精品解析：陕西西安市西咸新区秦汉中学2025-2026学年高三上学期第二次模拟考试数学试卷

高三第二次模拟考试 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 用于测量视力情况的视力表通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知甲、乙两人视力的五分记录法的数据分别为和，乙视力的小数记录法的数据为，则甲视力的小数记录法的数据为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 若，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱台中，上底面与下底面的面积之比为，且其内切球的半径为2，则与面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 设函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 过点仅可以作一条直线与的图象相切 C. 当时， D. 若在区间上有最大值，则m的取值范围为 11. “没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则______. 13. 抛物线的准线与圆相切，则p的值为_______． 14. 已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项数列，其前项和满足， （1）求的通项公式. （2）证明：. 16. 2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示；春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示： 第天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 7 9 10 12 16 19 11 （1）已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； （2）如果该天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望. 参考公式：在线性回归方程中，，. 17. 已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正切值； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在极值，求实数的取值范围； （3）求证：对任意，都存在，使得． 19. 已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6. （1）求的方程； （2）已知是上一动点，，当为的右顶点时，取得最小值，求的取值范围； （3）若动直线与交于点，点是轴正半轴上异于点的一定点，若直线的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第二次模拟考试 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则及复数的几何意义即可求解. 【详解】原式=， 对应复平面的点为，在第四象限. 故选：D 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的定义及集合交集运算即可求解. 【详解】，即集合为有理数集， 而是无理数，所以. 故选：. 3. 用于测量视力情况的视力表通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知甲、乙两人视力的五分记录法的数据分别为和，乙视力的小数记录法的数据为，则甲视力的小数记录法的数据为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代值计算即可. 【详解】由题可知：. 故选：C 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 又因为，所以． 故选：B． 5. 已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的边角关系，结合椭圆的定义和性质，可直接求其离心率. 【详解】如图： 设，则，因为四边形为矩形，所以. 所以，. 所以. 故选：C 6. 若，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用“平方关系”可得，，注意符号看象限，再根据变形结合两角和差公式即可得出． 【详解】因为，则，且， 可得，且； 又因为，则， 且，可得； 所以 ． 故选：D. 7. 已知函数是偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用函数的奇偶性求参数，再求导函数分类求出函数的单调性，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，所以，即，即． 因为，所以，所以，所以不等式，即． 当时，，，． 当时，，，所以； 当时，，，所以，所以在上单调递增． 由，即得，得，解得． 故选:D． 8. 已知正四棱台中，上底面与下底面的面积之比为，且其内切球的半径为2，则与面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四棱台及其内接球的性质，结合题给上、下底面面积之比以及内接球半径，计算得出相应边长的值，利用面面平行得出即为直线与平面所成的角，从而求解. 【详解】 如图，根据正四棱台的性质可知，上底面与下底面均为正方形， 则，即，设，，则， 取为上下底面中心，取为中点，连接，则， 根据内切球的性质，球心为中点，记为球与平面的切点，则. 所以，，， 因为，，， 根据勾股定理得出，所以， 同理，. 所以分别为的角平分线，即. 因为，，， 所以. 连接，则，为在底面投影，则位于上，，四边形为矩形， 因为，，则， 所以，， 因为面与面平行，所以与面所成的角即为与面所成的角， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用基本不等式或二次函数性质，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，正实数满足，则， 当且仅当且，即时等号成立，故的最小值为4，A正确； 对于B，， 当且仅当且，即时等号成立，即的最大值为，B正确； 对于C，正实数满足，则，则， 故， 由于，故，即， 故， 即， 即无最小值，C错误； 对于D，， 当且仅当且，即时等号成立， 故的最小值为，D正确， 故选：ABD 10. 设函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 过点仅可以作一条直线与的图象相切 C. 当时， D. 若在区间上有最大值，则m的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据零点的定义判断即可；对于B，根据导数的几何意义求解即可；对于C，根据导数与单调性的关系及不等式的性质判断即可；对于D，根据题意列不等式组求解即可. 【详解】对于A，. 令，即，解得或，所以有两个零点，A正确. 对于B，求导得. 设切点为，则切线斜率， 所以切线方程为， 即. 因为切线过点，则，整理得， 即，解得或，即有两个不同的切点. 所以过点可以作两条直线与的图象相切，B错误. 对于C，求导得. 令，即，解得或. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 当时，，所以，C正确. 对于D，由选项C知，在处取得极大值. 要使在区间上有最大值，则应在区间内，且. 故，即，所以. 若在区间上有最大值，则m的取值范围为，D正确. 11. “没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】要利用向量的外积的定义，可知外积向量的方向是要依据右手法则，所以外积两向量没有交换律，若外积的两个向量交换，则外积向量取反向，理解后就可以作出各选项判断. 【详解】对于A，根据外积定义可得， 又，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，根据定义可得，长度相等，方向相反， 即，C错误； 对于D，，根据定义得与反向，， 所以，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂直的坐标表示求解作答. 【详解】向量，，且，则， 所以. 故答案为： 13. 抛物线的准线与圆相切，则p的值为_______． 【答案】4或8 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，根据圆心到切线的距离等于半径求解即可 【详解】抛物线的准线方程为， 又的圆心，半径为1， 又准线与圆相切， 所以或， 故答案为：4或8 14. 已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分离变量，转化成与的交点问题，作出的图像，即可得到答案. 【详解】易知为的零点，当时，令，得， 令，可得到，作出的图像， 如下图，依题意，只需与有两个交点即可. 由图可得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项数列，其前项和满足， （1）求的通项公式. （2）证明：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系化简与累加法求解， （2）由裂项相消法求和后证明． 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，，则， 由累加法得， ，故，也满足该式 综上， 【小问2详解】 略 16. 2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示；春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示： 第天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 7 9 10 12 16 19 11 （1）已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； （2）如果该天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望. 参考公式：在线性回归方程中，，. 【答案】（1），预测春节假期第8天的营业额为千元 （2）的分布列为 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法求解即可； （2）利用超几何分布求解即可. 【小问1详解】 ， . ， 线性回归方程为 当时，. 即预测春节假期第8天的营业额为千元. 【小问2详解】 由题意可知的所有可能取值为：1，2，3，4. ，， ， 的分布列为 1 2 3 4 的数学期望为 17. 已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正切值； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置. 【答案】（1） 因为点在底面上的射影是与的交点， 所以平面，又平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以． （2） （3）当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角的正弦值为 【解析】 【分析】（1）由题意得到平面，即得，再由可证平面，由线面垂直可得； （2）过在平面内作于，连接，证明平面，得到为二面角的平面角，在中，利用三角函数的定义求解即得； （3）由平面得到到平面的距离即为到平面的距离，利用等体积求得，设直线与平面所成的角为，求得，推得当时，最小，从而的值最大，由此即得点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过在平面内作于，连接， 因为平面，平面，所以， 又，、平面，所以平面， 又平面，所以，故为二面角的平面角， 因菱形中，，则，， 又是等边三角形，故， 由，知， 在中，，故二面角的正切值为. 【小问3详解】 因为，且平面平面，所以平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离， 因为，所以， 即， 所以， 设直线与平面所成的角为，则，， 因正弦函数在第一象限单调递增，故要使最大，即使最大，则需使最小， 此时，由对称性知，， 所以，此时， 故当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，且最大角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在极值，求实数的取值范围； （3）求证：对任意，都存在，使得． 【答案】（1） （2）． （3）证明：①当时，由（2）知，在上单调递减， 令 ，则 ，； ②当时，为极大值，为极小值， ， 令，则； ③当时，在上单调递增，令 ， ，； 综上，对任意，都存在，使． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义进行求解即可； （2）利用导数分情况讨论函数的单调性，判断极值即可求解 （3）利用（2）中的函数的单调性，将进行赋值即可证明. 【小问1详解】 当时，，， ，又， 曲线在点处的切线方程为：； 【小问2详解】 ，， 当时，，在上单调递减，无极值； 当时，令，即， 解得， 当时，， 0 0 极大值 极小值 的单调递增区间为，单调递减区间为，为函数的两个极值点， 故符合题意； 当时，， 在上单调递增，无极值. 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6. （1）求的方程； （2）已知是上一动点，，当为的右顶点时，取得最小值，求的取值范围； （3）若动直线与交于点，点是轴正半轴上异于点的一定点，若直线的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值. 【答案】（1） （2） （3），. 【解析】 【分析】（1）将代入椭圆方程，可得，再利用椭圆的定义可得，即可得椭圆方程； （2）根据两点距离公式，结合二次式的性质即可求解； （3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据正切和差角公式以及斜率公式化简求解. 【小问1详解】 由已知，将代入椭圆方程得，解得， 又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，则， ， 因为当为的右顶点时，取得最小值， 即时，取得最小值， 所以，即， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 设，（且），，， 将与联立得， 则，， 又分别为直线的倾斜角， 因为， 所以为定值， 又 ， 又为定值，则，所以， 当时，，为定值， ， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $