2026—2027学年人教版数学八年级上册期中测试卷

人教版数学 2026—2027学年度八年级上学期 期中测试卷 考试范围：第十三章 三角形　第十四章 全等三角形　第十五章 轴对称　综合与实践（确定匀质薄板的重心位置、最短路径问题） 考试时间：120分钟　　满分：120分 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.某社区花园要搭建一个三角形花坛支架。下列长度的三条木条中，能首尾相接钉成三角形支架的是（　　）　　 A. 2 dm，3 dm，6 dm　　B. 3 dm，3 dm，6 dm　　 C. 2 dm，5 dm，8 dm　　D. 4 dm，5 dm，7 dm 2.如图，社区宣传栏上的两个三角形图案全等，则∠α的度数是（　　）　　 A. 65°　　B. 60°　　C. 55°　　D. 50° 3.下列社区公共设施图标中，是轴对称图形的是（　　）　　 A.　B.　C.　D. 4.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE是△ABC的角平分线，它们交于点F。若∠BAC=90°，∠ABD=36°，则∠AEF的度数为（　　）　　 A. 54°　　B. 60°　　C. 72°　　D. 78° 5.旧改施工中，工人师傅要在一块三角形钢架△ABC内确定一个焊接点P，使点P到三边AB，BC，CA的距离相等。下列尺规作图中，能确定点P位置的是（　　）　　 A. 作两条边的垂直平分线，取其交点　　B. 作两个内角的平分线，取其交点　　 C. 作一条边上的高与一条中线的交点　　D. 作一个内角的平分线与对边垂直平分线的交点 6.在平面直角坐标系中，点A（−3，2）关于y轴对称的点的坐标是（　　）　　 A.（3，2）　　B.（−3，−2）　　C.（3，−2）　　D.（2，−3） 7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（　　）　　 A. 30°　　B. 35°　　C. 40°　　D. 45° 8.如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，添加下列哪一个条件后，仍不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）　　 A. BE=CF　　B. ∠A=∠D　　 C. AB∥DE　　D. ∠B=∠DEF 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D。若CD=3，AB=10，则△ABD的面积是（　　）　 　 A. 15　　B. 20　　C. 30　　D. 60 10.定义：若一个三角形中存在一条边上的中线等于该边的一半，则称这个三角形为"半中三角形"。下列结论中，正确的是（　　）　　 A. 等边三角形一定是半中三角形　　B. 直角三角形一定是半中三角形　　 C. 等腰三角形一定是半中三角形　　D. 半中三角形一定是直角三角形 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.若一个三角形的两个内角互余，则这个三角形为______三角形。 12.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，则∠A的度数为______。 13.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠B=35°，则∠CAD=______°。 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E。若BC=8，BD=5，则DE的长为______。 15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，点D在BC上，且CD=AD。若BC=4，则BD的长为______。 16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，0），B（4，0），C（3，3）。在y轴上存在一点P，使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为______。 三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题6分）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，CD是∠ACB的平分线，求∠ADC的度数。 18.（本题6分）如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。 19.（本题7分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，且BD=CE，BE与CD相交于点O。求证：OB=OC。 20.（本题8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（−2，1），B（−4，3），C（−1，4）。 （1）画出△ABC关于x轴对称的△，并写出点的坐标； （2）在y轴上确定一点P，使得PA+PC的值最小，保留作图痕迹，并直接写出点P的坐标。 21.（本题8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E。 （1）求证：AC=AE； （2）若AB=8 cm，求△BDE的周长。 22.（本题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，且OP=OC。 （1）求证：∠APO=∠DCO； （2）判断△OPC的形状，并说明理由。 23.（本题9分）·综合与实践：确定匀质薄板的重心位置 某校八年级数学小组开展"寻找薄板重心"的实验活动，使用一块厚度均匀的不规则硬纸板、细线、螺母、图钉和铅笔。 （1）实验原理填空：静止悬挂的薄板只受重力和细线的拉力，二力平衡，因此薄板的重心一定在______上。进行两次不同位置的悬挂，两条悬线的______就是薄板的重心。这一方法称为______法。 （2）操作与记录：小组在薄板边缘取A，B两个不同位置分别悬挂，两次画出的悬线交于点G。用笔尖顶住点G，薄板保持水平静止。① 点G是这块薄板的重心吗？为什么？② 若该小组还用同一材质剪了一个等边三角形薄板，不进行悬挂实验，根据几何知识判断它的重心位置应如何确定，并写出依据。 （3）拓展思考：小组发现：矩形薄板的重心是对角线的交点，等边三角形薄板的重心是三条中线的交点。请你归纳：匀质规则薄板的重心与图形的什么位置重合？并说明"悬挂法"与"几何法"各自适用的薄板类型。 24.（本题9分）·综合与实践 （1）社区要在一条笔直的直线l的同侧设置两个快递驿站A和B（A，B均不在直线l上），并在直线l上设置一个快递接驳点P。 请用尺规作图（或直尺与圆规）在直线l上确定点P的位置，使PA+PB最小，保留作图痕迹，不写作法；② 请用"两点之间，线段最短"说明你作法的合理性。 （2）社区还要在一条宽度处处相等的景观河道上修建一座垂直于河岸的步行桥MN（M，N分别为桥的两端，），连接河两岸的驿站A和B。请借助平移的思想，在图中确定桥MN的位置，使从C经桥到D的总路程AM+MN+NB最短，并简要写出作图步骤。 25.（本题10分）·综合探究 在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE。 （1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：△ABD≌△ACE； （2）在（1）的条件下，判断∠BCE与∠BAC之间的数量关系，并说明理由； （3）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论（不必证明）。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C B A A B A B 简要解析： 1. D。三角形三边关系：4+5＞7，其余选项均不满足"任意两边之和大于第三边"。 2. C。全等三角形对应角相等，∠α与55°为对应角。 3. C。无障碍通道图标具有一条竖直对称轴；其余图标均不具备轴对称性。 4. C。由AD⊥BC得∠ADB=90°，∠ABD=36°，则∠BAD=54°；BE平分∠ABC，∠ABE=18°，在△ABE中，∠AEF=∠ABE+∠BAE=18°+54°=72°（利用外角）。 5. B。到三角形三边距离相等的点是三条内角平分线的交点。 6. A。关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数。 7. A。AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=70°；DE垂直平分AB，∴DA=DB，∠DBA=∠A=40°；∴∠DBC=70°−40°=30°。 8. B。已知AB=DE，AC=DF，若添加∠A=∠D，属于"SSA"（两边及其中一边的对角），不能判定全等。 9. A。由角平分线的性质得点D到AB的距离等于CD=3，S△。 10. B。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以直角三角形一定是"半中三角形"。等边三角形和一般等腰三角形不具备此性质；半中三角形不一定是直角三角形（可构造反例）。 二、填空题（每小题3分，共18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 10 40° 55 3 2 （0，0） 简要解析： 11. 180°-90°=90°，所以是直角三角形。 12. 设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，则2x+3x+4x=180°，x=20°，∠A=40°。 13. ∵AB=AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。∵∠B=35°，∴∠BAD=55°，所以∠CAD=55°。 14. AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，由角平分线的性质得DE=DC=BC−BD=8−5=3。 15. ∵本题考查等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质。 根据等腰三角形等边对等角的性质，由AB=AC可得∠C=∠B=30∘，结合三角形内角和为180∘，计算得∠BAC=180∘−30∘−30∘=120∘。 由CD=AD，再次利用等边对等角得∠DAC=∠C=30∘，因此∠DAB=∠BAC−∠DAC=120∘−30∘=90∘，即△DAB为直角三角形。 在Rt△DAB中，∠B=30∘，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边长度为斜边的一半，其中AD是∠B所对的直角边，长度为4，因此斜边BD=2AD=2×4=8 16. 点A（1，0）关于y轴的对称点为A′（−1，0），连接A′B交y轴于点P（0，0），此时PA+PB=A′B最短。 三、解答题 17.（6分）∠ACB=180°−50°−70°=60°。……（2分） ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=30°。……（3分） ∴∠ADC=180°−∠A−∠ACD=180°−50°−30°=100°。……（6分） 18.（6分）∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF。……（2分） 在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，BC=EF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）。……（6分） 19.（7分）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。……（1分） 又BD=CE，BC=CB， ∴△DBC≌△ECB（SAS）。……（4分） ∴∠DCB=∠EBC，……（5分） ∴OB=OC。……（7分） 20.（8分）（1）图略（△与△ABC关于x轴对称）。点的坐标为（−1，−4）。……（4分） （2）作点C关于y轴的对称点C′（1，4），连接AC′交y轴于点P。作图痕迹略。 点P的坐标为（0，3）。……（8分） （简要说明：A（−2，1），C′（1，4），直线AC′的解析式为y=x+3，令x=0得y=3。） 21.（8分）（1）AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，由角平分线的性质得DC=DE。又AD=AD， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC=AE。……（4分） （2）∵AC=BC，∠C=90°，∴∠B=45°。∵DE⊥AB，∴△BDE为等腰直角三角形，DE=BE。 △BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE。 由（1）得AE=AC=BC，AB=AE+BE=BC+BE=8 cm。 ∴△BDE的周长=8 cm。……（8分） 22.（9分）（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，OB=OC。 又OP=OC，∴OP=OB，∴∠APO=∠ABO。 在△OBC中，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB。 ∵AD⊥BC，∴∠ABO+∠OBC=90°，∠DCO+∠OCB=90°。 ∴∠ABO=∠DCO。 ∴∠APO=∠DCO。……（5分） （2）△OPC是等边三角形。 理由：∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=30°。 由（1）得∠APO=∠DCO，又∠DCO=∠OCB（OB=OC）， 可进一步推出∠POC=60°（利用三角形内角和与外角关系，过程略）。 又OP=OC，∴△OPC是等边三角形。……（9分） 23.（9分）·综合与实践：确定匀质薄板的重心位置 （1）悬线所在的竖直线；交点；悬挂。……（3分） （2）① 是。用笔尖顶住点G时薄板保持水平静止，说明点G是薄板重力的等效作用点，即重心。……（5分） ② 等边三角形薄板的重心是三条中线的交点。依据：匀质三角形薄板的质量均匀分布，其重心与三角形的几何重心重合，而三角形的几何重心就是三条中线的交点，且该点到顶点的距离等于对应中线长的。……（7分） （3）匀质规则薄板的重心与图形的几何中心（对称中心或对称轴的交点）重合。 "悬挂法"适用于形状不规则或无法直接由几何性质确定重心的匀质薄板；"几何法"适用于规则图形（如矩形、圆、等边三角形、正多边形等）的匀质薄板。……（9分） 24.（9分）·综合与实践 （1）① 作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，点P即为所求。作图痕迹略。……（3分） ② 在直线l上任取一点P′（异于点P），连接AP′，A′P′，BP′。由轴对称的性质，AP=A′P，AP′=A′P′。 ∴PA+PB=A′P+PB=A′B，P′A+P′B=A′P′+P′B。 在△A′P′B中，A′P′+P′B＞A′B（三角形两边之和大于第三边）， ∴PA+PB＜P′A+P′B，即点P使PA+PB最小。……（6分） （2）作图步骤：① 将点C沿垂直于河岸的方向平移，平移距离等于河宽，得到点C′；② 连接C′D，交对岸河岸n于点N；③ 过点N作MN⊥n，交河岸m于点M；则桥MN即为所求（CM+MN+ND最短）。……（9分） 25.（10分）（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE。 又AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）。……（4分） （2）∠BCE+∠BAC=180°。 由△ABD≌△ACE得∠ACE=∠ABD。 ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。 ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABC=180°−∠BAC， ∴∠BCE+∠BAC=180°。……（8分） （3）结论不成立。当点D在线段BC的延长线上时，∠BCE=∠BAC。 （可仿照（2）证明：∠BCE=∠ACE−∠ACB=∠ABD−∠ABC=∠BAC。）……（10分） 学科网（北京）股份有限公司 $