专题13 圆与直线的位置关系综合复习（单元复习、期中复习）讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 专题13 直线与圆的位置关系综合复习 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、直线和圆的关系有三种：相交、相切和相离 3 知识点二、切线的性质和判定 3 知识点三、切线长定理 3 知识点四、三角形的内切圆 4 知识点五、弦切角定理 4 知识点六、圆和圆的位置关系 5 知识点七、圆幂定理 5 知识点八、正多边形与圆考点总结 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 8 【题型1 直线与圆位置关系判定、范围求值】 8 【题型2 圆 / 直线平移相切动态问题】 12 【题型3 切线判定（证明直线是圆的切线）】 16 【题型4 切线性质定理基础计算】 22 【题型5 切线判定与性质综合证明计算】 27 【题型6 切线长定理计算与证明】 31 【题型7 三角形内心基础性质应用】 35 【题型8 三角形内切圆半径、周长面积公式计算】 39 【题型9 内切圆与外接圆综合对比计算】 43 【题型10 内心相关证明、动点与最值问题】 47 【题型11 圆外切四边形性质应用】 57 【题型12 正多边形中心角、内外角、边数互求】 62 【题型13 正多边形半径、边心距、边长、面积周长计算】 65 【题型14 正多边形与圆综合、阴影面积、规律压轴】 68 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 73 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 90 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・直线和圆三种位置关系，圆心距 d 与半径 r 的大小比较； ・切线两种判定思路：有交点连半径证垂直、无交点作垂直证半径； ・切线性质：切线垂直过切点的半径；切线长定理； ・三角形内心定义、性质，内切圆半径公式，内切圆与外接圆区分； ・圆外切四边形性质； ・正多边形与圆相关概念：中心、中心角、半径、边心距； ・正多边形角度换算、边长边心距计算、周长面积求解。 ・选择填空重点考查位置关系判断、内心外心辨析、正多边形角度计算； ・解答题高频为切线证明，对书写步骤、辅助线规范要求高； ・内切圆常结合面积、周长公式求值，也会融入动点、最值小综合； ・正多边形多和圆、阴影面积结合考查； ・动态题型：平移相切，容易设置多解陷阱； ・压轴小问常融合切线、内心、正多边形，搭配勾股、相似综合运算。 考情解码： ・易错集中在：切线两种判定方法不会按需选用； ・内心、外心概念混淆，记错内切圆半径公式； ・动态相切问题遗漏其中一种情况，丢多解； ・正多边形计算不会拆分等腰三角形、直角三角形； ・切线证明跳步骤，缺少关键垂直推导，丢失步骤分； ・本板块是圆的核心中档大题板块，综合性强，是试卷拉开差距的重点模块。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、直线和圆的关系有三种：相交、相切和相离 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与相交 直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线． 直线l与相切 直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点． 直线l与相离 直线与圆没有交点． 知识点二、切线的性质和判定 1．切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 如图，直线AB与相切于点P，连接OP，则. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. 2．切线的判定： 定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线． 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直. 知识点三、切线长定理 1．切线长定理： 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 如图所示，PA、PB分别与切于点A、B，则，OP平分． 知识点四、三角形的内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点． 注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部． （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径． （3）常见结论：如图，，，，，． 知识点五、 弦切角定理 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 弦切角就是切线与弦所夹的角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角． 如图所示，直线AB切圆O于点A，AC为圆O的弦，是弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，则． 知识点六、圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系：圆和圆外离、圆和圆外切、圆和圆相交、圆和圆内切、圆和圆内含五种，这五种关系由两圆圆心的距离与两圆半径之和或差的大小关系决定． 设、的半径分别为r、R（其中），两圆圆心距为d，则有： 两圆外离；两圆外切；两圆相交； 两圆内切；两圆内含 说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况． 知识点七、圆幂定理 1．相交弦定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等． 如图，弦AB和CD交于内一点P，则． 2．切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 如图，PT是的切线，PAB为的割线，则． 3．割线定理 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 如图，PAB和PCD为的两条割线，则． 知识点八、正多边形与圆考点总结 （一）基础概念 1. 定义 · 正多边形：各边相等、各内角相等的多边形。 易错点：仅四边相等≠正方形（菱形内角不等）；仅四角相等≠正方形（矩形边长不等）。 · 正多边形的外接圆：经过正多边形所有顶点的圆，圆心叫中心，半径叫外接半径 R。 · 内切圆：与正多边形各边都相切的圆，半径叫边心距 r（中心到一边的垂直距离）。 2. 5 个关键元素 · 中心：外接圆圆心 · 半径 R：中心→顶点 · 边心距 r：中心→边（内切圆半径） · 中心角：相邻两条半径的夹角 · 边长 a：正多边形一条边 （二）、必考角度计算公式 设边数为 n(n≥3，整数) （1） 中心角 （2） 正多边形内角： （3） 外角：（正多边形外角 = 中心角） （4） 内角 + 外角 =180 （三）、核心直角三角形模型（计算重中之重） 过中心作一条边的垂线，连接两个相邻顶点，分割出全等直角三角形： 斜边 = 外接半径 R 一条直角边 = 边心距 r 另一条直角边 = （边长一半） 锐角 = 中心角 = 勾股定理恒成立： 常用特殊正多边形数值（直接背） · 正六边形（n=6） 中心角 = 60°，由 6 个等边三角形组成，， · 正方形（n=4） 中心角 = 90°，， · 正三角形（n=3） 中心角 = 120°，， （四）、周长与面积公式 (1) 周长： (2) 面积：正多边形可拆成 n 个全等等腰三角形 文字记忆：面积 =二分之一× 周长 × 边心距 （五）、正多边形与圆的作图考点 (1) 等分圆周作正多边形 · 正六边形：圆规截取半径六等分圆周 · 正三角形：隔一个等分点连接正六边形顶点 · 正方形：作互相垂直两条直径，顺次连接端点 (2) 作图原理：相等圆心角对等弦，等分弧→等分弦→正多边形 （六）、对称性高频考点 · 轴对称：正n边形有n条对称轴，每条过中心和一个顶点 / 一条边中点 · 中心对称：仅当n为偶数时，是中心对称图形，对称中心为外接圆圆心 例：正五边形无中心对称；正六、正方形有中心对称 （七）、易混易错点总结 (1) 任意多边形都有外接圆 （×，这句话错误）；只有正多边形一定同时有外接圆、内切圆，且同心圆 (2) 各边相等多边形不一定是正多边形（菱形）；各角相等也不一定（矩形） (3) 中心角 = 外角，不等于内角 (4) 边心距是内切圆半径，永远小于外接半径 (5) 奇数边正多边形无中心对称 （八）、中考常用二级结论 · 同圆内，边数越多：边长越小、边心距越大、面积越接近圆面积 · 正六边形内接于圆，边长等于圆半径 · 同一个正多边形，外接圆半径 R > 边心距 r 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 直线与圆位置关系判定、范围求值】 【例1】平面直角坐标系中，点M的坐标为，以2为半径画，则以下结论正确的是（     ） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离 C．与x轴相离，与y轴相离 D．与x轴相离，与y轴相切 【答案】D 【分析】根据点M坐标判断点到坐标轴的距离，由圆与直线的位置关系即可解答． 【详解】解：点M的坐标为， 点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2， 的半径为2， 圆心M到x轴的距离大于半径，到y轴的距离等于半径， 与x轴相离，与y轴相切． 【变式1-1】如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为，由半径得，，那么圆上任意一点的横纵坐标满足方程 ，再联立与得到一元二次方程，根据直线与圆有公共点，利用一元二次方程根的判别式 建立关于 b 的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可． 【详解】解：圆心 ， ∴圆心到轴，轴的距离为 ∵与轴，轴均相切， 的半径， 设圆上任意一点坐标为， 由半径得， ∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程， 当图象与有公共点时， 联立与， 得： ， 整理得：， 关于 的一元二次方程有实数根， ， 整理得，. 令， 解得， 令， ∴不等式的解集，即为抛物线在轴下方时，对应于轴交点横坐标的取值范围， ∵，抛物线开口方向向上， 不等式的解集为． 【变式1-2】如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时 点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵点, ∴, 过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点 D 到弦的距离最大为， ∴点D的坐标为， 故选A． ． 【变式1-3】已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是求出点到的距离，并结合线段长度确定半径范围．先通过勾股定理求的长，再用面积法求点到的距离，结合直线与圆的位置关系及的长度，确定的取值范围． 【详解】解： 又 （d为C到的距离）， 即 ， ， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交， 为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 【题型2 圆 / 直线平移相切动态问题】 【例2】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（    ）    A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒 【答案】D 【分析】作PH⊥CD于H，根据直角三角形的性质得到OP＝2PH，分点P在OA上、点P在AO的延长线上两种情况可，根据切线的性质解答． 【详解】解：作PH⊥CD于H， 在Rt△OPH中，∠AOC＝30°， ∴OP＝2PH， 当点P在OA上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm， ∴点P运动的距离为6﹣4＝2， ∴⊙P运动的时间是2秒， 当点P在AO的延长线上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm， ∴点P运动的距离为6+4＝10， ∴⊙P运动的时间是10秒， 故选：D．    【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【变式2-1】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0，-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， ∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4， ∴A（-4，0），B（0，-3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， 设⊙P与直线AB相切于D， 连接PD， 则PD⊥AB，PD=1， ∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO， ∴△APD∽△ABO， ∴， ∴， ∴AP=， ∴OP=或OP=， ∴P或P， 故选：B． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，，点为平面内的动点，若点满足，则点为线段的“好点”，则下列说法正确的有（    ） ①是“好点” ②所有“好点”围成的区域面积为 ③当且时，直线上有两个“好点”． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题根据圆周角定理确定“好点”的轨迹是两段圆弧，再分别验证三个结论即可．用到圆周角定理、两点坐标距离公式、直线与圆的位置关系、一元二次方程、扇形面积公式等初中知识点，根据相关知识进行求解即可． 【详解】解：已知，则，， 根据圆周角定理，满足的点的轨迹是两段圆弧，如图： ①圆心为，半径，点C在弦所对劣弧上，所对圆周角，则该弧所对圆心角为， 故是“好点”，①正确； ②圆心为，半径，点C在弦所对劣弧上，所对圆周角，则该弧所对圆心角为， 故也是“好点”，又， ∴满足的点的轨迹是两段圆弧（实线部分），所有“好点”围成的区域是两个弓形的面积和， 对任意一个弓形，对应扇形圆心角为，扇形面积为， 面积为， 总面积为，故②正确； ③设点C坐标为，则，则， 联立方程组，整理得， 由得，此时直线与圆相切； 由得， 联立方程组，整理得， 由得，此时直线与圆相切， 如图，当和时，直线与满足的点的两段圆弧相切， 由图知，当时，直线上不存在“好点”， 故当且时，直线上不一定有两个“好点”，故③错误． 综上，①②正确，答案选A． 【变式2-3】已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：如图，当l经过点B时，，则； 当l移动到时，则； 即平移的距离是或． 【题型3 切线判定（证明直线是圆的切线）】 【例3】下列命题：①直径是弦：②垂直于半径的直线是这个圆的切线；③三角形的外心是三条边垂直平分线的交点；④三点确定一个圆，其中真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的相关概念逐项判断即可． 【详解】解：①直径是弦，是真命题； ②原命题缺少经过半径外端的条件，是假命题； ③三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，是真命题； ④原命题缺少三点不在同一直线上的条件，是假命题； 故真命题共有2个． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，过格点作一圆弧，将点B与下列格点分别连线，当连线与圆弧相切时，该格点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作，的垂直平分线，交格点于点，则点为所在圆的圆心，可得三点所在圆的圆心为，连接，取格点，对各选项进行判断即可． 【详解】解：如图，连接，作，的垂直平分线，交格点于点，则点为所在圆的圆心， ∴三点所在圆的圆心为，由图可得， 连接，取格点， A、如图，设，取格点，由图可知，， ∵，，，，， ∴，，， ∴， ∴与不全等， ∴， ∴，即， ∴不与圆相切，故选项不符合题意； B、如图，设，取格点，由图可知，， ∵，，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与圆相切，故选项符合题意； C、如图，设，取格点，由图可知，， ∵，，，，， ∴，，， ∴， ∴与不全等， ∴， ∴，即， ∴不与圆相切，故选项不符合题意； D、如图，设，取格点，由图可知，， ∵，，，，， ∴，，， ∴， ∴与不全等， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴不与圆相切，故选项不符合题意； 【变式3-2】已知如图，二次函数顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点E，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（     ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据抛物线的解析式即可判定；②求得、的长进行比较即可判定，③过点作，交抛物线于，如果，则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得为直角三角形即可进行判定； 【详解】解：如图，过点作，交抛物线于，连接，，， 二次函数的顶点为，最大值为， 抛物线过点， 抛物线的对称轴为直线，故①正确，符合题意； 解得， 抛物线的解析式为， 当时， 解得或， ， ， ， ， ， ， ， 点在上，故②正确，符合题意； ， 解得或， ， ， 四边形不是平行四边形，故③错误，不符合题意； 由抛物线可知，， ， ， ， 为直角三角形， ， ， ， 直线与相切，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论有①②④． 【变式3-3】已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质．甲中，由圆周角定理得到，可判定是的切线；乙中，由作图知，证明，得到，可判定是的切线． 【详解】解：甲中，由作图知是的直径， ∴， ∴是的切线； 乙中，由作图知，，，即， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 综上，甲乙都对． 故选：C． 【题型4 切线性质定理基础计算】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，分别以点、为圆心，为半径作圆，当与轴相切，与轴相切时，连接．若，则的值为（     ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得，，根据勾股定理可得，因为，所以得，再解方程即可作答． 【详解】解：根据题意可知， 把代入，得； 把代入，得； ∴，， ， ， ， ， 解得或（，故舍去）， 故选：D 【变式4-1】如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接，分别将线段绕点A顺时针旋转到，连接，下列结论正确的有（     ） ①点在⊙O上；②；③；④当时，与相切． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据等边三角形的判定得出是等边三角形，是等边三角形，利用点与圆的位置关系即可判断①；再由全等三角形的判定得出，即可判断②；利用全等三角形的性质得出，再由等边对等角确定，结合图形及题意进行等量代换即可判断③；作，可推出，进而得出，结合可推出点C和点A重合即可判断④． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， 同理得，是等边三角形， ①∵是等边三角形， ∴， ∴点在上，故①正确， ∵， ， ， ，故②正确， ③由②知，， ， ， ， ， 是等边三角形， ∴， ， ， ∴，故③正确， ④如图， 过点O作于点C， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴点和点重合， ∴， ∴是的切线，故④正确； 综上所述：①②③④均正确． 【变式4-2】如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接，分别将线段绕点A顺时针旋转到，连接，下列结论正确的有（     ） ①点在上；②；③；④当时，与相切． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】可证得和是等边三角形，可推出，从而得出①正确；根据“边角边”可证得②；根据②可推出，进一步得出③正确；作，可推出，进而得出，结合可推出点C和点A重合，进而得出④正确，从而得出结果． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， 同理可得，是等边三角形， ①∵是等边三角形， ∴， ∴点在上， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确； ③由②知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ④如图， 过点O作于点C， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴点和点重合， ∴， ∴是的切线， 故④正确； 综上所述：①②③④均正确． 【变式4-3】如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，，点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质和直角三角形两锐角互余求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：由切线的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型5 切线判定与性质综合证明计算】 【例5】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫作整点．如图，过整点，，有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线经过（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理的性质作出圆心所在位置，再根据切线的判定方法作出切线，利用三角形全等的判定和性质求出点E的坐标，利用待定系数法确定直线的解析式，再将各选项代入解析式判断直线是否经过点． 【详解】 解：如图，连接、，作、的垂直平分线交于点， 则点就是所在圆的圆心， ∴点，，组成的圆的圆心为， 过点作于点，交直线于点， 此时与圆相切于点， 则 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴设直线：, 则， 解得, ∴直线：， ∴点在此直线上， 当时，，点不在此直线上，故选项不符合题意； 当时，，点不在此直线上，故选项不符合题意； 当时，，点不在此直线上，故选项不符合题意． 【点睛】此题主要考查了切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂径定理、用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是能熟练掌握这些性质坐标与图形的性质． 【变式5-1】如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的判定与性质、切线长定理、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 【变式5-2】以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 【变式5-3】过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、切线的判定等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．根据点与的位置，分别进行分析即可得． 【详解】解：如果点在外，则过点作的切线有两条； 如果点在内，则过点的直线与相交； 如果点在上，则过点作的切线只有一条； 如图，连接，过点作的切线，则， 是唯一的， 过点作的切线只有一条， 故选：B． 【题型6 切线长定理计算与证明】 【例6】如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，根据切线长定理可知，，，再由的周长为，即可求解． 【详解】解：连接，，， ，分别与相切， ， 同理，， 的周长为， ， ， ， ， ， ． 【变式6-1】如图，，是的切线，A，B为切点，为的直径，连接，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，，可得，证明，进一步可得结论． 【详解】解：∵、是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，连接，根据切线长定理结合等边对等角，求出的度数，切线的性质，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，   ，分别切圆于、， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ． 故选：D． 【变式6-3】如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基础知识，切线的性质，掌握切线的性质，圆周角定理的运用是解题的关键． 根据切线的性质可得，，可得的周长，如图所示，连接，可求出所对圆心角，根据同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于两点， ∴，即，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵分别与相切于两点， ∴， ∴，， ∴的周长为， 如图所示，连接， ∵分别与相切于两点，， ∴，， 在中，， 同理，， ∴所对的圆心角， ∴所对圆心角， ∴， 故选：． 【题型7 三角形内心基础性质应用】 【例7】如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，连接、、，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，由三角形内心性质得到，结合三角形内角和定理，求出，进而求出的度数． 【详解】解：， ， 点是的内心， 平分， ， ， 平分，平分， ， ． 【变式7-1】魏晋时期的数学家刘徽曾为《九章算术》作注，其中关于“勾股容圆术”的注解引起了数学兴趣小组的关注，同学们在综合实践活动中，对如下问题进行了深入探讨：在中，，，，是的内切圆，与边，分别切于点，．过点作的平行线分别交，于点，，连接，他们得到如下结论： ①； ②； ③的周长是6； ④的面积是3． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】证明四边形是正方形，可得，进一步可得①错误；证明，结合，可得②正确；利用内切圆的性质可得，进一步可得③正确；证明，可得，进一步求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆，与边，分别切于点，． ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴不平行，故①错误； ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵是的内切圆，记与切于点，如图， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵在中，，，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长是，故③正确； ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误． 综上：正确的是②③． 【变式7-2】在直角中，，，为边BC上一点，为的内心（内心是指内切圆的圆心），F为的内心，若，则（） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设分别与相切于点，连接，则，根据切线长定理求出，，得出，然后求出，，代入整理可得答案． 【详解】解：如图，设分别与相切于点，连接，则， ∵， ∴点M在线段上． 由切线长定理得，， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】如图，的内心为，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据内心是三角形三条角平分线的交点，结合三角形的内角和定理进行求解即可. 【详解】解：在中，， ∴， ∵的内心为， ∴平分，平分， ∴， ∴. 【题型8 三角形内切圆半径、周长面积公式计算】 【例8】如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接，结合，可得三角形周长为．一方面面积，另一方面三角形面积等于内切圆半径乘以周长的一半，即．因为两个表达式都表示的面积，所以联立两个式子消去和，即可得到与的比值． 【详解】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接， 由题得，， ∴的周长为． 以为底、为高，的面积为， 又∵的面积可表示为 ， ∴联立等式， 得， ∴． 【变式8-1】如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ∵的面积为， ， ， 解得， 故选：D． 【变式8-2】设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内切圆和三角形的外接圆，掌握内心与外心是解题的关键． 根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为O，根据30度角所对的直角边是斜边的一半得∶；根据垂径定理和勾股定理即可得到结论， 【详解】解：如图， ​​​​​​​ ∵是等边三角形， ∴的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O， 设 ， ∴，故A正确． ∵， ∴， 在中， ，故B正确； ∵， ∴， ∴，， ∴，，故C错误，D正确． 故选C． 【变式8-3】如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（    ） A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质，设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、，由内切圆可得，，，，则，即可得到，同理可得，再代入计算即可． 【详解】解：设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、， ∵， ∴，， ∵为斜边上的中线， ∴，， ∵的内切圆圆心，切点分别为、、，的内切圆半径为， ∴，，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故选：B． 【题型9 内切圆与外接圆综合对比计算】 【例9】如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数． 【详解】解：过点I分别作，如图 ∵点I是的内心，且结合切线性质 ∴ ∵ ∴， 即 ∴， ∵点O是的外心， ∴． 故选：B． 【变式9-1】如图，在中，，点是内心，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，根据三角形内角和定理即可求得的度数，然后根据内心的定义即可求得然后根据三角形内角和定理即可求解，掌握内心定义是解决本题的关键. 【详解】解： ， ∵点是的内心， ， 故选：． 【变式9-2】下列说法正确的是（    ） A．等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为 B．正方形的内切圆与外接圆半径之比为 C．正六边形的内切圆与外接圆半径之比为 D．以上说法都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形，即可． 【详解】解：设等边三角形内切圆的圆心为O，连接，过O作于D， ， ∴， 即等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为，故A选项错误，不符合题意； 如图，设正方形内切圆的圆心为O，连接，过O作于E， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即正方形的内切圆与外接圆半径之比为，故B选项错误，不符合题意； 设正六边形内切圆的圆心为O，连接，过O作于G，设正六边形的边长为a， ∴正六边形的半径是a，则外接圆的半径a， ∵内切圆的半径是正六边形的边心距， ∴， ∴正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为，故C选项正确，符合题意． 故选：C． 【变式9-3】如图，在中，（1）作和的垂直平分线交点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）分别与和的垂直平分线交于点；（4）连接其中与交于点P． 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①；②；③点O是的外心；④点是的内心．所有正确结论的序号是（） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题； 根据作图信息以及线段的垂直平分线的性质，垂径定理等知识一一判断即可． 【详解】解：如图，设交于． ∵， ∴， ∴；故①正确， ∴，故②错误， ∵点是线段，线段的垂直平分线的交点， ∴点是的外心，故③正确， ∵， ∴， ∴， ∴点是的内心，故④正确， 故选：D． 【题型10 内心相关证明、动点与最值问题】 【例10】如图，已知是半圆的直径，为半圆上一个动点（不与重合），点A是的中点，连接，交于点，过点作，交于点，的延长线交的垂线于点． (1)求证：； (2)连接，若，设，，求关于的函数关系式； (3)在（2）的条件下， ①若，求内心和外心之间的距离； ②求内心和外心距离的取值范围． 【答案】(1) 证明：∵点A是的中点，是半径， 根据垂径定理可知：，即， 又， ， 在和中， ， ， ； (2)， (3)①；② 【分析】（1）由垂径定理可得，根据已知条件证得即可得证； （2）根据已知条件可得，则，将式子整理即可求解； （3）①设，，根据勾股定理可得，根据已知证得，则有，解出，设的内心为I，外心为O，过O作，连接 ，利用内心半径公式可得内切圆半径为2，设到的距离为，到的距离为，对应减去内切圆半径利用勾股定理即可求解； ②设，，则,内切圆半径，设O到的距离为，O到的距离为，与①同理可得，由此有，根据直角三角形中，斜边固定时，两直角边相等时和最大，则时直角边最大，再根据三角形两边之和大于第三边，则，即可求解出内心和外心距离的取值范围． 【详解】（1）略 （2）是半圆的直径， ， ，， ， 则，即， ，设，， ，； （3）①在中，，设，， ， ，， ， 又，， ， ， ，即， 又， ，， ，， 设的内心为I，外心为O， 如图，过O作，连接 ， 根据三角形的面积， 则， 解得：， 为中点，， 设到的距离为，到的距离为， ，， ， 则内心和外心之间的距离； ②设，，则,内切圆半径， 外心O为中点，设内心为I， 设O到的距离为，O到的距离为， ， 将代入化简得：， 因为直角三角形中，斜边固定时，两直角边相等时和最大， 则时直角边最大， ， 又因为三角形两边之和大于第三边，则， ， 当时，，， 当时，， 即内心与外心的距离最小值为， 则内心和外心距离的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了圆的性质，垂径定理，直角三角形的性质，内心半径公式，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的三边关系等，灵活运用，熟练掌握相关知识点，建立合适的辅助线是解题的关键． 【变式10-1】【习题再现】 （教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？ （不需解答，请看下面的问题） 【逆向思考】 (1)如图（1），为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心； 【拓展提高】 (2)如图（2），的半径长为5，弦，动点在优弧上（不与、重合），是的内心． ①点到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点； ②的最大值为______． 【答案】(1) 证明：连接，如图 平分 是的一个外角 ， 平分 为的内心 (2) ①如图： ② 【分析】（1）连接，由，可知，得到，从而推出平分，然后由，可知，通过三角形的外角可推出平分，得证． （2）①作的延长线交于点，连接，，根据三角形内心的性质和同弧所对的圆周角相等，可推出，再由三角形外角的可推出，结合，从而推出，即，可得点为所求； ②由①可知，从而推出当为的直径时，取得最大值，设交于点，连接，根据三角形内心的性质和垂径定理推论可得，，然后利用勾股定理先求得，即可得到，从而求得的最大值． 【详解】（1）略 （2）解：①作的延长线交于点，连接，，如图 是的内心 ， ，点为中点 又和为所对的圆周角 是的一个外角 是一个定值 故延长交于点，点即为所求， ②如①图，， 当取最大值时，取得最大值 当为的直径时，取得最大值，如下图所示， 设交于点，连接 是的内心 是的直径 ， 的半径长为5， ，， 的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内心的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理的推论，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并构造出合适的辅助线是解题的关键． 【变式10-2】P为边长是的正三角形内切圆上一个动点，求的最小值． 【答案】 【分析】连接，，交于，中点，连接，过点O作 于E，过点G作于F，证明，推出，推出，利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，，交于，中点，连接，，过点O作 于E， 是等边三角形，是的内切圆，， ∴，， ， ∴ ∴， ∵G是中点， ∴， ， ∵， ， ，即， ， 过点G作于F， 在中，，， ∴， ∴ ∴ ∴． 的最小值为． 【点睛】本题考查几何问题的最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【变式10-3】如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，连接AC，，． (1)求二次函数的表达式； (2)若将函数图象向下平移m个单位长度后，仍然与坐标轴有3个交点，求m的取值范围； (3)如图2，若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足，过D作轴于点G，设的内心为I，试求CI的最小值． 【答案】(1) (2)且6-m≠0 (3)6-6， 【分析】（1）由解析式可求得点C(0,6),再由=2，可求得点A(12,0)，又因为，即可求得点B(-8,0)，然后把A(12,0)，B(-8,0)代入即可求解； （2）将函数图象向下平移m个单位长度后，新抛物线解析式为：y=，再根据新抛物线与坐标轴有3个交点，则有且6-m≠0，解之即可求解； （3）在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足，过D作轴于点G，Ｉ为的内心，所以点D运动路径是以半径为12的⊙A上的，点I运动路径是⊙M上的，当C、I、M三点共线时，CI最小，先求得⊙M的半径，从而求得点M（6，6），从而求得CM长，即可由CI=CM-⊙M的半径，得解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于C点， ∴C（0，6）， ∴OC=6， ∵，即=2， ∴OA=12， ∴A（12，0）， ∵， ∴OB=8， ∴B（-8，0）， 把A（12，0），B（-8，0）代入，得 ，解得：， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：∵=， ∴将函数图象向下平移m个单位长度后，新抛物线解析式为：y=, ∵新抛物线与坐标轴有3个交点， ∴且6-m≠0， 解得：0<m<且m≠6； （3）解：如图1，∵在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足，过D作轴于点G，Ｉ为的内心， ∴点D运动路径是以半径为12的⊙A上的，点I运动路径是⊙M上的，当C、I、M三点共线时，CI最小， 当I在OA垂直平分线上时，如图2 由I是Rt的内心，AD=12,AP=6, ∴2（PI+6）2=122， ∴PI=6-6， ∴⊙M半径为6， ∴PM=6， 可求得点M坐标为（6，-6）， ∵C（0，6） ∴CM=6， ∴CI最小值为6-6． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，三角形内心，熟练掌握相关性质即其灵活运用是解题的关键． 【题型11 圆外切四边形性质应用】 【例11】如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形的各边与分别相切于点， 根据切线长定理：， ∴ ， ∴． 【分析】利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．把四边形四条边拆成多组相等的线段，再进行等量代换，即可证明等式． 【详解】略 【变式11-1】将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为_________   【答案】 【分析】首先作∠DAF与∠AB1C1的角平分线，交于点O，则O为该圆的圆心，过O作OF⊥AB1交AB1于点F，则OF即为所求，根据角平分线的性质可得∠OAF=30°，∠AB1O=45°，根据等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形性质可得B1F=x，AF=-x，接下来在Rt△OFA，利用勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求解. 【详解】作∠DAF与∠AB1C1的角平分线，交于点O，过O作OF⊥AB1交AB1于点F， AB=AB1=，∠BAB1=30°， ∵四边形AB1C1D1是正方形，∠DAF与∠AB1C1的角平分线交于点O，∠BAB1=30° ∴∠OAF=30°，∠AB1O=45° ∵OF⊥AB1 ∴B1F=OF=OA 设B1F=x，则AF=-x ∴（-x）2+x2=（2x）2 解得x=或x=（舍去） 即四边AB1ED的内切圆的半径为. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了正方形中的旋转问题，添加合适的辅助线是解题关键. 【变式11-2】如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，． （1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？ （2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题： ①求的值； ②求图③中线段所在直线的解析式． 【答案】（1）甲600立方米，乙240立方米；（2）①；②． 【分析】（1）根据题意画出图形即可直接得出正方形的边长，即可求出容器甲的容积；连接，由圆周角定理的推论可知为直径，即，再在中，根据勾股定理即可求出EF和EH的长，即可求出容器乙的容积． （2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米． ①当时，根据题意即可求出此时的值，即得出M点坐标．由平行于横轴，即得出N点坐标，即6小时后高度差仍为米，由此即可列出关于a的等式，解出a即可． ②设注水b小时后，，根据题意可列出关于b的等式，解出b即得到P点坐标．设线段所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求出其解析式． 【详解】（1）由图知，正方形的边长， ∴容器甲的容积为立方米． 如图，连接， ∵， ∴为直径． 在中，，， 根据勾股定理，得，， ∴容器乙的容积为立方米． （2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米． ①当时，． ∵平行于横轴， ∴，． 由上述结果，知6小时后高度差仍为1.5米， ∴． 解得． ②设注水b小时后，，则有． 解得，即． 设线段所在直线的解析式为， ∵、在直线上， ∴， 解得：． ∴线段所在直线的解析式为． 【点睛】本题考查圆的内接和外切四边形的性质，圆周角定理，勾股定理以及一次函数的实际应用．根据题意画出图形求出两个容器的各边长和理解题意找出等量关系是解答本题的关键． 【变式11-3】如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【答案】 证明：∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB. 【详解】略 【点睛】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键. 【题型12 正多边形中心角、内外角、边数互求】 【例12】正六棱柱的主视图和左视图如图所示，则图中a的值为（     ） A． B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】由主视图和左视图可得：，，，连接，则有，可求，即可求解． 【详解】解：如图， 由主视图和左视图可得： ，，， 由正六边形性质可知， ，， ，， 连接，则有， 为等边三角形， ， ， ， ． 【变式12-1】古典花窗是中国传统建筑中独具特色的窗式，常见于园林、住宅等场所，兼具实用功能与艺术装饰价值．如图①为某花窗的局部图案，中心部位包含一个菱形与3个全等的正六边形，如图②将其几何示意图放在平面直角坐标系中，点，，，为菱形的顶点，点为正六边形的顶点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题涉及了把几何图形放在平面直角坐标系中，利用坐标求线段的长度，了解菱形对角线的性质：互相垂直平分．熟悉正六边形的性质：中心到顶点的距离等于边长，正六边形的边心距与边长的关系．利用正六边形边长，边心距求E点的坐标． 【详解】解：根据图②， 得到． 设正六边形的边长为，根据正六边形的性质（正六边形的外接圆半径等于边长），则正六边形中心到顶点的距离为． E为其中一个正六边形的顶点， ，． 正六边形的边长为1， 根据正六边形的边心距：中心到一条边的垂直距离为，得到正六边形中心到一边的垂直距离为． E点的坐标为． 【变式12-2】我国魏晋时期数学家刘徽在公元年撰写的《九章算术》中提出了一种估计的方法，也就是“割圆术”：用圆内接正边形的周长估计圆的周长进而估计的近似值，且越大时圆内接正边形的周长越接近圆的周长，估计值越接近．当时，如图，用这种方法估计此时的近似值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质得到，得到是等边三角形，得到，根据题意计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵六边形是正六边形， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长：圆的直径， 故选：A． 【变式12-3】如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正边形的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【题型13 正多边形半径、边心距、边长、面积周长计算】 【例13】如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由的周长等于，可得的半径，再求得正六边形的中心角，进而可得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求得答案． 【详解】解：连接，， ∵的周长等于， ∴的半径为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的边长为6． 【变式13-1】如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角定理求出的度数，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 【变式13-2】如图，正六边形内接于．若的半径为，则点到的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，根据正六边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，于是利用勾股定理得到结论． 【详解】 解：过作于， 在正六边形中：， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质和勾股定理，解决本题的关键是要正确的作出辅助线和熟练掌握含30°角直角三角形的性质和勾股定理． 【变式13-3】如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正六边形的内角公式，求得，进而求出、，于是可求出扇形的圆心角，再在中过点作于，利用已知条件先求出，再求出，最后利用扇形的面积公式即可求得结果． 【详解】解：正六边形的边长为1， ，， ， 同理可得：， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 扇形（阴影部分）的面积． 【题型14 正多边形与圆综合、阴影面积、规律压轴】 【例14】如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 【答案】(1) (2)正六边形的周长为18cm，面积为 【分析】（1）连接，根据中心角定义求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）过点作于点，证明是等边三角形，结合的周长可求出的长度，然后根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算. 【详解】（1）解：如图，连接． ∵正六边形内接于， ， ； （2）解：如图，过点作于点， ． 的周长等于， 的半径为． ，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 正六边形的周长为，面积为． 【变式14-1】如图，等边三角形内接于，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】如图：过O作于D，利用圆和等边三角形的性质可得，再利用等腰三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理求得；再说明，最后利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过O作于D， 为等边三角形，且内接于， ． 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即， ． 【变式14-2】如图，正六边形的中心为原点，顶点A，D在x轴上，半径为2，求其各个顶点的坐标． 【答案】，，，，， 【分析】过点作轴于点，连接，先求出，，再根据等边三角形的判定与性质可得，利用勾股定理可得，然后根据点坐标与轴对称变换规律求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， ∵正六边形的中心为原点，半径为， ∴，，正六边形关于轴和轴对称， ∴是等边三角形，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又∵点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称， ∴，，，， 综上，正六边形各个顶点的坐标分别为，，，，，． 【变式14-3】如图，的半径是R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长． 【答案】它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长分别为、、． 【详解】解：的外切正三角形如图，和相切于点D， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 的外切正方形如图，和、分别相切于点E，G， ∵的半径为， ∴， ∴的外切正方形边长为； 的外切正六边形如图，和相切于点D， ∵的半径为， ∴，， ， ∴，， 答：它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长分别为、、． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．已知的半径为4，直线l上有一点A满足，则直线l与的位置关系为（     ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】是直线上一点与圆心的连线，不一定是圆心到直线的距离，需分垂直、不垂直两种情况讨论. 【详解】解：的半径，， 分两种情况讨论： 当时，圆心到直线的距离，直线与相切. 当不垂直于时， ∵垂线段最短， ∴圆心到直线的距离，直线与相交. 综上，直线与的位置关系为相交或相切. 2．在中，，若以点C为圆心，r为半径的与直线相切，则r的值为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理，以及三角形面积求法， 熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 过点C作，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积法求出的长，即为所求的r． 【详解】解：如图，过点C作， ∵在中，，，， ∴， ， ， 解得：， ∵以点C为圆心，r为半径的与直线相切， ∴， 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，M为上一点，若点N的坐标为，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的坐标可确定其为直线上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出的最小值． 【详解】解：点的坐标为， 点为直线上任意一点，如下图所示： 直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点， 由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最小， 此时：， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ， ， ， ， 此时，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，勾股定理，一次函数应用，熟练掌握与圆相关的最值问题解决方法是解题关键． 4．平面内，下列命题为真命题是（    ） A．经过半径外端点的直线是圆的切线 B．经过半径的直线是圆的切线 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【答案】D 【分析】利用切线的判定方法逐一判断即可得到答案，也可举出反例进行说明. 【详解】解：根据切线的判定定理：“经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线”得到D正确， 故选D. 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，牢记这些命题与定理是解决本类问题的关键. 5．如图AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（   ） A．65° B．115° C．65°和115° D．130° 和50° 【答案】C 【分析】连接OC,OB，分点P在优弧BC上与劣弧BC上两种情况讨论即可. 【详解】连接OC,OB， 则∠ACO=∠ABO=90°，∠BOC=360°-90°-90°-50°130°， 分两种情况： ①当P在优弧BC上，∠P==65°， ②当P在劣弧BC上，∠BPC=180°-65°=115°. 故选C. 【点睛】此题主要考查切线的性质及圆周角定理，解题的关键是根据图形分两种情况讨论. 6．如图，已知△中，，，，作的角平分线交于，以为圆心，为半径作圆，与射线交于点，．有下列结论：①△是直角三角形；②与直线相切；③．其中正确的结论有（     ） A．① B．①② C．①②③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，可判断①结论；过点作交于点，结合角平分线的性质，可判断②结论；利用三角形的面积公式，求出的长，进而根据可判断③结论． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，①结论正确； ∴， 如图，过点作交于点， 平分，， ， 是的半径， 与直线相切，②结论正确； ， ， ， ， ， ，③结论正确， 即正确的结论有①②③． 7．如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 8．如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC＝90°，②AD+BC＝CD，③S△AOD：S△BOC＝AD2：AO2，④OD：OC＝DE：EC，⑤OD2＝DE•CD，正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE＝DA，CE＝CB，由CD＝DE＋EC，等量代换可得出CD＝AD＋BC，选项②正确；由AD＝ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD＝∠EOD，同理得到∠EOC＝∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项①正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2＝DE•CD，选项⑤正确；由△AOD∽△BOC，可得＝（）2＝（）2＝，选项③正确；由△ODE∽△OEC，可得＝，选项④错误． 【详解】解：连接OE，如图所示： ∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切， ∴∠DAO＝∠DEO＝∠OBC＝90°， ∴DA＝DE，CE＝CB，AD∥BC， ∴CD＝DE＋EC＝AD＋BC，选项②正确； 在Rt△ADO和Rt△EDO中， ∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL）， ∴∠AOD＝∠EOD， 同理Rt△CEO≌Rt△CBO， ∴∠EOC＝∠BOC， 又∠AOD＋∠DOE＋∠EOC＋∠COB＝180°， ∴2（∠DOE＋∠EOC）＝180°，即∠DOC＝90°，选项①正确； ∴∠DOC＝∠DEO＝90°，又∠EDO＝∠ODC， ∴△EDO∽△ODC， ∴＝，即OD2＝DC•DE，选项⑤正确； ∵∠AOD＋∠COB＝∠AOD＋∠ADO＝90°，∠A＝∠B＝90°， ∴△AOD∽△BOC， ∴＝（）2＝（）2＝，选项③正确； 同理△ODE∽△OEC， ∴＝，选项④错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 9．如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】连接圆心与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式（其中为周长，为内切圆半径）建立等量关系求解． 【详解】解：设的半径为， 连接， ∵是的内切圆， ∴点到的距离都等于， ∴ ， ∵的周长为8，面积为4， ∴， 解得． 10．如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 【答案】7 【分析】根据切线长定理，可得，，，，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵、、、都和相切， ∴，，，， ∴， ∴ ． 11．设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，则______． 【答案】 【分析】由等边三角形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的比． 【详解】解：等边三角形的边长为， 外接圆半径， 内切圆半径， ． 12．如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 【答案】 【分析】连接，，作于点，由中心对称图形的性质可知，阴影部分的面积等于弓形的面积，证明是等边三角形可得出，由勾股定理可得，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接，，作于点，则， 与正六边形都是中心对称图形， 阴影部分的面积和弓形的面积． ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 故阴影部分的面积和为． 13．如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】/ 【分析】求出阴影部分扇形的圆心角，再求出扇形面积即可解答； 【详解】解：∵正六边形的边长为1， ∴，, ∴． 14．如图，等腰三角形的外接圆是以为直径的，，是的优弧上的任意一点（点不与点重合），连接，作直线交直线于点，使． (1)求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)写出的数量关系，请证明你的结论． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵，点O为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线是的切线； (3)解：，证明如下： 如图，延长至点E，使，连接， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质以及，可得，即可求证； （3）延长至点E，使，连接，证明，可得，从而得到为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴； （2）略 （3）略 15．如图，在中，． (1)在边上找一点，使以点为圆心，长为半径的圆恰好与相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，与的切点为，若，，求的半径． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2) 【分析】（1）要满足以点为圆心，为半径的圆与相切，等价于圆心到的距离等于半径，结合的条件，等价于作的角平分线，该角平分线与交于点，过点作的垂线，与的交点即为所求的点，此时，，满足圆与相切，保留全部作图痕迹即可； （2）过点作交于点，结合切线的性质和，推出四边形是矩形，由此得到对应边相等，设半径，则，，在中利用勾股定理列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：作的角平分线，交于点，过点作的垂线交于点，即为所求．以为圆心，长为半径作圆，可以使得圆与相切． （2）解：如图，过点作交于点， ，，， 四边形是矩形， ， 设半径，则，， 在中，， ， 即， 解得． 的半径为． 16．如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 【答案】证明：∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴． 【分析】根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解． 【详解】略 17．如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，过点作，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接． 是的直径， ， ． ， ． ， ，， ． ，， ， ． 又， ，且是的直径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，得；利用得到，由得到，故；利用证明，得到，最后同旁内角互补，即可得； （2）连接，与相交于M点，根据，得是等腰直角三角形，由，得，，长度，证明，得到，是等腰直角三角形，即可算出阴影部分面积. 【详解】（1）略 （2）解：连接，与交于点． ∵，， ∴为等腰直角三角形 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ． 18．如图，已知是的切线，切点为B，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C，连接．求证：是的切线． 【答案】证明：连接，，， ∵是的切线，切点为B， ∴，即， ∵以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即，且为半径， ∴是的切线． 【分析】连接，，，由切线的定义得出，即，证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出是的切线． 【详解】略． 19．已知，如图，为的直径，内接于，，点P是的内心，延长交于点D，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为直径， ∴， ∵点P是的内心， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． (2)或 【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点B作于H，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点B作于H，如图所示： ∵是直径，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 91 页 第 1 页 共 91 页 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED 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【题型11 圆外切四边形性质应用】 21 【题型12 正多边形中心角、内外角、边数互求】 23 【题型13 正多边形半径、边心距、边长、面积周长计算】 25 【题型14 正多边形与圆综合、阴影面积、规律压轴】 26 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 28 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 33 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・直线和圆三种位置关系，圆心距 d 与半径 r 的大小比较； ・切线两种判定思路：有交点连半径证垂直、无交点作垂直证半径； ・切线性质：切线垂直过切点的半径；切线长定理； ・三角形内心定义、性质，内切圆半径公式，内切圆与外接圆区分； ・圆外切四边形性质； ・正多边形与圆相关概念：中心、中心角、半径、边心距； ・正多边形角度换算、边长边心距计算、周长面积求解。 ・选择填空重点考查位置关系判断、内心外心辨析、正多边形角度计算； ・解答题高频为切线证明，对书写步骤、辅助线规范要求高； ・内切圆常结合面积、周长公式求值，也会融入动点、最值小综合； ・正多边形多和圆、阴影面积结合考查； ・动态题型：平移相切，容易设置多解陷阱； ・压轴小问常融合切线、内心、正多边形，搭配勾股、相似综合运算。 考情解码： ・易错集中在：切线两种判定方法不会按需选用； ・内心、外心概念混淆，记错内切圆半径公式； ・动态相切问题遗漏其中一种情况，丢多解； ・正多边形计算不会拆分等腰三角形、直角三角形； ・切线证明跳步骤，缺少关键垂直推导，丢失步骤分； ・本板块是圆的核心中档大题板块，综合性强，是试卷拉开差距的重点模块。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、直线和圆的关系有三种：相交、相切和相离 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与相交 直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线． 直线l与相切 直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点． 直线l与相离 直线与圆没有交点． 知识点二、切线的性质和判定 1．切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 如图，直线AB与相切于点P，连接OP，则. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. 2．切线的判定： 定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线． 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直. 知识点三、切线长定理 1．切线长定理： 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 如图所示，PA、PB分别与切于点A、B，则，OP平分． 知识点四、三角形的内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点． 注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部． （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径． （3）常见结论：如图，，，，，． 知识点五、 弦切角定理 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 弦切角就是切线与弦所夹的角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角． 如图所示，直线AB切圆O于点A，AC为圆O的弦，是弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，则． 知识点六、圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系：圆和圆外离、圆和圆外切、圆和圆相交、圆和圆内切、圆和圆内含五种，这五种关系由两圆圆心的距离与两圆半径之和或差的大小关系决定． 设、的半径分别为r、R（其中），两圆圆心距为d，则有： 两圆外离；两圆外切；两圆相交； 两圆内切；两圆内含 说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况． 知识点七、圆幂定理 1．相交弦定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等． 如图，弦AB和CD交于内一点P，则． 2．切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 如图，PT是的切线，PAB为的割线，则． 3．割线定理 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 如图，PAB和PCD为的两条割线，则． 知识点八、正多边形与圆考点总结 （一）基础概念 1. 定义 · 正多边形：各边相等、各内角相等的多边形。 易错点：仅四边相等≠正方形（菱形内角不等）；仅四角相等≠正方形（矩形边长不等）。 · 正多边形的外接圆：经过正多边形所有顶点的圆，圆心叫中心，半径叫外接半径 R。 · 内切圆：与正多边形各边都相切的圆，半径叫边心距 r（中心到一边的垂直距离）。 2. 5 个关键元素 · 中心：外接圆圆心 · 半径 R：中心→顶点 · 边心距 r：中心→边（内切圆半径） · 中心角：相邻两条半径的夹角 · 边长 a：正多边形一条边 （二）、必考角度计算公式 设边数为 n(n≥3，整数) （1） 中心角 （2） 正多边形内角： （3） 外角：（正多边形外角 = 中心角） （4） 内角 + 外角 =180 （三）、核心直角三角形模型（计算重中之重） 过中心作一条边的垂线，连接两个相邻顶点，分割出全等直角三角形： 斜边 = 外接半径 R 一条直角边 = 边心距 r 另一条直角边 = （边长一半） 锐角 = 中心角 = 勾股定理恒成立： 常用特殊正多边形数值（直接背） · 正六边形（n=6） 中心角 = 60°，由 6 个等边三角形组成，， · 正方形（n=4） 中心角 = 90°，， · 正三角形（n=3） 中心角 = 120°，， （四）、周长与面积公式 (1) 周长： (2) 面积：正多边形可拆成 n 个全等等腰三角形 文字记忆：面积 =二分之一× 周长 × 边心距 （五）、正多边形与圆的作图考点 (1) 等分圆周作正多边形 · 正六边形：圆规截取半径六等分圆周 · 正三角形：隔一个等分点连接正六边形顶点 · 正方形：作互相垂直两条直径，顺次连接端点 (2) 作图原理：相等圆心角对等弦，等分弧→等分弦→正多边形 （六）、对称性高频考点 · 轴对称：正n边形有n条对称轴，每条过中心和一个顶点 / 一条边中点 · 中心对称：仅当n为偶数时，是中心对称图形，对称中心为外接圆圆心 例：正五边形无中心对称；正六、正方形有中心对称 （七）、易混易错点总结 (1) 任意多边形都有外接圆 （×，这句话错误）；只有正多边形一定同时有外接圆、内切圆，且同心圆 (2) 各边相等多边形不一定是正多边形（菱形）；各角相等也不一定（矩形） (3) 中心角 = 外角，不等于内角 (4) 边心距是内切圆半径，永远小于外接半径 (5) 奇数边正多边形无中心对称 （八）、中考常用二级结论 · 同圆内，边数越多：边长越小、边心距越大、面积越接近圆面积 · 正六边形内接于圆，边长等于圆半径 · 同一个正多边形，外接圆半径 R > 边心距 r 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 直线与圆位置关系判定、范围求值】 【例1】平面直角坐标系中，点M的坐标为，以2为半径画，则以下结论正确的是（     ） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离 C．与x轴相离，与y轴相离 D．与x轴相离，与y轴相切 【变式1-1】如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【题型2 圆 / 直线平移相切动态问题】 【例2】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（    ）    A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒 【变式2-1】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（） A． B．或 C． D．或 【变式2-2】在平面直角坐标系中，，点为平面内的动点，若点满足，则点为线段的“好点”，则下列说法正确的有（    ） ①是“好点” ②所有“好点”围成的区域面积为 ③当且时，直线上有两个“好点”． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2-3】已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 【题型3 切线判定（证明直线是圆的切线）】 【例3】下列命题：①直径是弦：②垂直于半径的直线是这个圆的切线；③三角形的外心是三条边垂直平分线的交点；④三点确定一个圆，其中真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，过格点作一圆弧，将点B与下列格点分别连线，当连线与圆弧相切时，该格点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知如图，二次函数顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点E，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（     ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【变式3-3】已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 【题型4 切线性质定理基础计算】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，分别以点、为圆心，为半径作圆，当与轴相切，与轴相切时，连接．若，则的值为（     ） A．或 B． C． D． 【变式4-1】如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接，分别将线段绕点A顺时针旋转到，连接，下列结论正确的有（     ） ①点在⊙O上；②；③；④当时，与相切． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-2】如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接，分别将线段绕点A顺时针旋转到，连接，下列结论正确的有（     ） ①点在上；②；③；④当时，与相切． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-3】如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，，点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（    ） A． B． C． D． 【题型5 切线判定与性质综合证明计算】 【例5】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫作整点．如图，过整点，，有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线经过（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【变式5-2】以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式5-3】过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 【题型6 切线长定理计算与证明】 【例6】如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，，是的切线，A，B为切点，为的直径，连接，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 【变式6-3】如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型7 三角形内心基础性质应用】 【例7】如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，连接、、，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】魏晋时期的数学家刘徽曾为《九章算术》作注，其中关于“勾股容圆术”的注解引起了数学兴趣小组的关注，同学们在综合实践活动中，对如下问题进行了深入探讨：在中，，，，是的内切圆，与边，分别切于点，．过点作的平行线分别交，于点，，连接，他们得到如下结论： ①； ②； ③的周长是6； ④的面积是3． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】在直角中，，，为边BC上一点，为的内心（内心是指内切圆的圆心），F为的内心，若，则（） A．3 B． C． D． 【变式7-3】如图，的内心为，，则（     ） A． B． C． D． 【题型8 三角形内切圆半径、周长面积公式计算】 【例8】如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 【变式8-2】设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（    ） A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2 【题型9 内切圆与外接圆综合对比计算】 【例9】如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【变式9-1】如图，在中，，点是内心，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】下列说法正确的是（    ） A．等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为 B．正方形的内切圆与外接圆半径之比为 C．正六边形的内切圆与外接圆半径之比为 D．以上说法都不正确 【变式9-3】如图，在中，（1）作和的垂直平分线交点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）分别与和的垂直平分线交于点；（4）连接其中与交于点P． 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①；②；③点O是的外心；④点是的内心．所有正确结论的序号是（） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【题型10 内心相关证明、动点与最值问题】 【例10】如图，已知是半圆的直径，为半圆上一个动点（不与重合），点A是的中点，连接，交于点，过点作，交于点，的延长线交的垂线于点． (1)求证：； (2)连接，若，设，，求关于的函数关系式； (3)在（2）的条件下， ①若，求内心和外心之间的距离； ②求内心和外心距离的取值范围． 【变式10-1】【习题再现】 （教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？ （不需解答，请看下面的问题） 【逆向思考】 (1)如图（1），为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心； 【拓展提高】 (2)如图（2），的半径长为5，弦，动点在优弧上（不与、重合），是的内心． ①点到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点； ②的最大值为______． 【变式10-2】P为边长是的正三角形内切圆上一个动点，求的最小值． 【变式10-3】如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，连接AC，，． (1)求二次函数的表达式； (2)若将函数图象向下平移m个单位长度后，仍然与坐标轴有3个交点，求m的取值范围； (3)如图2，若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足，过D作轴于点G，设的内心为I，试求CI的最小值． 【题型11 圆外切四边形性质应用】 【例11】如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 【变式11-1】将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为_________   【变式11-2】如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，． （1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？ （2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题： ①求的值； ②求图③中线段所在直线的解析式． 【变式11-3】如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【题型12 正多边形中心角、内外角、边数互求】 【例12】正六棱柱的主视图和左视图如图所示，则图中a的值为（     ） A． B．4 C．2 D． 【变式12-1】古典花窗是中国传统建筑中独具特色的窗式，常见于园林、住宅等场所，兼具实用功能与艺术装饰价值．如图①为某花窗的局部图案，中心部位包含一个菱形与3个全等的正六边形，如图②将其几何示意图放在平面直角坐标系中，点，，，为菱形的顶点，点为正六边形的顶点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】我国魏晋时期数学家刘徽在公元年撰写的《九章算术》中提出了一种估计的方法，也就是“割圆术”：用圆内接正边形的周长估计圆的周长进而估计的近似值，且越大时圆内接正边形的周长越接近圆的周长，估计值越接近．当时，如图，用这种方法估计此时的近似值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式12-3】如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【题型13 正多边形半径、边心距、边长、面积周长计算】 【例13】如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，正六边形内接于．若的半径为，则点到的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式13-3】如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【题型14 正多边形与圆综合、阴影面积、规律压轴】 【例14】如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 【变式14-1】如图，等边三角形内接于，求图中阴影部分的面积． 【变式14-2】如图，正六边形的中心为原点，顶点A，D在x轴上，半径为2，求其各个顶点的坐标． 【变式14-3】如图，的半径是R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．已知的半径为4，直线l上有一点A满足，则直线l与的位置关系为（     ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 2．在中，，若以点C为圆心，r为半径的与直线相切，则r的值为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 3．在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，M为上一点，若点N的坐标为，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．平面内，下列命题为真命题是（    ） A．经过半径外端点的直线是圆的切线 B．经过半径的直线是圆的切线 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 5．如图AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（   ） A．65° B．115° C．65°和115° D．130° 和50° 6．如图，已知△中，，，，作的角平分线交于，以为圆心，为半径作圆，与射线交于点，．有下列结论：①△是直角三角形；②与直线相切；③．其中正确的结论有（     ） A．① B．①② C．①②③ D．①③ 7．如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC＝90°，②AD+BC＝CD，③S△AOD：S△BOC＝AD2：AO2，④OD：OC＝DE：EC，⑤OD2＝DE•CD，正确的有（　　） A． B． C． D． 9．如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 10．如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 11．设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，则______． 12．如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 13．如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________． 14．如图，等腰三角形的外接圆是以为直径的，，是的优弧上的任意一点（点不与点重合），连接，作直线交直线于点，使． (1)求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)写出的数量关系，请证明你的结论． 15．如图，在中，． (1)在边上找一点，使以点为圆心，长为半径的圆恰好与相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，与的切点为，若，，求的半径． 16．如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 17．如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，过点作，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 18．如图，已知是的切线，切点为B，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C，连接．求证：是的切线． 19．已知，如图，为的直径，内接于，，点P是的内心，延长交于点D，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 91 页 第 1 页 共 91 页 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � 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