精品解析：湖南长沙市长沙县第一中学2026-2027学年高一上学期第一次素质检测数学试题

长沙县一中2026年高一第一次素质检测数学试卷 时量：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题只有一个正确答案，每题5分，共40分） 1. 设集合,,若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合元素的性质，求解即可. 【详解】由题意知，,则解得此时； 又，所以 此时有所以， 故选：D 2. 不等式x2≥2x的解集是(　　) A. {x|x≥2} B. {x|x≤2} C. {x|0≤x≤2} D. {x|x≤0或x≥2} 【答案】D 【解析】 【详解】由x2≥2x解得：x(x－2)≥0，所以x≤0或x≥2.选D. 3. 设， ，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作差法判断两式大小. 【详解】，∴. 故选：A. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用公式法解绝对值不等式求的解，再由充分、必要性的定义得条件间的关系. 【详解】由， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 6. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】求出每个选项中两个函数的定义域，结合函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，A选项中的两个函数不相等； 对于B选项，对于函数，有，解得， 对于函数，有，解得或， 函数的定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，B选项中的两个函数不相等； 对于C选项，函数、的定义域均为， 且，C选项中的两个函数相等； 对于D选项，函数的定义域为，的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，D选项中的两个函数不相等. 故选：C. 7. 若不等式对一切都成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式对一切都成立，等价于恒成立，再构造函数，求最小值即可得解. 【详解】解：因为不等式对一切等价于恒成立， 设 ，由对勾函数单调性可知：在上单调递减， 所以， 即，即， 即的取值范围是. 8. 已知,,且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为,利用基本不等式,注意等号成立的条件,即可求得答案. 【详解】 当且仅当,取等号,即,结合, 可得时,取得最小值． 故选:A. 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式最值,解题关键是灵活使用均值不等式,注意等号验证,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 二、多选题（每小题有多个正确答案，部分选对得分段分，选错误答案得0分，每题6分，共18分） 9. 下列命题中，正确的有（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用不等式的性质判断B；利用作差法判断D. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，满足，但是，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：BD 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用基本不等式得到；B选项，平方后得到，故，B错误；C选项，将3替换为，变形得到，利用基本不等式求出最小值；D选项，化简得到，由基本不等式“1”的代换得到最小值 【详解】A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，， 故，故B错误. C选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C正确； D选项， ， 其中，，，故， 所以 ， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 11. 已知定义在的函数同时满足以下四个条件：①函数的对称轴是直线，②，当时，都有，③，④的图象是连续不断的．则下列选项成立的有（ ） A. B. ，，使得 C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.根据函数的奇偶性及单调性判断；B.根据函数的奇偶性确定有最小值即可判断；C.利用函数单调性及奇偶性去掉，然后解不等式即可；D.利用单调性转化为不等式组求解即可. 【详解】①函数的对称轴是直线，可得函数的对称轴是直线，即函数为偶函数； ②，当时，都有， 当时，，即函数在上单调递减， 再根据①其为偶函数，函数在上单调递增； A. ，A正确； B. 函数在上单调递减，在上单调递增，的图象是连续不断的， 故函数在时取最小值，不妨设最小值为，即，，使得，B正确； C. 不等式，则，解得或，C错误； D. 不等式，得或，解得或， 故解集为，D正确； 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域是______. 【答案】且 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义， 则，解得且， 所以函数的定义域为且. 故答案为：且. 13. 已知关于的方程有两个实根，满足，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算即得. 【详解】方程中，，而是该方程的两个实根， 于是，由，得， 即，解得，所以实数. 故答案为： 14. 若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 【答案】[－4,0] 【解析】 【分析】去掉绝对值符号，将原函数化为分段函数的形式，然后根据二次函数图象的开口方向和对称轴与区间的位置关系求解． 【详解】因为f(x)＝x2＋a|x－2|， 所以， 又因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以，解得－4≤a≤0． 所以实数a的取值范围是[－4,0]． 【点睛】本题考查二次函数的单调性，解题时结合抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系，利用数形结合的方法进行即可． 四、解答题（写出必要的解答步骤，共77分） 15. 设集合，； （1）用列举法表示集合； （2）若是的充分条件，求实数的值. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）解方程求集合，（2）若是的充分条件，则 ，然后求解集合，根据子集关系求参数. 【详解】（1） 即或 ， ； （2）若是的充分条件， 则 ， 解得 或， 当时，，满足， 当时， ，同样满足， 所以或. 【点睛】本题考查集合和元素的基本关系，以及充分条件和子集的关系，属于基础题型. 16. 若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且． （1）求的解析式； （2）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质列方程组，求解系数得到函数解析式； （2）将不等式有解问题转化为在区间上有解，只需小于该函数在区间内的最大值，进而求出实数的取值范围． 【小问1详解】 由为二次函数，可设 图象的对称轴为，最小值为，且， 则有，解得，故． 【小问2详解】 已知，即在上有解， 又当时，有最大值12，则有， 故实数的取值范围为． 17. （1）设，，且，求的最小值； （2）若，求的最小值； （3）若，，求的最小值． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）借助基本不等式计算即可得； （2）配凑法后利用基本不等式计算即可得； （3）多次使用基本不等式即可得. 【详解】（1）由，，则， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为； （2）由，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为； （3）由，， 则， 当且仅当、，即时，等号成立， 即的最小值为. 18. 某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元），（其中，利润销售收入总成本） （1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式； （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元 【解析】 【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式. （2）在每个分段上分别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润. 【小问1详解】 当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台）， 总成本为固定研发成本亿元加上其它成本亿元， 根据利润销售收入总成本，可， 当时，销售收入为亿元，总成本为亿元， 则， 所以. 【小问2详解】 当时，，图象开口向下，对称轴为, 但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元, 当时，根据基本不等式有， 当且仅当，即取等号, 所以亿元，当且仅当，即取等号, 因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元. 19. 设函数的定义域为，且区间．若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质A；若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质． （1）试证明：“函数在区间上具有性质”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件； （2）若函数在区间上具有性质A，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上同时具有性质A和性质，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：若函数在区间上具有性质， 对任意且， 由条件可知 变形可得，即， 所以在区间上单调递增，即充分性成立； 若函数位区间上单调递增，如在任意区间上单调递增， 但，故不符合性质，即必要性不成立； 所以“在区间上具有性质”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件. （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意结合单调性的定义以及充分、必要条件分析判断； （2）分析可知在区间上单调递增，结合单调性的定义分析求解； （3）分析可知在区间上单调递增，在区间上单调递增，结合对勾函数单调性分析求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 若具有性质A，即可知在区间上单调递增． 对任意，且， 则， 因为，则， 可得恒成立，则， 所以实数的取值范围是． 【小问3详解】 由条件可知，具有性质A，即在区间上单调递增； 由条件可知，具有性质，即在区间上单调递增； 由对勾函数可知：的增区间为， 的增区间为， 要使得条件成立，需要或， 解得或， 所以实数的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙县一中2026年高一第一次素质检测数学试卷 时量：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题只有一个正确答案，每题5分，共40分） 1. 设集合,,若，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式x2≥2x的解集是(　　) A. {x|x≥2} B. {x|x≤2} C. {x|0≤x≤2} D. {x|x≤0或x≥2} 3. 设， ，则有（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若不等式对一切都成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知,,且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题（每小题有多个正确答案，部分选对得分段分，选错误答案得0分，每题6分，共18分） 9. 下列命题中，正确的有（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 11. 已知定义在的函数同时满足以下四个条件：①函数的对称轴是直线，②，当时，都有，③，④的图象是连续不断的．则下列选项成立的有（ ） A. B. ，，使得 C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域是______. 13. 已知关于的方程有两个实根，满足，则实数______. 14. 若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 四、解答题（写出必要的解答步骤，共77分） 15. 设集合，； （1）用列举法表示集合； （2）若是的充分条件，求实数的值. 16. 若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且． （1）求的解析式； （2）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围． 17. （1）设，，且，求的最小值； （2）若，求的最小值； （3）若，，求的最小值． 18. 某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元），（其中，利润销售收入总成本） （1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式； （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润. 19. 设函数的定义域为，且区间．若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质A；若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质． （1）试证明：“函数在区间上具有性质”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件； （2）若函数在区间上具有性质A，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上同时具有性质A和性质，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $