精品解析：广东河源市龙川县第一中学2026-2027学年第一学期高二年级10月份考试数学试卷

龙川一中2026-2027学年第一学期高二年级10月份考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分．） 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 2. 已知向量，.若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示建立方程，解之即可. 【详解】由，得，解得. 3. 已知偶函数在上单调递减，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为为偶函数，所以，又因为， 且在上单调递减，所以 4. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合中的元素，根据交集的定义即可得到结果． 【详解】， ， 集合，集合， 所以． 5. 已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的最小值为（） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理得出，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为四点共面，设. 以为起点改写，得， 整理得. 因在平面外，不共面. 由空间向量基本定理，对比已知式的系数得： ，，，所以. 因为，. 当且仅当时取等号，此时取得最小值为 . 6. 已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正四棱锥的高为h，由体积是，求出.利用勾股定理求出侧棱长. 【详解】因为正四棱锥，底面边长是，所以底面积为. 设正四棱锥的高为h，由，所以. 所以侧棱长为. 即侧棱长为. 故选：C 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三角形的面积，及，代入条件计算即可. 【详解】将代入已知条件，得到， 则，则，则. 故选：B 8. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【解析】 【详解】解法一：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D选项正确. 解法二：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为实数 D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为复数， 所以 ，故A正确； 而，故B错误； 因为，是实数，故C正确； 因为， 在复平面内所对应的点为，位于第四象限，D正确． 10. 下列说法正确的是（） A. 直线在轴上的截距为2 B. 若直线与直线平行，则 C. 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 D. 若点在直线上，且满足，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】A项令求纵截距；B项利用两直线平行的系数关系列式；C项需分截距为和不为两种情况讨论；D项利用点在直线上消去，将目标式化为关于的函数，结合不等式性质求值域. 【详解】A项：令，得，解得，所以直线在轴上的截距为，故A错误； B项：若，则，解得，故B正确； C项：当直线过原点时，截距均为，此时方程为； 当截距不为时，设方程为，代入点得，方程为. 综上，所求直线方程为或，故C错误； D项：因为点在直线上，所以. 代入中，得，解得， 则. ①当时，，则，所以； ②当时，，则，所以. 综上，的取值范围为，故D正确. 11. 空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据以上材料，以下选项正确的是（ ） A. 若直线的方程为，则点在直线上 B. 已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为 C. 已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D. 已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，直接代入验证即可判断；对B，求两平面法向量，利用向量夹角求二面角正弦即可；对C，写出平面的法向量及内一个点的坐标，再由向量法求点面距即可；对D，求出直线的方向向量及平面的法向量，再由向量法求线面角即可. 【详解】对于A，因为直线的方程为，则，所以点在直线上，故A正确. 对于B，因为平面的方程，所以平面的法向量为，平面的方程为， 所以平面的法向量为，所以，所以两平面所成角的余弦值为， 则这两平面所成角的正弦值为，所以B正确. 对于C，因为平面的方程为，即为，所以平面的法向量， 且点在平面内，所以，设点到平面的距离为，则，所以C正确. 对于D，因为平面的方程为，所以平面的法向量，又平面的方程为， 所以平面的法向量；设直线的方向向量为，则有，取， 则，又因为平面的方程为，所以平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为，则，所以，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知两个随机事件和，其中，，，则____ 【答案】0.2 【解析】 【分析】根据和概率事件的计算公式进行计算． 【详解】由概率的基本性质，对于任意两个随机事件，有 将，，，代入公式得． 13. 在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成夹角余弦值为___ 【答案】 【解析】 【详解】由题意，以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 故， 所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角范围为， 故异面直线与所成角的余弦值为. 14. 如图，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则___ 【答案】 【解析】 【分析】借助三角函数图像的对称性转化阴影面积，建立与的关系式，结合周期求出，再利用最值点条件及范围求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示： 由三角函数的对称性可得阴影部分的面积等于矩形和矩形的面积之和， 又，所以， 因为函数的图象向左平移个单位长度得到的图象， 所以 ，所以 ，即， 由图象可得 代入，解得，又， 所以 ，则 ，又，所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．） 15. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识，某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值及名学生这次竞赛成绩的众数； （2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 【答案】（1），众数为； （2）中位数为，平均数为. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1建立方程求a，根据最高矩形底边中点确定众数； （2）利用面积平分原理计算中位数，利用组中值与频率的乘积之和计算平均数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为10， 所有小矩形的面积之和为1， 则， 即， 解得. 由图可知，频率最高的组为，其对应的小矩形最高， 故众数为该组底边的中点值，即. 【小问2详解】 由（1）知， 各组频率依次为：：， ：， ：， ：，  ：. 因为前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内. 设中位数为， 则， 解得， 所以估计这名学生这次竞赛成绩的中位数为. 平均数为各组组中值与对应频率乘积之和， 即. 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为. 16. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形是梯形，，平面，且 （1）求证：平面 （2）求直线PC与面PBQ所成夹角的正弦值 【答案】（1）已知，且，因此且， 设PD的中点为E，连接，有∥， ∵底面ABCD为正方形， ∴∥且， ∴∥且， ∴四边形为平行四边形，则∥， ∵平面平面， ∴∥平面 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点构造平行四边形，把线面平行转化为线线平行，用线面平行判定定理完成证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量与直线方向向量，通过线面角的向量公式计算正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，且四边形为正方形， 以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意，正方形边长为，，即，， 得，，，， ，， 设平面的法向量为，则， 得，令，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，可得， 故直线PC与面PBQ所成夹角的正弦值是. 17. 一次数学考试有道填空题，共分，每道题完全答对得分，否则得分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能完全答对的概率分别为，，，且每道题答对与否相互独立. （1）当时，求考生填空题得分的概率； （2）若考生填空题得分与得分的概率相等，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率乘法原理，将得分相关独立事件概率相乘，即. （2）先分别按概率乘法与加法原理算出，再由建立方程求解. 【小问1详解】 设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，， 考生填空题得20分的概率 【小问2详解】 由题意可得：， ， 由，得 18. 记内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合三角恒等变换及正弦定理可得，由，可得，求解即可； （2）由正弦定理可得，，由是锐角三角形，得，，又因为，结合对勾函数求解即可. 【小问1详解】 易得， 由正弦定理得， 而， 故， 易知， 故， 即， 又因为， 所以， 所以， 解得； 【小问2详解】 因外接圆直径为， 则由正弦定理可知， 故，， 因为是锐角三角形， 所以， 得，， 则， 所以， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减， 故的取值范围为. 19. 如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面． （1）求证：平面； （2）已知点为棱上的点，且， ①求三棱锥外接球的表面积； ②过点作平面，使平面，且平面交边于点，平面交于点，求点、的位置． 【答案】（1）由题意，在中，勾股定理得，， 过D点作垂足为点E，如图所示； 则在中，勾股定理可得， 在中，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，平面，， ，， 所以平面. （2）① ； ②是上且满足的点， 是上且满足的点． 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，然后结合可证明平面. （2）①先建立空间直角坐标系，设球心的坐标，然后由列出方程组求出球心的坐标，然后求出半径，最后求出三棱锥外接球的表面积. ②设出点，点的坐标，由，，求出点，点. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ①：由（1）知平面，平面， 所以，故在中，，解得， 在中，， 由（1）知，以D为原点，为轴，为轴，过点在平面中作垂直于的垂线为轴，建立空间直角坐标系，作轴，轴， 在等腰直角中，由面积相等可得，，解得， 所以，因为四边形为矩形，所以， 所以 设三棱锥的外接球球心 ，设外接球半径为 则： ， 因为 ； ； ；； 即：，，解得：， 所以，即三棱锥的外接球的表面积为：. ②：由（1）及①知，，，，，， 设，，，得， 同理，， ，，， 由题意得，， 所以，，解得，， 所以，， 所以是上且满足的点， 是上且满足的点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙川一中2026-2027学年第一学期高二年级10月份考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分．） 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 2. 已知向量，.若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知偶函数在上单调递减，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的最小值为（） A. 2 B. 4 C. D. 6. 已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为实数 D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 10. 下列说法正确的是（） A. 直线在轴上的截距为2 B. 若直线与直线平行，则 C. 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 D. 若点在直线上，且满足，则的取值范围为 11. 空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据以上材料，以下选项正确的是（ ） A. 若直线的方程为，则点在直线上 B. 已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为 C. 已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D. 已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的余弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知两个随机事件和，其中，，，则____ 13. 在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成夹角余弦值为___ 14. 如图，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则___ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．） 15. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识，某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值及名学生这次竞赛成绩的众数； （2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 16. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形是梯形，，平面，且 （1）求证：平面 （2）求直线PC与面PBQ所成夹角的正弦值 17. 一次数学考试有道填空题，共分，每道题完全答对得分，否则得分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能完全答对的概率分别为，，，且每道题答对与否相互独立. （1）当时，求考生填空题得分的概率； （2）若考生填空题得分与得分的概率相等，求的值. 18. 记内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 19. 如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面． （1）求证：平面； （2）已知点为棱上的点，且， ①求三棱锥外接球的表面积； ②过点作平面，使平面，且平面交边于点，平面交于点，求点、的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $