绩在内应抽取的人数为人，。。。。。。。。。。。7分 成绩在内应抽取的人数为人.。。。。。。。。。。。。。。。8分 记成绩在内的2人为，成绩在内的4人为， 从6人中抽取2人，基本事件有，共15个，。。。。。。10分 其中至少有1人的竞赛成绩在内的基本事件有，共9个，。。。。。。11分 所以，从这6人中随机抽取2人，至少有1人的竞赛成绩在内的概率为.。。。。。。。。13分 16．（15分）(1)解法1：折叠前，因为，， 所以，所以，， 折叠后，，仍然成立， 又因为二面角为直二面角，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系，。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 由已知条件可知，，，，，   则，，，   因为，所以，， 。。。。。。。。。。。。。。4分 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为，  。。。。。。。。。。。。。。6分 可得，  。。。。。。。。。。。。。。7分 又因为平面，所以平面．。。。。。。。。。。。。。8分 （解法2：如图所示，连接交于点，连接， 因为，，所以，  。。。。。。。。。。。。。2分 由题意可知，，所以，所以。。。。。。。。。4分 又因为平面，平面，所以平面．。。。。。。。。6分） （2）因为为的中点，所以，，  。。。。。。。。。。。10分 设平面的法向量为， 则令，得，，所以， 。。。。。。12分 设直线与平面所成角为， 所以．。。。。。14分 所以直线与平面所成角的正弦值是．。。。。15分 17．(15分) 【详解】（1）设、、分别为、、轴正方向的单位向量， 由、得，，， 且. 由知是的中点，.。。。。。。2分 又，。。。。。。4分 所以，其斜坐标为.．。。。。5分 （2）由得，且. 由得， 解得.。。。7分 所以，.。。。。10分 （3）..............12分 .。。。。。。。15分 18．(17分)【答案】(1)取和的中点和，连接， 则，因为，可得， 在直三棱柱中，可得底面，且底面， 所以，所以，可得， 又因为，且，可得， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，。。。。。。。。。。。。2分 如图所示，可得， 因为为的中点，所以 ， 所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 可得， 所以，所以.。。。。。。。。。。。。。。5分 （2）因为是棱的中点，可得，所以， 设平面的法向量为，则，。。。。。。。。7分 取，可得，所以， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以，。。。。。。。。。。。。9分 设平面与平面的夹角为， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值.。。。。。。。。。10分 （3）因为是棱上的异于端点的一点，令，其中， 由，可得，所以点， 即平面的三点为， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以，。。。。。。。。。12分 又由， 则点到平面的距离为，则。。。。。。。13分 点到平面的距离为，则，。。。。。。14分 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为.。。。。。。。。。。17分 19．(17分) 【详解】（1）设事件为“通过任务”，事件为“通过任务”，事件为“通过任务”． 因为事件为从盒子中随机摸出一个小球，编号小于4（即1，2，3），所以；，。。。1分 因为有放回摸2次，共25个样本点，又，所以．，。。。3分 （2）任务C的所有样本点为：， ，共20个，。。4分 当时，通过的样本点为，有2个，所以．。。5分 记事件“同学按自己选定的顺序参加三个任务，获得礼品”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第一个任务，通过”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第二个任务，通过”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第三个任务，通过”， 则获得礼品的概率， 其中， 所以，第一个任务和第三个任务的位置不影响获得礼品的概率的大小， 其大小取决于第二个任务的选择， 下面以第二个任务的选择为研究对象分三种情况进行讨论： ①若第二个任务选择任务，则三个任务的顺序为或， 所以获得礼品的概率为； ②若第二个任务选择任务，则三个任务的顺序为或， 所以获得礼品的概率为； ③若第二个任务选择任务，则三个任务的顺序为或， 所以获得礼品的概率为． 因为， 所以为使获得礼品的概率最大，同学应将任务A放在第二个任务的位置，第一个任务可在任务中任选，进而确定第三个任务．．。。10分 （3）按顺序， 约束条件①：获得2份礼品的概率不低于， 因为获得2份礼品即三项均通过，所以其概率 ． 约束条件②：获得礼品的概率不超过0.34． 获得礼品的概率：， 解得． 枚举的取值（不放回摸2个小球，编号之和小于的有序结果数共20种）： 编号之和小于的组合数 是否满足 0种 0 否 2种 0.1 否 4种 0.2 否 8种 0.4 否 12种 0.6 是 16种 0.8 是 18种 0.9 否 20种 1.0 否 因此，整数或8．．。。17分 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $