专题12 弧长和扇形面积（单元复习、期中复习）讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 专题12 弧长和扇形面积 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、扇形 2 知识点二、弓形 3 知识点三、圆锥 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 弧长相关计算（弧长、半径、圆心角、动点轨迹弧长）】 4 【题型2 扇形面积计算】 6 【题型3 旋转扫过面积问题】 9 【题型4 弓形面积计算】 12 【题型5 不规则阴影面积（割补、和差转化）】 16 【题型6 圆锥侧面积与表面积计算】 19 【题型7 圆锥底面半径、高、展开图圆心角互求】 22 【题型8 圆锥实际应用 + 侧面最短路径】 25 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 28 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 43 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・弧长公式的理解与直接计算； ・扇形面积两个公式的选用与换算； ・圆锥侧面展开图：扇形和圆锥的对应关系，母线、底面半径、圆心角转化计算； ・阴影部分面积：割补法、和差法、等积转化求不规则图形面积； ・滚动类轨迹弧长、旋转扫过面积问题。 ・基础题以选择填空为主，直接套公式求值，侧重公式记忆； ・高频考查圆锥相关计算，是本专题核心难点； ・常结合圆、三角形、四边形出阴影面积计算题； ・压轴小问会搭配旋转、动点，求点运动路径弧长。 考情解码： ・易错集中在：垂径定理漏用平分弧、平分弦的条件限制 ・易错集中在：两个扇形面积公式混淆；圆锥母线、底面半径分不清； ・阴影面积不会转化，直接硬算； ・单位、圆心角不带单位、公式漏乘分母 360； ・属于圆板块中档题型，公式多、模型灵活，重在识别图形转化关系。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、扇形 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，设扇形的圆心角为，则扇形的面积和弧长：，． 知识点二、弓形 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 弓形的面积等于扇形面积减去三角形AOB的面积。 知识点三、圆锥 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r十l). 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 弧长相关计算（弧长、半径、圆心角、动点轨迹弧长）】 【例1】如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的长为：， ∵扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长， 设围成圆锥的底面半径为， ∴ 解得：． 【变式1-1】图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】由题意知，，求得米，得到米，然后根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得米， ∵裙长为米， ∴米， ∴（米）． 【变式1-2】如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】第一次旋转是以为圆心，的长为半径旋转；第二次旋转是以为圆心，的长为半径旋转，根据弧长计算公式得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，，， ∴，； ∴根据题意可知，点在两次旋转过程中经过的路径长为． 【变式1-3】一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算．利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即， 解得：， 又由可得：， 解得：， 故选：D． 【题型2 扇形面积计算】 【例2】如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，可得，从而得阴影部分的面积，结合扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵在中，， ∴是的中线， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 【变式2-1】如图，为的直径，点在上，若，，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得，进而根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得，的半径为6， ∴． 【变式2-2】一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1，则这个圆锥形零件的全面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆锥侧面积为， 底面积为， 全面积为． 【变式2-3】如图，内有一点，垂足为，将绕点顺时针旋转后得到扇形与交于点． 结论Ⅰ：过点作的垂线与交于点，连接，过圆心作交于点，则是等腰直角三角形． 结论Ⅱ：若，则扇形的面积为． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．都对 D．都不对 【答案】C 【分析】先由旋转性质得，，结合、、的垂直条件，找角的等量关系，进而证得（），得到，结合即可判断三角形形状；再确定扇形的半径与圆心角，由旋转得，结合已知，计算扇形的圆心角度数，再代入扇形面积公式即可． 【详解】解：由旋转性质得：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∴（）， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，结论Ⅰ正确； 扇形半径，圆心角， ∵扇形面积为， ∴代入得：，结论Ⅱ正确． 【题型3 旋转扫过面积问题】 【例3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由扫过的部分为：扇形与，再进一步求解即可. 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的部分为：扇形与， ∴扫过的面积为：. 【变式3-1】如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，使点B、C，恰好在同一直线上，则在旋转过程中，边扫过的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，证明是等腰三角形，求出，利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得， ∵点B、C，恰好在同一直线上， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴边扫过的面积． 【变式3-2】一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的实际应用，解直角三角形，不规则图形的面积，根据得出是解题的关键． 连接，过点O作交的延长线于点E，通过解直角三角形求出大圆O的半径，证明，得出，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于点E， 由旋转知，经过点O，且， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选A． 【变式3-3】如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积、旋转的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），设旋转后，点的对应点分别为点，则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积，连接，先利用勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，然后根据线段在旋转过程中扫过的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，设旋转后，点的对应点分别为点， 则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积， 连接， ∵矩形中，，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为 ， 故选：A． 【题型4 弓形面积计算】 【例4】如图，在中，∠B=90°，AB=2，以B为圆心，AB为半径画弧，恰好经过AC的中点D，则弧AD与线段AD围成的弓形面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图（见解析），先根据圆的性质、直角三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据直角三角形的性质、勾股定理可得，从而可得的面积，最后利用扇形BAD的面积减去的面积即可得． 【详解】如图，连接BD， 由题意得：， 点D是斜边AC上的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 又是的中线， ， 则弧AD与线段AD围成的弓形面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形和扇形是解题关键． 【变式4-1】如图，已知扇形的圆心角为，直径为，则图中弓形（阴影部分）的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题易得空白部分三角形（）为等边三角形，先求出扇形和的面积，由S阴影=S扇形-S△ABC即可求解． 【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D    ∵AB=AC=×6=3，∠BAC=60° ∴为等边三角形， ∠ACB=60° ∴AD=AC·sin∠ACB= ∴ 故选C． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，掌握等边三角形的判定及性质、锐角三角函数、扇形面积公式是解决此题的关键． 【变式4-2】如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，∠A=40°，CD∥AB，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接BC、OD、OC、BD，过O点作OE⊥CD于E点，先证△COD是等边三角形，再根据阴影部分的面积是S扇形COD-S△COD计算可得． 【详解】如图所示，连接BC、OD、OC、BD，过O点作OE⊥CD于E点， ∵∠A=40°，AB=AC， ∴∠ABC=70°， ∵CD∥AB， ∴∠ACD=∠A=40°， ∴∠ABD=∠ACD=40°， ∴∠DBC=30°， 则∠COD=2∠DBC=60°， 又OD=OC， ∴△COD是等边三角形， ∴OD=CD=2，DE= ∴ 则图中阴影部分的面积是S扇形COD-S△COD 故选：B． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形和等边三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积公式等知识点． 【变式4-3】如图，在中，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，通过和差法将两部分阴影图形转化为一个整体弓形DE，进而求弓形面积即可. 【详解】如下图，连接，设交于点交于点， ，是的直径， ∵OD=OE，CD=DE， ∴∠DOE=90°，∵OD=OE， ， ∴∠ODC=45°，∴∠ODC=∠DEO， ∵OA⊥OB， ， 即，又， ， ， 即，， ， 故图中阴影部分的面积为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了阴影部分面积的求法，熟练掌握割补法是解决此类题目的关键，错因分析 中等题，失分原因：①不会通过添加辅助线构造全等三角形或不会在圆中寻找全等三角形的判定条件；②不会通过和差法将两部分阴影图形转化为一个整体；③求弓形面积时出错. 【题型5 不规则阴影面积（割补、和差转化）】 【例5】如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为1，， ∴，， ∴，，， ，， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ． 【变式5-1】如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，易求得⊙O的半径为，扇形的圆心角的度数，根据三角函数求出，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：连接， ，， 是等边三角形， ，， ⊙O的半径为，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式5-2】如图，将等腰直角三角形绕点C逆时针旋转得到，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，旋转角为，利用割补法将阴影部分的面积转化为扇形面积与三角形面积的差进行求解． 【详解】解：是等腰直角三角形，，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ∴， 阴影部分的面积． 【变式5-3】如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作，再根据平行四边形的性质和已知条件可得是等边三角形，进而得出，然后根据，结合扇形面积公式可得答案． 【详解】解：连接，作，于点F， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由，可得， ∴． 【题型6 圆锥侧面积与表面积计算】 【例6】如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点P作于点E，根据勾股定理求出的长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：过点P作于点E，如图： 由题意得，， ∴ ， ∴ ． 【变式6-1】某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（     ） A．4π B．60π C．15π D．8π 【答案】A 【分析】根据几何体的三视图得这个几何体是圆锥，再根据圆锥的侧面是扇形即可求解． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是圆锥． 圆锥的高，底面直径为，因此底面半径． 根据勾股定理，圆锥的母线长​． 圆锥侧面积公式为，代入数据得：， 对应选项A． 【变式6-2】如图（1）是我国南方部分地区使用的蒸饭工—甑子．甑体可抽象为立体图形中的圆台图（2）．小明研究发现，圆台可看作是由两个圆锥相减得到的，他画出了其展开图如图（3）所示，若下底面半径，上底面半径，，则圆台的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，证明，求得，再利用圆锥侧面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，下底面半径，上底面半径，设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为， 由题意得， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴小圆锥的侧面积，大圆锥的侧面积， ∴圆台的侧面积为． 【变式6-3】如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，高为，则该吊灯外罩的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据底面周长求出底面半径，再利用勾股定理求出母线长，最后根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为 ， ∴圆锥的底面半径， ∵圆锥的高， ∴圆锥的母线长， ∴该吊灯外罩的侧面积． 【题型7 圆锥底面半径、高、展开图圆心角互求】 【例7】如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，设该圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解r值即可． 【详解】解：由图可知为的直径， ∴， 由题意，，， 由得， 设该圆锥底面圆的半径为r， 则，解得，即该圆锥底面圆的半径为． 【变式7-1】如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】分别根据等边三角形的性质求出，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长求出圆锥底面半径，再利用勾股定理求出 ，最后比较大小即可． 【详解】解： 扇形圆心角为 ，半径为 是等边三角形， ∴， 过点作于点， 设圆锥底面半径为 扇形弧长等于圆锥底面周长 ， 圆锥如图，取底面圆的中点，连接， ∵， ∴， ∴由勾股定理得： ． 【变式7-2】如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为9，则侧面展开图的圆心角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设侧面展开图的圆心角度数为x，再根据圆锥的底面圆的周长进行求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为x， ∵圆锥的底面圆的周长为， ∴ 解得． 【变式7-3】一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”，结合扇形弧长公式列方程求解圆心角度数． 【详解】解：圆锥底面半径，高， 由勾股定理得圆锥母线长． ∵圆锥底面圆周长，且圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长， 设扇形圆心角度数为， 则， 解得：， 即圆心角度数为． 【题型8 圆锥实际应用 + 侧面最短路径】 【例8】如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则底面圆的直径的长为（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】A 【分析】圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到＝2πr，解方程求出r，然后求得直径即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为rcm， 根据题意得＝2πr， 解得r＝1， 所以底面圆的直径为2cm， 故选：A． 【点睛】本题考查弧长公式，圆锥底面圆周长与侧面展开扇形的弧长的关系，熟练使用弧长公式是关键 【变式8-1】用一个直径为的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线与相切于点，不倒翁的顶点到桌面的最大距离是.若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，如图，利用切线的性质得，在中利用勾股定理得，利用面积法求得，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算圆锥形纸帽的表面． 【详解】解：连接，作于，如图， 圆锥的母线与相切于点， ， 在中，，， ， ， ， 圆锥形纸帽的底面圆的半径为，母线长为12， 形纸帽的表面． 故选：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆锥的计算． 【变式8-2】如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 【变式8-3】如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 2．如图1，点从正的顶点出发，沿方向运动到某一点后，再经过正三角形内部运动到边上某一点，然后沿方向运动到点停止，设点的运动路程为，，已知点运动时，随变化的关系图象如图2所示，则正的边长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象及弧长公式，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．由函数图象可得， 点P在内运动轨迹是以点B为圆心，为半径的弧长，，由点P运动到时所经过的路程为，可得出的长为，由弧长公式得，得出，再求解即可． 【详解】解：如图， 由函数图象可得， 点P在内运动轨迹是以点B为圆心，为半径的弧长， ， 点P运动到时所经过的路程为， 的长为， 正，， ， ， ， 故选：D． 3．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的直径是， 滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故选：B． 4．如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将平行四边形旋转后，点D所转过的路径是以线段为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可． 【详解】解：将绕其对称中心O旋转，点D所转过的路径为以为直径的半圆， ∴其长度为． 5．如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据题意先求出，，再利用求解即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， ∴ ． 6．如图，在中，，，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点E，连接，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据题意可得，阴影部分的面积为扇形的面积，求得，利用扇形面积求解即可． 【详解】解：连接，如图： 在中，，可得到的距离相等，则 则阴影部分的面积为扇形的面积， 由题意可得，，， ∴， ∴， 由扇形面积公式可得，，B选项符合题意． 7．一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为20，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用圆锥底面圆周长等于其侧面展开扇形弧长，圆锥母线长等于扇形半径的性质，列方程求解底面半径即可． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为， ∵圆锥侧面展开图圆心角度数，母线长，且圆锥底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长， ∴底面圆周长为，侧面展开图的弧长为， ∴， 解得． 8．圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的底面圆周长，扇形的圆心角，先求出圆锥的底面圆周长，再根据侧面展开图的弧长等于底面圆周长列出方程即可求解，掌握侧面展开图的弧长等于底面圆周长是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是，, ∴圆锥的底面周长为， 设侧面展开图的圆心角的大小为，则， ∴， 故选：． 9．一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体棱长为，分别计算正方体体积和最大圆锥的体积，再求圆锥体积与正方体体积的比值即可得到结果。 【详解】解：设正方体的棱长为， ∴， ∵正方体削出的最大圆锥，底面直径等于正方体棱长，圆锥的高等于正方体棱长， ∴圆锥底面半径，圆锥高， ∴， ∴， 即圆锥的体积占正方体体积的． 10．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 11．“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 【答案】 / 【分析】根据题意，分别算出，，，4个空白半圆的面积为，结合图形即可求解． 【详解】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为， 如图所示， 根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E， ∴，则， ∴，，，4个空白半圆的面积为， ∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：， ∴在中，弓形的面积为， 同理，大圆内4个花瓣的面积和为， ∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ． 12．如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 13．如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】 【分析】连接，由题意可得为的直径，，，求出扇形的对应半径为，弧的长为，设圆锥的底面圆半径为，则，由此计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得为的直径，，， ∴，即扇形的对应半径为， ∴弧的长为， 设圆锥的底面圆半径为，则， ∴， ∴将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是． 14．如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过证明，进而得到，最终求得的度数； （2）通过证明为等腰直角三角形并结合图形可知，阴影部分面积为圆面积减去，分别求解即可得到结果． 【详解】（1）解：为的直径， ， ． ，， ， ． （2）解：为的直径且， ． 是的角平分线且， ． ，， ． ， ， ， 为等腰直角三角形， 阴影部分面积为圆面积减去，即， 即阴影部分面积为． 15．在矩形中，，，以为直径作半圆（如图1），点P为边上一点．将矩形沿折叠，使得点C的对应点E恰好落在边上（如图2）． (1)求的度数； (2)求阴影部分周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质可得，再由勾股定理求出的长，即可解答； （2）设阴影部分所在的圆心为O，连接，根据阴影部分周长，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，设阴影部分所在的圆心为O，连接， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分周长． 16．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ； (3)在（1）的旋转变换中，求点所经过的路径长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别画出点、绕点顺时针旋转得到的对应点、，连接点、、，得到即为所求； （2）连接对应点、，作、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，由网格图可知旋转中心的坐标为； （3）借助网格图可以求出，，根据扇形的弧长公式即可求出点所经过的路径长． 【详解】（1）略 （2）解：如下图所示， 连接对应点、，作、的垂直平分线， 两条垂直平分线的交点即为旋转中心， 旋转中心的坐标为； （3）解：由旋转可知， 由网格可知， 点所经过的路径长为． 17．如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． (1)仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； (2)的长度为______． 【答案】(1)①的外接圆圆心，如图1即为所求； ②在上使平分的点，如图2即为所求； (2) 【分析】（1）①先结合网格以及垂直平分线的性质，则外接圆的圆心是，的垂直平分线的交点，即可作答； ②利用网格与勾股定理得出，以及，得四边形是正方形，故，即点是的中点，再连接，所以，故平分； （2）结合正方形的性质，以及弧长公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）中的②得出四边形是正方形， ，， 则的长度． 18．如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足，交BC于点G，，连结，DG．设． (1)用含的代数式表示． (2)求证：． (3)如图2，为的直径，当的长为2时，求的长． 【答案】(1) (2)证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． (3)3 【分析】（1）根据平角的定义和角之间的数量关系，计算即可求解； （2）根据圆周角定理，可证，根据三角形内角和，可证，从而，最后根据平行线的性质，等量代换可证，利用“”，即可求证； （3）连接，，利用全等三角形的性质，可得，，从而可求，，再根据“直径所对的圆周角是直角”，得，进而，利用圆周角定理可得，，最后根据弧长之比等于对应的圆心角之比，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）略 （3）解：如图，连接，， ， ，， ， ， 为的直径， ， ， ， 对应的圆心角， ， 的长的长 的长为2， 的长为3． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 44 页 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 专题12 弧长和扇形面积 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、扇形 2 知识点二、弓形 3 知识点三、圆锥 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 弧长相关计算（弧长、半径、圆心角、动点轨迹弧长）】 4 【题型2 扇形面积计算】 5 【题型3 旋转扫过面积问题】 6 【题型4 弓形面积计算】 7 【题型5 不规则阴影面积（割补、和差转化）】 8 【题型6 圆锥侧面积与表面积计算】 9 【题型7 圆锥底面半径、高、展开图圆心角互求】 10 【题型8 圆锥实际应用 + 侧面最短路径】 10 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 12 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 17 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・弧长公式的理解与直接计算； ・扇形面积两个公式的选用与换算； ・圆锥侧面展开图：扇形和圆锥的对应关系，母线、底面半径、圆心角转化计算； ・阴影部分面积：割补法、和差法、等积转化求不规则图形面积； ・滚动类轨迹弧长、旋转扫过面积问题。 ・基础题以选择填空为主，直接套公式求值，侧重公式记忆； ・高频考查圆锥相关计算，是本专题核心难点； ・常结合圆、三角形、四边形出阴影面积计算题； ・压轴小问会搭配旋转、动点，求点运动路径弧长。 考情解码： ・易错集中在：垂径定理漏用平分弧、平分弦的条件限制 ・易错集中在：两个扇形面积公式混淆；圆锥母线、底面半径分不清； ・阴影面积不会转化，直接硬算； ・单位、圆心角不带单位、公式漏乘分母 360； ・属于圆板块中档题型，公式多、模型灵活，重在识别图形转化关系。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、扇形 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，设扇形的圆心角为，则扇形的面积和弧长：，． 知识点二、弓形 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 弓形的面积等于扇形面积减去三角形AOB的面积。 知识点三、圆锥 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r十l). 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 弧长相关计算（弧长、半径、圆心角、动点轨迹弧长）】 【例1】如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-2】如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【题型2 扇形面积计算】 【例2】如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，为的直径，点在上，若，，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1，则这个圆锥形零件的全面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，内有一点，垂足为，将绕点顺时针旋转后得到扇形与交于点． 结论Ⅰ：过点作的垂线与交于点，连接，过圆心作交于点，则是等腰直角三角形． 结论Ⅱ：若，则扇形的面积为． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．都对 D．都不对 【题型3 旋转扫过面积问题】 【例3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，使点B、C，恰好在同一直线上，则在旋转过程中，边扫过的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【题型4 弓形面积计算】 【例4】如图，在中，∠B=90°，AB=2，以B为圆心，AB为半径画弧，恰好经过AC的中点D，则弧AD与线段AD围成的弓形面积是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，已知扇形的圆心角为，直径为，则图中弓形（阴影部分）的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，∠A=40°，CD∥AB，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是(　　) A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在中，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型5 不规则阴影面积（割补、和差转化）】 【例5】如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，将等腰直角三角形绕点C逆时针旋转得到，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【题型6 圆锥侧面积与表面积计算】 【例6】如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（     ） A．4π B．60π C．15π D．8π 【变式6-2】如图（1）是我国南方部分地区使用的蒸饭工—甑子．甑体可抽象为立体图形中的圆台图（2）．小明研究发现，圆台可看作是由两个圆锥相减得到的，他画出了其展开图如图（3）所示，若下底面半径，上底面半径，，则圆台的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，高为，则该吊灯外罩的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【题型7 圆锥底面半径、高、展开图圆心角互求】 【例7】如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式7-2】如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为9，则侧面展开图的圆心角的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【题型8 圆锥实际应用 + 侧面最短路径】 【例8】如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则底面圆的直径的长为（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【变式8-1】用一个直径为的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线与相切于点，不倒翁的顶点到桌面的最大距离是.若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【变式8-3】如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图1，点从正的顶点出发，沿方向运动到某一点后，再经过正三角形内部运动到边上某一点，然后沿方向运动到点停止，设点的运动路程为，，已知点运动时，随变化的关系图象如图2所示，则正的边长为（   ） A． B． C．2 D．3 3．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点E，连接，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 7．一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为20，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（   ） A． B． C． D． 9．一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的（） A． B． C． D． 10．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 11．“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 12．如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 13．如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 14．如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求阴影部分的面积（结果保留）． 15．在矩形中，，，以为直径作半圆（如图1），点P为边上一点．将矩形沿折叠，使得点C的对应点E恰好落在边上（如图2）． (1)求的度数； (2)求阴影部分周长． 16．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ； (3)在（1）的旋转变换中，求点所经过的路径长． 17．如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． (1)仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； (2)的长度为______． 18．如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足，交BC于点G，，连结，DG．设． (1)用含的代数式表示． (2)求证：． (3)如图2，为的直径，当的长为2时，求的长． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 44 页 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $