专题4.2 等比数列及其前n项和（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第一册

本讲义聚焦等比数列及其前n项和核心知识点，从概念（定义、等比中项）出发，系统梳理通项公式、前n项和公式，延伸至常用性质及前n项和性质，构建“概念-公式-性质-应用”的学习支架，各环节通过即学即练衔接，夯实基础。 资料以分层设计与素养导向为特色，知识点按认知梯度编排，题型中典例与变式结合，通过推理运算培养数学思维，即学即练助力学生用数学语言表达解题过程。课中便于教师分层教学，课后学生可通过练习查漏补缺，强化知识应用能力。

专题4.2 等比数列及其前n项和 教学目标 1.理解等比数列的概念，能够准确判断一个数列是否为等比数列。 2.熟练掌握等比数列的通项公式，并能灵活运用这些公式解决相关问题。 3.了解等比数列与指数函数的关系，能利用等比数列的性质简化计算。 4.熟练掌握等比数列前n项和的公式，并能灵活运用求和公式解决相关问题。 教学重难点 1.重点 等比数列的通项公式和前n项和公式． 2.难点 等比数列的前n项和公式的性质 知识点01 等比数列的有关概念 （1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=ab. 【即学即练】 1．已知等比数列的公比，则 等于（ ） A． B． C．3 D． 2．若互不相等的正数满足，则（    ） A．成等差数列 B．成等比数列 C．成等差数列 D．成等比数列 3．1和2025的等比中项为 （    ） A．50 B．45 C． D． 4．已知数列是等比数列，且，，则 . 知识点02 等比数列的通项公式及前n项和公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 【即学即练】 1．已知等比数列的前项和为，则（　　） A．162 B．96 C．90 D．48 2．已知数列满足：，，，且，则数列的前100项和为（    ） A．4050 B．4950 C．5050 D．4450 3．已知等比数列满足，则数列的通项公式 . 4．已知等比数列的公比为，前项和为，若，则 . 知识点03 等比数列的常用性质 （1）若m+n=p+q，则aman=apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则aman=，其中m，n，w∈N*. （2）ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*). （3）若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0). （4）若或则等比数列{an}递增.若或则等比数列{an}递减. 【即学即练】 1．在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（    ） A． B． C．18 D．24 2．等比数列中，则（   ） A． B．5 C．10 D．20 3．已知数列是单调递增的等比数列，且，，则 ，数列的公差为 ． 4．已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 知识点04 等比数列前n项和的常用性质 （1）等长度截取：等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍为等比数列，且公比为qk(q≠－1，或q＝－1且k为奇数). 注：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. （2）{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． （3）若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ⅰ）在其前2n项中，＝q； ⅱ）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). S奇＝a1＋qS偶． （4）在等比数列中，当qm≠1时，＝，n，m∈N*. （5）在等比数列中，Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝(q为公比) 【即学即练】 1．等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 2．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知等比数列的前项和为，若，则 ． 4．在各项均为正数的等比数列中，若，，则 . 题型01 判断、证明数列是等比数列 【典例1】设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】已知数列满足，且，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等差数列 C．若，则是等比数列 D．若，则是等比数列 【变式2】将公比为q的等比数列依次取相邻两项的乘积组成的新数列，，，…．则此数列 （选填“是”或“不是”’）等比数列，若是，则公比为 ． 【变式3】（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p； （2）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列． 【变式4】已知数列是公比不相等的两个等比数列，令. (1)证明：数列不是等比数列； (2)若，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型02 等比中项的求解和应用 【典例1】若，，三个数依次成等比数列，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式1】已知等差数列的首项为1，公差，若成等比数列，则数列的前20项和为（    ） A． B．360 C． D．37 【变式2】已知等比数列中，是方程的两个根，则 ． 【变式3】已知是公差不为0的等差数列的前n项和，且，，成等比数列，则 . 【变式4】设为等差数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若，，成等比数列，求的值． 题型03 求等比数列的通项公式 【典例1】设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知在等比数列中，，公比，则数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在数列中，，，则 . 【变式3】已知数列满足，且，则 . 【变式4】已知在数列中，， ． (1)求实数，使得为等比数列； (2)求数列的通项公式． 题型04 利用等比数列的性质计算 【典例1】在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大值是（    ） A． B．4 C． D．2 【变式1】在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【变式2】已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 【变式3】设各项均为正数的等比数列满足，则等于 . 【变式4】已知数列为等比数列． (1)若，且求的值； (2)若 求数列的通项公式． 题型05 求等比数列前n项和 【典例1】已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（    ） A．62 B．66 C．56 D．46 【变式1】已知为等比数列，且，则（    ） A．189 B．93 C．63 D．33 【变式2】已知等比数列的前项和为，若，则 . 【变式3】已知数列通项公式，则数列的前9项和为 . 【变式4】已知数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求． 题型06 等比数列前n项和的性质应用 【典例1】设为公比大于1的等比数列的前项和，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式1】已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．56 B． C．63 D． 【变式2】已知等比数列的前项和为，若，则 . 【变式3】设等比数列的前n项和为，若，则 ． 【变式4】记为等比数列的前n项和，． (1)若，求的值； (2)若，求证：． 1．已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（   ） A． B．27 C．81 D．或81 2．已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．已知为数列的前n项和，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．记为等比数列的前项和，若，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．9 5．已知数列满足，其前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 6．已知数列是等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 7．设等比数列的公比为，前n项和，则的取值范围是 ． 8．已知数列满足，，则 . 9．已知首项为1的正项等比数列满足，则的通项公式为 ；设，若为数列的前n项和，则 ． 10．在等比数列中，，，则 ． 11．在学完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前项和 ．记数列的前项和为，利用上述方法求 . 12．已知数列的前项和为，且，则 13．已知等比数列，第三项是12，第六项是96，则 ． 14．已知是等差数列，是首项为1，公比为3的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 15．已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 16．若定义数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则称数列为“等差等比混合数列”．已知“等差等比混合数列”满足，其中常数． (1)当时，写出的值； (2)证明：是等比数列； (3)设的前项和为，若是“等差等比混合数列”，求的值，并求拆分出来的等差数列与等比数列表达式． 17．已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求数列的前项和； (2)若，求； 18．已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 19．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 等比数列及其前n项和 教学目标 1.理解等比数列的概念，能够准确判断一个数列是否为等比数列。 2.熟练掌握等比数列的通项公式，并能灵活运用这些公式解决相关问题。 3.了解等比数列与指数函数的关系，能利用等比数列的性质简化计算。 4.熟练掌握等比数列前n项和的公式，并能灵活运用求和公式解决相关问题。 教学重难点 1.重点 等比数列的通项公式和前n项和公式． 2.难点 等比数列的前n项和公式的性质 知识点01 等比数列的有关概念 （1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=ab. 【即学即练】 1．已知等比数列的公比，则 等于（ ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】利用等比数列的定义求解即可. 【详解】因为等比数列的公比， 所以． 故选：D 2．若互不相等的正数满足，则（    ） A．成等差数列 B．成等比数列 C．成等差数列 D．成等比数列 【答案】D 【分析】根据互不相等，且得到，转化为，根据等比中项的概念，判断成等比数列. 【详解】因为互不相等，且，所以 ，即， 所以成等比数列. 故选：D 3．1和2025的等比中项为 （    ） A．50 B．45 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比中项定义计算求解. 【详解】设1和2025的等比中项为， 则，解得. 故选：C. 4．已知数列是等比数列，且，，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列的定义得到，然后利用已知项的值即可得到结果. 【详解】由是等比数列，知. 所以. 故答案为：. 知识点02 等比数列的通项公式及前n项和公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 【即学即练】 1．已知等比数列的前项和为，则（　　） A．162 B．96 C．90 D．48 【答案】C 【分析】利用等比数列的基本量的计算可求得. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，又，所以， 由题意可得，所以， 所以，所以， 所以，解得或（舍去），所以， 所以. 故选：C. 2．已知数列满足：，，，且，则数列的前100项和为（    ） A．4050 B．4950 C．5050 D．4450 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，进而求出，再利用等差数列前n项和公式求解. 【详解】由，得，而， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列，因此，， 所以数列的前100项和为. 故选：B 3．已知等比数列满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【详解】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 4．已知等比数列的公比为，前项和为，若，则 . 【答案】5 【分析】利用等比数列的求和公式即可求解. 【详解】根据等比数列前项和公式可得：， 所以，则， 因此，所以 故答案为： 知识点03 等比数列的常用性质 （1）若m+n=p+q，则aman=apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则aman=，其中m，n，w∈N*. （2）ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*). （3）若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0). （4）若或则等比数列{an}递增.若或则等比数列{an}递减. 【即学即练】 1．在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（    ） A． B． C．18 D．24 【答案】C 【分析】由等比数列下标和性质，结合等差中项列出等式求解即可. 【详解】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：C 2．等比数列中，则（   ） A． B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项的性质求得公比，即可得结论. 【详解】设等比数列的公比为， 则，所以， 故. 故选：C. 3．已知数列是单调递增的等比数列，且，，则 ，数列的公差为 ． 【答案】 81 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式和性质解得，再根据等比数列的定义分析求解. 【详解】因为数列是单调递增的等比数列，即， 则，解得或（舍去）， 则，解得， 所以，. 故答案为：81；. 4．已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用等比数列的性质得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为数列为正项等比数列，， 设，则，则， 由于是等比数列，所以也成等比数列， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 知识点04 等比数列前n项和的常用性质 （1）等长度截取：等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍为等比数列，且公比为qk(q≠－1，或q＝－1且k为奇数). 注：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. （2）{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． （3）若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ⅰ）在其前2n项中，＝q； ⅱ）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). S奇＝a1＋qS偶． （4）在等比数列中，当qm≠1时，＝，n，m∈N*. （5）在等比数列中，Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝(q为公比) 【即学即练】 1．等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】A 【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 2．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件结合等比数列的性质得，，成等比数列，由此能求出． 【详解】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列. 因为，所以，所以，故. 故选：C 3．已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】法一：利用求通项公式，结合等比数列的定义求参数值，法二：应用等比数列前n项和公式求参数值. 【详解】（方法一）因为， 当时，，可得，， 当时，． 因为数列为等比数列，所以，解得． （方法二）若数列公比为，当，则 不可能恒相等, 所以，则，所以． 故答案为：. 4．在各项均为正数的等比数列中，若，，则 . 【答案】70 【分析】利用等比数列的求和公式的基本量运算即得，或利用等比数列前n项和的性质求解. 【详解】设等比数列的公比为，由题可知， 方法一：由已知条件可列出方程组 两式作商得， ∴， ∴. 方法二：由性质得， ，即， ∴， ∴. 方法三：运用性质. 由已知条件，，易得， ∴，即， ∴. 由，解得. 方法四：运用性质，，，，…成等比数列解答. ∵，，成等比数列， 而，，∴， 即， ∴. 故答案为：70. 题型01 判断、证明数列是等比数列 【典例1】设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用等比数列的定义判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， ∵，∴是等比数列，①正确； ∵，∴是等比数列，②正确； ∵，∴是等比数列，③正确；         ∵，∴是等比数列，④正确. 故选：D. 【变式1】已知数列满足，且，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等差数列 C．若，则是等比数列 D．若，则是等比数列 【答案】B 【分析】根据题意给出的条件进行化简，并结合等差数列、等比数列知识进行逐项求解判断. 【详解】对于A项：，得：， 因为：，所以得：， 所以：为等差数列，故A项正确； 对于B项：，，所以：，， 不满足等差数列，故B项错误； 对于C项：，，所以：，故：， 数列为等比数列，故C项正确 对于D项：，得：， 因为：，所以：，即：， 所以：为等比数列，故D项正确. 故选：B. 【变式2】将公比为q的等比数列依次取相邻两项的乘积组成的新数列，，，…．则此数列 （选填“是”或“不是”’）等比数列，若是，则公比为 ． 【答案】 是 【分析】利用等比数列的定义判断求解. 【详解】解：由题意知：新数列为， 则， 故答案为：是， 【变式3】（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p； （2）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列． 【答案】（1）或；（2）证明见解析 【分析】（1）利用等比数列的定义及等比中项的性质待定系数计算即可； （2）利用等比数列的定义，证前三项不符合等比数列定义即可. 【详解】（1）∵是等比数列， ∴， 将代入上式，得 ， 即， 整理得：． 解得：或； （2）设，的公比分别为p，q，，， 为证不是等比数列，只需证：． 事实上，， ． 由于，， 又，不为零，则， 因此，，故不是等比数列． 【变式4】已知数列是公比不相等的两个等比数列，令. (1)证明：数列不是等比数列； (2)若，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【分析】（1）要证明证不是等比数列，只需证即可，由此计算即可证明结论； （2）假设存在常数，使得数列为等比数列，则利用等比中项性质，列式化简求解，可求得k的值，验证即得结论. 【详解】（1）设的公比分别为， 为证不是等比数列，只需证. 而， 由于，且不为零， 因此，故不是等比数列. （2）假设存在常数，使得数列为等比数列， 则有， 将代入上式，得， 即， 整理得， 解得或. 经检验，当时，， 此时数列为等比数列； 当时，， 数列为等比数列， 所以，存在常数或，使得数列为等比数列. 题型02 等比中项的求解和应用 【典例1】若，，三个数依次成等比数列，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】直接利用等比中项列方程求解即可. 【详解】因为，，成等比数列， 由等比数列的性质得，解得. 故选：A. 【变式1】已知等差数列的首项为1，公差，若成等比数列，则数列的前20项和为（    ） A． B．360 C． D．37 【答案】A 【分析】利用等比中项得到关于公差的方程，再利用等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】因为成等比数列，所以，所以， 所以,解得或（舍去）， 所以数列的前20项和． 故选：A. 【变式2】已知等比数列中，是方程的两个根，则 ． 【答案】8 【分析】根据韦达定理及等比中项的性质即可求解. 【详解】由韦达定理可得，由等比数列的性质可得． 故答案为：8. 【变式3】已知是公差不为0的等差数列的前n项和，且，，成等比数列，则 . 【答案】4 【分析】根据等差、等比数列的通项公式、求和公式，进行化简求值即可. 【详解】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，则， 即，可得， . 故答案为：4. 【变式4】设为等差数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若，，成等比数列，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将条件关系利用等差数列的通项公式和前项和公式转化为的方程，解方程求，再结合公式求出答案； （2）根据等比中项的性质，结合（1）的结论列方程求即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以数列的通项公式为，数列的前项和为． （2）因为，，成等比数列，所以， 即，解得， 又，所以. 题型03 求等比数列的通项公式 【典例1】设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，可得，两式相减，求得，得到数列为等比数列，进而求得其通项公式. 【详解】由，当时，可得， 两式作差，可得，即， 所以，即， 当时，可得，即，解得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 【变式1】已知在等比数列中，，公比，则数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列的通项公式求得. 【详解】由等比数列的通项公式易得. 故选：B 【变式2】在数列中，，，则 . 【答案】 【分析】由已知的递推公式构造等比数列，求得该等比数列的通项公式，从而得到数列的通项公式. 【详解】由，得. 由，得，则， 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 故答案为：. 【变式3】已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】由递推关系结合，确定，再对递推关系取倒数可得，再证明数列为等比数列，结合等比数列通项公式求数列的通项公式，再求结论. 【详解】因为，， 所以，，，，， 即，， 所以， 所以，又因为， 所以，， 所以， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以，故， 故答案为：. 【变式4】已知在数列中，， ． (1)求实数，使得为等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列为等比数列，可以设其公比为，从而用待定系数法解得和的值，并借助的通项得到数列的通项． （2）由（1）可得 ，从而可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为． 因为，所以． 又因为，所以， 可得解得所以. 因为，所以为等比数列，. 故当，使得为等比数列. （2）由（1）可知，，可得 ，所以. 故数列的通项公式为. 题型04 利用等比数列的性质计算 【典例1】在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大值是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据等比数列的下标和性质及基本不等式即可求解。 【详解】在各项均为正数的等比数列 中，设公比为， 则， 即， 根据基本不等式，得， 即， 当且仅当，即，即（负值舍去）时，取等号， 又，解得，即的最大值为2. 故选：D 【变式1】在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】D 【分析】先由等比数列的性质确定的通项，再令，分为偶数和大于2的奇数求解即可. 【详解】设的公比为，记， 由，得， 所以. 令，则. 当为偶数时，无正整数解； 当为大于2的奇数时，， 由19，解得， 又为奇数，所以的最小值为27. 故选：D. 【变式2】已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 【答案】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到，，代入所求从而得到结果. 【详解】由题意得：，解得：， ，解得：， 所以. 故答案为：. 【变式3】设各项均为正数的等比数列满足，则等于 . 【答案】 【分析】利用等比数列的通项公式将转化为的等式，通过计算得到的值，即的值，利用等比数列的性质得到，代入计算得解. 【详解】是各项均为正数的等比数列，，， ，， ， . 故答案为：. 【变式4】已知数列为等比数列． (1)若，且求的值； (2)若 求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意结合等比数列性质可得，即可得结果； （2）根据题意结合等比数列性质可得，设数列的前3项依次为，结合题意列式求解即可. 【详解】（1）因为，则，即， 又因为，所以. （2）因为，则，可得， 设数列的前3项依次为，则有， 整理得，解得或， 此时或，所以或 题型05 求等比数列前n项和 【典例1】已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（    ） A．62 B．66 C．56 D．46 【答案】D 【分析】根据题意，求得，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列是首项为，公比为2的等比数列， 可得，所以， 所以数列的前5项之和为. 故选：D. 【变式1】已知为等比数列，且，则（    ） A．189 B．93 C．63 D．33 【答案】A 【分析】应用等比数列的前n项和公式计算求解. 【详解】因为为等比数列，且， 则. 故选：A. 【变式2】已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列前项和的基本公式与幂运算即可求得. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，若，则，所以. 由，得，即， 所以，解得， 则. 故答案为：. 【变式3】已知数列通项公式，则数列的前9项和为 . 【答案】 【分析】由通项公式可得，数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，利用分组求和求解. 【详解】， 数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列． 则，． 则数列的前9项和 ． 故答案为：． 【变式4】已知数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用观察法及等差数列前n项和公式求解. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）依题意，. （2）由（1）知，， 故①， ②， 两式①-②得 ， 故. 题型06 等比数列前n项和的性质应用 【典例1】设为公比大于1的等比数列的前项和，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由等比数列片段和的性质可得。 【详解】设为公比大于1的等比数列的前项和， 所以成等比数列，所以， 因为，所以， 解得或者, 因为等比数列公比大于1，所以， 所以, 故选：D 【变式1】已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．56 B． C．63 D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质建立方程，求解即可. 【详解】因为等比数列的前n项和为， 所以，，成等比数列，且公比为正数， 设，由题意得，， 则7，，成等比数列，得到， 即，解得或， 因为，，三者同号，所以，故C正确. 故选：C. 【变式2】已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可. 【详解】设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为， 所以. 故答案为： 【变式3】设等比数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列前项和的基本量计算，或根据等比数列的性质来求得. 【详解】法一：设等比数列的公比为q，若，则，所以； 由，得 ，即， 所以，解得， 则 ． 法二：由等比数列的性质知，，，…成等比数列， 其公比为，设，显然， 则，，所以，所以． 故答案为： 【变式4】记为等比数列的前n项和，． (1)若，求的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)60； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据等比数列前项和的性质列方程求得，然后可得； （2）利用等比数列前项和的性质求出，然后整理变形即可得证. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 因为，所以， ，所以, 故，，成等比数列，且公比为， 所以， 整理得， 因为，故， 解得， 所以． （2）因为，所以，由（1）知，， 因为数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以 又， 则 所以 1．已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（   ） A． B．27 C．81 D．或81 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得或， 又数列为递增等比数列，所以，所以. 故选：C. 2．已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式求出，求得，令，求得答案. 【详解】由题可得， ， 令，即，，解得， 又，所以满足的正整数的最大值为12. 故选：B. 3．已知为数列的前n项和，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定是以2为首项，2为公比的等比数列，然后求出通项公式，进而可求得. 【详解】由，可知，，， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 故， 所以. 故选：A. 4．记为等比数列的前项和，若，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质及求和公式，即可求解判断. 【详解】设等比数列的公比为 ， 则根据等比数列的性质可得：， 即得， 根据公比不为1的等比数列的求和公式得： . 故选：B. 5．已知数列满足，其前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析数列的性质，利用等比数列的求和公式进行计算即可. 【详解】令，则 . 由，所以， 两式相除可得：. 所以数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列. 所以 . 故选：B 6．已知数列是等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为 ， 两个式子相比，得， 又由于同号，且相加小于0，所以， 故选：C 7．设等比数列的公比为，前n项和，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据的情况分类讨论，进而求解. 【详解】由等比数列的前n项和， 所以， 当时，满足题意， 当时，， 所以， 所以或， 当，由，所以， 当， 综上所述，或， 故答案为：. 8．已知数列满足，，则 . 【答案】 【分析】根据条件直接对前项的和进行并项求和可得结果. 【详解】由，所以， 所以 . 故答案为： 9．已知首项为1的正项等比数列满足，则的通项公式为 ；设，若为数列的前n项和，则 ． 【答案】 【分析】由先求出 ，所以， 则，利用裂项相消法求出， 则. 【详解】设等比数列的公比为， 因为且，所以， 所以 ，所以 ，所以 则， 所以. 故答案为：，. 10．在等比数列中，，，则 ． 【答案】10 【分析】根据等比数列的通项公式与性质求解，并检验公比的值是否符合题意，从而根据等比数列项的递推关系得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，解得； 当，又，则， 解得，不符合题意； 当时，又，则， 解得，符合题意．综上可得． 故答案为：10. 11．在学完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前项和 ．记数列的前项和为，利用上述方法求 . 【答案】 【分析】根据题中数学方法，结合待定系数法进行求解即可. 【详解】设， 左右对照可得，，解得， 所以， 则数列的前项和为： ， 故. 故答案为： 12．已知数列的前项和为，且，则 【答案】57 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，进而求出. 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， 所以. 故答案为：57 13．已知等比数列，第三项是12，第六项是96，则 ． 【答案】 【分析】先通过等比数列的通项公式求出首项和公比，再用前项和公式计算即可. 【详解】因为，，代入通项公式， 得： 除以，消去得：， 因此，公比， 将代入： 即：，解得：， 把，，， 代入（）得： . 故答案为：. 14．已知是等差数列，是首项为1，公比为3的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）知，，得到，结合错位相减法求和，即可得到答案. 【详解】（1）解：由数列是首项为1，公比为3的等比数列，可得， 因为数列是等差数列，设其公差为，首项为， 又因为，可得，即，解得， 所以数列的通项公式为. （2）解：由数列的通项公式为， 又由，所以， 设数列的前项和为， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 15．已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）变形为，进而利用等比数列定义证明即可； （2）先求得，然后结合等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 设，则， 又因为， 所以是以2为首项，4为公比的等比数列. （2）由（1）可知，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， 所以 . 16．若定义数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则称数列为“等差等比混合数列”．已知“等差等比混合数列”满足，其中常数． (1)当时，写出的值； (2)证明：是等比数列； (3)设的前项和为，若是“等差等比混合数列”，求的值，并求拆分出来的等差数列与等比数列表达式． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)，等差数列，等比数列 【分析】（1）根据数列递推公式，直接求出结果即可. （2）根据数列通项公式，直接求出数列的递推公式，进而根据等比数列的定义，证明新数列为等比数列. （3）根据数列的递推公式，和数列的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出数列的前项和，根据“等差等比混合数列”的概念，求出参数值和数列的通项公式. 【详解】（1）当时，， 所以由，得，． （2）由，得， 则， 又因为．所以． 又，所以4．所以是以为首项，2为公比的等比数列． （3）由（2）可知． 又因为，所以． 所以． 因为为“等差等比混合数列”，又因为，所以． 从而只有，此时． 所以， 所以可拆分成一个等差数列，一个等比数列． 17．已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求数列的前项和； (2)若，求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出等差数列的通项公式，然后利用裂项相消法求出结果即可. （2）利用分组求和法和等差数列、等比数列的前项和公式进行计算即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，所以， 所以； （2）由题意， 18．已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的通项与前n项和关系，分和两种情况分析，得数列从第二项开始为常数列，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，从而得到数列的通项公式，然后分奇偶项讨论，求得求数列的前项和． 【详解】（1）①， ∴当时，令得②， 由①-②可得，，即， ∴数列从第二项开始为常数列，，可得； 当时，，计算可得，经检验不符合上式， ； （2）∵由（1）知， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，． ∴综上，． 19．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）利用错位相减法来求和即可. 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：，故； （3）， ， 两式相减，得 ， ， 故. 24 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $