第29章 圆 数学活动（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦九年级上册“圆”章末数学活动，涵盖四等分圆周（尺规作图及直径所对圆周角为直角原理）和四点共圆条件探究（操作-观察-猜想-证明）。通过铜镜、藻井等传统图案导入，关联圆周角定理、反证法等旧知，搭建知识支架。 特色在于以“做数学”为核心，活动1让学生动手尺规作图并说明原理，发展几何直观。活动2经历完整探究过程，用反证法验证，培养推理意识。融入传统文化增强兴趣，为教师提供可操作探究流程，助力学生积累经验，提升核心素养。

第二十九章 圆 数学活动 （教学设计） 1.教学内容 本节课为人教版2024版九年级上册第二十九章“圆”章末的“数学活动”。主要内容包括以下二个活动：活动1：四等分圆周——尺规作图：利用尺规将圆周四等分，并说明作图原理（直径所对圆周角为直角）. 延伸思考：如何通过逐步等分圆心角实现八等分、十六等分圆周，体会尺规作图中“从特殊到一般”的方法.活动2：探究四点共圆的条件：经历“操作—观察—猜想—证明”的完整探究过程.归纳判定：对角互补的四边形的四个顶点共圆（即圆内接四边形的逆命题）.用反证法验证“不能作圆”时对角和不等于180°的情形. 2. 内容解析 本章“数学活动”位于“圆”全部内容学习之后，是对本章知识的综合运用与拓展延伸，具有承上启下和素养提升的双重功能.二个活动分别从不同角度综合运用了本章的核心知识.活动1需运用圆周角定理（直径所对圆周角为直角）；活动2需运用圆内接四边形性质及其逆命题，并用到反证法的思想.同时，活动2的探究过程与“29.1.2过三点的圆”第2课时“反证法”一脉相承，是反证法思想的再次实践.活动2中“对角互补⇌四点共圆”这一等价关系，是后续高中数学学习“四点共圆”判定方法的重要基础；活动1中“等分圆周”的方法也为后续“正多边形与圆”的深入研究提供了操作经验.数学活动课不同于常规新授课，它以“做数学”为核心，强调学生在动手操作、观察猜想、推理论证中积累数学活动经验，发展核心素养（抽象能力、几何直观、推理能力）. 基于以上分析，本节课的教学重点“探究四点共圆的条件”的完整探究过程（操作→猜想→证明→归纳）. 1.教学目标 （1）掌握尺规作图技能：能用尺规将圆周四等分，并清晰地说明作图原理；了解八等分、十六等分圆周的基本思路. （2）探究并归纳判定定理：经历“操作—猜想—验证”的探究过程，归纳出“对角互补的四边形的四个顶点共圆”这一判定条件，并能用圆内接四边形性质和反证法进行验证. (3)发展核心素养：通过数学活动，体会从特殊到一般、转化与化归的数学思想，发展几何直观和逻辑推理能力，积累数学活动经验. 2.目标解析 目标1 对应活动1的实践操作.“说明作图原理”要求学生在操作完成后进行反思，将操作经验上升为数学证明，这是“做中学”的关键环节. 目标2 对应活动2的核心探究.学生需要经历完整的“操作—猜想—验证”过程，这与“29.1.2”中反证法的学习相呼应。验证“不能作圆时对角和不等于180°”的两种图形位置（点C'在圆内和圆外），是运用反证法思想的典型场景. 目标3是活动课的综合育人目标.数学活动课不仅传授知识，更重在积累活动经验、发展核心素养. 学生已完成“圆”整章的学习，掌握了圆的定义、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质、弧长与扇形面积公式以及反证法。同时，学生已具备尺规作垂直平分线、作三角形外接圆等基本作图技能.学生在本章各节课中已积累“操作—猜想—证明”的探究经验，对分类讨论和反证法有初步感知.学生学习障碍：作图与证明脱节：学生可能完成作图但无法清晰地说明“为什么这样作图就实现了四等分”.抽象归纳困难：在活动2中，学生能通过度量发现“对角互补”的规律，但难以自主完成“不能作圆时对角和≠180°”的严格证明. 基于以上分析，确定本节课的教学难点：活动1中“四等分圆周”作图原理的严谨说明（利用直径所对圆周角为90°）.活动2中利用反证法说明“不能作圆时对角和不等于180°”的两种情况（点C′在圆内和圆外）.从具体四边形案例中抽象出一般性判定条件. 复习旧知、类比导入 情境呈现：多媒体展示一组图片——圆形铜镜背面的精美花纹、古代车轮、现代钟表表盘，以及故宫藻井中的圆形图案。 问题1：这些图片中的美丽图案和精巧设计，都离不开同一个数学图形——圆。请大家观察铜镜背面的花纹，这些花纹是如何制作出来的？（需要将圆等分成若干份.） 问题2：我们已经学完了“圆”这一章的全部内容.今天这节数学活动课，我们将把这些知识用起来——做尺规作图、探究数学规律、设计美丽图案. 揭示课题：数学活动——圆的综合探究. （设计意图：用中国铜镜、传统建筑图案引入，激发民族自豪感，同时让学生感受数学与文化的联系.明确指出本节课的任务是“做中学”，将本章知识综合运用.以“精美图案”“古代智慧”等元素吸引学生注意力，营造积极的学习氛围.） 探究点1 活动1：四等分圆周 问题呈现：如何用尺规将一个圆周三等分、四等分、六等分？今天我们首先研究四等分圆周. 学生尝试：请学生在学案上画一个⊙O，尝试用尺规将圆周四等分，使A、B、C、D四个点将⊙O四等分. 引导探究： 追问1：要将圆周四等分，实际上是要将什么角四等分？（圆心角，360°÷4=90°.） 追问2：你能想到哪些方法构造90°的圆心角？（利用垂直：两条直径互相垂直时，相邻半径夹角为90°.） 追问3：如何用尺规作两条互相垂直的直径？ 任意作⊙O的直径AB，过圆心O作AB的垂线，交⊙O于C、D两点，则A、B、C、D四个点将⊙O四等分. 追问4：为什么这样作图就能实现四等分？ （AB是直径，CD⊥AB于O且CD也是直径，所以∠AOC=90°，∠BOC=90°等，四个圆心角均为90°，因此对应的四条弧相等.） 延伸：如何实现八等分？十六等分？ （在四等分基础上，再作各圆心角的角平分线，或作相邻等分点连线的垂直平分线，逐步等分圆心角即可.） 传统文化介绍：在我国，圆不仅是一种几何图形，还具有许多传统文化中的象征意义，如“天圆地方”的哲学观、“团圆”“和谐”的美好愿望等，观察一下你的周围，你会发现很多圆和圆的美，尝试用圆去创造美吧！ （设计意图：操作与思考结合：不仅要求学生“会作图”，更要求“说明为什么”——将操作经验上升为数学推理，体现活动课“做中学”的本质.作图原理中运用到“直径所对圆周角是直角”（可强调）或垂直的定义，是对圆周角定理的复习.八等分、十六等分的思考，渗透“逐步逼近”的数学方法.） 探究2： 活动2探究四点共圆的条件 活动①：操作与猜想 问题呈现：过任意一个三角形的三个顶点一定能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点一定能作一个圆吗？ 活动：学案上给出四组四边形：图1（平行四边形）、图2（矩形）、图3（菱形）、图4（正方形）. 学生分组操作： 尝试过每个四边形的四个顶点作圆（利用三角形外接圆的方法，先过三点作圆，看第四点是否在圆上）. 用量角器测量每个四边形相对两个内角的度数，并记录. 学生汇报：平行四边形：不能作圆；∠A+∠C≠180°（特殊平行四边形除外）. 矩形：能作圆；∠A+∠C=180°. 菱形：不能作圆；∠A+∠C≠180°（特殊菱形——正方形除外）. 正方形：能作圆；∠A+∠C=180°. 猜想：如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和为180°（对角互补）. （设计意图：通过具体案例的对比，让学生直观感知“能否作圆”与“对角是否互补”之间的关联，为归纳猜想提供数据支撑.） 活动②：验证与证明 情形一（能作圆时） ：若四边形ABCD内接于⊙O，由圆内接四边形性质可知：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。这一结论已在本章学习中证明过. 情形二（不能作圆时） ：如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之和不等于180°. 引导分析：假设∠A+∠C=180°，但A、B、C、D不共圆.过A、B、C三点作⊙O（因为A、B、C不共线），点D有两种位置关系： 情况1：点D在⊙O内部.连接AC并延长交⊙O于D′，连接BD′和DD′. 由圆周角定理，∠BD′C=∠BAC（对同弧BC），且∠D′BC=∠DAC（对同弧DC）……最终可得∠BCD+∠BAD≠180°. 情况2：点D在⊙O外部.连接AD交⊙O于D′，连接BD′. 由圆周角定理，∠BD′C=∠BAC（对同弧BC），且∠D′BC=∠DAC（对同弧DC）……最终可得∠BCD+∠BAD≠180°. （教师以几何画板演示或板书简图，引导学生理解“点D在圆内/圆外”两种情形下，结论均为对角和≠180°.） 归纳判定条件：四边形的四个顶点共圆 四边形对角互补（即相对两个内角之和为180°）. (设计意图：活动2完整呈现“操作→猜想→验证→归纳”的探究过程，让学生经历数学发现的基本范式.“不能作圆”时的推理过程，本质上运用了反证法的思想——假设对角互补且共圆，推出矛盾——与第29.1.2第2课时呼应.将“能作圆”和“不能作圆”两种情形分别处理，体现分类讨论的严谨性.） 典型例题 例1.如图，有一个圆形花坛，要把它分成面积相等的四部分，以种植不同的花卉，请你提供设计方案． 【分析】过点O作互相垂直的直线EF，CD即可解决问题． 【详解】解：过点O作互相垂直的直线EF，CD，⊙O被直线EF，CD分成面积相等的四个部分． 例2. 如图1，作一个对角线相等的平行四边形． 步骤： 1.任意作两条相交的直线，交点记为； 2.以点为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； 3.顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形． 和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是否是矩形． [问题解决] (1)如图1求证：四边形是矩形． [结论应用] (2)如图①，是的两条直径（圆的半径都相等），四边形是矩形吗？（只需要回答“是”或“不是”，不需要证明） [发现结论] (3)矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上． [结论应用]图②，已知线段，以线段为对角线构成矩形，矩形面积的最大值为_____； 【分析】（1）根据对角线相等的平行四边形为矩形，即可得证； （2）根据同圆的直径相同，半径相同，结合对角线相等的平行四边形为矩形，即可得出结果； （3）根据勾股定理得到，根据完全平方的非负性，得到，即可得出结果. 【详解】（1）(1)证明：由题意，， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形. （2）解：∵是的两条直径， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）解：∵以线段为对角线构成矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形面积的最大值为. （设计意图：通过完整例题示范，手把手规范学生的设计思路与作图步骤，从理论方法落地到实操应用，解决学生不会有序设计、作图不规范的核心问题，形成标准化设计思维.） 复习题29第10题. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取一点E，使，点F是上的一点，且连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接， 于点D，． ，（依据1），． ∵四边形内接于，．（依据2） …… (1)上述证明过程中的依据1为____________________，依据2为____________________； (2)将上述证明过程补充完整． 【详解】（1）解：上述证明过程中的依据1为在同圆中相等的弧所对的弦相等，依据2为圆内接四边形的对角互补． (2)证明：如图2，连接， 于点D，． ， ， ， ，． ∵四边形内接于， ． ， ， 在和中， ， . （设计意图：问题的拓展） 1.（2026·揭阳校测）如图，A，B，C，D是上的四点，且，求和的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠C=100°， ∴=180°-100°=80°． ∵与是同弧所对的圆心角与圆周角， ∴=2=160°． 2．（2026·甘肃兰州）问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 【详解】(1)①作的任意直径，如图： ②过点作的垂线，与相交于，两点，四等分圆周如图所示： 依据：,得到的圆心角,在中，相等的圆心角所对的弧相等，所以得到四段相等的圆弧,故点，，，将四等分． (2)圆周八等分如图所示： （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：一种作图方法：用尺规四等分圆周——作两条互相垂直的直径；延伸可得八等分、十六等分. 一个判定条件：对角互补的四边形的四个顶点共圆（四点共圆 ⇌ 对角互补）. 思想方法： 从特殊到一般：通过具体四边形案例的探究，归纳出四点共圆的一般判定条件.转化思想：活动2中将“四点共圆问题”转化为“圆内接四边形的对角互补问题”.反证法思想：在验证“不能作圆”的情形时，运用反证法的逻辑框架. 易错提醒：活动1：四等分圆周的关键是圆心角90°，作图时垂线的作法和准确性直接影响等分效果.活动2：判定四点共圆时，必须满足“对角互补”即∠A+∠C=180°，不是“邻角互补”. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：第29章复习题第9、12题. 探究性作业：第29章复习题第13、14题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 第29章圆 数学活动 一、活动1：四等分圆周 二、活动2：四点共圆的条件 三、易错点 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $