4.5.2 用二分法求方程的近似解教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《用二分法求方程的近似解》教学设计

内容与内容解析

内容：用二分法求方程近似解的概念与一般步骤。

内容解析：

对于一般的高次方程或超越方程，往往无法用公式求出精确解，而在实际问题中常常只需满足一定精确度的近似解，因此需要探寻一种通过缩小零点所在区间来逼近零点的新方法，在已有函数零点知识的基础上深入探究。

复合函数的概念：对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。它与函数零点存在定理紧密相关，是零点存在定理的具象应用。

教学重点：理解二分法的基本思想，掌握用二分法求函数零点近似值的一般步骤。

目标与目标解析

目标：

理解二分法求方程近似解的基本思想。

掌握二分法求函数零点近似值的一般步骤。

能运用二分法求给定方程的近似解并理解精确度的含义。

目标解析：

达成上述目标的标志分别是：

能说出二分法不断缩小零点所在区间的原理。

能准确执行二分法求零点近似值的四个步骤并判断是否达到精确度。

能用二分法求具体方程的近似解并给出符合精确度的结果。

教学问题诊断解析

问题诊断

学生在学习二分法时，容易在判断零点所在区间的缩小时出错，尤其是对中点函数值的符号判断及区间端点的更新规则理解不透，同时对于精确度概念及终止条件的把握存在困难。

教学难点：

（1）理解二分法中区间端点逐步逼近零点的思想。

（2）掌握精确度的含义及二分法步骤的终止条件。

教学过程设计

（一）复习引入

前面我们学习了函数零点与相应方程解的关系，以及函数零点存在定理。今天我们将在此基础上，探究如何求出零点的近似值。

1．函数零点：

对于函数，使的实数称为函数的零点。

方程的实数解就是函数的零点。

2．零点存在定理：

如果函数在区间上图象连续不断，且有，那么函数在区间内有零点。

这是寻找零点区间的基础。

3．中点公式：

区间的中点为。

4．绝对值不等式：

表示区间长度小于精确度。

5．设计意图：

通过回顾零点存在定理与中点公式，为二分法不断取中点缩小零点区间提供理论依据和方法支撑。

帮助学生建立新旧知识的联系。

（二）生成概念

思考：已知函数在区间内存在一个零点，如何求出这个零点呢？

一个直观的想法是缩小零点所在范围。

由于函数在区间上图象连续不断且，说明区间内存在零点。为了缩小范围，取区间中点，计算。若，则就是零点；若，则零点在区间内，令；若，则零点在区间内，令。这样每次都将区间长度缩小一半，不断重复此步骤，零点所在范围越来越小，端点逐步逼近零点。如图1

 

设计意图：引导学生将零点存在定理与中点公式结合，发现通过不断取中点可以缩小零点区间，从而引出二分法概念。

给定精确度，用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下：第一步，确定零点的初始区间，验证；第二步，求区间的中点；第三步，计算，若，则令，若，则令。

第四步，判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值或；否则重复步骤二至四。

师生活动：教师引导学生讨论如何缩小范围，学生通过计算中点函数值并判断符号，逐步归纳出二分法的步骤。

设计意图：通过师生互动推导，让学生经历二分法步骤的生成过程，加深对算法思想的理解。

（三）课堂巩固

例1．借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为）。

分析：原方程即，令。由已知，，所以，零点在区间内。取中点，算得，因为，所以零点在内。再取中点，算得，因为，所以零点在内。同理得零点在，再取中点得零点在。由于，所以近似解可取。

答案：

练习1：1、（教材练习1）借助信息技术，用二分法求函数在区间内零点的近似值（精确度为）。

①计算与的值；

②确定零点所在的初始区间；

③取区间中点，计算；

④判断零点所在的新区间；

⑤再取新区间中点，计算；

⑥继续判断并重复步骤直至达到精确度，写出最终区间与近似值。

分析：依据二分法步骤，通过计算中点函数值并判断端点函数值乘积符号来缩小零点区间。