4.5.2 用二分法求方程的近似解教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课程名称

用二分法求方程的近似解

教师姓名

授课时长

40分钟

知识点来源

学科：数学　　年级：高一　　教材版本：人教A版（2019）必修第一册

课题：第四章　函数的应用　4.5.2　用二分法求方程的近似解

知识点描述

零点存在定理：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0。

区间中点：称为区间的中点。

精确度ε：当|a－b|＜ε（a，b为零点所在区间端点）时，可取区间内任意一点（通常取端点）作为零点的近似值。

二分法求零点近似值的一般步骤：确定初始区间→取中点→根据中点函数值符号缩小区间→判断是否达到精确度ε，未达到则重复。

二分法是求方程近似解的常用方法，体现了逐步逼近（逼近思想）与算法思想，只适用于函数的变号零点。

教学目标（指向核心素养）

一、数学抽象

1.通过求方程近似解的具体实例，理解二分法的概念及其使用条件，抽象概括二分法的一般步骤。

二、逻辑推理

2.能依据零点存在定理说明二分法缩小区间的合理性，会用二分法求函数在给定精确度下的零点近似值。

三、数学运算

3.能借助计算工具，用二分法求方程的近似解，在重复计算区间中点与端点函数值符号的过程中提升运算能力。

四、直观想象

4.借助函数图象理解零点所在区间的确定方法与区间逐次减半的逼近过程，体会数形结合的作用。

教学重点

用二分法求方程近似解的一般步骤；利用二分法求给定精确度的方程的近似解，体会函数零点与方程根之间的联系。

教学难点

方程近似解所在初始区间的确定；精确度ε的理解与根据|a－b|＜ε终止缩小区间并选取近似值。

适用对象

高一年级学生（人教A版2019·必修第一册）

课型

（注：可选择如下选项，也可以补充填写）

√新授课　□复习课　□习题课　□实验课　□其他

教学用途

（注：可选择如下选项，也可以补充填写）

√课堂教学　□课前预习　□课后复习　□其他

设计思路

教材与学情：学生已学习函数零点与零点存在定理，能判断方程实数解的个数，本节在此基础上研究"如何求出零点的近似值"，引出二分法。

设计主线：线路故障排查问题引入→精确度与区间缩小→二分法定义与步骤→例题实践（借助信息技术）→巩固与小结，全课40分钟。

难点突破：从"精确度0.5时取中点2.5即可"到"精确度0.01需逐次减半区间"，让学生经历逐步逼近的过程，自主归纳二分法步骤。

反馈矫正：设计"判断能否用二分法求下列函数零点"的辨析题组，当堂检测变号零点这一使用条件，防止盲目套用。

教 学 过 程

环节

内 容

设计意图

一、导入新课

（约4分钟）

【情境引入】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，沿着线路一小段一小段查找，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子。可是维修工人师傅只要至多7次就能把故障排除。

【想一想】工人师傅是如何做到的？——他首先取线路中点C，向两端测试：若AC段正常，则故障必在BC段；再取BC段中点D测试……每查一次，待查范围就缩小一半，至多7次即可把故障范围缩小到一两根电线杆附近。

【设问】这种"一分为二、逐步缩小范围"的方法，能不能用来求方程的解？——引出课题：用二分法求方程的近似解。

由生活情境"查线路故障"引发学生思考"一分为二"的排查策略，为二分法的抽象定义提供直观原型。

二、新课教学（一）

（约10分钟）

1.提出问题：我们已经知道，函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内存在一个零点。如何求出这个零点？

追问1：能求出零点的精确值吗？——大多数方程不能像一元二次方程那样用公式求出精确解；实际问题中往往只需求出满足一定精确度的近似解。若精确度为ε，只要近似值与精确值之差的绝对值小于ε即可。

追问2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求的零点近似值吗？——零点在区间(2，3)内，2与3之间的距离为1，其中点与零点的距离一定小于0.5，故可取2.5作为零点的一个近似值。

教师给出区间中点的定义：称为区间的中点。

追问3：当精确度为0.5时，3可以看作零点的一个近似值吗？——取区间(2，3)的中点2.5，用计算工具算得f(2.5)≈－0.084。因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内；2.5与3之间的距离为0.5，故零点与3之间的距离小于0.5，3可以看作零点的一个近似值。

追问4：当精确度缩小到0.01时，怎么办？——需要将零点所在区间逐次减半：再取区间(2.5，3)的中点2.75，算得f(2.75)≈0.512。因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内。如此重复，零点所在的范围越来越小。

以f(x)＝ln x＋2x－6为载体，通过"追问链"让学生经历"确定精确度→取中点→缩小区间"的过程，理解二分法的基本原理，发展数学抽象素养。