第11讲 等差数列与等比数列讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

第11讲 等差数列与等比数列讲义 【知识点01】等差数列 1. 定义：从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数（公差 d），即 2. 通项公式：，即首项加（n−1）个公差；也是，是 n 的一次函数。 3. 等差中项：若 a、b、c 成等差数列，则，即。 4. 前 n 项和： 前 n 项和是 n 的二次函数（无常数项）： 5. 常用性质：若 m+n=p+q，则；下标差等距对应相等：；等差中项判定：。 6. 判定方法：定义法（后项减前项为常数）、中项法（2aₙ=aₙ₋₁+aₙ₊₁）、通项法（n 的一次函数）、求和法（Sₙ 为无常数项的二次函数）。 【知识点02】等比数列 1. 定义：从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数（公比 q），即 2. 通项公式：；可写作，是 n 的指数型函数。 3. 等比中项：若 a、b、c 成等比数列，则，即 （ac 同号才有实数中项）。 4. 前 n 项和：当 q≠1 时，；当 q=1 时，。 5. 常用性质：若 m+n=p+q，则；；等比中项判定：。 6. 判定方法：定义法（后项比前项为常数，各项非 0）、中项法（aₙ²=aₙ₋₁·aₙ₊₁）、通项法（指数型）、求和法。 易错点一　等比前 n 项和漏分 q 讨论。 求和公式仅当 q≠1 时成立，q=1 时为 Sₙ=na₁。凡用等比求和，必须先讨论公比是否为 1。 易错点二　等比数列各项非 0，中项符号易错。 等比数列 a₁≠0、q≠0，故每一项均非 0；由 b²=ac 求等比中项 b 时须取 ±，并结合各项符号取舍。 易错点三　等差、等比中项公式混用。 等差中项是 2b=a+c（和的形式），等比中项是 b²=ac（积的形式），两者切勿混淆。 易错点四　前 n 项和公式中下标起点与项数。 Sₙ 表示前 n 项的和，须弄清从哪一项加到哪一项；从第 m 项到第 n 项的和是 Sₙ−Sₘ₋₁，项数为 n−m+1。 易错点五　下标和性质误用。 等差 aₘ+aₙ=aₚ+aq 成立的条件是 m+n=p+q（下标和相等）；等比对应 aₘ·aₙ=aₚ·aq。不可对任意下标随意套用。 易错点六　判定等差/等比方法混淆。 判断等比用后项比前项为常数（且不能除以 0），判断等差用后项减前项为常数；须由定义出发，不可用通项公式代替判断。 【题型一】求等差数列通项公式 【例1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 【变式1-1】若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项. (1)求和的调和中项； (2)已知调和数列，，，求的通项公式. 【变式1-2】在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)试判断是否为数列中的项？ 【变式1-3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)数列满足，，求的通项公式． 【题型二】等差数列下标和性质 【例2】（25-26高二上·上海·期末）设为等差数列，若，则__________． 【变式2-1】（24-25高三上·上海浦东新·期末）若等差数列满足，，则__________． 【变式2-2】（24-25高二·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则______________． 【变式2-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）在等差数列中，若，，则的值为______. 【题型三】求等差前 n 项和 【例3】（24-25高二·上海·课堂例题）已知数列为等差数列，其前项和记为. (1)若，则； (2)已知等差数列的公差，，求其通项公式. 【变式3-1】（25-26高二·上海·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，， (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值以及对应的的值． 【变式3-2】已知在公差为的等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足（，）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和． 【题型四】求等比数列通项公式 【例4】）等比数列的首项为2，公比为5，则数列的通项公式为________． 【变式4-1】（25-26高二上·上海普陀·期末）设是等比数列，，，则的通项公式______． 【变式4-2】设各项均为正数的等比数列的首项，前项和为，且，则数列的通项公式为______． 【变式4-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，．求数列的通项公式． 【题型五】求等比前 n 项和 【例5】已知等比数列的公比，，，则其前5项和______. 【变式5-1】（26-27高二上·上海长宁·阶段检测）已知在等比数列中，，，则______ 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期末）无穷等比数列的前项的和为，首项，公比为，且，则______． 【变式5-3】已知数列为正项等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【题型六】等比数列下标和性质 【例6】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知在等比数列 中， ，则 _____. 【变式6-1】（25-26高二上·上海·期末）已知等比数列满足：，，则公比______． 【变式6-2】（25-26高二下·上海·阶段检测）在等比数列中，，，则公比_____． 【变式6-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知各项均为正数的等比数列满足，则_____________. 【题型七】判定等差、等比 【例7】（25-26高二·上海·期末）下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二·上海闵行·期中）已知为公差不为0的等差数列，则下列各式所确定的数列不可能是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知数列是等比数列，下面的数列中必为等比数列的个数是（    ） ①                ②        ③                ④ A． B． C． D． 【变式7-3】（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和． 【题型八】等差、等比综合应用 【例8】（25-26高二·上海·期末）已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为2，数列满足：. (1)依次写出数列的前6项； (2)设数列的前n项和为，求． 【变式8-1】（25-26高二·上海黄浦·期末）已知数列是公差为2的等差数列，其前15项的和为15，数列是公比为正实数的等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)设（，），计算． 【变式8-2】（24-25高二上·上海·期末）已知严格增的等比数列满足：，且是的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式8-3】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 1. 核心思想：由定义确定公差/公比 → 写出通项公式 → 求前 n 项和 → 用下标和性质简化。等比注意讨论公比是否为 1。 2. 公式速记： 3. 易错点：①等比求和讨论 q；②等比中项取 ± 且各项非 0；③等差 2b=a+c 与等比 b²=ac 勿混；④求和弄清项数；⑤下标和性质需下标和相等；⑥判定用定义法。 一、填空题 1．（26-27高二上·上海宝山·开学考试）在等差数列中，若首项，公差，则________． 2．（25-26高二上·上海·期中）已知等差数列的前项和为，则__________． 3．（25-26高二上·上海·期末）数列为等比数列，，公比，则______． 4．（25-26高二上·上海·期末）已知为无穷等比数列.若，则的公比为__________. 5．（25-26高二上·上海宝山·期末）等差数列满足：，则________ 6．（25-26高二上·上海·开学考试）已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则_________． 7．（25-26高二上·上海宝山·期末）数列是公比为的等比数列且，则数列的所有项和为________ 8．（25-26高二上·上海·期末）已知各项为正数的等比数列的前项和为，数列的前两项依次为1和，则__________. 9．（25-26高二上·上海普陀·阶段检测）在等差数列中，若，求公差的值是_________． 10．（26-27高二上·上海徐汇·开学考试）给定有穷数列 ，定义数列 的绝对差分数列 ，其中 . 已知各项均为整数的数列 满足 ，且其绝对差分数列为等差数列，若 ，则 的所有可能值共有_____个. 二、单选题 11．（24-25高二上·上海·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 12．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当且仅当时，是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列 C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列 13．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）等差数列的前项和为，若为确定常数，下列各式也为确定常数的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）已知r，s，t，q均为正整数，这下列序号中，命题A是命题B的充要条件的有（    ） ①：命题A：等差数列且       命题B： ②：命题A：等比数列且           命题B： A．①② B．①②都不是 C．① D．② 三、解答题 15．（24-25高二上·上海嘉定·期末）设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 16．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知数列的前n项和是n的二次函数，且，，. (1)求的表达式； (2)求数列的通项公式并证明数列是等差数列. 17．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知等差数列的前n项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前 项和． 18．（24-25高二上·上海·期中）在等差数列中，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 19．（25-26高二上·上海·期末）等比数列的首项为1，公比为2，等差数列的首项为1，公差为2，设的前项和为. (1)求； (2)求并判断的单调性，并证明无解. 20．（24-25高二·上海青浦·期末）随着人们生活水平和环保意识的提高，某家庭购买了某种型号新能源家用汽车.使用汽车共需支出三笔费用：购置费、电费、养护保险费.已知该型号汽车的购置费共万元；购买后预计第年电费共千元，以后每一年都比前一年增加百元. (1)若每年养护保险费均为千元.设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式； (2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为千元，由于部件老化等原因，第7年起，每一年的养护保险费都比前一年增加.设使用年后年平均费用为，当时，最小.请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）. 21.（24-25高二·上海奉贤·阶段检测）定义： 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和， 形成新的数列， 把这样的操作称为该数列的一次 “和扩充”，例如：数列1，3，5 经过第一次 “和扩充” 后得到数列1，4，3，8，5； 第二次 “和扩充” 后得到数列1，5，4，7，3，11，8，13，5. 设数列 经过 次 “和扩充” 后得到的数列的项数为 ，所有项的和为 . (1)若 ，求 (直接写出答案)； (2)求满足不等式 的正整数的最小值； (3)求数列的通项公式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 等差数列与等比数列讲义 【知识点01】等差数列 1. 定义：从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数（公差 d），即 2. 通项公式：，即首项加（n−1）个公差；也是，是 n 的一次函数。 3. 等差中项：若 a、b、c 成等差数列，则，即。 4. 前 n 项和： 前 n 项和是 n 的二次函数（无常数项）： 5. 常用性质：若 m+n=p+q，则；下标差等距对应相等：；等差中项判定：。 6. 判定方法：定义法（后项减前项为常数）、中项法（2aₙ=aₙ₋₁+aₙ₊₁）、通项法（n 的一次函数）、求和法（Sₙ 为无常数项的二次函数）。 【知识点02】等比数列 1. 定义：从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数（公比 q），即 2. 通项公式：；可写作，是 n 的指数型函数。 3. 等比中项：若 a、b、c 成等比数列，则，即 （ac 同号才有实数中项）。 4. 前 n 项和：当 q≠1 时，；当 q=1 时，。 5. 常用性质：若 m+n=p+q，则；；等比中项判定：。 6. 判定方法：定义法（后项比前项为常数，各项非 0）、中项法（aₙ²=aₙ₋₁·aₙ₊₁）、通项法（指数型）、求和法。 易错点一　等比前 n 项和漏分 q 讨论。 求和公式仅当 q≠1 时成立，q=1 时为 Sₙ=na₁。凡用等比求和，必须先讨论公比是否为 1。 易错点二　等比数列各项非 0，中项符号易错。 等比数列 a₁≠0、q≠0，故每一项均非 0；由 b²=ac 求等比中项 b 时须取 ±，并结合各项符号取舍。 易错点三　等差、等比中项公式混用。 等差中项是 2b=a+c（和的形式），等比中项是 b²=ac（积的形式），两者切勿混淆。 易错点四　前 n 项和公式中下标起点与项数。 Sₙ 表示前 n 项的和，须弄清从哪一项加到哪一项；从第 m 项到第 n 项的和是 Sₙ−Sₘ₋₁，项数为 n−m+1。 易错点五　下标和性质误用。 等差 aₘ+aₙ=aₚ+aq 成立的条件是 m+n=p+q（下标和相等）；等比对应 aₘ·aₙ=aₚ·aq。不可对任意下标随意套用。 易错点六　判定等差/等比方法混淆。 判断等比用后项比前项为常数（且不能除以 0），判断等差用后项减前项为常数；须由定义出发，不可用通项公式代替判断。 【题型一】求等差数列通项公式 【例1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等差数列的公差为， 由得解得 ∴，. （2）证明：由（1）知：，， 设是数列的第k（k为正整数）项， 则，解得，k为正整数， 则是数列的第项， ∴，，…，均是数列中的项； 设是数列的第m（m为正整数）项， 则，解得，所以m不是正整数，则不是数列中的项， ∴，，…，均不是数列中的项. 【变式1-1】若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项. (1)求和的调和中项； (2)已知调和数列，，，求的通项公式. 【详解】（1）设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列， 所以，解得：， 故和的调和中项为； （2）依题意，是等差数列，设其公差为， 则， 所以， 故. 【变式1-2】在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)试判断是否为数列中的项？ 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵，，∴， 解得，，∴. （2）令， ∴，不是数列中的项. 【变式1-3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)数列满足，，求的通项公式． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意可得： 解得，， 所以数列的通项公式． （2）由可得： ， ， … ， 通过累加可得， 又，所以， 当时，符合，故． 【题型二】等差数列下标和性质 【例2】（25-26高二上·上海·期末）设为等差数列，若，则__________． 【答案】4 【详解】根据等差数列的性质，有，解得， 又． 故答案为：4． 【变式2-1】（24-25高三上·上海浦东新·期末）若等差数列满足，，则__________． 【答案】 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，可得， 即，解得 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高二·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则______________． 【答案】4 【详解】由题意有，又，， 所以. 故答案为：4. 【变式2-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）在等差数列中，若，，则的值为______. 【答案】28 【详解】由题, ，， ,， ， ， . 故答案为：28 【题型三】求等差前 n 项和 【例3】（24-25高二·上海·课堂例题）已知数列为等差数列，其前项和记为. (1)若，则； (2)已知等差数列的公差，，求其通项公式. 【详解】（1）因为， 所以 ； （2）由，解得. 故. 【变式3-1】（25-26高二·上海·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，， (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值以及对应的的值． 【详解】（1）在等差数列中，，解得， 因此数列的公差， 所以的通项公式. （2）由（1）得， 由，得当或时，取得最大值135， 所以的最大值为135，对应的为9或10. 【变式3-2】已知在公差为的等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【详解】（1）设的公差为，由题意，，解得， 则； （2）设数列的前项和为，因为， 所以， 所以 【变式3-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足（，）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和． 【详解】（1）由，得. 所以当时，. 又，不满足. 所以. （2）令，则. 所以当时，，所以当时，数列是等差数列. 所以. 又 ， 所以数列的前100项和为. 【题型四】求等比数列通项公式 【例4】）等比数列的首项为2，公比为5，则数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】数列的通项公式为． 答案： 【变式4-1】（25-26高二上·上海普陀·期末）设是等比数列，，，则的通项公式______． 【答案】 【详解】，且，，又. ，. 故答案为： 【变式4-2】设各项均为正数的等比数列的首项，前项和为，且，则数列的通项公式为______． 【答案】 【详解】设数列的公比为． 由，得． 又由题意分析知，所以成等比数列，公比为， 所以． 又为各项均为正数的等比数列，所以，所以． 【变式4-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，．求数列的通项公式． 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，所以公比， 因为，所以，所以． 由题易知是公比为的等比数列，所以是公比为的等比数列． 因为，所以， 所以，所以，所以． 所以当时，； 当时，． 【题型五】求等比前 n 项和 【例5】已知等比数列的公比，，，则其前5项和______. 【答案】62 【详解】∵ 等比数列公比， ∴ ，解得. ∵ ， ∴ . ∴ . 【变式5-1】（26-27高二上·上海长宁·阶段检测）已知在等比数列中，，，则______ 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，其中，故，解得， 故 . 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期末）无穷等比数列的前项的和为，首项，公比为，且，则______． 【答案】 【详解】由题可知，，趋于无穷大， 则，所以， 所以， 代入得. 故答案为：. 【变式5-3】已知数列为正项等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【详解】（1）设的公比为，正项等比数列满足，由，得，， 由，得，即，解得或，舍， 故，所以. （2）由数列为正项等比数列，，，得. 【题型六】等比数列下标和性质 【例6】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知在等比数列 中， ，则 _____. 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，则， 则，即，所以，即. 所以． 故答案为：9. 【变式6-1】（25-26高二上·上海·期末）已知等比数列满足：，，则公比______． 【答案】 【详解】因为，所以由等比数列性质得， 因为，所以，即， 因为，所以，可得， 代入可得，解得. 故答案为： 【变式6-2】（25-26高二下·上海·阶段检测）在等比数列中，，，则公比_____． 【答案】 【详解】，解得 当时，，，解得； 当时，，，无解； 综上所述，. 【变式6-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知各项均为正数的等比数列满足，则_____________. 【答案】7 【详解】已知各项均为正数的等比数列满足，所以，所以，即， 所以. 故答案为：7. 【题型七】判定等差、等比 【例7】（25-26高二·上海·期末）下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，，所以不是等差数列，A错误； B选项，，故不是等比数列，B错误； C选项，，不是等差数列，，也不是等比数列，C错误； D选项，为公差为0的等差数列，也是公比是1的等比数列，D正确. 【变式7-1】（25-26高二·上海闵行·期中）已知为公差不为0的等差数列，则下列各式所确定的数列不可能是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】假设，其中为常数 对于A： 则为常数，所以是等差数列； 对于B： 则为常数，所以是等差数列； 对于C： 则，该式随变化，不是常数，所以不可能是等差数列； 对于D：当时，为常数列，是等差数列，所以可能是等差数列. 【变式7-2】已知数列是等比数列，下面的数列中必为等比数列的个数是（    ） ①                ②        ③                ④ A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， 对于①，，数列为等比数列，①正确； 对于②，当时，，此时数列不是等比数列，②错误； 对于③，，数列为等比数列，③正确； 对于④，，当时，不是等比数列，④错误. 故选：B. 【变式7-3】（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和． 【详解】(1)对递推式两边同时除以， 可得，即， 又首项，因此数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知，等差数列的通项为， 因此，所以， 所以，即数列是首项为、公差为的等差数列， 故数列的前n项和为. 【题型八】等差、等比综合应用 【例8】（25-26高二·上海·期末）已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为2，数列满足：. (1)依次写出数列的前6项； (2)设数列的前n项和为，求． 【详解】（1）由题意得，， 则，，，， ，． （2）中奇数项为，偶数项为． 奇数项：，， 和为． 偶数项：，，首项为，公比为，项数为6， 和为． 故． 【变式8-1】（25-26高二·上海黄浦·期末）已知数列是公差为2的等差数列，其前15项的和为15，数列是公比为正实数的等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)设（，），计算． 【详解】（1）由 得 ，解得 ，故 ； 设公比 ，由 ， 得 ，解得 （舍去 ），故 . （2）因， 则 . 【变式8-2】（24-25高二上·上海·期末）已知严格增的等比数列满足：，且是的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【详解】（1）设数列的公比为， 所以， 又是的等差中项， 所以，所以， 所以，解得或（舍去）, 时，，此时数列递减，不符合题意， 所以， 所以； （2）由（1）有：， 所以①， 所以②， 由①②得：， 所以. 【变式8-3】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； （2）由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； （3）， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 1. 核心思想：由定义确定公差/公比 → 写出通项公式 → 求前 n 项和 → 用下标和性质简化。等比注意讨论公比是否为 1。 2. 公式速记： 3. 易错点：①等比求和讨论 q；②等比中项取 ± 且各项非 0；③等差 2b=a+c 与等比 b²=ac 勿混；④求和弄清项数；⑤下标和性质需下标和相等；⑥判定用定义法。 一、填空题 1．（26-27高二上·上海宝山·开学考试）在等差数列中，若首项，公差，则________． 【答案】145 【详解】因为等差数列的首项，公差， 所以. 2．（25-26高二上·上海·期中）已知等差数列的前项和为，则__________． 【答案】5 【详解】由等差数列的前项和为， 当时，； 当时，，得； 当时，，得. 故答案为：5. 3．（25-26高二上·上海·期末）数列为等比数列，，公比，则______． 【答案】 【详解】因为等比数列中，，公比，所以. 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·期末）已知为无穷等比数列.若，则的公比为__________. 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得，所以， 又因为，可得无穷等比数列的和， 整理得，解得或， 因为，所以. 故答案为：. 5．（25-26高二上·上海宝山·期末）等差数列满足：，则________ 【答案】40 【详解】因为为等差数列，所以， 则. 故答案为：40 6．（25-26高二上·上海·开学考试）已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则_________． 【答案】 【详解】. 故答案为：48. 7．（25-26高二上·上海宝山·期末）数列是公比为的等比数列且，则数列的所有项和为________ 【答案】 【详解】 故答案为： 8．（25-26高二上·上海·期末）已知各项为正数的等比数列的前项和为，数列的前两项依次为1和，则__________. 【答案】 【详解】因为，则，令， 由题知，解得，又，得， 所以. 故答案为：. 9．（25-26高二上·上海普陀·阶段检测）在等差数列中，若，求公差的值是_________． 【答案】1 【详解】是等差数列，设首项是，公差为，， ，解得． 故答案为：1． 10．（26-27高二上·上海徐汇·开学考试）给定有穷数列 ，定义数列 的绝对差分数列 ，其中 . 已知各项均为整数的数列 满足 ，且其绝对差分数列为等差数列，若 ，则 的所有可能值共有_____个. 【答案】3 【详解】，且均为整数，， 设 则 则绝对差分数列的前三项分别为， 利用等差中项得. 解得， 即 的所有可能值共有3个. 二、单选题 11．（24-25高二上·上海·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由，得. 设等差数列的公差为，由题意知①， 当时，由①，得或2，此时或； 当时，由①，得，此时； 当时，由①，得或1，此时或. 所以满足题意的等差数列共有5个. 故选：D 12．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当且仅当时，是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列 C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列 【答案】B 【详解】当时，， 当时，， 若是等比数列，则，因此，解得； 当时，，，， 又，所以， 因为当时，， 此时数列是首项为，公比为的等比数列； 即当且仅当时，是等比数列， 故选：B. 13．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）等差数列的前项和为，若为确定常数，下列各式也为确定常数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，则为确定常数， 依据等差数列下标和的性质，易知为确定常数， 故选：C 14．（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）已知r，s，t，q均为正整数，这下列序号中，命题A是命题B的充要条件的有（    ） ①：命题A：等差数列且       命题B： ②：命题A：等比数列且           命题B： A．①② B．①②都不是 C．① D．② 【答案】B 【详解】已知均为正整数. ①：若，设等差数列的公差为. 则，所以，所以，即. 所以命题A是命题 B的充分条件； 若，则. 若数列为等差数列，设公差为.即. 当时，，即. 当时，恒成立，所以不一定成立，不一定成立. 若数列不是等差数列，如数列各项为：1，2，3，3，2，1.，此时数列不是等差数列且 . 所以命题A不是命题B的必要条件. 综上所述，命题A是命题B的充分不必要条件. ②：若数列是等比数列，设公比为，由 得：. 所以，所以，即. 所以命题A是命题 B的充分条件； 若. 若数列为等比数列，设公比为，则. 因为，所以. 当时，，所以 ； 当时，恒成立，不一定成立 ； 若数列不是等比数列，如：数列各项均为零，则恒成立，不能推出数列等比且r+t=2s 所以命题A不是命题B的必要条件. 综上所述，命题A是命题B的充分不必要条件. 故选：B. 三、解答题 15．（24-25高二上·上海嘉定·期末）设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ，解得， ∴. （2）由（1）得， 由于是数列中最大的项， ∴，则 ， 所以，即 即 解得， 由于是整数，所以的可能取值是. 16．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知数列的前n项和是n的二次函数，且，，. (1)求的表达式； (2)求数列的通项公式并证明数列是等差数列. 【详解】（1）设. ∵，，. ∴解得 ∴. (2)∵，当时， . 当时，也成立.∴， 当时，， 从而. 所以数列是一个等差数列. 17．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知等差数列的前n项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前 项和． 【详解】（1）解：设的公差为，因为，可得， 又因为，可得，解得， 所以， 因为，且公比，所以，解得， 所以． （2）解：由（1）知：且，可得， 所以数列的前项和. 18．（24-25高二上·上海·期中）在等差数列中，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 【详解】（1）因为，即， 又因为，可得，即， 则，可得， 所以数列的通项公式. （2）令，解得， 可知当时，；当时，； 所以数列的前项和的最小值为. 19．（25-26高二上·上海·期末）等比数列的首项为1，公比为2，等差数列的首项为1，公差为2，设的前项和为. (1)求； (2)求并判断的单调性，并证明无解. 【详解】（1）因为等比数列的首项为1，公比为2， 所以等比数列的通项公式为：， 因为等差数列的首项为1，公差为2， 所以等差数列的通项公式为：， 所以 (2)，单调递增数列，证明如下： 由（1）， 所以， 所以， 因为对任意正整数，，， 所以，即，， 所以为严格递增数列， 因为，， 所以，由数列严格递增可知，不存在正整数使得， 所以无解. 20．（24-25高二·上海青浦·期末）随着人们生活水平和环保意识的提高，某家庭购买了某种型号新能源家用汽车.使用汽车共需支出三笔费用：购置费、电费、养护保险费.已知该型号汽车的购置费共万元；购买后预计第年电费共千元，以后每一年都比前一年增加百元. (1)若每年养护保险费均为千元.设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式； (2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为千元，由于部件老化等原因，第7年起，每一年的养护保险费都比前一年增加.设使用年后年平均费用为，当时，最小.请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）. 【详解】（1）购买后第年电费共元后每一年都比前一年增加元， 购买该车后，每年的电费构成等差数列，首项为，公差为， 购买该种型号汽车第年的电费用为， 购买该种型号汽车第年的电费用为 ， 每年养护保险费均为元，购置费共万元， 购买该种型号汽车年后共支出费用为 . （2）设第年养护保险费为，则， 设年后的总费用为， 则 经计算器计算可得时，最小. 21.（24-25高二·上海奉贤·阶段检测）定义： 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和， 形成新的数列， 把这样的操作称为该数列的一次 “和扩充”，例如：数列1，3，5 经过第一次 “和扩充” 后得到数列1，4，3，8，5； 第二次 “和扩充” 后得到数列1，5，4，7，3，11，8，13，5. 设数列 经过 次 “和扩充” 后得到的数列的项数为 ，所有项的和为 . (1)若 ，求 (直接写出答案)； (2)求满足不等式 的正整数的最小值； (3)求数列的通项公式. 【详解】（1）第一次“和扩充”：3，7，4，9，5； 第二次“和扩充”：3，10，7，11，4，13，9，14，5； 故. （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以， 所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到，， 故，， 故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 又，则，即，解得. 所以的最小值为10. （3）因为， ， 依次类推，， 故 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $