26.4 第2课时 最大利润问题 教学设计-2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题名称

26.4 第2课时 最大利润问题

课型

新授课

教学资源

多媒体课件、坐标系网格纸、利润函数图象

教学内容解析

内容

利用二次函数求销售利润最大值：建立利润与价格的函数关系式，配方化为顶点式，由开口方向和顶点坐标求最大利润及对应定价。

内容解析

本节是二次函数实际应用的经典课例。教材以商品销售利润问题为载体，引导学生经历“设自变量→列利润函数→配方→由顶点求最值”的完整建模过程，体会二次函数最值在实际问题中的应用。

【内容定位】本节是函数建模思想的集中体现，让学生体会数学来源于实际又服务于实际，培养数学建模与运算能力。

目标与目标解析

单元整体目标

本章在学生已经学习二次函数图象性质、顶点式、与一元二次方程关系的基础上，进一步运用二次函数解决实际问题。

对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》：①能分析实际问题中的数量关系，建立二次函数模型；②能利用二次函数的性质解决简单实际问题（最大利润、最大面积）。

单元目标：本节为第26章第4节第2课时，重点是让学生掌握销售利润最大化问题的建模方法。

课时目标

1.（数学抽象·数学建模）经历销售利润问题的建模过程，能把实际问题转化为二次函数最值问题。

2.（数学运算）会列利润与价格的函数关系式，配方化为顶点式，由顶点坐标求最大利润。

3.（数形结合）能画出利润函数草图，由开口方向和顶点位置解释最大利润的实际意义。

4.（模型观念·情感态度）在建模求解中体会数学的应用价值，感受函数与方程、不等式的联系。

课时目标解析

达成目标1的标志：学生能说出利润=每件利润×销售量，并设涨价x元列函数式。

达成目标2的标志：学生能把 y=(20+x)(300−10x) 配方为 y=−10(x−5)²+6250，求出最大利润 6250 元。

达成目标3的标志：学生能由 a=−10<0 判断开口向下，顶点(5,6250)即最大值点。

学情分析

已有的知识、认知水平

学生已掌握二次函数顶点式 y=a(x−h)²+k 的最值性质；会用配方法化一般式为顶点式；会列简单代数式。

困惑点或探索点

学生容易把“每件利润”和“销售量”都用x表示时关系搞错；配方时常数项符号容易错；求出x后忘记回答“定价多少元”而非“涨价多少元”。

教学

重难点

教学重点

建立利润与价格的二次函数关系式，配方求最大利润及对应定价。

教学难

准确列出每件利润与销售量关于涨价x的代数式；配方时符号处

点

理；把数学结果翻译回实际问题答案。

教学策略分析

（为什么学、学什么、怎么学）

为什么学：销售利润最大化是企业经营最常见的问题，二次函数是求最值的数学工具。

学什么：以涨价销售问题为例，学习设x→列函数→配方→由顶点求最大利润及定价。

怎么学：采用情境引入→共同列式→配方探究→归纳步骤→变式练习→小结反思。

教学过程

教学环节

学习任务设计

师生活动

评价要点

设计意图

新知导入

情境引入

一、          师：某商品售价60元/件，每周卖300件，进价40元。每涨价1元少卖10件。如果你是店主，怎样定价利润最大？

生：（讨论）涨价利润高但销量少，降价销量大但利润低，好像有个最佳价格。

师：对！今天我们就用二次函数来找到这个最佳定价。

学生能从实际情境中发现需要求函数最大值，产生探究欲望。

从经营情境出发，让学生体会数学建模的必要性。

概念探

例题探究：最大

例  某商品售价60元/件，每周卖300件，进价40元。每涨价1

学生能跟随列式、

让学生经历完