精品解析：陕西省汉中市汉台区2024-2025学年九年级上学期月考数学试题

汉台区2025届初三第一次检测考试 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若正数是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 0 B. C. 5 D. 0或5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟记因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键． 提公因式得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ， 解得：， ∴正数， 故选：C． 2. 榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三视图的识别，根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：该几何体的主视图是： 故选：B． 3. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形，连接交于点D，菱形的性质，得到，进而求出点B的坐标即可． 【详解】解：连接交于点D， ∵四边形是菱形，点C的坐标是，点A的纵坐标是1， ∴， ∴点B的坐标是． 故选：B． 4. 如图，在正方形网格中，、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质，可得，，所以，再根据三角形外角的性质，即可求得答案． 【详解】解：是正方形的对角线 ， ，， ， ， ． 故选：D． 5. 已知一块蓄电池组的电压为定值，使用蓄电池组时，电流与电阻是反比例函数关系：，已知时，，则时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；根据当时，时，可得该反比例函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：将，代入可解得：， 故电流与电阻是反比例函数关系为， 将代入可得，， 故选：A． 6. 如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平移的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，平移前后对应线段平行（或在同一直线上）且相等． 根据平移的性质得出，，结合正方形的性质得出，最后根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵正方形沿方向平移得到正方形， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：（负值舍去）， 故选：A． 7. 若点，，均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数和性质是正确解答此题的关键． 先判断出反比例函数的图像所在的象限，再根据反比例函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， 点，，均在第三象限， ， ， 故答案为：D． 8. 如图，是矩形的对角线，是边上的中点，连接，于点，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握学生三角形的判定和性质是解题的关键． 过点作，交于，得到，，可证明；由得到，得到，即可得到；由四边形是平行四边形得到垂直平分，继而得到，条件不足以证明；设，，由得到，即，得到．即可得到答案． 【详解】解：如图过点作，交于， 四边形是矩形， ，，， ， 于点， ， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， 故②正确； ，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 于点，， ， 垂直平分， ， 条件不足以证明， 故③错误； 设，，则， 四边形是矩形， , , 于点， , , ， ，即， ， ， 即， 故④正确； 综上正确的是①②④，有个． 故选：C． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 灯下的树影属于________投影 （填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题主要考查了中心投影的概念，根据中心投影的概念填写即可．中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影． 【详解】解：路灯发出的光线可以看成是从一点发出的光线，像这样的光线所形成的投影叫做中心投影，故路灯下树影是中心投影． 故答案为：中心． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由关于的一元二次方程有实数根，可得再解不等式可得答案． 【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即 解得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 11. 某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，1200件衬衣中有 _____件是合格的． 【答案】1080 【解析】 【分析】根据频数=总数频率，即可得答案． 【详解】∵（件）， ∴1200件衬衣中有1080件是合格的． 故答案为：1080． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，理解总数、频率和频数之间的关系及熟记频数的计算公式是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等腰直角的一个顶点，点在轴上，，，轴，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先根据等腰三角形的定义、勾股定理可得，，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，利用勾股定理可得，从而可得点的坐标，将其代入反比例函数的解析式求解即可得． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴， ∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 将点代入反比例函数得：， 故答案为：2． 13. 如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合）且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．若CG＝2，则四边形BCDG的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，先证明△ABD为等边三角形，求得，证明△CBM≌△CDN， 所以S四边形BCDG=S四边形CMGN，是的角平分线，进而求得，根据S四边形BCDG=S四边形CMGN即可求得四边形BCDG的面积． 【详解】如图，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N． 四边形是菱形 ， 是等边三角形 是等边三角形 ， 又 是的角平分线 △CBM≌△CDN， S四边形CMGN=2S△CMG， ∵∠CGM=60°， ∴GM=CG， ∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2， S四边形CMGN=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，证明是解题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 整理方程得，再用公式法解方程即可． 【详解】解：， 整理得： ， ∴ ∴． 15. 已知反比例函数．若它的图象在每一象限内的值随值的增大而增大，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得出，，解方程和不等式即可得到答案． 【详解】解：是反比例函数， ， 整理得， 解得：； 由题意知，函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴． 16. 如图，在中，点为边上一点，连接，，分别为的中点，连接，已知，，，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据已知条件得到分别为，的中线，再根据得出即可求解． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴分别为，的中线， ∵， ∴， 即，解得：， ∴的长为2． 17. 如图，在中，，，利用尺规作图法在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线的方法，相似三角形的判定，三角形内角和定理，得出是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，直接利用角平分线的作法得出的平分线，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，在矩形中，点、分别在和上，连接、，四边形为菱形，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为菱形， ， 在和中， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，根据菱形的性质得到，可证，即可得到结论． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，在第三象限内画一个（、、点的对应点分别是点、、），使它与位似，且与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】 解：如图，即为所求，点E的坐标为， 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换、位似作图，熟练掌握其性质并能灵活运用位似中心及相似比是解决此题的关键．把、、的坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点连线即可． 【详解】略 20. 某社区举行“粥暖人心”主题活动，向居民免费赠粥．小明和小华前往活动地点领粥，各自随机选择红枣粥、桂圆粥、莲子粥三种中的一种，记红枣粥为，桂圆粥为，莲子粥为，若小明和小华选择哪种粥不受任何因素的影响，且每一种粥被选到的可能性相等． （1）小明选择红枣粥的概率为__________ ； （2）请用列表法或画树状图法，求小明和小华选择的粥不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图，解题的关键在于用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，根据：概率=所求情况数与总情况数之比计算是基础． （1）直接根据概率公式求解； （2）利用列表法列出所有等可能结果，然后根据概率公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：小明选择红枣粥的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 一共有9种等可能性的结果数，其中小明和小华选择的粥不同的结果数为6种， ∴小明和小华选择的粥不同的概率为． 21. 为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学的设计方案新颖．甲同学的方案中若大视力表中“”的高是，则小视力表中相应“”的高是多少？ 甲同学的方案 图例 方案 如图，①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②，， ，请通过图中的数据和测量方法求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据题意证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 解得， 即小视力表中相应“”的高是． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，点的纵坐标为，求的面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，正确求出函数的解析式是解题的关键． （1）把点代入，求出即可； （2）求出点坐标，运用待定系数法求出一次函数解析式，求出点的坐标，根据三角形面积公式可得结论． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点在反比例函数上，且点的纵坐标为， ∴， 则点坐标为， 把代入，得， ， 解得，， ∴一次函数解析式为， 令，则， ∴点的坐标为， ∴， ∴△的面积为4． 23. 如图，在和中，，分别连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴△∽△， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△∽△． （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解；在中，∵，°，°， ∴，°， 又∵°， ∴°， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵△∽△， ∴，即，解得， ∴的长为． 24. 如图，已知一个一面靠墙（图中阴影部分，墙长10米），三面用篱笆围成的正方形仓库，该仓库的边长为4米，且仓库的一边紧贴墙的一端，现因业务需要进行扩建，保留边，拆除另外两面篱笆（与），不计损耗，用拆除的旧篱笆加上8米长的新篱笆进行如图所示的扩建．如果要求新的长方形仓库（）的面积增加32平方米，求新仓库相邻两边的长． 【答案】新仓库相邻两边的长分别为8米，6米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据已知条件列出一元二次方程是解题的关键．设米，则米，根据“新的长方形仓库（）的面积增加32平方米”列方程求解即可． 【详解】解∶ 设米，则米， 根据题意，得， 解得，（舍去）， ∴米，米， 即新仓库相邻两边的长分别为8米，6米． 25. 如图，已知四边形和均是正方形，点在上，延长到点，使，连接，，，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若四边形的面积为10，，求点、之间的距离． 【答案】（1） 证明：∵四边形和都是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴， 同理可得：， ∴， ∴四边形是正方形； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质，勾股定理以及全等三角形的判定等知识，得出：是解题关键． （1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法证明，由全等三角形的性质可得，同理可证得，再利用正方形的判定方法得出答案； （2）结合正方形的性质利用勾股定理可求解，再利用勾股定理可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形的面积为10， 又由（1）知四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点、之间的距离为5． 26. 【思路梳理】 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，，若，则的长为__________； 【类比引申】 （2）如图2，在矩形中，，点分别在边上，连接，，若，求的长； 【实践应用】 （3）如图3，有一块形状为矩形的公园，，，公园有三条小路和，小路平分交于点，小路的尽头点在上，且，小路的尽头在上，小路与小路垂直，现为了方便游客通行，要在小路和小路的交点处修建一个游客中心，求小路的尽头到游客中心的距离． 【答案】（1）5；（2）4；（3） 【解析】 【分析】（1）图1中，设交于点，过点作于点，过点作于点，证，得即可； （2）图2中，设交于点，过点作为，过点作于点，证，得，则； （3）根据四边形是矩形，得出，，，证明，求出，勾股定理求出，证明，求出，过点作交于点，证明，得出，，证明，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，设交于点，过点作于点，过点作于点， ∵四边形是正方形， ， ∴四边形，四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：5； （2）解：如图2，设交于点，过点作于点，过点作于点，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为4． （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作交于点， 则，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小路的尽头到游客中心的距离为． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉台区2025届初三第一次检测考试 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若正数是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 0 B. C. 5 D. 0或5 2. 榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形网格中，、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一块蓄电池组的电压为定值，使用蓄电池组时，电流与电阻是反比例函数关系：，已知时，，则时，（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是矩形的对角线，是边上的中点，连接，于点，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 灯下的树影属于________投影 （填“中心”或“平行”） 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____． 11. 某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，1200件衬衣中有 _____件是合格的． 12. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等腰直角的一个顶点，点在轴上，，，轴，则的值为__________． 13. 如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合）且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．若CG＝2，则四边形BCDG的面积为 _____． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 已知反比例函数．若它的图象在每一象限内的值随值的增大而增大，求的值． 16. 如图，在中，点为边上一点，连接，，分别为的中点，连接，已知，，，求的长． 17. 如图，在中，，，利用尺规作图法在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在矩形中，点、分别在和上，连接、，四边形为菱形，求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，在第三象限内画一个（、、点的对应点分别是点、、），使它与位似，且与的相似比为，并写出点的坐标． 20. 某社区举行“粥暖人心”主题活动，向居民免费赠粥．小明和小华前往活动地点领粥，各自随机选择红枣粥、桂圆粥、莲子粥三种中的一种，记红枣粥为，桂圆粥为，莲子粥为，若小明和小华选择哪种粥不受任何因素的影响，且每一种粥被选到的可能性相等． （1）小明选择红枣粥的概率为__________ ； （2）请用列表法或画树状图法，求小明和小华选择的粥不同的概率． 21. 为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学的设计方案新颖．甲同学的方案中若大视力表中“”的高是，则小视力表中相应“”的高是多少？ 甲同学的方案 图例 方案 如图，①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②，， ，请通过图中的数据和测量方法求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，点的纵坐标为，求的面积． 23. 如图，在和中，，分别连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 如图，已知一个一面靠墙（图中阴影部分，墙长10米），三面用篱笆围成的正方形仓库，该仓库的边长为4米，且仓库的一边紧贴墙的一端，现因业务需要进行扩建，保留边，拆除另外两面篱笆（与），不计损耗，用拆除的旧篱笆加上8米长的新篱笆进行如图所示的扩建．如果要求新的长方形仓库（）的面积增加32平方米，求新仓库相邻两边的长． 25. 如图，已知四边形和均是正方形，点在上，延长到点，使，连接，，，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若四边形的面积为10，，求点、之间的距离． 26. 【思路梳理】 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，，若，则的长为__________； 【类比引申】 （2）如图2，在矩形中，，点分别在边上，连接，，若，求的长； 【实践应用】 （3）如图3，有一块形状为矩形的公园，，，公园有三条小路和，小路平分交于点，小路的尽头点在上，且，小路的尽头在上，小路与小路垂直，现为了方便游客通行，要在小路和小路的交点处修建一个游客中心，求小路的尽头到游客中心的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $