精品解析：上海市市西中学2026-2027学年高二上学期10月学科调研数学试题

市西中学2026学年学科调研 高二数学 2026.10 一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共计54分） 1. 三条直线两两相交，它们可以确定的平面有________个． 2. 已知空间中的两个角和，若,则_____. 3. 关于的方程的解集为_______． 4. 已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 5. 平面α上有三个不共线的点到平面β的距离相等，则平面的位置关系为________． 6. 已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 7. 有以下六个命题： ①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直. ②过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行. ③过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直. ④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行. ⑤两条异面直线所成角的范围是. ⑥直线和平面所成角的范围是. 其中正确命题的序号是___________. 8. 如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的大小为______． 9. 如图，在正三棱柱中，.若二面角的大小为60°，则此三棱柱的体积为_________. 10. 已知定义域为的函数满足，的图象关于直线对称，，则_____． 11. 已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，若且，则__________． 12. 在四棱锥中，底面是正方形，是等边三角形，则直线与底面所成的角的正切值的最大值为______. 二、选择题（共4题，13、14题每题4分，15、16题每题5分，共计18分） 13. 设为不重合的两平面，为不重合的两直线，则下列说法正确的是（ ） A. ，且，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则与不垂直 14. 已知一个圆锥与一个圆台的高相等，圆锥的底面积和圆台的一个底面的面积相等．若圆台的体积是圆锥的体积的7倍，则圆台的上、下底面的面积之比为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，在正方形纸片上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为，圆与和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知关于x的实系数一元二次方程. （1）若复数z是该方程的一个虚根，且，求m的值； （2）记方程的两根为和，若，求m的值. 18. 如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点． （1）求证：平面； （2）是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 19. 如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两个位置进行测量，，，，在同一平面内且与水平面垂直.在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，同时测得. （1）求的长度； （2）求，之间的距离. 20. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）．一般地，设圆锥中母线与圆柱底面半径所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求，已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米． （1）求几何体的表面积； （2）如图2，设E为圆柱底面半圆弧的三等分点（靠近点D），判断该亭子是否满足建筑要求． 21. 如图，在四边形中，，，，，、分别在、上，，现将四边形沿折起，使． （1）证明：（折叠后）； （2）若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）折叠后，当三棱锥的体积最大值时，求出此时点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市西中学2026学年学科调研 高二数学 2026.10 一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共计54分） 1. 三条直线两两相交，它们可以确定的平面有________个． 【答案】1或3 【解析】 【分析】分直线c在a与b确定的平面内和直线c不在a与b确定的平面内两种类型，结合图形找出确定的平面个数即可. 【详解】设这三条直线为a，b，c，故两条相交直线a与b确定一个平面， （1）若直线c在平面内，则直线a，b，c确定一个平面； （2）若直线c不在平面内，则直线a，b，c两两能确定一个平面，共确定三个平面. 故答案为：1或3. 2. 已知空间中的两个角和，若,则_____. 【答案】或 【解析】 【详解】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 3. 关于的方程的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给等式，去绝对值，讨论的范围求解即可． 【详解】由可知， 则，解得，故解集为． 4. 已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 5. 平面α上有三个不共线的点到平面β的距离相等，则平面的位置关系为________． 【答案】平行或相交 【解析】 【分析】分三点分布于平面的同侧和异侧两种情况讨论求解. 【详解】若三点分布于平面的同侧，则α与平行； 若三点分布于平面的两侧，则α与相交． 故α与的位置关系为平行或相交. 故答案为：平行或相交 6. 已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理的推论求解. 【详解】因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2. 7. 有以下六个命题： ①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直. ②过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行. ③过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直. ④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行. ⑤两条异面直线所成角的范围是. ⑥直线和平面所成角的范围是. 其中正确命题的序号是___________. 【答案】①③⑥ 【解析】 【详解】过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，故①正确； 过平面外一点，有无数条直线与这个平面平行，故②错误； 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，故③正确； 过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故④错误； 两条异面直线所成角的范围是，故⑤错误； 直线和平面所成角的范围是，故⑥正确. 所以正确命题的序号是①③⑥. 8. 如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取OA的中点F，BO的中点G，根据异面直线所成角的定义作出直线与直线所成角，根据勾股定理，求出各个长度，根据余弦定理，即可得答案. 【详解】取OA的中点F，BO的中点G，连接ED、EF、EG、GC、CF，如下图所示， 因为D，E分别为，的中点， 所以，且 ， 又O为AB的中点，所以，则，且 ， 因为F为OA的中点，所以且， 所以四边形EDAF为平行四边形，所以， 所以（或其补角）即为直线与直线所成角， 在中，，则， 在中，，则， 同理， 因为E，G分别为SB、BO的中点， 所以，且， 在中，， 在中，， 由图象可得为锐角，所以， 则直线与直线所成角的大小为. 9. 如图，在正三棱柱中，.若二面角的大小为60°，则此三棱柱的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，，分析可知即为二面角的平面角，可得，，即可得柱体的体积. 【详解】如图，取的中点，连接，， 已知底面是正三角形，则， 又因为底面，底面，则， 且，平面，则平面， 且平面，可得， 可知即为二面角的平面角，所以. 已知，则， 在中，， 所以此三棱柱的体积为. 10. 已知定义域为的函数满足，的图象关于直线对称，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：根据已知抽象函数关系式可推导得到是周期为的周期函数，结合对称性可得为偶函数，从而赋值可求得，结合周期性可求得结果； 方法二：根据已知抽象函数关系式可推导得到是周期为的周期函数，采用赋值法，结合对称轴可求得，利用周期性可求得结果. 【详解】方法一：，， ，， 是周期为的周期函数； 的图象关于对称，， ，为偶函数， ，，解得：， ，，， . 方法二：令，则由得：， ，即， 是周期为的周期函数； 图象关于直线对称，， 又，； 令，则，又，， ． 故答案为：. 【点睛】结论点睛：（1）若函数的图象关于直线对称（当时，为偶函数），则①；②；③； （2）若函数的图象关于点对称（当时，为奇函数），则①；②；③； （3）若函数的图象关于点对称，则①；②；③． 11. 已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，若且，则__________． 【答案】1150 【解析】 【分析】根据给定条件，确定不大于的集合中元素个数，不大于的集合中元素个数，再列出方程并确定其整数解，利用等差数列、等比数列前n项和公式求解. 【详解】依题意，，由，令，显然集合中小于的元素有个， 集合中不大于的元素有个，因此， 由，令， 同理，于是，， 令，则， 由，得，则， 又数列单调递增，而，因此， 当时，，解得；当时，，无整数解； 当时，，无整数解；当时，，无整数解， 则，， 集合中小于的元素有32个，它们的和为， 集合中不大于的元素有6个，它们的和为， 所以. 12. 在四棱锥中，底面是正方形，是等边三角形，则直线与底面所成的角的正切值的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】分为锐角、直角、钝角三种情况讨论;设,将线面角的正切值表达为的函数，求出最大值. 【详解】设. ①当二面角为直角时，取棱的中点为，连，，因为是等边三角形，可得，可得平面，可得是直线与平面所成的角.又由，.可得； ②当二面角为锐角时﹐如图，取棱的中点为，棱的中点为，连，，过点作.由，，可得平面，可得平面，可得是直线与平面所成的角.设，有，，有 . 又因为（当且仅当即时取等号），有，可得此时的最大值为1； ③当二面角为钝角时，如图，取棱的中点为，棱的中点为，连，，过点作.由，，可得平面，可得平面，可得是直线与平面所成的角.设，有，，有. 由①②③可知直线与底面所成的角的正切值的最大值为1. 二、选择题（共4题，13、14题每题4分，15、16题每题5分，共计18分） 13. 设为不重合的两平面，为不重合的两直线，则下列说法正确的是（ ） A. ，且，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则与不垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间的点、线、面的位置关系可依次判断各选项. 【详解】对于A，缺少条件，错误； 对于B，与夹角不固定，错误； 对于C，可能会出现，错误； 对于D，若，又，所以，这矛盾，故与不垂直，正确. 故选：D 14. 已知一个圆锥与一个圆台的高相等，圆锥的底面积和圆台的一个底面的面积相等．若圆台的体积是圆锥的体积的7倍，则圆台的上、下底面的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的底面面积为，圆台另一个底面的面积为，设高为，写出圆锥和圆台的体积，根据体积比为7，求解面积比即得. 【详解】设圆锥的底面面积为，圆台另一个底面的面积为，高为， 则圆台的体积为：，圆锥的体积为：， 由题意可知：， 即：，变形可得：， 解得：（负值舍去），则. 故选：B 15. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得 . 16. 如图，在正方形纸片上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为，圆与和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为． 设扇形的半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为． 如图，设圆的圆心为，作于于，易知四边形为正方形， 点在上，， 所以，所以． 三、解答题 17. 已知关于x的实系数一元二次方程. （1）若复数z是该方程的一个虚根，且，求m的值； （2）记方程的两根为和，若，求m的值. 【答案】（1）－2 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用，结合韦达定理可求解. （2）分讨论方程的两根为实根还是虚数根两种情况讨论，结合韦达定理可求解. 【小问1详解】 解：因为，所以，因为，所以， 所以，由韦达定理可得，所以； 【小问2详解】 解：若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或 18. 如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点． （1）求证：平面； （2）是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】（1）证明：因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）证明：连接，交于，连接 因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两个位置进行测量，，，，在同一平面内且与水平面垂直.在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，同时测得. （1）求的长度； （2）求，之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 在中，利用三角形内角和定理求出，再结合正弦定理即可求得的长度； （2） 在中，利用正弦定理求出的长度，进而得到的大小，最后在中利用余弦定理求得的距离. 【小问1详解】 在中，由题意可知，， 所以． 由正弦定理得， 即． 故的长度为． 【小问2详解】 在中， 因为点测得的俯角为，所以， 则． 由正弦定理得， 即． 在中，， 由余弦定理得  ， 所以． 故之间的距离为． 20. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）．一般地，设圆锥中母线与圆柱底面半径所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求，已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米． （1）求几何体的表面积； （2）如图2，设E为圆柱底面半圆弧的三等分点（靠近点D），判断该亭子是否满足建筑要求． 【答案】（1） （2）不满足建筑要求 【解析】 【分析】（1）由几何体的表面积等于圆锥的全面积加上圆柱的侧面积即得； （2）取中点，连接，得，从而得是异面直线与所成的角或其补角，作交于，计算出，然后由余弦定理求解. 【小问1详解】 由已知圆锥的母线长为， 几何体的表面积等于圆锥的全面积加上圆柱的侧面积. 所以所求表面积为. 【小问2详解】 取中点，连接，因为是中点，所以， 是圆柱的一条母线，则， 所以是异面直线与所成的角或其补角， 作交于，则是中点，且平面， 又平面，所以， 由（1）知，，则， 又，，，， 在中，由余弦定理得， ， 在中，由余弦定理得， 即，且为锐角， 所以，该亭子不满足建筑要求. 21. 如图，在四边形中，，，，，、分别在、上，，现将四边形沿折起，使． （1）证明：（折叠后）； （2）若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）折叠后，当三棱锥的体积最大值时，求出此时点到平面的距离． 【答案】（1）在四边形中， 因为，，所以， 所以将四边形沿折叠后，有. 因为，，所以. 因为、平面，，所以平面， 因为平面，所以. （2）存在， （3）. 【解析】 【分析】（1）证明出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）先下结论：折叠后在线段上存在一点，使得平面，此时，然后过点作交于点，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论； （3）设，则，则，利用锥体的体积公式可得出三棱锥的体积关于的表达式，利用基本不等式可求得三棱锥体积的最大值及其对应的值，然后利用等体积法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 折叠后在线段上存在一点，使得平面，此时， 理由如下：当时，， 如图，过点作交于点，连接，则， 因为四边形为矩形，所以，所以，则， 又因为，，所以且， 故四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 所以折叠后在线段上存在一点，使得平面，且. 【小问3详解】 设，则，则， ， 因为平面，所以 ， 当且仅当时，即当时，三棱锥的体积取最大值， 此时，，，， 因为平面，平面，所以， 由勾股定理可得， ， 同理可得， 在中，，，所以， 因为，所以， 由余弦定理可得， 故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以， ， 设到平面的距离为，由， 即 ，解得. 当三棱锥 的体积最大值时，点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $