第29章 圆 数学活动（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

第二十九章 圆   数学活动

（教学设计）

1.教学内容

本节课为人教版2024版九年级上册第二十九章“圆”章末的“数学活动”。主要内容包括以下二个活动：活动1：四等分圆周——尺规作图：利用尺规将圆周四等分，并说明作图原理（直径所对圆周角为直角）.

延伸思考：如何通过逐步等分圆心角实现八等分、十六等分圆周，体会尺规作图中“从特殊到一般”的方法.活动2：探究四点共圆的条件：经历“操作—观察—猜想—证明”的完整探究过程.归纳判定：对角互补的四边形的四个顶点共圆（即圆内接四边形的逆命题）.用反证法验证“不能作圆”时对角和不等于180°的情形.

2. 内容解析

本章“数学活动”位于“圆”全部内容学习之后，是对本章知识的综合运用与拓展延伸，具有承上启下和素养提升的双重功能.二个活动分别从不同角度综合运用了本章的核心知识.活动1需运用圆周角定理（直径所对圆周角为直角）；活动2需运用圆内接四边形性质及其逆命题，并用到反证法的思想.同时，活动2的探究过程与“29.1.2过三点的圆”第2课时“反证法”一脉相承，是反证法思想的再次实践.活动2中“对角互补⇌四点共圆”这一等价关系，是后续高中数学学习“四点共圆”判定方法的重要基础；活动1中“等分圆周”的方法也为后续“正多边形与圆”的深入研究提供了操作经验.数学活动课不同于常规新授课，它以“做数学”为核心，强调学生在动手操作、观察猜想、推理论证中积累数学活动经验，发展核心素养（抽象能力、几何直观、推理能力）.

基于以上分析，本节课的教学重点“探究四点共圆的条件”的完整探究过程（操作→猜想→证明→归纳）.

1.教学目标

（1）掌握尺规作图技能：能用尺规将圆周四等分，并清晰地说明作图原理；了解八等分、十六等分圆周的基本思路.

（2）探究并归纳判定定理：经历“操作—猜想—验证”的探究过程，归纳出“对角互补的四边形的四个顶点共圆”这一判定条件，并能用圆内接四边形性质和反证法进行验证.

(3)发展核心素养：通过数学活动，体会从特殊到一般、转化与化归的数学思想，发展几何直观和逻辑推理能力，积累数学活动经验.

2.目标解析

目标1 对应活动1的实践操作.“说明作图原理”要求学生在操作完成后进行反思，将操作经验上升为数学证明，这是“做中学”的关键环节.

目标2 对应活动2的核心探究.学生需要经历完整的“操作—猜想—验证”过程，这与“29.1.2”中反证法的学习相呼应。验证“不能作圆时对角和不等于180°”的两种图形位置（点C'在圆内和圆外），是运用反证法思想的典型场景.

目标3是活动课的综合育人目标.数学活动课不仅传授知识，更重在积累活动经验、发展核心素养.

学生已完成“圆”整章的学习，掌握了圆的定义、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质、弧长与扇

形面积公式以及反证法。同时，学生已具备尺规作垂直平分线、作三角形外接圆等基本作图技能.学生在本章各节课中已积累“操作—猜想—证明”的探究经验，对分类讨论和反证法有初步感知.学生学习障碍：作图与证明脱节：学生可能完成作图但无法清晰地说明“为什么这样作图就实现了四等分”.抽象归纳困难：在活动2中，学生能通过度量发现“对角互补”的规律，但难以自主完成“不能作圆时对角和≠180°”的严格证明.

 基于以上分析，确定本节课的教学难点：活动1中“四等分圆周”作图原理的严谨说明（利用直径所对圆周角为90°）.活动2中利用反证法说明“不能作圆时对角和不等于180°”的两种情况（点C′在圆内和圆外）.从具体四边形案例中抽象出一般性判定条件.

复习旧知、类比导入

情境呈现：多媒体展示一组图片——圆形铜镜背面的精美花纹、古代车轮、现代钟表表盘，以及故宫藻井中的圆形图案。

问题1：这些图片中的美丽图案和精巧设计，都离不开同一个数学图形——圆。请大家观察铜镜背面的花纹，这些花纹是如何制作出来的？（需要将圆等分成若干份.）

问题2：我们已经学完了“圆”这一章的全部内容.今天这节数学活动课，我们将把这些知识用起来——做尺规作图、探究数学规律、设计美丽图案.

揭示课题：数学活动——圆的综合探究.

（设计意图：用中国铜镜、传统建筑图案引入，激发民族自豪感，同时让学生感受数学与文化的联系.明确指出本节课的任务是“做中学”，将本章知识综合运用.以“精美图案”“古代智慧”等元素吸引学生注意力，营造积极的学习氛围.）

探究点1   活动1：四等分圆周

问题呈现：如何用尺规将一个圆周三等分、四等分、六等分？今天我们首先研究四等分圆周.

学生尝试：请学生在学案上画一个⊙O，尝试用尺规将圆周四等分，使A、B、C、D四个点将⊙O四等分.

引导探究：

追问1：要将圆周四等分，实际上是要将什么角四等分？（圆心角，360°÷4=90°.）

追问2：你能想到哪些方法构造90°的圆心角？（利用垂直：两条直径互相垂直时，相邻半径夹角为90°.）

追问3：如何用尺规作两条互相垂直的直径？

任意作⊙O的直径AB，过圆心O作AB的垂线，交⊙O于C、D两点，则A、B、C、D四个点将⊙O四等分.

追问4：为什么这样作图就能实现四等分？

（AB是直径，CD⊥AB于O且CD也是直径，所以∠AOC=90°，∠BOC=90°等，四个圆心角均为90°，因此对应的四条弧相等.）

延伸：如何实现八等分？十六等分？

（在四等分基础上，再作各圆心角的角平分线，或作相邻等分点连线的垂直平分线，逐步等分圆心角即可.）

传统文化介绍：在我国，圆不仅是一种几何图形，还具有许多传统文化中的象征意义，如“天圆地方”的哲学观、“团圆”“和谐”的美好愿望等，观察一下你的周围，你会发现很多圆和圆的美，尝试用圆去创造美吧！

（设计意图：操作与思考结合：不仅要求学生“会作图”，更要求“说明为什么”——将操作经验上升为数学推理，体现活动课“做中学”的本质.作图原理中运用到“直径所对圆周角是直角”（可强调）或垂直的定义，是对圆周角定理的复习.八等分、十六等分的思考，渗透“逐步逼近”的数学方法.）

探究2：  活动2探究四点共圆的条件

活动①：操作与猜想

问题呈现：过任意一个三角形的三个顶点一定能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点一定能作一个圆吗？

活动：学案上给出四组四边形：图1（平行四边形）、图2（矩形）、图3（菱形）、图4（正方形）.

学生分组操作：

尝试过每个四边形的四个顶点作圆（利用三角形外接圆的方法，先过三点作圆，看第四点是否在圆上）.

用量角器测量每个四边形相对两个内角的度数，并记录.

学生汇报：平行四边形：不能作圆；∠A+∠C≠180°（特殊平行四边形除外）.

矩形：能作圆；∠A+∠C=180°.

菱形：不能作圆；∠A+∠C≠180°（特殊菱形——正方形除外）.

正方形：能作圆；∠A+∠C=180°.

猜想：如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和为180°（对角互补）.

（设计意图：通过具体案例的对比，让学生直观感知“能否作圆”与“对角是否互补”之间的关联，为归纳猜想提供数据支撑.）

活动②：验证与证明

情形一（能作圆时） ：若四边形ABCD内接于⊙O，由圆内接四边形性质可知：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。这一结论已在本章学习中证明过.

情形二（不能作圆时） ：如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之和不等于180°.

引导分析：假设∠A+∠C=180°，但A、B、C、D不共圆.过A、B、C三点作⊙O（因为A、B、C不共线），点D有两种位置关系：

情况1：点D在⊙O内部.连接AC并延长交⊙O于D′，连接BD′和DD′.

由圆周角定理，∠BD′C=∠BAC（对同弧BC），且∠D′BC=∠DAC（对同弧DC）……最终可得∠BCD+∠BAD≠180°.

情况2：点D在⊙O外部.连接AD交⊙O于D′，连接BD′.

由圆周角定理，∠BD′C=∠BAC（对同弧BC），且∠D′BC=∠DAC（对同弧DC）……最终可得∠BCD+∠BAD≠180°.