精品解析：陕西汉中市实验中学2026-2027学年 上学期第一次学情自测九年级数学试卷

2026-2027学年度汉中实验中学第一学期第一次月考 九年级数学试卷 一、选择题（共8小，每3分，计24分） 1. 方程的解为（ ） A. B. ， C. D. ， 2. a， b，c，d 是成比例线段，若 a 3cm， b 2cm，c 6cm，则线段d的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 3. 已知平行四边形，下列结论不正确的是（　　） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形 C. 当平分时，它是菱形 D. 当时，它是菱形 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 菱形中，对角线、交于点O，，，则菱形的高长度为（ ） A. B. C. 12 D. 13 6. 关于x的一元二次方程没有实数根；则m的值可能是（ ） A. －2 B. 0 C. 3 D. 5 7. 某学校举办足球联赛，规定每两个班级球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场，设参加比赛的班级球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长是6，点是线段上一动点，过点作于点，连接，若，则的面积是（ ） A. B. C. 6 D. 18 二、填空题（共6小题，每3分，计18分） 9. 若关于x的方程＝0是一元二次方程，则a＝____． 10. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 11. 已知，则的值为_____． 12. 如图，在菱形中，点在边上，连接，若，，则的度数为___________． 13. 如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是______． 14. 如图，在矩形中，，菱形的三个顶点分别在矩形的边上，，连接．当的面积为时，的长为_______． 三、解答题（共12题，计78分） 15. 解方程：． 16. 化简：． 17. 茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．中国传统制茶技艺及其相关习俗曾被列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录．某驻村工作队为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不需要围篱笆），求这个茶园的长和宽． 18. 已知矩形，用尺规作图的方法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）． 19. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG． 20. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 21. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，为上一点，且． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 22. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 23. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 24. 传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 八年级 89 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（）的学生共有多少人？ 25. 如图，在等边中，点D是的中点，是边上的中线，连接．以为边作等边，连接． （1）求证：四边形为矩形． （2）若，求四边形的面积． 26. 如图①，已知正方形的边长为，点，分别是，上的动点，满足，连接，交于点． （1）求证：⊥； （2）如图②，连接与交于点，恰好是的中点． ①求的长； ②如图③，点为上一点，⊥，垂足为，求+的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度汉中实验中学第一学期第一次月考 九年级数学试卷 一、选择题（共8小，每3分，计24分） 1. 方程的解为（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】移项后因式分解求解；切勿在两边同除以 ，否则会丢根． 【详解】解：移项得 ． 因式分解得 ． 或 ． 即 ，． 2. a， b，c，d 是成比例线段，若 a 3cm， b 2cm，c 6cm，则线段d的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据a、b、c、d是成比例线段，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求出d的值即可； 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， ∵a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm， ∴d＝4cm； 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 3. 已知平行四边形，下列结论不正确的是（　　） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形 C. 当平分时，它是菱形 D. 当时，它是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断A；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断B；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断C；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断D． 【详解】解：A、当时，它是矩形，故此选项说法正确，不符合题意； B、当时，它是菱形，故此选项说法不正确，符合题意； C、当平分时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意； D、当时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形和矩形的判定，关键是掌握菱形和矩形的判定定理．菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程移项得：， 配方得：， 则方程变形为． 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5. 菱形中，对角线、交于点O，，，则菱形的高长度为（ ） A. B. C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，孰练掌握菱形的相关性质，勾股定理是解决本题的关键． 根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6. 关于x的一元二次方程没有实数根；则m的值可能是（ ） A. －2 B. 0 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据△=，验证是否在范围内即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴△=， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的运用是解题的关键． 7. 某学校举办足球联赛，规定每两个班级球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场，设参加比赛的班级球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环比赛的规则，每支球队需和其余支球队各赛1场，但直接相乘会出现两两比赛重复计数的情况，因此总比赛场数为，结合总比赛15场的条件即可选出对应正确方程． 【详解】解：支球队参赛，每支球队与其余支球队各赛1场， 每场比赛被重复计算2次， 故总比赛场数为． 由总场数为15，得方程． 8. 如图，正方形的边长是6，点是线段上一动点，过点作于点，连接，若，则的面积是（ ） A. B. C. 6 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出的值．根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到和全等，然后即可得到和的关系，根据等腰三角形的性质可以得到和的关系，再根据勾股定理可以得到的值，然后即可计算出的面积． 【详解】解：作于点，如图所示， 四边形是正方形， ，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 即， 解得， ∴， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每3分，计18分） 9. 若关于x的方程＝0是一元二次方程，则a＝____． 【答案】﹣1． 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值． 【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程， ∴a2+1＝2，且a﹣1≠0， 解得，a＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 10. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 11. 已知，则的值为_____． 【答案】1或 【解析】 【分析】①当时，则，进而得到，据此可得答案；②当时，则，进而得到． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则． ∴； 综上所述，值为1或． 12. 如图，在菱形中，点在边上，连接，若，，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由等边对等角可得,由菱形的对边平行、四条边都相等可得,且，由三角形内角和定理和等边对等角可求得答案． 【详解】解：在菱形中，,, ∵，， ∴,， ∴, ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 13. 如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，平角的定义，推出即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵A，C，E三点在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：60 14. 如图，在矩形中，，菱形的三个顶点分别在矩形的边上，，连接．当的面积为时，的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长，过作于，如图所示，根据矩形性质、菱形性质，得到相关角及线段的关系，再由两个三角形全等的判定定理得到，结合已知条件确定，当的面积为时，列式求出，从而得到答案． 【详解】解：连接，延长，过作于，如图所示： ， 在矩形中，， ， 在矩形中，，则， 在菱形中，，则， ， 在菱形中，， 在和中， ， ， ， ，， ， 当的面积为时，，即，解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及矩形性质、菱形性质、两个三角形全等的判定与性质、三角形面积等知识，根据题意，准确作出辅助线，数形结合，灵活运用三角形全等的判定与性质得到是解决问题的关键． 三、解答题（共12题，计78分） 15. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 17. 茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．中国传统制茶技艺及其相关习俗曾被列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录．某驻村工作队为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不需要围篱笆），求这个茶园的长和宽． 【答案】这个茶园的长和宽分别为、． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．设当茶园垂直于墙的一边长为时，则另一边的长度为，根据茶园的面积为，列出方程并解答． 【详解】解：设茶园垂直于墙的一边长为，则另一边的长度为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意舍去； 当时，，符合题意． 答：这个茶园的长和宽分别为、． 18. 已知矩形，用尺规作图的方法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图所示：点即为所作． 【解析】 【分析】连接，作的垂直平分线分别交、于点、，连接、，则，，再通过三角形全等，得到，即四边形为菱形． 【详解】略 19. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADF=CDE=90°，AD=CD． ∵AE=CF， ∴DE=DF， 在△ADF和△CDE中, ， ∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠DAF=∠DCE， 在△AGE和△CGF中， ， ∴△AGE≌△CGF（AAS）， ∴AG=CG． 【解析】 【分析】先用SAS证明△ADF≌△CDE，得∠DAF=∠DCE，再用AAS证明△AGE≌△CGF即可. 【详解】略 20. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 21. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，为上一点，且． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形性质得到、，结合推出，再由两直线平行得到，用两角分别相等证明． （2）根据平行四边形对边相等得到，再利用相似三角形对应边成比例，计算求出的长为． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ． ， ． ， ． ． 22. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明： ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）24． 【解析】 【分析】（1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）易知是直角三角形，为斜边的中点，得到，进而可得到是等边三角形，再通过角度计算出，再通过勾股定理求出，进而可得到四边形的周长． 【详解】解：（1）略 （2） ∵， ∴是直角三角形． ∵为的中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵． ∴． ∴， ∴． ∵四边形为菱形． ∴． 在中，， ∴ ∴（负值舍去）． ∵四边形为菱形， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查菱形的证明及基本性质，等边三角形性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． 23. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 24. 传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 八年级 89 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（）的学生共有多少人？ 【答案】（1）90；；25 （2）八年级的成绩更好，理由如下： 七年级和八年级的平均数一样，但八年级的中位数和众数大， 八年级的成绩更好． （3）580人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、求中位数、众数、由样本估计总体，由扇形统计图和题意得出必要信息和数据是解题的关键． （1）根据众数的定义可得出a的值，求出八年级20名学生的竞赛成绩在D组的人数可得出m的值，再根据中位数的定义求出b的值，即可解答； （2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级，即可得出结论； （3）利用样本估计总体思想求解即可． 【小问1详解】 解：由题中的信息可得，七年级抽取的学生的竞赛成绩众数为90，即； 八年级20名学生的竞赛成绩在A组的有（人），在B组的有（人）， 八年级20名学生的竞赛成绩在D组的有（人）， 八年级20名学生的竞赛成绩在D组的所占百分比为，即； 八年级20名学生的竞赛成绩的中位数是按从小到大顺序排列的第10和第11位的平均数， 八年级20名学生的竞赛成绩的中位数位于C组中，且按从小到大顺序排列的第1和第2位的平均数， 八年级抽取的学生的竞赛成绩中位数为，即． 故答案为：90；；25． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有580人． 25. 如图，在等边中，点D是的中点，是边上的中线，连接．以为边作等边，连接． （1）求证：四边形为矩形． （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ， 点是的中点，是边的中线， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质，先证明四边形是平行四边形，再证明矩形； （2）由等边三角形的性质可得，再根据勾股定理得出，即可求出矩形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，是等边三角形， ， 是边的中线， ， 在中，由勾股定理得：， 又四边形是矩形， ． 26. 如图①，已知正方形的边长为，点，分别是，上的动点，满足，连接，交于点． （1）求证：⊥； （2）如图②，连接与交于点，恰好是的中点． ①求的长； ②如图③，点为上一点，⊥，垂足为，求+的最小值． 【答案】（1）证明：在正方形中，，． 在和中： ， ． ， ， ，即． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正方形的边、角相等，用证，把转移到，再在中用两锐角互余证； （2）①由垂直平分得，再由得，用对应边成比例求，即得； ②由垂直平分把换成，把化为点到直线的距离，用垂线段最短求最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①是的中点，且由（1）知， 垂直平分， ． 在正方形中，， ． ， ， ， 即， ， ． ②连接交于点，连接， 垂直平分， 点关于的对称点为， ， ． ，由垂线段最短，当点为过点所作的的垂线与的交点时，取得最小值，最小值为点到的距离即的长． 正方形的两条对角线互相垂直平分， 点到的距离为， 的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定和性质，以及“垂线段最短”；解题关键是由全等把转化为，再由垂直平分同时得到与，从而把两条线段的和化为点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $