精品解析：广东省江门市鹤山市第一中学2026-2027学年高二上学期第一阶段质量监测数学试题

鹤山一中2026-2027学年度第一学期第一阶段质量监测 高二数学试卷 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）： 类别 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则表格中的值为（ ） A. 400 B. 500 C. 600 D. 1000 【答案】A 【解析】 【分析】根据A类轿车抽取的数量可求得抽样比，从而构造出关于的方程，解方程求得结果. 【详解】由题意知抽样比为： 则：，解得： 故选：A. 2. 某影院连续天的观影人数（单位：百人）依次为，，，，，，，，，，则下列关于这天观影人数的结论正确的是（   ） A. 众数为120 B. 平均数为140 C. 中位数为130 D. 第百分位数为170 【答案】B 【解析】 【详解】这10个数从小到大排列为：80，90，120，120，130，160，160，160，180，200， 选项A，众数为160，错误. 选项B，平均数为，正确. 选项C，中位数为，错误. 选项D，，因此第百分位数为第8个数160，错误. 3. 如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 4. 在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点O，中点，连接，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法求解即可． 【详解】取中点O，中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以由正三棱柱性质可得两两相互垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为 则 5. 若，，，则下列结论错误的是（ ） A. 事件与相互独立 B. C. 事件与互斥 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用事件相互独立的定义判断A项；利用随机事件的概率加法公式计算判断B项；根据互斥事件的概率公式判断C项；利用事件相互独立的性质计算判断D项． 【详解】对于A，由可得， ，则事件与相互独立，故A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C，因，故事件与不互斥，即C错误； 对于D，由A项可得事件，相互独立，故 ，即D正确． 6. 在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（     ）． A. 直线与直线相交 B. 直线与直线垂直 C. 直线与直线平行 D. 直线平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题. 【详解】A：连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故本选项说法不正确；    B：连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确； C：以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故本选项不正确；    D：因为，， 所以，所以直线与平面内的直线不垂直， 所以直线与平面不垂直，因此本选项说法不正确. 7. 已知甲、乙两人通过“石头、剪刀、布”决定谁先开始游戏，规则为：每局中两人出法相互独立，且出石头、剪刀、布的概率均为，若两人出法不同则直接定胜负（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），若出法相同则重新开局．记“甲在第1局或第2局获胜”为事件A，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得一次试验中甲获胜的概率，结合独立事件的概率乘法计算公式，即可求解. 【详解】如图所示，在一次比赛中，试验的基本事件的空间共有9个基本事件组成， 其中甲获胜的包含3个基本事件，所以甲在一次试验中获胜的概率与平局的概率均为， 又由事件“甲在第1局或第2局获胜”，记事件“甲在第1局获胜”，事件“在第1局平局，第2局甲获胜”， 可得事件互斥，且， 所以事件的概率. 故选：B. 8. 已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内， 的最小值就是三棱锥的高， 由， 得，得. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（     ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量，则 C. 已知三向量，，共面，则 D. 若，则为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量的性质即可判断；只需判断与是否平行可判断；利用空间向量的基本定理计算可判断；由反向共线的情况可判断. 【详解】选项，对于空间向量，若， 空间中任意两个向量均是共面的，即、均共面， 所以一定共面，故正确； 选项，因为，所以与不平行， 故不成立，故错误； 选项，已知三向量，，共面， 则存在实数，使得， 得， 得 ，解得 ，故正确； 选项，当反向共线时，也有，但此时不是钝角，故错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2 B. 从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为，则为整数的概率是 C. 从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件 D. 若样本数据的标准差为8，则数据，的标准差为16 【答案】ABD 【解析】 【详解】A选项：简单随机抽样中每个个体被抽到的概率相等，为，所以A正确； B选项：从四个数中任取两个作为，共有种有序结果， 其中为整数的有和两种，概率为，所以B正确； C选项：“至多有一个黑球”即“至少有一个红球”，两者是同一事件，不是对立事件，C错误； D选项：若原数据标准差为8，则方差为64， 故数据，的方差为，标准差为，D正确． 11. 空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为．根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ ） A. 若过点的平面方程为，则 B. 若平面的方程为，平面的方程为，则这两平面夹角的正弦值为 C. 若平面的方程为，则点在平面内的射影的坐标为 D. 若平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，，则直线l与平面的夹角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，考查点满足平面方程的条件，将点P代入平面方程，计算即可得到；对于B选项，考查面面角的求解，根据平面方程提取出平面、平面的法向量，分别为和，利用向量夹角公式，求出法向量夹角的余弦值，再计算得到平面夹角的正弦值；对于C选项，考查点在平面内的射影，根据平面方程提取出平面的法向量，设点在平面内的射影为，根据点满足平面的方程以及，联立解出点；对于D选项，考查线面角的求解，根据平面方程提取出平面、平面、平面的法向量，分别为、、，设平面和平面的交线l的方向向量为，根据，联立得到，设直线l与平面的夹角为，结合公式，即可求解. 【详解】对于A，把点代入，得，解得，故A正确； 对于B，因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 又平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 所以， 则这两平面夹角的正弦值为，所以B错误； 对于C，因为平面的方程为，所以平面的一个法向量．设 点在平面内的射影为，则，且， 于是有，解得，所以，故C正确； 对于D，因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为； 因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 设直线l的方向向量为，则有 取，则，，则， 又因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 设直线l与平面的夹角为，则， 所以，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，向量，，，且，，则 ______. 【答案】 【解析】 【详解】根据可得 ，故，此时， 由可得，故，此时， 于是 故. 故答案为： 13. 有一组样本数据：6，，，，，，6，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，，，的方差为________. 【答案】14 【解析】 【详解】有一组样本数据：6，，，，，，6， 已知它的平均数为6，方差为， 所以 则新数据，，，，的平均为也为6， 方差为 14. 已知空间中的点，且，则点到的距离为______ 【答案】 【解析】 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和，，则. 向量在上的投影长度. 根据勾股定理，点到直线的距离. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 合肥市第六中学工会为了迎接端午节，特举办一次端午趣味答题竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成五组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计竞赛成绩的第80百分位数； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的竞赛成绩在内的概率． 【答案】（1） 第80百分位数为88 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形的面积和为1列方程求解；根据频率分布直方图中中位数左右两侧的矩形面积相等，均为0.5，列方程求解； （2）根据频率之比，确定各组内应抽取的人数，然后根据古典概型的概率计算公式求解. 【小问1详解】 频率分布直方图中，所有组的频率之和为1，组距为10， 因此， 所以，解得. 前3组频率之和为， 前4组频率之和为， 所以第80百分位数在区间内， 设第80百分位数为，则，解得. 【小问2详解】 成绩在内的频率为0.1，成绩在内的频率为0.2，频率之比为. 所以成绩在内应抽取的人数为人， 成绩在内应抽取的人数为人. 记成绩在内的2人为，成绩在内的4人为， 从6人中抽取2人，基本事件有， 共15个，其中至少有1人的竞赛成绩在内的基本事件有，共9个， 所以，从这6人中随机抽取2人，至少有1人的竞赛成绩在内的概率为. 16. 如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设点是棱上的一点． （1）若，证明：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）解法1：折叠前，因为，， 所以，所以，， 折叠后，，仍然成立， 又因为二面角为直二面角，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知条件可知，，，，， 则，，， 因为，所以，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 可得， 又因为平面，所以平面． 解法2：如图所示，连接交于点，连接， 因为，，所以， 由题意可知，，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系求坐标，计算平面法向量，证明垂直于法向量，可得线面平行；解法2：利用线段比例，证明，由线面平行判定定理证明. （2）求与平面法向量，利用公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为的中点，所以，， 设平面的法向量为， 则令，得，，所以， 设直线与平面所成角为， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值是． 17. 空间中，两两垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它的任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，分别为“斜坐标系”下三条数轴轴，轴，轴）正方向上的单位向量，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标.若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作在平行六面体中，，，，建立“空间斜坐标系”如图所示.若，，且. （1）求向量的斜坐标； （2）求； （3）求 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先用基底写出与，作差即得的斜坐标； （2）把斜坐标还原为、的组合，利用三个单位向量两两成展开数量积（交叉项系数为），由垂直条件解出，再用模长公式求； （3）把两向量的斜坐标都写成、、的组合后逐项展开数量积，注意、都等于. 【小问1详解】 设、、分别为、、轴正方向的单位向量， 由、得，，， 且. 由知是的中点，. 又， 所以，其斜坐标为. 【小问2详解】 由得，且. 由得， 解得. 所以，. 【小问3详解】 . 18. 如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，是棱上的异于端点的一点. （1）求证：； （2）若是棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值. 【答案】（1）取和的中点和，连接， 则，因为，可得， 在直三棱柱中，可得底面，且底面， 所以，所以，可得， 又因为，且，可得， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为为的中点，所以 ， 所以， 可得， 所以，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和，结合，即可证得； （2）分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得平面的法向量为，结合向量的距离公式，求得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是棱的中点，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面的夹角为， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值. 【小问3详解】 因为是棱上的异于端点的一点，令，其中， 由，可得，所以点， 即平面的三点为， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 则点到平面的距离为，则 点到平面的距离为，则， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 19. 某班级举办“趣味闯关赢文创”活动，每位同学需依次参加三项独立的挑战任务（顺序可自行安排），各任务结果互不影响．若连续通过两项任务，可获得1份文创小礼品；若连续通过三项任务，可额外再获得1份（共2份）；其余情况无礼品．挑战任务均基于一个装有编号分别为的5个大小形状相同小球的盒子，规则如下： 任务A：从盒子中随机摸出1个小球．若小球编号小于4，则通过． 任务B：从盒子中有放回地依次摸球两次，每次摸出1个小球．若两次摸出的小球编号均小于4，则通过． 任务C：从盒子中不放回地依次摸球两次，每次摸出1个小球．若两次摸出的小球编号之和小于，则通过． （1）求单个同学分别通过任务A､任务B的概率． （2）当时，应如何安排三项任务的顺序，才能使单个同学获得文创礼品的概率最大？ （3）若所有同学都按任务的顺序进行，组委会要求：①单个同学获得2份礼品的概率不低于0.1；②单个同学获得礼品的概率不超过0.34．请确定整数的取值范围． 【答案】（1）； （2）同学应将任务A放在第二个任务的位置，第一个任务可在任务中任选，进而确定第三个任务 （3）或8 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解； （2）列出任务C的所有样本点，求出时的概率．求出获得礼品的概率，得到第一个任务和第三个任务的位置不影响获得礼品的概率的大小，其大小取决于第二个任务的选择，分情况进行讨论得到结论； （3）分别求出在约束条件①②下的的范围，利用枚举的取值得到结论. 【小问1详解】 设事件为“通过任务”，事件为“通过任务”，事件为“通过任务”． 因为事件为从盒子中随机摸出一个小球，编号小于4（即1，2，3），所以； 因为有放回摸2次，共25个样本点，又，所以． 【小问2详解】 任务C的所有样本点为：， ，共20个， 当时，通过的样本点为，有2个，所以． 记事件“同学按自己选定的顺序参加三个任务，获得礼品”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第一个任务，通过”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第二个任务，通过”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第三个任务，通过”， 则获得礼品的概率， 其中， 所以，第一个任务和第三个任务的位置不影响获得礼品的概率的大小， 其大小取决于第二个任务的选择， 下面以第二个任务的选择为研究对象分三种情况进行讨论： ①若第二个任务选择任务，则三个任务的顺序为或， 所以获得礼品的概率为； ②若第二个任务选择任务，则三个任务的顺序为或， 所以获得礼品的概率为； ③若第二个任务选择任务，则三个任务的顺序为或， 所以获得礼品的概率为． 因为， 所以为使获得礼品的概率最大，同学应将任务A放在第二个任务的位置，第一个任务可在任务中任选，进而确定第三个任务． 【小问3详解】 按顺序， 约束条件①：获得2份礼品的概率不低于， 因为获得2份礼品即三项均通过，所以其概率 ． 约束条件②：获得礼品的概率不超过0.34． 获得礼品的概率：， 解得． 枚举的取值（不放回摸2个小球，编号之和小于的有序结果数共20种）： 编号之和小于的组合数 是否满足 0种 0 否 2种 0.1 否 4种 0.2 否 8种 0.4 否 12种 0.6 是 16种 0.8 是 18种 0.9 否 20种 1.0 否 因此，整数或8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山一中2026-2027学年度第一学期第一阶段质量监测 高二数学试卷 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）： 类别 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则表格中的值为（ ） A. 400 B. 500 C. 600 D. 1000 2. 某影院连续天的观影人数（单位：百人）依次为，，，，，，，，，，则下列关于这天观影人数的结论正确的是（   ） A. 众数为120 B. 平均数为140 C. 中位数为130 D. 第百分位数为170 3. 如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A. B. C. D. 5. 若，，，则下列结论错误的是（ ） A. 事件与相互独立 B. C. 事件与互斥 D. 6. 在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（     ）． A. 直线与直线相交 B. 直线与直线垂直 C. 直线与直线平行 D. 直线平面 7. 已知甲、乙两人通过“石头、剪刀、布”决定谁先开始游戏，规则为：每局中两人出法相互独立，且出石头、剪刀、布的概率均为，若两人出法不同则直接定胜负（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），若出法相同则重新开局．记“甲在第1局或第2局获胜”为事件A，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（     ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量，则 C. 已知三向量，，共面，则 D. 若，则为钝角 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2 B. 从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为，则为整数的概率是 C. 从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件 D. 若样本数据的标准差为8，则数据，的标准差为16 11. 空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为．根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ ） A. 若过点的平面方程为，则 B. 若平面的方程为，平面的方程为，则这两平面夹角的正弦值为 C. 若平面的方程为，则点在平面内的射影的坐标为 D. 若平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，，则直线l与平面的夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，向量，，，且，，则 ______. 13. 有一组样本数据：6，，，，，，6，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，，，的方差为________. 14. 已知空间中的点，且，则点到的距离为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 合肥市第六中学工会为了迎接端午节，特举办一次端午趣味答题竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成五组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计竞赛成绩的第80百分位数； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的竞赛成绩在内的概率． 16. 如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设点是棱上的一点． （1）若，证明：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 空间中，两两垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它的任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，分别为“斜坐标系”下三条数轴轴，轴，轴）正方向上的单位向量，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标.若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作在平行六面体中，，，，建立“空间斜坐标系”如图所示.若，，且. （1）求向量的斜坐标； （2）求； （3）求 18. 如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，是棱上的异于端点的一点. （1）求证：； （2）若是棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值. 19. 某班级举办“趣味闯关赢文创”活动，每位同学需依次参加三项独立的挑战任务（顺序可自行安排），各任务结果互不影响．若连续通过两项任务，可获得1份文创小礼品；若连续通过三项任务，可额外再获得1份（共2份）；其余情况无礼品．挑战任务均基于一个装有编号分别为的5个大小形状相同小球的盒子，规则如下： 任务A：从盒子中随机摸出1个小球．若小球编号小于4，则通过． 任务B：从盒子中有放回地依次摸球两次，每次摸出1个小球．若两次摸出的小球编号均小于4，则通过． 任务C：从盒子中不放回地依次摸球两次，每次摸出1个小球．若两次摸出的小球编号之和小于，则通过． （1）求单个同学分别通过任务A､任务B的概率． （2）当时，应如何安排三项任务的顺序，才能使单个同学获得文创礼品的概率最大？ （3）若所有同学都按任务的顺序进行，组委会要求：①单个同学获得2份礼品的概率不低于0.1；②单个同学获得礼品的概率不超过0.34．请确定整数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $