精品解析：湖南株洲市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次检测数学（B）卷

株洲市一中2026级高一第一次检测 数学（B）卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】集合，集合. 在中满足的元素只有，所以 2. 若正实数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据基本不等式的变形不等式可得. 【详解】因为正实数满足，由基本不等式， 当且仅当时等号成立，将代入得. 所以时，的最大值为4. 故选：B 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】原不等式即为，即，解得， 故原不等式的解集为. 故选：A. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由条件得到，再结合乘1法即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：D. 5. 若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】将转化为，然后根据基本不等式得到，最后列不等式求的范围即可. 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． 6. 已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是，  当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件． 故选：A． 7. 若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ） A. ，方程有无限组整数解 B. ，方程有且只有两组整数解 C. ，方程至少有一组整数解 D. ，方程至多有有限组整数解 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合整数的分解形式转化为求解方程组的整数解的情况即可. 【详解】选项A，当时，由得， 解得， ，都是方程的整数解， 故，方程有无限组整数解. A项判断正确； 选项B，当时，由， 由，则，， 又， 由与，仅有这种整数分解的方法， 所以（舍），或； 解得 或，故方程有且仅有两组整数解， 即，方程有且只有两组整数解，故B项判断正确； 选项C，当时，由，，，， 仅有这种整数分解的方法，又， 所以（舍），或（舍）， 或①，或②； 方程组①消得，，，无整数解； 方程组②消得，，此方程无解； 故当时，方程无整数解，所以选项C判断不正确； 选项D，若关于x，y的方程不存在整数解， 则满足至多有有限组整数解； 若关于x，y的方程存在整数解． 由，则， ，整数至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为， 由， 得， 消得，，， 对于的每一个确定取值，此关于的二次方程最多有个整数解， 即方程组至多有组整数解； 故，方程至多有组整数解，故D项判断正确. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列四个命题中不正确的是（ ） A. 满足的所有集合的个数是4 B. 由（，且）所确定的实数构成的集合为 C. 已知集合，且，则实数的取值范围是 D. 中含有五个元素 【答案】ACD 【解析】 【分析】列举即可求解ABD,根据得即可求解C. 【详解】对于A,满足的可以为，共有8个，故A错误， 对于B,当均为正数，则， 当均为负数，则， 当一正一负时，，故构成的集合为，B正确， 对于C，由于，故，所以，故C错误， 对于D,由于，故36是的倍数，故可取3，4，6，9，12，18，36， 因此的值为0，1，3，6，9，15，33，故，故D错误， 故选：ACD 9. 已知且，则 （ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为10 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AD选项，直接使用基本不等式进行求解，得到A正确；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，变形得到，由基本不等式求出答案； 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为9，故B错误； 对于C，因为且， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A、C、D的真假，借助消元法与二次函数性质计算可判断B的真假. 【详解】对A：， 当且仅当，即、时，等号成立， 故的最大值为，故A正确； 对B：由，则，则， ， 故的最小值为，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当，即、时，等号成立， 故，故C错误； 对D：， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 设全集为，若的子集集合，子集，则=___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程以及一元一次不等式组，可得集合，根据补集与交集的运算，可得答案. 【详解】由，，解得或，则； 由，解得，则，可得或； 所以. 故答案为：. 12. 已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用判别式和韦达定理并结合题意建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】对于，若方程有两个大于1的实根， 可得，解得或， 设两个根分别为，由韦达定理得，， 则，可得，解得， 可得的取值范围是. 故答案为： 13. 设，若关于的不等式的解集中的整数有且仅有3个，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则， 关于的不等式，得，即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 而的解集中有且仅有3个整数， 结合，则这三个整数只能为， 故，所以，结合， 要使b存在，需满足与有公共解， 则必须有，解得，故， 故实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知集合或，，. （1）求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算公式计算即可. （2）根据集合的包含关系，分与两类讨论即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为集合或，， 所以， 所以 【小问2详解】 ∵，∴ ①当时，∴，解得 ②当时，则，解得 综上所述：的取值范围是 15. （1）当，都为正数且时，试比较代数式与的大小． （2）若，求的取值范围； （3）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可判断大小. （2）由，得，再两个不等式相加即可得到结果. （3）首先设，求出的值，再让两个不等式相加可得结果. 【详解】（1）． 因为，所以，， 所以． 因为p，q都为正数，所以， 因此，当且仅当时等号成立． （2）因为，即，， 所以，所以， 又，所以，即． （3）设， ，解得，． ，， ，， 则． 的取值范围是． 16. 已知，，且. （1）求的最小值： （2）求的最小值； （3）求的最大值. 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式的乘“1”法即可求解， （2）根据指数幂的运算，结合基本不等式即可求解， （3）根据基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以 因为，，所以，， 所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小问2详解】 因为， 所以. 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值6. 【小问3详解】 因为，即，因为，，所以， 所以 整理有：， 因为，所以，， 所以， 即，当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 17. 若实数，，满足，则称比接近． （1）若4比接近0，求的取值范围； （2）若对于任意的非零实数，实数比接近，求的取值范围； （3）对于任意的两个不等正数，，判断是否比接近，并说明理由． 【答案】（1）或 （2） （3）比接近，理由如下： 因为且，所以，且， 所以 ， 则，即， 故比接近． 【解析】 【分析】（1）解不等式可得结论； （2）求出的最小值，然后解不等式可得结论； （3）作差，确定其正负后可得结论. 【小问1详解】 由题意得：，则或， 解得或，所以的取值范围或； 【小问2详解】 由题意：对于，且恒成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，则，所以， 当且仅当时等号成立，所以，则. 综上，．故，解得， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 略. 18. 设整数集合，其中，且对，，若，则有． （1）直接写出一个满足条件的集合A； （2）证明：，； （3）求满足条件的集合A的个数． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 假设存在一个使得， 令，其中且， 由题意，由于，得， 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾， 所以任意，． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，令，即可写出一个集合； （2）由反证法即可证明； （3）因为，，所以集合中至多4个元素.设，先通过判断集合中前个元素的最大值可以推出，故集合的个数与集合的子集个数相同，即可求出． 【小问1详解】 令，满足， 当，时，若满足，则成立， 即可写出一个满足条件的集合. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设集合中有个元素，， 由题意，得，， 由（2）知，． 假设，则． 因为， 由题设条件，得， 因为， 所以由（2）可得， 这与为中不超过的最大元素矛盾， 所以， 又因为，， 所以．     任给集合的元子集，令， 以下证明集合符合题意： 对于任意，则． 若，则有， 假设，因为，所以， 这与矛盾； 因此必有， 又因为，所以和都不大于， 根据集合的构造，所以，，从而． 故集合符合题意， 所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同， 故满足条件的集合有个． 19. 对平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是点的“上位点”还是“下位点”，并证明你的结论； （3）设正整数n满足以下条件：对集合内的任意元素m，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，问这样的正整数是否存在?若存在，求正整数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（答案不唯一，比值大于即可）. （2）点是点的“上位点”. 是点的“上位点”，所以. 因为，，，，两边同乘得，即. 作差比较与：. 所以点是点的“上位点”. （3）存在，. 【解析】 【分析】(1)问按定义写一个比值大于的第一象限点. (2)问作差比较与，符号归结为. (3)问把两个"位点"关系翻译成关于的双侧不等式，两个界关于的单调性相反，都在处最紧，从而夹出唯一的. 【小问1详解】 由定义，点是点的"上位点"，当且仅当且，. 取，因为，所以点是点的一个"上位点".（答案不唯一） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由定义，点是点的下位点即； 点是点的上位点即. 代入，得对任意，都有. 右边随增大而减小，故最近处在， 得，所以. 左边随增大而增大，故最近处也在， 得，所以. 综上，. 检验：当时，对任意，是正整数， 且，成立； ，成立. 又各点横纵坐标均为正，都在第一象限内，符合定义. 所以满足条件的正整数存在，其值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市一中2026级高一第一次检测 数学（B）卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 若正实数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 9 5. 若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ） A. ，方程有无限组整数解 B. ，方程有且只有两组整数解 C. ，方程至少有一组整数解 D. ，方程至多有有限组整数解 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列四个命题中不正确的是（ ） A. 满足的所有集合的个数是4 B. 由（，且）所确定的实数构成的集合为 C. 已知集合，且，则实数的取值范围是 D. 中含有五个元素 9. 已知且，则 （ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为10 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 10. 已知，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 设全集为，若的子集集合，子集，则=___________ 12. 已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 13. 设，若关于的不等式的解集中的整数有且仅有3个，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知集合或，，. （1）求，； （2）若，求实数的取值范围. 15. （1）当，都为正数且时，试比较代数式与的大小． （2）若，求的取值范围； （3）已知，，求的取值范围． 16. 已知，，且. （1）求的最小值： （2）求的最小值； （3）求的最大值. 17. 若实数，，满足，则称比接近． （1）若4比接近0，求的取值范围； （2）若对于任意的非零实数，实数比接近，求的取值范围； （3）对于任意的两个不等正数，，判断是否比接近，并说明理由． 18. 设整数集合，其中，且对，，若，则有． （1）直接写出一个满足条件的集合A； （2）证明：，； （3）求满足条件的集合A的个数． 19. 对平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是点的“上位点”还是“下位点”，并证明你的结论； （3）设正整数n满足以下条件：对集合内的任意元素m，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，问这样的正整数是否存在?若存在，求正整数的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $