精品解析：广东省江门市鹤山市第一中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段考试数学试题

鹤山一中2025-2026学年度第一学期第二阶段考试 高二数学试卷 2025.12 一、单选题（每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再由解方程即可求得. 【详解】由，可得， 又由，则得， 即，解得. 故选：A. 2. 某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ） A. 400，32 B. 400，36 C. 480，32 D. 480，36 【答案】A 【解析】 【分析】根据图（1）及分层抽样可得样本容量及抽取的四居室户主人数，再结合图（2）可得抽取的户主对四居室满意的人数. 【详解】由图（1）得该小区户主总人数为人， 所以样本容量为人，其中四居室户主有人， 由图（2）得抽取的户主中对四居室满意的有人， 故选：A. 3. 记为等差数列的前项和，若，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题可根据得出，然后根据得出，最后两式联立，通过计算即可得出结果. 【详解】设公差为， 因为，所以， 因为，所以， 联立，解得，， 故选：B. 4. 从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是（ ） A. 恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B. 至少有一个黄球与都是黄球 C. 至少有一个黄球与都是蓝球 D. 至少有一个黄球与至少有一个蓝球 【答案】A 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 【详解】从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下4种： ①3个球全是黄球； ②2个黄球和1个蓝球； ③1个黄球2个蓝球； ④3个球全是蓝球． 对于A，恰有一个黄球是情况③，恰有一个蓝球是情况②， ∴恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故A正确； 对于B，至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①， ∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故B错误； 对于C，至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④， ∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故C错误； 对于D，至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④， ∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故D错误． 故选：A． 5. 设，则AB的中点M到点C的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得点坐标，利用两点间距离公式计算得. 【详解】因为的中点， 所以 故选：C． 6. 在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由、的方程可得它们都过定点，，然后可得四边形OMPN为矩形，且，然后可求出答案. 【详解】将直线的方程变形得， 由，得，则直线过定点，同理可知，直线过定点， 所以，直线和直线的交点P的坐标为，易知，直线，如图所示， 易知，四边形OMPN为矩形，且， 设，，则， 四边形OMPN的面积为， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，四边形OMPN面积的最大值为， 故选：D 7. 在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构建空间直角坐标系，令，结合线面角大小及向量法列方程求参数，最后利用棱柱体积公式求体积. 【详解】由题设，构建如下空间直角坐标系，令， 则，所以， 又面的法向量为， 由与平面所成的角为，则， 所以，可得，则， 所以该长方体的体积为. 故选：C 8. 已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】任取双曲线的一条渐近线为直线，由点到直线的距离公式，构造，，结合题目已知条件列不等式即可求出双曲线离心率的范围. 【详解】由题意可知，直线经过双曲线的右焦点，且垂直于轴，不妨设， 代入椭圆方程，又，所以， 所以，，任取双曲线的一条渐近线为直线， 由点到直线的距离公式可得点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以，因为， 所以，因，所以，即， 所以，所以， 因为双曲线离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：C. 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，9 D. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 【答案】ABD 【解析】 【分析】逐一计算各选项涉及的概率、极差、众数、方差及百分位数，验证每个选项的正误. 【详解】选项A：总体含50个个体，抽取容量为5的样本， 个体被抽到的概率为，该选项正确. 选项B：数据的极差为，众数为2， 二者之和为，该选项正确. 选项C：原数据极差为6，新数据的极差为； 原数据方差为2，新数据方差为，该选项错误. 选项D：将数据排序为，共8个数据， 70百分位数的位置为，对应第6个数据23，该选项正确. 故选：ABD 10. 设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 当时，n的最小值为13 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，即， 又，解得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由选项C知，是递减数列，，而， 因此当时，n的最小值为13，D正确. 故选：ACD 11. 设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，若直线为的准线，则（ ） A. B. C. 为等边三角形 D. 以为直径的圆与相切 【答案】BD 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，进而求得抛物线方程，根据弦长公式、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】抛物线的焦点的坐标为， 由已知直线过点， 所以， 所以，故，，所以A选项错误， 抛物线方程为，准线为， 由， 消去并化简得，， 不妨设，，， 解得或， 所以，B选项正确. 因为， 所以， 所以三角形不是等边三角形，C选项错误. 因为中点坐标为，该点到准线的距离是， 所以以为直径的圆与相切，D选项正确. 故选：BD 三、填空题（每小题5分） 12. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用列举法结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】把第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为，记为. 则4张卡片中有放回的随机抽取2次所有情况为： ， ，共16种. 其中数字之和为5的有4种，则所求概率为. 故答案为： 13. 若圆与圆相交于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆相交的性质，求得两圆的公共弦所在直线方程，利用点到直线距离公式求得其中一个圆的圆心到此直线的距离，再利用弦长公式进行计算即可. 【详解】圆，即; 圆，即, 两圆相减得直线：， 圆的圆心坐标为，半径为， 到直线的距离直线， 弦长为， 故答案为： 14. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】 【详解】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝. 四、解答题（共3题） 15. 已知圆过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线过点且与圆相切，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）圆心在直线和线段的中垂线上，求出即可得解； （2）根据圆心到切线的距离等于半径求切线方程. 【小问1详解】 因为点， 所以线段的中点为， 所以的中垂线方程为． 联立得，故圆的圆心为点， 又圆的半径， 所以所求圆的方程为． 【小问2详解】 由题意及（1）知，圆的圆心为，半径为，直线过点． ①若的斜率不存在，则的方程为，此时，圆心到的距离为3，符合题意； ②若的斜率存在，设的方程为，即， 因为与圆相切，所以，解得， 此时，的方程为． 综上，的方程为或． 16. 某区，，三所学校有意愿报考名校自招的人数分别为40，40，20人，受疫情因素影响，该区用分层随机抽样的方法从三所学校中抽取了5名学生，参加了该区统一举办的现场小范围自招推介说明会. （1）从这5名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，求这2名学生来自不同学校的概率； （2）若考生小张根据自身实际，报考了甲乙两所名校的自招，设通过甲校自招资格审核的概率为，通过乙校自招资格审核的概率为，已知通过两所学校自招资格审核与否是相互独立的，求小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先确定三所学校被抽到的人数，再利用编号，列举的方法，即可所求概率； （2）首先求两所学校都没有通过的概率，再利用对立事件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 用分层随机抽样的方法从三个学校中一共抽取了5名选手参加全市集训，现三所学校应该抽取的人数分别为2，2，1 设来自学校的为，；来自学校的学生为，； 来自学校的两名学生分别为， 从这5名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查， 样本空间 共包含10个样本点，记这2名学生来自不同学校为事件， 事件含8个样本点， 所以 【小问2详解】 记小张至少能通过一所学校自招资格审核为事件， 通过甲学校自招资格审核为事件，通过乙学校自招资格审核为事件， 则事件“至少通过一所学校自招资格审核”的对立事件是“两所学校都通不过”， 因为与相互独立，所以与相互独立， 所以， 故小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率为 17. 如图，矩形所在的平面，点是的中点，点是线段上的一个动点，且. （1）若点是线段的中点，证明：； （2）当三棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍时，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点，连接、， 点是线段的中点，， 四边形是矩形，.① 平面，， 又，，平面， ，，② 由①②及得平面， . （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形所在的平面可证明平面，由点是线段的中点，取的中点，则可证明平面，最终证明； （2）由体积关系得，建立空间坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为矩形所在的平面，所以，，两两垂直. 分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，，， 设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 则三棱锥的体积， 三棱锥的体积， 由已知可得，即， 得，，， 设平面的法向量为， 则，即， 得，取，得，所以， 易得平面的一个法向量为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一动点，且的最大值为6. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点. （i）求的取值范围； （ii）已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求，结合离心率求解可得； （2）（i）直线方程联立椭圆方程消元，利用判别式求解可得；（ii）利用直线表示出点的坐标，结合韦达定理求出中点坐标，结合为平行四边形求解可得. 【小问1详解】 因为离心率为，所以，由椭圆的定义知， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 故，所以，所以， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设， 由得， 由直线与椭圆交于两点，知，得， 所以或. （ii）存在点使得四边形为平行四边形，理由如下： 因为在椭圆上，所以易知，设直线的方程为， 令，得，同理， 又由（i）知，所以， 所以 ， 所以线段的中点坐标为， 连接，若四边形为平行四边形，则线段的中点坐标也为， 由于，可得得，所以点的坐标为. 19. 已知数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前n项和，若对任意的，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）先求首项令，代入，直接解得，再推递推关系当时，利用，代入与的表达式，化简得到与的倍数关系，最后判定数列类型，由递推关系（），确定是等比数列，进而写出通项公式. （2）先化简由，将对数化简为整数，再将拆分为“差式”运用裂项相消求和，代入化简，最后构造数列，通过作差法（）判断其单调性，得出的最大值为，确定范围，因需大于的所有项，故. 【小问1详解】 因为数列的前n项和，所以 当时，，即，解得； 当时，，化简得； 因此是首项为，公比为的等比数列， 所以通项公式为. 故通项公式为. 【小问2详解】 由，得，，故 ， 裂项相消求和：， 因为若对任意的，， 即对任意的，，等价于对任意的，， 当时，不等式显然成立； 当时，不等式等价于对任意的，， 设， 因为， 所以是单调递减数列，则， 综上或，所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山一中2025-2026学年度第一学期第二阶段考试 高二数学试卷 2025.12 一、单选题（每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 5 2. 某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ） A. 400，32 B. 400，36 C. 480，32 D. 480，36 3. 记为等差数列的前项和，若，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是（ ） A. 恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B. 至少有一个黄球与都是黄球 C. 至少有一个黄球与都是蓝球 D. 至少有一个黄球与至少有一个蓝球 5. 设，则AB的中点M到点C的距离（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7. 在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ） A. B. 6 C. D. 8. 已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，9 D. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 10. 设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 当时，n的最小值为13 11. 设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，若直线为的准线，则（ ） A. B. C. 为等边三角形 D. 以为直径的圆与相切 三、填空题（每小题5分） 12. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为______． 13. 若圆与圆相交于点，则__________． 14. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 . 四、解答题（共3题） 15. 已知圆过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线过点且与圆相切，求的方程． 16. 某区，，三所学校有意愿报考名校自招的人数分别为40，40，20人，受疫情因素影响，该区用分层随机抽样的方法从三所学校中抽取了5名学生，参加了该区统一举办的现场小范围自招推介说明会. （1）从这5名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，求这2名学生来自不同学校的概率； （2）若考生小张根据自身实际，报考了甲乙两所名校的自招，设通过甲校自招资格审核的概率为，通过乙校自招资格审核的概率为，已知通过两所学校自招资格审核与否是相互独立的，求小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率. 17. 如图，矩形所在的平面，点是的中点，点是线段上的一个动点，且. （1）若点是线段的中点，证明：； （2）当三棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍时，求平面和平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一动点，且的最大值为6. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点. （i）求的取值范围； （ii）已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前n项和，若对任意的，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $