专题01 解一元二次方程12大题型（期中复习讲义·培优版）九年级数学上学期新教材人教版

专题01 解一元二次方程（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一  根据一元二次方程的定义求参数 题型二  已知方程的根求参数 题型三  直接开平方法解一元二次方程 题型四  配方法解一元二次方程 题型五  公式法解一元二次方程 题型六  因式分解法解一元二次方程 题型七  选择合适的方法解一元二次方程 题型八  换元法解一元二次方程 题型九  解含绝对值的一元二次方程 题型十  降次化简高次方程 题型十一  升次突破无理方程 题型十二  用其他方法解一元二次方程 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义 能识别一元二次方程，准确找出二次项、一次项、常数项及对应系数，牢记二次项系数不为 0 基础必考，选择题、填空题高频；易错点：忽略二次项系数不能等于 0 直接开平方法 会判断适用题型，能用直接开平方法求解形如的方程 基础题型，以简单计算小题为主，注意负数不能开平方 配方法 掌握配方的完整步骤，能熟练把一元二次方程化成完全平方式；会用配方法求代数式最值 重难点，选择、填空、解答题都可考；易错：配方时漏加常数、忘记二次项系数化为 1 公式法 记住求根公式，能准确代入 a、b、c 的值解方程；会用判别式判断根的情况 核心必考，解答大题高频；易错：a、b、c 符号代入出错，判别式计算失误 因式分解法 能把方程整理为右边 = 0 的形式，会用提公因式、平方差、完全平方公式解方程 计算类高频考点，解题速度快；易错：方程两边随意约去含未知数的因式，丢根 知识点01 一元二次方程的相关概念 1.一元二次方程的定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 2.一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错】二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.特殊情况： ①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变； ②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数. 3. 一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根. 知识点02 直接开平方法解一元二次方程 定义：先把方程化为的形式，那么可得.像这样利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 【解读】用直接开平方求一元二次方程的解，一定要正确运用平方根的性质，即正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 适合用直接开平方法解一元二次方程有三种类型： 1） 2） 3） 知识点03 配方法解一元二次方程 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 1）移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式； 【易错点】在配方过程中忽视等式的性质而导致错误. 4）求解：利用直接开平方法求方程的解. 知识点04 公式法 求根公式的定义：一般地，对于一元二次方程，当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式. 公式法定义：求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程的结果，解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）将一元二次方程整理成一般形式； 2）确定公式中a、b、c的值；（易错点：忽略系数前面的符号） 3）求出的值； 4）当时，将将a、b、c的值代入求根公式：，从而请求出方程的解. 【补充说明】求根公式的使用条件： 知识点05 因式分解法解一元二次方程 定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）化积：将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）转化：令两个一次式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 题型一 根据一元二次方程的定义求参数 解｜题｜技｜巧 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(其中二次项系数不为0)的整式方程是一元二次方程，因此要求与一元二次方程有关的字母参数的值，只要先根据指数条件列方程，即指数等于2，通过解方程求得字母参数的值，再根据二次项系数不能为0的条件排除不合题意的值即可. 【典例1】（24-25九年级上·全国·课堂例题）填空： （1）一元二次方程的一般式是 ___________． （2）把一元二次方程化成一般式是___________． （3）把一元二次方程化成一般式是___________． （4）一元二次方程的二次项的系数是___________，一次项的系数是___________， 常数项是___________． （5）一元二次方程的二次项的系数是___________，一次项的系数是___________，常数项是___________． （6）当___________ 时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 4 0 3 【分析】根据一元二次方程的一般形式、二次项系数、一次项系数及常数项的定义求解即可． 本题考查一元二次方程的定义及一般形式，一元二次方程的一般形式是，在一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：（1）一元二次方程的一般式是：； （2）把一元二次方程化成一般式是：； （3）把一元二次方程化成一般式是：． （4）一元二次方程化为一般式为：， 二次项的系数是：4，一次项的系数是：0，常数项是：； （5）一元二次方程化为一般式为 二次项的系数是：3，一次项的系数是：，常数项是：． （6）∵是一元二次方程， ∴， 解得， ∴当时，关于的方程是一元二次方程． 【变式】1（25-26九年级上·湖北襄阳·开学考试）已知关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，， 即，， ∴ 故答案为：． 【变式2】（22-23九年级上·湖北·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式：得到即可求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 题型二 已知方程的根求参数 解｜题｜技｜巧 将方程的根代入原方程，可得关于参数的方程.若要求参数的值，则需注意参数是否使二次项系数为0；若要求含参数的式子的值，则需考虑整体代入求解. 【典例2】（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）已知方程有一个根是3，则k的值是（   ） A．3 B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵方程有一个根是3， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·吉林白城·期末）关于的一元二次方程的一个根为0，则值为（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的定义及二次项系数不为0的条件，代入根后求解参数，并验证二次项系数非零． 由方程的一个根为0，则将代入可得到关于a的方程，同时，一元二次方程要求二次项系数不为0，求解即可得a的值． 【详解】解：将代入原方程： 则，， 化简得，， 解得，, 方程为一元二次方程， 二次项系数, ， , 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）若是方程的一个根，则代数式的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值． 由方程根的定义，得，整体代入代数式求值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·北京·期中）已知是方程的一个解，求代数式的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，整式乘法，利用整体代入的思想解决问题是解题关键． 先由一元二次方程根的定义得到，然后化简，再整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ． 题型三 直接开平方法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 用直接开平方求一元二次方程的解，一定要正确运用平方根的性质，即正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 【典例3】（26-27九年级上·全国·课后作业）若方程的根是有理数，则的值可能是（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【详解】由，可得． ∵ 方程的根是有理数， ∴ ，且是有理数的平方． A选项，，不符合要求，选项A错误； B选项，不是有理数的平方，根为无理数，选项B错误； C选项，，不符合要求，选项C错误； D选项中，，根为，是有理数，选项D正确． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 【变式2】（22-23九年级上·云南昭通·期末）方程的解为___________． 【答案】， 【分析】运用直接开平方法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【变式3】（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】将看作整体，利用换元法结合平方差公式化简方程，根据平方的非负性舍去不符合条件的根即可得到结果． 【详解】解：设， ∵任何数的平方都是非负数， ∴， 将代入原方程得：， 根据平方差公式展开得：，整理得：， 解得或， ∵， ∴舍去，因此． 题型四 配方法解一元二次方程 【典例4】（26-27九年级上·湖北·期中）把方程化为的形式，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过配方法将二次方程化为，从而确定和的值，然后求出的值即可． 【详解】解：∵， 配方得，即， ∴， ∵方程化为的形式， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26九年级下·山东威海·期中）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 方程配方后得到． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）填空： （1）______； （2）______＝______； （3）______＝______． 【答案】 1 9 3 【分析】根据完全平方公式的结构特征，由已知的二次项、一次项确定待求的常数即可求解． 【详解】解：完全平方公式为， 据此逐个计算： （1）式子中，，，解得， 因此，空格填1； （2）设，这里，，解得，常数项， 因此两个空格依次填9，3； （3）设，这里，， 解得，常数项， 因此两个空格依次填，． 【变式3】（25-26九年级下·山东聊城·期中）将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 题型五 公式法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 求根公式使用的前提条件是a≠0且. 【典例5】（26-27九年级上·全国·单元复习）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，应先找出对应的________，________，________，计算出________，可得方程的根是_________． 【答案】 4 41 ， 【分析】找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 【详解】解：， ， ，，， ， ∴， 解得：，． 用公式法解方程时，应先找出对应的，，，计算出，可得方程的根是，． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）当满足时，方程的根是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组、一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解不等式组，再解一元二次方程，得到两个根，选择在范围内的根即可． 【详解】解： 由①得：  ， 解得 ， 由②得： ， ∴不等式组的解集为 ； 方程 ， ， ∴ ， ∵，而 ，不在范围内，舍去， ∴． 故答案为：． 题型六 因式分解法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项，将方程右边化为0. 【典例6】（25-26九年级上·福建福州·期中）一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意可得或，再求出解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 【变式1】（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 【答案】C 【分析】先解一元二次方程，题目未说明给出的两条边都是直角边，需要分情况讨论，结合斜边是直角三角形最长边的性质计算即可． 【详解】解：， 因式分解得， 解得， 即直角三角形的两条边长为6和8， ∵直角三角形中斜边是最长边， ∴分两种情况讨论： ①当6和8均为直角边时，斜边长为； ②当8为斜边，6为直角边时，斜边长即为8； 综上，该直角三角形的斜边长为10或8． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）若一个等腰三角形的两边为方程的根，则该三角形的周长为_______． 【答案】25 【分析】先求解方程得到两根，分类讨论等腰三角形的腰长，根据三角形三边关系排除不能构成三角形的情况，计算得到周长． 【详解】解：对原方程， 提取公因式因式分解，得 解得， 分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长为，，， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴此种情况不能构成三角形，舍去， 当腰长为时，三角形三边长为，， ∵，满足三角形三边关系， ∴三角形的周长为， 综上，该三角形的周长为． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的方程，下列解法完全正确的是_______．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 甲 乙 两边同时除以，得 移项，得， ， 或， 即 丙 丁 整理，得． ， ， ， 即 整理，得． 配方，得， ， ， 即 【答案】丁 【分析】逐一检验四人的解法步骤，根据一元二次方程的解题规则判断正误即可． 【详解】解：判断甲的解法：甲两边同时除以，当时，，0不能作为除数，该操作会丢失根，因此甲错误； 判断乙的解法：原方程移项应为， 乙移项后符号错误，因此乙错误； 判断丙的解法：将原方程整理为一般式得，其中，，，丙的常数项取值错误，因此丙错误； 判断丁的解法：原方程整理得， 配方得， 即， 开方得， 解得，，步骤和结果均正确，因此丁正确． 题型七 选择合适的方法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑;对于整系数的一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式法. 【典例7】（24-25八年级下·全国·课后作业）不解方程，指出用什么方法解下列一元二次方程比较合适． ①； ②； ③； ④． 【答案】①直接开平方法；②公式法；③因式分解法；④配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据方程的特点选择合适的方法即可． 【详解】解：①，选用直接开平方法比较合适； ②，选用公式法比较合适； ③，选用因式分解法比较合适； ④，选用配方法比较合适． 【变式1】（22-23八年级下·山东泰安·期中）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 【变式2】（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：， 其中，，， 计算得， 由求根公式得， 即，； （3）解：， 由平方差公式得， 化简得， ∴或， 解得，； （4）解：， 展开得， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 【变式3】（25-26九年级上·四川南充·期中）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 题型八 换元法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比较清晰合理的认识. 【典例8】（24-25九年级上·四川乐山·期中）对于方程，用换元法解，可设，则原方程为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．根据将原方程转化为，再将代入即可得． 【详解】解：， ， ， 设， 则原方程为， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·四川自贡·期中）为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴； 故原方程的解为． 以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为_______________________． 【答案】，，． 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是关键． 设，把方程转为，求出，再代入，求出的值． 【详解】解：， ， 设，原方程可化为：， 解得：，， 当时，， ，， 当时，， ， 原方程的解为：，，． 【变式2】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）阅读下面的材料： 解方程．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法如下： 设，则． 原方程可转化为，解得． 当时，； 当时，． 综上，原方程的解为． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了换元法解高次方程． （1）仿照题干求解即可； （2）仿照题干求解即可． 【详解】（1）设， 原方程可转化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程的解为； （2）设， 原方程可转化为， 解得． ∵， ∴舍去， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·安徽淮南·期中）阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数满足，试求的值． 【答案】(1)， (2)5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 整理得， 解得， 当时，即， 解得； 当时，即， 解得； ∴原方程的解为，； （2）解：设，则， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴． 题型九 解含绝对值的一元二次方程 解｜题｜技｜巧 绝对值方程可以根据绝对值的意义进行分类讨论来解方程，也可以适当变形后，将含有绝对值的式子换元转化为一元二次方程求解. 【典例9】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：当时，原方程可化为：， 解得：（与矛盾，舍去），； 当时，原方程可化为， 解得：（与矛盾，舍去），； 原方程的解是， 【变式1】（25-26九年级上·重庆万州·期中）阅读下面的例题与解答过程： 例．解方程： 解：当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 原方程的解是． 在上面的解答过程中，我们对进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可； （2）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，原方程的解为或或； （2）解：当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，原方程的解为或． 【变式2】（21-22八年级下·安徽滁州·期中）阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程．解分两种情况 （1）当x≥0时，原方程化为，解得（舍去） （2）当x<0时，原方程化为，解得（舍去） 综上所述，原方程的解是． 问题：仿照上面的方法，解方程． 【答案】 【分析】仿照例题，分与，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解． 【详解】当，即时， 原方程可化为： 整理得： 解得： 当，即时， 原方程可化为： 整理得 ∵ ∴此方程无实数解， 综上所述，原方程的解为： 【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键． 题型十 降次化简高次方程 解｜题｜技｜巧 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解. 【典例10】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是______． 【答案】或/或 【分析】本题考查的是利用“降次”的思想解高次方程，一元二次方程的解法，把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 当， ． 当， 此时方程无解； 故答案为：或． 【变式1】（25-26九年级上·河南安阳·期中）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程，它的解是___________． 【答案】或或 【分析】本题考查解高次方程、解一元二次方程，通过因式分解将高次方程降次求解即可． 【详解】解：方程可提取公因式得， 再利用平方差公式分解为 ， 根据零乘积性质，得或或， 解得或或． 故答案为：或或． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是________． 【答案】 【分析】根据题意，将化为，再逐步代入代数式进行求值即可． 【详解】解： ． 【变式3】（25-26九年级上·青海西宁·期中）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为① 解方程①可得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到___________的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． (2)请仿照材料的方法，解下列方程： 【答案】(1)降次 (2)， 【分析】本题考查换元法解高次方程，通过换元达到降次的目的，将一元四次方程转化为一元二次方程求解． （1）根据材料，换元是为了降低方程的次数； （2）仿照材料方法，设，将方程转化为，解出后回代求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． 故答案为：降次． （2）解：， 设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，解得，； 当时，，此方程无实数解， ∴原方程的解为，． 题型十一 升次突破无理方程 解｜题｜技｜巧 解无理方程的一般步骤：两边乘方，将无理方程化为整式方程；解整式方程；检验. 【典例11】（22-23九年级上·广东珠海·期中）阅读理解∶转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简 单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由 于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程(根号下含有未知数的方程)．解无理方程关键是要去掉 根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方 程也必须检验． 例如∶解方程． 解：两边平方得：． 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题∶ (1)填空∶已知关于x的方程＝x有一个根是，那么a的值为_____； (2)求满足x的x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把代入方程得，然后解关于的无理方程即可； （2）利用乘方把无理方程转化为得，解得，，然后进行检验确定原方程的根； 【详解】（1）解：把代入方程得， 两边平方得，解得， 经检验是方程的解； 所以的值为2； 故答案为：2； （2）解：， 方程两边平方得， 解得，， 经检验，代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根， 原方程的根是； 【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 【变式1】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和一元二次方程，可得．如，解根号下含有未知数的方程，可以通过方程两边平方把它转化为．解．再如求式子的最小值，可以得，整理得，当时，；当，方程有解， ，即，所以最小值为． (1)解下列方程： ①， ② (2)根据材料给你的启示，求函数的最小值． 【答案】(1)①，，；② (2) 【分析】本题是材料阅读题，考查了运用转化思想解方程，读懂材料是解题的关键．含有二次根式的方程要检验． （1）①方程左边分解因式即可完成求解；②通过方程两边平方即可完成求解； （2）根据材料转化为关于x的整式方程，利用一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】（1）解：①， 因式分解得， ∴或， 解，即， ∴或， 解得，，； ②， 方程两边平方把它转化为， ，即， ∴或， 解得，， ∵， ∴（舍去）， ∴； （2）解：， ， 整理得， 当时，， 解得：； 当，方程有解， ， ∴， ∴最小值为． 【变式2】（23-24九年级上·山西运城·期末）阅读材料:各类方程的解法 求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想“转化”，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如：解方程 解：移项，得 两边平方，得 即 两边再平方，得 即 解这个方程得： 检验：当时，原方程左边，右边 不是原方程的根； 当时，原方程左边，右边 原方程的根 原方程的根是． （1）请仿照上述解法，求出方程的解； （2）如图已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，从草坪边沿走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点，则 ．    【答案】（1）原方程的解是；（2）． 【分析】（1）通过移项，再两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设AP的长为x米，根据勾股定理和BP＋CP＝20，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解． 【详解】（1）解：移项，得 方程两边平方，得，即， 解方程，得或 经检验：是原方程的解 所以原方程的解是． （2）设AP=x米，则PD=(16-x)m， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，AB=CD=6m， ∵BP+CP=20， BP=， 即 ∴ 两边平方得： 整理得： 两边平方得： 整理得： 解得： 经检验：是原方程的解 所以原方程的解是 故答案为：． 【点睛】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法，解无理方程时注意到验根，解决（2）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键． 题型十二 用其他方法解一元二次方程 【典例12】（26-27九年级上·全国·课后作业）用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解： 或 解得； （4）解： 或 解得． 【变式1】（23-24九年级上·福建厦门·期中）当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”简化运算．“缩根法”是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并将新方程的两根同时缩小若干倍，从而得到原方程的两个根． 已知：关于的一元二次方程的两根为，求关于的一元二次方程的两根． 解：，令， 得新方程， 新方程的解为， 原方程的两根为． 这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法” 举例：用缩根法解方程． 解：，令， 得新方程． 解新方程得：， 原方程的两根为． 请利用上面材料解决下列问题，并写出具体步骤： (1)用缩根法解方程：； (2)用缩根法解方程：． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）设，得到新方程，再求出新方程的解，即可得出原方程的解； （2）将方程两边都乘以3，得，设，得到新方程，再求出新方程的解，即可得出原方程的解． 【详解】（1）解：设，得到新方程， 解得，， 即或， 所以原方程的两个根是，； （2）解：原方程整理为， 设，得到新方程， 解得，， 所以原方程的解是，． 【点睛】本题主要考查了“缩根法”解一元二次方程即换元法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃陇南·期末）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，．我们称这种解法为“平均数法”． (1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程： 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 上述解题过程中，a，b所表示的数分别是_______，_______； (2)请用“平均数法”解方程：． 【答案】(1)5，3 (2) ，． 【分析】本题考查解一元二次方程、平方差公式，熟悉一元二次方程的解法，理解“平均数法”解一元二次方程的方法是解答的关键． （1）根据“平均数法”的定义求解即可得出a、b的值； （2）根据“平均数法”的定义求解即可． 【详解】（1）解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，， 故， 故答案为：5，3． （2）解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23九年级上·江西景德镇·期中）当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，， 【分析】先把方程化成一般形式，再根据一元二次方程的定义得出当时，方程是一元二次方程，再求出答案即可． 【详解】解：， ， 关于的方程是一元二次方程， ， 即当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目是一道比较常见的题目，难度不是很大． （1）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）去分母后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2） ， 配方得： ， ∴， （3） ∴ 则 （4） 整理得，， 配方得：， ， ∴． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1) 解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）略 （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 2．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 3．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026·江苏无锡·中考真题）按要求完成下列小题： (1)解方程：； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：原式 ． 2．（2026·江苏连云港·中考真题）解方程． 【答案】， 【分析】方程移项后运用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 3．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或 （2）第三边的长是或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 【详解】解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 解一元二次方程（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一  根据一元二次方程的定义求参数 题型二  已知方程的根求参数 题型三  直接开平方法解一元二次方程 题型四  配方法解一元二次方程 题型五  公式法解一元二次方程 题型六  因式分解法解一元二次方程 题型七  选择合适的方法解一元二次方程 题型八  换元法解一元二次方程 题型九  解含绝对值的一元二次方程 题型十  降次化简高次方程 题型十一  升次突破无理方程 题型十二  用其他方法解一元二次方程 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义 能识别一元二次方程，准确找出二次项、一次项、常数项及对应系数，牢记二次项系数不为 0 基础必考，选择题、填空题高频；易错点：忽略二次项系数不能等于 0 直接开平方法 会判断适用题型，能用直接开平方法求解形如的方程 基础题型，以简单计算小题为主，注意负数不能开平方 配方法 掌握配方的完整步骤，能熟练把一元二次方程化成完全平方式；会用配方法求代数式最值 重难点，选择、填空、解答题都可考；易错：配方时漏加常数、忘记二次项系数化为 1 公式法 记住求根公式，能准确代入 a、b、c 的值解方程；会用判别式判断根的情况 核心必考，解答大题高频；易错：a、b、c 符号代入出错，判别式计算失误 因式分解法 能把方程整理为右边 = 0 的形式，会用提公因式、平方差、完全平方公式解方程 计算类高频考点，解题速度快；易错：方程两边随意约去含未知数的因式，丢根 知识点01 一元二次方程的相关概念 1.一元二次方程的定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 2.一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错】二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.特殊情况： ①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变； ②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数. 3. 一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根. 知识点02 直接开平方法解一元二次方程 定义：先把方程化为的形式，那么可得.像这样利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 【解读】用直接开平方求一元二次方程的解，一定要正确运用平方根的性质，即正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 适合用直接开平方法解一元二次方程有三种类型： 1） 2） 3） 知识点03 配方法解一元二次方程 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 1）移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式； 【易错点】在配方过程中忽视等式的性质而导致错误. 4）求解：利用直接开平方法求方程的解. 知识点04 公式法 求根公式的定义：一般地，对于一元二次方程，当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式. 公式法定义：求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程的结果，解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）将一元二次方程整理成一般形式； 2）确定公式中a、b、c的值；（易错点：忽略系数前面的符号） 3）求出的值； 4）当时，将将a、b、c的值代入求根公式：，从而请求出方程的解. 【补充说明】求根公式的使用条件： 知识点05 因式分解法解一元二次方程 定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）化积：将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）转化：令两个一次式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 题型一 根据一元二次方程的定义求参数 解｜题｜技｜巧 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(其中二次项系数不为0)的整式方程是一元二次方程，因此要求与一元二次方程有关的字母参数的值，只要先根据指数条件列方程，即指数等于2，通过解方程求得字母参数的值，再根据二次项系数不能为0的条件排除不合题意的值即可. 【典例1】（24-25九年级上·全国·课堂例题）填空： （1）一元二次方程的一般式是 ___________． （2）把一元二次方程化成一般式是___________． （3）把一元二次方程化成一般式是___________． （4）一元二次方程的二次项的系数是___________，一次项的系数是___________， 常数项是___________． （5）一元二次方程的二次项的系数是___________，一次项的系数是___________，常数项是___________． （6）当___________ 时，关于的方程是一元二次方程． 【变式】1（25-26九年级上·湖北襄阳·开学考试）已知关于的方程是一元二次方程，则___________． 【变式2】（22-23九年级上·湖北·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______． 【变式3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 题型二 已知方程的根求参数 解｜题｜技｜巧 将方程的根代入原方程，可得关于参数的方程.若要求参数的值，则需注意参数是否使二次项系数为0；若要求含参数的式子的值，则需考虑整体代入求解. 【典例2】（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）已知方程有一个根是3，则k的值是（   ） A．3 B．5 C． D．9 【变式1】（25-26九年级上·吉林白城·期末）关于的一元二次方程的一个根为0，则值为（   ） A． B．2 C． D．0 【变式2】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）若是方程的一个根，则代数式的值是__________． 【变式3】（25-26九年级上·北京·期中）已知是方程的一个解，求代数式的值． 题型三 直接开平方法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 用直接开平方求一元二次方程的解，一定要正确运用平方根的性质，即正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 【典例3】（26-27九年级上·全国·课后作业）若方程的根是有理数，则的值可能是（     ） A． B．3 C． D．4 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·云南昭通·期末）方程的解为___________． 【变式3】（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为________． 题型四 配方法解一元二次方程 【典例4】（26-27九年级上·湖北·期中）把方程化为的形式，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·山东威海·期中）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）填空： （1）______； （2）______＝______； （3）______＝______． 【变式3】（25-26九年级下·山东聊城·期中）将方程化成（为常数）的形式，则___________． 题型五 公式法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 求根公式使用的前提条件是a≠0且. 【典例5】（26-27九年级上·全国·单元复习）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，应先找出对应的________，________，________，计算出________，可得方程的根是_________． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）当满足时，方程的根是__________． 题型六 因式分解法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项，将方程右边化为0. 【典例6】（25-26九年级上·福建福州·期中）一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）若一个等腰三角形的两边为方程的根，则该三角形的周长为_______． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的方程，下列解法完全正确的是_______．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 甲 乙 两边同时除以，得 移项，得， ， 或， 即 丙 丁 整理，得． ， ， ， 即 整理，得． 配方，得， ， ， 即 题型七 选择合适的方法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑;对于整系数的一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式法. 【典例7】（24-25八年级下·全国·课后作业）不解方程，指出用什么方法解下列一元二次方程比较合适． ①； ②； ③； ④． 【变式1】（22-23八年级下·山东泰安·期中）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【变式2】（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（25-26九年级上·四川南充·期中）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 题型八 换元法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比较清晰合理的认识. 【典例8】（24-25九年级上·四川乐山·期中）对于方程，用换元法解，可设，则原方程为_____． 【变式1】（24-25九年级上·四川自贡·期中）为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴； 故原方程的解为． 以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为_______________________． 【变式2】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）阅读下面的材料： 解方程．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法如下： 设，则． 原方程可转化为，解得． 当时，； 当时，． 综上，原方程的解为． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数a，b满足，试求的值． 【变式3】（25-26九年级上·安徽淮南·期中）阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数满足，试求的值． 题型九 解含绝对值的一元二次方程 解｜题｜技｜巧 绝对值方程可以根据绝对值的意义进行分类讨论来解方程，也可以适当变形后，将含有绝对值的式子换元转化为一元二次方程求解. 【典例9】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 【变式1】（25-26九年级上·重庆万州·期中）阅读下面的例题与解答过程： 例．解方程： 解：当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 原方程的解是． 在上面的解答过程中，我们对进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： (1)； (2)． 【变式2】（21-22八年级下·安徽滁州·期中）阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程．解分两种情况 （1）当x≥0时，原方程化为，解得（舍去） （2）当x<0时，原方程化为，解得（舍去） 综上所述，原方程的解是． 问题：仿照上面的方法，解方程． 题型十 降次化简高次方程 解｜题｜技｜巧 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解. 【典例10】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是______． 【变式1】（25-26九年级上·河南安阳·期中）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程，它的解是___________． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是________． 【变式3】（25-26九年级上·青海西宁·期中）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为① 解方程①可得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到___________的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． (2)请仿照材料的方法，解下列方程： 题型十一 升次突破无理方程 解｜题｜技｜巧 解无理方程的一般步骤：两边乘方，将无理方程化为整式方程；解整式方程；检验. 【典例11】（22-23九年级上·广东珠海·期中）阅读理解∶转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简 单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由 于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程(根号下含有未知数的方程)．解无理方程关键是要去掉 根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方 程也必须检验． 例如∶解方程． 解：两边平方得：． 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题∶ (1)填空∶已知关于x的方程＝x有一个根是，那么a的值为_____； (2)求满足x的x的值． 【变式1】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和一元二次方程，可得．如，解根号下含有未知数的方程，可以通过方程两边平方把它转化为．解．再如求式子的最小值，可以得，整理得，当时，；当，方程有解， ，即，所以最小值为． (1)解下列方程： ①， ② (2)根据材料给你的启示，求函数的最小值． 【变式2】（23-24九年级上·山西运城·期末）阅读材料:各类方程的解法 求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想“转化”，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如：解方程 解：移项，得 两边平方，得 即 两边再平方，得 即 解这个方程得： 检验：当时，原方程左边，右边 不是原方程的根； 当时，原方程左边，右边 原方程的根 原方程的根是． （1）请仿照上述解法，求出方程的解； （2）如图已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，从草坪边沿走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点，则 ．    题型十二 用其他方法解一元二次方程 【典例12】（26-27九年级上·全国·课后作业）用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（23-24九年级上·福建厦门·期中）当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”简化运算．“缩根法”是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并将新方程的两根同时缩小若干倍，从而得到原方程的两个根． 已知：关于的一元二次方程的两根为，求关于的一元二次方程的两根． 解：，令， 得新方程， 新方程的解为， 原方程的两根为． 这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法” 举例：用缩根法解方程． 解：，令， 得新方程． 解新方程得：， 原方程的两根为． 请利用上面材料解决下列问题，并写出具体步骤： (1)用缩根法解方程：； (2)用缩根法解方程：． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃陇南·期末）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，．我们称这种解法为“平均数法”． (1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程： 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 上述解题过程中，a，b所表示的数分别是_______，_______； (2)请用“平均数法”解方程：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23九年级上·江西景德镇·期中）当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程： (1) (2)； (3) (4) 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 2．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 3．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026·江苏无锡·中考真题）按要求完成下列小题： (1)解方程：； (2)计算：． 2．（2026·江苏连云港·中考真题）解方程． 3．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $